2017年4月上海市徐汇区高三数学二模(含解析)

2016学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷

高三年级数学学科

2017．4

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}

2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．

2. 参数方程为2

2x t y t

⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．

3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．

4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*2

1()3

n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．

5. 若*1()(4,)2n

x n n N x

+

≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，

随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）

7. 若行列式1

24

cos

sin 022sin cos

8

2

2

x x

x x 中元素4的代数余子式的值为1

2，则实数x 的取值集合为___________．

8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．

9. 已知函数2log 02()25()23

9x x x f x x <<⎧⎪

=⎨+≥⎪⎩，

，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围

是____________．

10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．

11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，

点N 满足2AN NM =．若AN x AB y AC =+，则229x y +的最小值为____________．

12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”． 已知定义域为[],a b 的函数2

()3

h x x =

-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. “1x >”是“

1

1x

<”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内

角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（ ）

（A ）21斛 （B ）34斛 （C ）55斛 （D ）63斛 15. 将函数1

y x

=-

的图像按向量(1,0)a =平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（ ）

（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8

16. 过椭圆22

1(4)4

x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）

（A ）一条射线 （B ）两条射线 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==． （1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．

18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数41

()2x x

m f x ⋅+=是偶函数．

（1）求实数m 的值；

（2）若关于x 的不等式2

2()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．

19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）

如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且:3:1BC AB =．一架无人机在空中的

P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，

090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）

（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；

（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）

F

E

A P