求二项展开式特定项的简便方法

介绍一个求二项展开式特定项的简便方法

求二项展开式的特定项是高考数学试题中的常见题型，由二项展开式的通项公式，有 (a ＋b )n 的展开式的第r ＋1项为T r ＋1=C r n a n －

r b r ． ①

若令a =1，则得(1＋b )n 的展开式的第r ＋1项为T r ＋1=C r n b r ． ②

同①式相比，显然②式更为简单，于是我们得到以下求二项展开式特定项的简便方法： 在求(a ＋b )n 的展开式的特定项时，我们可以将二项式(a +b )n 中的前一项a (或b )从括号

内提出来，变为a n (1+b a )n ，从运算简化． 例1 (1992∙全国文) ( x 2－3x

8的展开式中常数项是 ( ) (A) －28 (B) －7 (C) 7 (D) 28

解：( x 2－3x )8＝2－8x 8(1－243x -)8，依题意，令－43r ＝－8，得r ＝6．故所求的常数项为28·C 68·26＝14

C 28＝7，选(C)． 例2 (2004·江苏卷) (2x ＋x )4的展开式中x 3的系数是 ( )

(A) 6 (B) 12 (C) 24 (D) 48

解：(2x ＋x )4＝x 2(1+2x )4， 依题意，只要求展开式(1+2x )4的x 项的系数，显然，系数为C 24·22，即24，选(C)．

例3 (2004·浙江卷)若n x x )2

(3+展开式中存在常数项，则n 的值可以是

(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12

解：n x x )2

(3+＝2n x (1+25

6x -)n ，则后一个展开式第r +1项的x 的指数为－5

6r ，依题意，n 2－56r ＝0，所以n ＝10r 3

．因为n 是正整数，所以r ＝3k (k ＝1，2，3···)． 选(C)． 例5(1993∙全国) 由 (3x +32)100展开所得的x 的多项式中，系数为有理数的共有( )

(A) 50项 (B) 17项 (C) 16项 (D) 15项

解：(3+32)100＝350(1+21/331/2)100， 依题意，只须32r 与23r

同时为整数，且0≤r ≤100． ∴r 为6的倍数．由r 为6的倍数，[100÷6]＝16 及 r ＝0．所以系数为有理数的共有17项，选(B)．

例6 若(36x 5－2x )n 的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数n 的取值为 ( )

(A) 6或8 (B) 4或6 (C) 7或9 (D) 5或7

提示：将二项式变形为6n x (x 5－213x )n ，设其有理项为第r ＋1项，则x 的乘方指数为n －2r 6

，依题意，n －2r 6

为整数．由于2r 为偶数，故n 为偶数，且n －2r 为6的整数倍．注意到0≤r ≤n ，对照选择支，知n ＝4，6，8．逐一检验：n ＝4时，r ＝2；n ＝6时，r ＝0，3，6；n ＝8时，r ＝1，4，7．依题意，应选(A)．

例7 已知二项式(k x －2x

)9 (k ＞1，且k ∈N *)展开式的第4项是常数项，则k 的值是_________．

提示：将二项式化为：9

k x (1－211()2k x -+)9，依题意，9k －3(12＋１k

)＝0，解得k ＝4．