培优专题第1章：圆的基本性质(1)
华师大初三上册培优讲义第十二讲 圆的基本性质
第十二讲圆的基本性质学习目标1、知识目标：理解圆的轴对称性和旋转不变性；在知识框架的建立过程中进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理及逆定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论；2、能力目标：进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。
3、情感目标：通过课堂学习，熏陶学生乐于探究、善于总结的数学学习品质。
一、知识讲解课前测评1．（2018春衡阳市中考模一）有下列四个命题：①三点确定一个圆;①平分弦的直径垂直于弦;①圆周角等于圆心角的一半;①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等。
则四个判断中正确的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、（2017秋南川区期中）如图，CD为①O的直径，AB①CD于E，DE=8cm，CE=2cm，则AB=______cm．3．（2017秋颍上县期末）如图，A，B，C三点在①O上，且①BOC=100°，则①A的度数为（）A．40° B．50° C．80° D．100°4、（2017秋澧县张公庙中学期末）若四边形ABCD是①O的内接四边形，且①A:①B:①C=1:3:8，则①D的度数是（）A. 10°B. 30°C. 80°D. 120°5．（2017秋黄冈期中）已知①O的半径为13，弦AB=24，弦CD=10，AB①CD，求这两条平行弦AB，CD 之间的距离．知识点回顾（或新课预习）1、圆的定义：（1）圆的位置由________确定，圆的大小由______确定．（2）以O点为圆心的圆叫做圆O，记作______．2、圆的基本元素：（1）弦：连结圆上任意两点的_________叫做弦．经过________的弦叫做直径．并且直径是同一圆中__________的弦．（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧；劣弧：_____________半圆周的圆弧叫做劣弧；优弧：_____________半圆周的圆弧叫做优弧；．（3）等圆：________相等的两个圆叫做等圆．3、弧、弦、圆心角之间的关系：（1）在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的_______相等，所对的_______相等．（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的_______相等，所对的_______相等．（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的_______相等，所对的_______相等．4．圆的对称性：圆既是______对称图形，它的对称轴是______________；圆又是______对称图形，它的对称中心是__________．5．垂径定理及推论：（1）垂径定理：垂直与弦的直径__________，并且平分弦所对的__________。
第一讲__培优__圆的基本性质
第一讲 圆的基本性质一、知识点圆的有关概念：特别注意：长度相等的弧是等弧吗? 圆的基本性质有：1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 • 如果弦长为2r ，圆的半径为R,那么弦心距为d . R 2 r 2.2、垂径定理 ____________________________________ 及其推论.此定理及推论，在证题中很重要，其内容不容易记忆，可这样理解：如果一条直线具备下 列条件中的2条，就具备其他3条。
（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4） 平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。
3. 圆周角定理及其推论。
其中以下列两个结论应用最为广泛：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）同弧所对的圆 周角相等。
二、基础训练1. 下列结论正确的是（）A .弦是直径 B.弧是半圆 C .半圆是弧 D.过圆心的线段是直径2、 .给出下列命题（I ）垂直于弦的直线平分弦；（2 ）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3 ）平分弦的直线必过圆心（4 ）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。
其 中正确的命题有（）3、下列命题中，真命题是（）B.2C.3D.4AB 是O O 的直径，CD 是弦.若AB = 10cm, CD = 8cm 那么A , B 两CD 的距离之和为（）A. 12cmB. 10cmC.8cmD.6cmB. 2个C. 3个D. 4个4、 A .相等的圆心角所对的弧相等C.度数相等的弧是等弧下列命题中，真命题的个数为①顶点在圆周上的角是圆周角； ③90°的圆周角所对的弦是直径; B.相等的弦所对的弧相等 D .在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等②圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，贝U 它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个5、直角二角形两直角边长分别为 .3和I ，那么它的外接圆的直径是（A.1 &如图, 点到直线7、 如图，在以0为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C, D 两点，AB=10cm, CD=6cm,则AC 的长为()A. 0. 5cmB. 1cmC. 1.5cmD. 2cm8、 如图，点A,D,G,M 在半圆上，四边形 ABOC, DEOF,HMNO 匀为矩形，BC=a,EF=bNH=C, 则下列各式中正确的是()9、 如图，CD 为。
第01讲 圆的基本概念和性质(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第01讲圆的基本概念和性质1.在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；2.了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；3.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。
4.能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心知识点1 ：圆的定义及性质圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆。
这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。
圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。
确定圆的条件：1）圆心；2）半径。
备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小。
【补充】1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆。
圆的对称性：1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
知识点2 ：圆的有关概念弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。
直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。
备注：1）直径是同一圆中最长的弦。
2）直径长度等于半径长度的2倍。
⏜，读作圆弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
以A、B为端点的弧记作AB弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。
知识点3 点与圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外知识点4 确定圆的条件过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。
第一轮几何第4小节第1小节圆的基本性质介绍
垂径定理的简单应用 例题：(2013 年甘肃兰州)如图 4-4-5 是一圆柱形输水管的横 截面，阴影部分为有水部分，如果水面 AB 宽为 8 cm，水的最 大深度为 2 cm，那么该输水管的半径为( )
CE＝ 132－122＝5.∴CD＝10.
∴CD 的长为 10 或 2 165.
答案：D
2．(2013 年湖南邵阳)如图 4-4-6，某窗户是由矩形和弓形 组成，已知弓形的跨度 AB＝3 m，弓形的高 EF＝1 m，现计划 安装玻璃，请帮工程师求出 A B 所在圆 O 的半径 r.
图 4-4-6
解：由题意可设 OA＝OE＝r.∵EF＝1，∴OF＝r－1. ∵OE⊥AB，∴AF＝12AB＝12×3＝1.5(m)．
A．26° B．116°
C．128°
D．154°
图 4-4-2
图 4-4-3
3．如图 4-4-3，∠AOB＝100°，点 C 在⊙O 上，且点 C 不
与点 A，B 重合，则∠ACB 的度数为( D )
A．50° B．80°或 50° C．130° D．50°或 130°
4．如图 4-4-4，C 是劣弧 AB 的中点，过点 C 分别作 CD⊥ OA，CE⊥OB，点 D，E 分别是垂足，试判断 CD，CE 的大小 关系，并证明你的结论．
A．3 cm
图 4-4-5
B．4 cm
C．5 cm
D．6 cm
解析：如图4-4-5，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，连接 OA. ∵OD⊥AB，∴AD＝12AB＝12×8＝4(cm)．设 OA＝r cm，则 OD＝r－2(cm)． 在 Rt△AOD 中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝(r－2)2＋42.解得 r＝5. 答案：C
著名机构初中数学培优讲义圆的概念.第01讲(A级).教师版
内容基本要求略高要求较高要求圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题1．揭示圆有关的基本属性； 2．能够利用垂径定理解决相关问题．从前，有一个圆，她每天不停地滚动。
有一天，她失掉了一小片，使自己不完整了，这对她来说是个天大的打击，她为了寻找那一小块碎片，用自己残缺的身子继续滚动，由于缺了一小片，她的滚动力比以前慢了好多，她开始憎恶自己的无能；然而她却慢慢发现，自己滚动的慢了，却正好可以领略沿路的风光：向花儿问好，与虫儿聊天，度过了一般美好的时光。
中考要求重难点课前预习圆的基本概念当然，她最终找到了自己的那一小块碎片。
当她又像一个完整的圆一样沿途滚动时，却因为太快，再也看不到那些花儿、虫儿。
尽管现在，她又完美了，可实际呢？有人认为，失去完美是世界最大的挫折。
由此，我想到维纳斯。
她失去双臂，这是一个巨大的挫折，可她，却被誉为“美神”、“完美之神”，或许在她丧失双臂，遭受挫折，失去所谓“完美”的同时，又得到了许多比所谓的“完美”更重要的完美。
由此，我想到贝多芬。
对于一位音乐巨匠，失去听力和死亡几乎可以划等号。
但贝多芬的《田园交响曲》《英雄交响曲》《命运交响曲》等这些耳熟能详曲目均是在失聪后创作的。
我想：如果贝多芬没有失聪，没有遭受挫折，他的交响是否还会如此的意味深远呢？其实相较之下，我更喜欢另一个有关圆的故事——一个圆，不小心掉了一小片，这一小片是她最美丽的部分。
她对于这个打击，自然是悲痛欲绝，穷其全部精力寻找。
她边找边努力让现在的自己具有那一小片的色泽。
她实现了。
尽管由于缺了一小片滚动的不快，却滚出了比原先更绚丽的色彩。
这个故事是我编的。
我给它起了个名字：挫折洗礼后的完美。
初中数学重点梳理：圆的基本性质
圆的基本性质知识定位圆在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识如圆与正多边形的关系，圆心角、三角形外接圆、弧、弦、弦心距间的关系，垂径定理是今后我们学习综合题目的重要基础。
圆的基本性质以及应用，必须熟练掌握。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中圆相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．⊙”，（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O读作“圆O”。
（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．、为端点的圆弧记作AB，读作（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B弧AB．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3、垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．4、圆心角和圆周角：（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．5、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。
九年级数学-培优专题讲义-圆的基本性质
圆的基本性质姓名：上课时间：1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为______ ,若点P是弧BAD上一动点，则∠BPD大小是否会改变，若不变求出该角，若变化，请说明理由。
2. 如图，B为在⊙O的半径OC上一点（不与点O，C重合），点E在圆上，以OB，BE为边作矩形OBED，延长DO到点A，使OA＝OB，连接AC，则( )A．AC＞DB B．AC＜DBC．AC＝DB D．AC与BD的大小关系不能确定．第1题图第2题图考点一、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点二、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点三、圆周角定理及其推论圆周角定理基础巩固EDAOCB一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
例1：（19年元调）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD第18题图例2：如图，△ABC的顶点在⊙O上，点E，F分别为边AB，AC的中点．（1）求证点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心；（2）⊙O的直径MN＝4，点A固定，点B在半圆弧上运动，当点B从点M运动到点N的过程中，请直接写出点E运动路径的长．例3：如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B=∠D；(2)若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长.典型例题NEOABMFEOB例4：在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点．（1）如图1,过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小；（2）如图2,D为弧AC上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小．例5：如图，在四边形ABCD中，(1) 若∠BAD+∠BCD=1800，则图中有____ 对相等的角（小于1800）；（2）若∠BAC=∠BDC,且AB=AC ，证明：∠ADB=∠ACB .例6：（19年元调）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆(1) 如图1，求证：AD是⊙O的切线(2) 如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G①求证：AG＝BG②若AD＝2，CD＝3，求FG的长1.在⊙O 中，弦AB 的长为6，圆心O 到AB 的距离为4，则⊙O 的半径为（ ） A ．10B ．6C ．5D ．42.如图所示，点A ，B 和C 在⊙O 上，已知∠AOB ＝40°，则∠ACB 的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点．若∠B ＝110°， 则∠ADE 的度数为___________.4．如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，O 1B 的延长线交⊙O 2于点C ，若∠O 1＝35°，则∠O 1O 2C 的度数为 A ．65° B ．70° C ．75° D ．80°．5.如图，在⊙O 中，半径OA ⊥弦BC ，点E 为垂足，点D 在优弧上． （1）若∠AOB=56°，求∠ADC 的度数；（2）若BC=6，AE=1，求⊙O 的半径．6.如图，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC(1) 求证：∠ACB ＝2∠BAC ；(2) 若AC 平分∠OAB ，求∠AOC 的度数7.如图,⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D. （1）求BC 的长；（2）求弦BD 的长.A BCOAC BO 1O 28.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2。
中考数学专题复习全攻略：第一节 圆的基本性质
第一节 圆的基本性质知识点一：圆的有关概念1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形． 在一个个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
以点O 为圆心的圆记作“⊙O ”，读作“圆O ”（2） 弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB ）（3）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD ）直径等于半径的2倍。
（4）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（5）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）（6）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（7）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（8）弦心距：圆心到弦的距离. （9）圆的对称性1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
点或）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆2)圆的中心对称性： 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
变式练习1：如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC.若∠BAC 与∠BOC 互补，则弦BC 的长为( B )A ．3 3B ．4 3C ．5 3D ．6 3,第1题图) ,第2题图)变式练习2：如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( C )A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°变式练习3： 如图，扇形OAB 的圆心角为122°，C 是AB ︵上一点，则∠ACB ＝__119__°.,第3题图)知识点二 ：垂径定理及其推论1.垂径定理及其推论1)定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2)推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
九年级(上)培优讲义：第5讲 圆的基本性质
第5讲：圆的基本性质一、建构新知1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.3．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角：(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.二、经典例题例1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．例2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的长．变式：如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ， 垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．例3．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E ．（1）若OC =5，AB =8，求tan ∠BAC ；（2）若∠DAC =∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．例4. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）证明：AF 平分∠BAC ； （2）证明：BF ＝FD .N MO C BA例5. 已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.例6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．三、基础演练1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()．A．70°B．64°C．62°D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为()．A．54m B．m C．m D．m3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于().A. (4π+8)cm2B. (4π+16)cm2C. (3π+8)cm2D. (3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是().A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为() A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，－4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A ．80°B ．100°C ．80°或100°D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50° 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是_____.10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A 的度数是____________.11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是______________ .12．已知圆的直径为13 cm ，圆心到直线的距离为6cm ，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.13. 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是______. 14. 已知正方形ABCD 外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为_______________，面积为_______________． 四、直击中考1.(2013年湖北)如，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ） A .95 B . 245 C . 185 D . 522.（2013黑龙江）如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE =4，CD =6，则AE 的长为（ ）CADBA ．4B ．5C ．6D ．73．（2013江苏）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是的中点，则下列结论不成立的是（ ） A ．OC ∥AE B ．EC =BCC ．∠DAE =∠ABED ．AC ⊥OE4.（2013湖北）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（ ） A ．B ． A F =BFC ． O F =CFD ． ∠DBC =90°5.（2013湖北）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD =4，EM =8，则所在圆的半径为 ．6.（2013年广东）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O ,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为____________.7.（2013四川）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足=31，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF =2，AF =3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG =2；③tan ∠E =；④S △DEF =4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．8．（2013浙江）如图，AE 是半圆O 的直径，弦AB =BC =4，弦CD =DE =4，连结OB ，OD ，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 9. （2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC ，OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ．（1）当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为 ； （2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时：①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．10.（2013四川）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．五、挑战竞赛1.如图所示，△ABC的三边满足关系BC=12（AB+AC），O，I分别为△ABC的外心和内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于点E，AI的延长线交⊙O于点D，DE交BC于点H．求证：（1）AI=BD；（2）OI=12 AE．第22题图②OPCBA六、每周一练1．在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作，如图所示．若AB =4，AC =2，S 1﹣S 2=，则S 3﹣S 4的值是（ ） A ．B ．C ．D ．2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形， AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． 如图②， 若2524sin =∠BPC ，则PAB ∠tan 的值为 ． 3. 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点（不与M 、C 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F ，切点为E ． （1）求证：OF ∥BE ；（2）设BP =x ，AF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）延长DC 、FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 与H （图2），问是否存在点P ，使△EFO ∽△EHG （E 、F 、O 与E 、H 、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中x 和y 的值；如果不存在，请说明理由．。
圆的有关概念和性质
圆的有关概念和性质专题九圆第⼀节圆的有关概念和性质⼀【知识梳理】1.圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念①圆：平⾯上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆⼼，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，⼤于半圆的弧称为优弧，⼩于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆⼼的弦叫做直径．（2）圆的有关性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意⼀条过圆⼼的直线；圆是中⼼对称图形，对称中⼼为圆⼼．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆⼼⾓的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆⼼⾓，两条弧，两条弦中有⼀组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周⾓相等；直径所对的圆周⾓是直⾓；90”的圆周⾓所对的弦是直径．④三⾓形的内⼼和外⼼：确定圆的条件：同⼀直线上的三个点确定⼀个圆．：三⾓形的外⼼：三⾓形的三个顶点确定⼀个圆，这个圆叫做三⾓形的外接圆，外接圆的圆⼼就是三⾓形三边的垂直平分线的交点，叫做三⾓形的外⼼． ?：三⾓形的内⼼：和三⾓形的三边都相切的圆叫做三⾓形的内切圆，内切圆的圆⼼是三⾓形三条⾓平分线的交点，叫做三⾓形的内⼼2.与圆有关的⾓（1）圆⼼⾓：顶点在圆⼼的⾓叫圆⼼⾓。
圆⼼⾓的度数等于它所对的弧的度数．（2）圆周⾓：顶点在圆上，两边分别和圆相交的⾓，叫圆周⾓。
圆周⾓的度数等于它所对的弧的度数的⼀半．（3）圆⼼⾓与圆周⾓的关系：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周⾓等于它所对的圆⼼⾓的⼀半．（4）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．3.正多边形和圆（1）通过等分圆画正多边形。
（等分圆⼼⾓；懂得正三、六；正四、⼋边形的特殊画法）（2）外接于圆的正多边形的有关概念：正多边形的中⼼、半径、中⼼⾓、边⼼距；（3）如图，正n 边形的有关计算要抓住2n 个Rt △OPB ，∠B 等于正n 边形内⾓的⼀半，∠BOP=nn1802360 ，BP 等于正多边形的边长的⼀半。
32【提高】圆的基本概念和性质(培优课程讲义例题练习含答案)
圆的基本概念和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．知识目标：理解圆的有关概念和圆的对称性；2．能力目标：能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，•圆的对称性进行计算或证明；3．情感目标：养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯.【要点梳理】要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.【高清ID号：356996 关联的位置名称（播放点名称）：概念、性质的要点回顾】4.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.【典型例题】类型一、圆的定义1．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，求证：点A、B、C、D在以点O为圆心的同一个圆上.【答案与解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OC=OB=OD，∴点A、B、C、D在以点O为圆心、OA为半径的圆上.【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等. 举一反三：【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.2．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。
圆的基本性质辅助线(培优训练)
圆的基本性质的应用一、本节概述本节重点讲解垂经定理、圆周角定理等圆的基本性质在解题中的应用，以及与之相关的基本辅助线的构造。
二、典例精析知识点：圆的基本性质的应用【例1】如图，在在，BC=6,,(1)求的半径；（2D，且AD=7.求DE的长。
解：如图：过O由圆周角定理得到，,BM=3,所以，半径,OM=3,所以ND=3,从而-3【例2】如图，AC和BD是圆O中两条互相垂直的弦，且AB=2,CD=6,则圆O的直径为。
解：延长CO与圆O交于点F，连接DF。
【例3】如图，AD=4,BD=6,CD=3,则弓形所在圆的直径是。
解：设圆的圆心为O,连接AC、BC，延长DC与圆O交于P,过O作设DN=x，所以CN=3+x，DM=2利用CO=BO列方程如下：解得：x=2【例4】如图，在圆O中，AB=AC,,则圆O的半径为。
解：连接OA交BC于点N，过O，因为AB=AC，所以三、成果检测3. 如图,A、B、C、D依次为一直线上4个点,BC=2,△BCE为等边三角形,⊙O过A，D，E 3点,且∠AOD=120.设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为 .4. 如图,AB是半圆的直径,点O为圆心,OA=5,弦AC=8,OD⊥AC,垂足为E,交⊙O 于D,连接BE.设∠BEC=α,则sinα的值为______。
5. 已知：⊙O的半径为25cm,弦AB=40cm,弦CD=48cm,AB∥CD.求这两条平行弦AB，CD之间的距离 .6.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD，BD.已知AD=BD=4，PC=6，求CD的长。
7.已知：如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，求BC的长。
8.已知：如图,⊙O的直径AB与弦CD(不是直径)交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC的长。
9.如图,C经过坐标原点,并与两坐标轴分别交于A﹑D两点,已知∠OBA=30,点A的坐标为(2,0)，求点D的坐标和圆心C的坐标。
初三竞赛培优-《圆》“边对角”求定值的解题技巧教案
一、教学内容
本节课选自初三竞赛培优教材《圆》章节中的“边对角”求定值的解题技巧。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握圆的性质，特别是圆的切线、割线以及相交弦的相关定理，例如：切线垂直于过切点的半径，相交弦定理等。
2.学会运用“边对角”方法解决以下类型题目：
-在复杂问题中，能够准确地识别和应用“边对角”方法，特别是在多解问题中找出所有可能的解。
-将几何图形与现实问题相结合，理解实际问题中的几何背景，并能够灵活运用几何知识。
举例解释：
-难点在于圆周角定理的理解，特别是圆周角是圆心角一半的规律。通过动态演示和实际作图，帮助学生形象地理解这一关系。
-在解决多解问题中，指导学生如何通过逻辑推理和几何分析，找出所有可能的解，并讨论这些解的合理性。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆中“边对角”方法的基本概念。这是指通过已知的圆的边长和角度来求解未知边长或角度的技巧。它在解决几何问题时具有重要作用，尤其是在没有直接测量工具的情况下。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何利用“边对角”方法解决实际问题，以及它如何帮助我们简化问题并找到答案。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于圆的性质和“边对角”方法的理解存在一些差距。在讲解理论知识时，我尽量用生动的例子和图示来帮助学生理解，但感觉还是有一部分学生在转换到实际问题解决时感到困惑。这让我意识到，需要找到更有效的方式来桥接理论知识和实际应用之间的差距。
课堂上，我尝试通过小组讨论和实验操作让学生们动手动脑，希望他们能够通过亲身体验来加深理解。这种方法似乎对学生们的学习兴趣有所提升，但从成果展示来看，部分小组在应用“边对角”方法时仍然显得不够熟练。我反思，可能需要在实践活动的设计上再加入一些阶梯性的引导，帮助学生逐步掌握解题技巧。
圆的基本性质ppt课件
图(1)中 OC= O B 2 B C 2 2 0 0 2 1 6 0 2 =120(mm) ∴CD=80(mm) 图(2)中OC=120(mm) ∴CD=OC+OD=320(mm)
BC
A
O
例题讲解
例3、如图，在⊙O中，AC=BD，
(1)图中有哪些相等关系？
(2)如果∠1=45°，求∠2的度数。
(3)如果AD是⊙O的直径，∠1=45°
求∠BDA的度数．
C
B
D
1
2
A
O
例4:如图,AC是⊙O的直径,弦BD 交AC于点E.
(1)△ADE～△BCE吗？
说明理由;
(2)若CD=OC,求sinB的值.
如图，弦AB和CD交于点P,且CD是 ∠ACB的平分线
C
O P
B A
问题（4）：若弦AB= 3 , ∠BAD=30°, 在点DC运
动的过程中,四边形ADBC的最大面积为多少? 此时∠CAD等于多少度?
如图，弦AB和CD交于点P,且CD
是∠ACB的平分线
C
O P
B A
D
问题（5）：若弦AB= 3 , ∠BAD=30°, 在点C运
A
解: (1) △ADE～△BCE
D EC
O B
∵ ∠A=∠B, ∠D=∠C
∴ △ADE～△BCE (2) 若CD=OC,
则AC=2DC,
又∵ AC是⊙O的直径 ∴∠ADC=90°
sin B sin A DC