辅助角公式的推导

辅助角公式的推导

辅助角公式22sin cos )a b a b θθθϕ+=++的推导

在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ

θ+为一个角

的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学

生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式

sin cos a b θθ+22)a b θϕ++或sin cos a b θθ+22a b + cos()θϕ-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个

学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法

教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 求证：

3α+cos α=2sin （α+

6π）=2cos （α-3

π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出

结论: 可见3α+cos α可以化为一个角的三角函数形式.

一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ

θ+为一个角的一个三角函数的形式.

解: asin θ+bcos θ=

22a b +2

2

a b

+sin θ2

2

a b

+θ),

① 2

2

a b

+=cos ϕ2

2a b

+ϕ,

则asin θ+bcos θ22a b +θcos ϕ+cos θsin ϕ)

22a b +θ+ϕ),(其中tan ϕ=

b a

)

中1(0,2)ϕπ∈，1

tan b

a

ϕ=

，1ϕ的具体位置由1sin ϕ与1cos ϕ决定，1ϕ的大小由1tan b

a

ϕ=决定．

类似地，

22sin cos )a b a b θθθϕ+=+-，ϕ的终边过点Ｐ

（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角为2ϕ，则22.k ϕϕπ=+由诱导公式有

22222sin cos cos())a b a b a b θθθϕθϕ+=+-=+-，其

中2(0,2)ϕπ∈，2

tan a

b

ϕ=

，2ϕ的位置由2sin ϕ和2cos ϕ确定，2ϕ的大小由2tan a

b

ϕ=确定．

注意：①一般地，1

2ϕϕ≠；②以后没有特别说明时，角1ϕ（或2ϕ）是所

求的辅助角．

四．关于辅助角公式的灵活应用

引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为

221sin cos )

a b a b θθθϕ+=++的形式或

222sin cos )a b a b θθθϕ+=+-的形式．可以利用两角和与差的

正、余弦公式灵活处理．

例５ 化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．

3cos αα-；

（２）26sin()cos()6363

ππαα-+-． 解： （１）

31

3cos sin cos )22

2(sin cos

cos sin )2sin()

666

ααααπ

ππ

ααα-=-=-=-

（２）26sin()cos()6363213[sin()cos()]32323

2[sin()cos cos()sin ]3333322sin()33

ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-

在本例第（１）小题中，3a =1b =-3１），而取的是点Ｐ3１）

．也就是说，当a 、b 中至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（

a

，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的角1ϕ（或2ϕ）是锐角，

就更加方便．

例6 已知向量(cos(),1)3a x π=+r ,1

(cos(),)32

b x π=+-r ,

(sin(),0)3

c x π

=+r ,求函数()h x =2a b b c ⋅-⋅+r r r r 的最大值及相应的x

的值.

解:2

1()cos

()sin()cos()23233

h x x x x πππ

=+--+++

=

2

1cos(2)

1233sin(2)2232

x x ππ++-++ =

1212

cos(2)sin(2)22323x x ππ+-++ =

22222[cos(2)sin(2)]222323

x x ππ+-++ =211

cos(2)2212

x π++ max

2

()2.2

h x ∴=+