高中立体几何大题题
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(2012江西省）（本小题满分12分）
如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合及点G ，得到多面体CDEFG.
（1）
求证：平面DEG ⊥平面CFG ；
（2)求多面体CDEFG 的体积。
【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EG GF ⊥又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即
EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG.
（2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，所以所求体积为1112
5520335
DECF S GO ⋅=⨯⨯⨯
=正方形
2012，山东(19) (本小题满分12分)
如图，几何体E ABCD
-是四棱锥，△ABD为正三角
形，,
=⊥.
CB CD EC BD
(Ⅰ)求证：BE DE
=；
(Ⅱ)若∠120
BCD=︒，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC CD
=知，
⊥，
CO BD
又已知CE BD
⊥，所以BD⊥平面OCE.
所以BD OE
⊥，即OE是BD的垂直平分线，
所以BE DE
=.
(II)取AB中点N，连接,
MN DN，
∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DN AB
⊥.
由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即BC AB
⊥，
所以ND∥BC，
所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.
2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，
,AD BC //AD
11,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中
点，F 是平面11B C E 及直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）
求1BC 及平面11B C EF 所成的角的正弦值。
解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知
识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。
（Ⅰ）（i）因为11111111,,C B A D C D ADD A ⊄平面//所以1111.C B A D DA 平面// 又因为1111,B C EF A D DA EF =平面平面所以11,C B EF //
所以 11.A D EF //
ii （）因为11111,BB A B C D ⊥平面所以111.BB B C ⊥
又因为 11111111111,,.B C B A B C ABB A B C BA ⊥⊥⊥所以平面所以 在矩形111,ABB A F AA 中是
的中点，111tan tan A B F AA B ∠=∠= 即 11111.A B F AA B BA B F ∠=∠⇒⊥
(第20题图)
1
1
所以111.BA B C EF ⊥平面
（Ⅱ）设1BA 及1B F 交点为H ，连接1,C H 由（Ⅰ）
知111.BA B C EF ⊥平面 所以1111BC H BC B C EF ∠是与面所成的角 在矩形111,2,2,6
AA B B AB AA BH =
==
中得
在直角1BHC ∆中，11130
2
5,sin 6
BH BC BH BC H BC ==
∠==得
所以1BC 及平面11B C EF 30 （2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点，
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 及'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小；
解：连接AC,取AC 中点K ，则K 为BD 中点，连接OK ，因为点M 是棱
'AA 的中点，点O 是'BD 的中点，∴1'2
AM DD OK =
=,AM ∥1
'2BD ∥OK ,
∴MO AK =,MO ∥AK .
由'AA AK ⊥,得'MO AA ⊥.
因为,'AK BD AK BB ⊥⊥,所以AK ⊥平面''BDD B ∴ 'AK BD ⊥ ,∴'MO BD ⊥.
又∵OM 及异面直线'AA 和'BD 都相交，
故OM 为异面直线'AA 和'BD 的公垂线。 ………………… （5分）
（Ⅱ）取'BB 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥ 平面''BCC B ,
过点N 作NH ⊥'BC 于H ，连接MH ，则由
三垂线定理得 'BC MH ⊥,从而MHN ∠为二面角''M BC B --的平面角。
设1AB =,则1221,sin 452
24
MN NH BN ==︒=⋅=， 在Rt MNH ∆中，tan 222
4
MN MHN NH =
==. 故二面角''M BC B --的大小为arctan 22。 …………… （12分）
2010辽宁文（19）（本小题满分12分）
如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B
⊥
（Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ；
（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。