第2章 边坡稳定分析的通用条分法

′ <1 0 < Ac ′= Ac yt′ − z y−z
(2.8) (2.9)
式中 y′t 为作用在土条垂直面上的有效法向力的作用点的纵坐标值
2. 2 静力平衡方程的普遍形式及其解
2. 2. 1 作用在土条上的力 设想某一边坡的滑动土体沿滑裂面 y = y(x)下滑 见图 2.2 此时 根据安全系数的定义 土体和滑裂面上的抗剪强度指标均已缩减为 c'e tanφ'e 在滑动土体中切出一垂直土条 分 析作用在其上的力 计有 1) 土条重量∆W 3) 地震力 浸润线上为天然容重 浸润线下为饱和容重 2) 坡表面垂直荷重 q∆x 水平地震力∆Q =η∆W 其作用点与土条底距离为 he 4) 作用在土条垂直边上的总作用力 G 即土骨架间的法向有效作用力和水压力之和 它与水平线的夹角为β 2. 2. 2 其作用点的纵坐标值为 yt
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土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序
p( x) = (
dW dW ′ − α ) − ru ′ + q ) sin(φe secα sin φe dx dx dW ′ secα cos φe ′ −η ′ −α ) + ce cos(φe dx
(2.13)
同时 将作用在土条上的力对土条底中点取矩 建立力矩平衡方程 1 (G + ∆ G ) cos( β + ∆ β )[( y + ∆ y ) − ( yt + ∆ yt ) − ∆ y ] 2 dW 1 he = 0 − G cos β ( y − yt + ∆ y ) + G sin β∆ x − η dx 2 其中 he 为水平地震力作用点距条底的垂直距离
上述对多余未知数进行假定的具体方案可以是多种多样的 但是 也并不是完全任意的 它必须使获得的解符合土和岩石的力学特性 目前 被普遍接受的合理性条件是 Morgenstern & Price, 1967 年 Janbu, 1973 年
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土质边坡稳定分析 原理 ⋅ 方法 ⋅ 程序
图 2. 1
(a) 滑坡体
第2章
边坡稳定分析的通用条分法
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采用上述作法 反映了编程人员刻意回避包含两个未知数的非线性方程迭代的心理 事 实上 作者使用这一算法的二十余年的经验表明 使用二维 Newton−Raphson 迭代 其收敛 速度极快 这一点将在后面[例 2.1]和[例 2.2]的迭代过程中看到 使用如图 2.3 所示的迭代 方法 非但使计算过程变得繁琐 而且降低了计算精度 可以想像 这样的作法 使计算精 度保持在 10−3 水平将是十分困难的 对于一个滑裂面的安全系数问题 工程实际也许并不在 乎小数点第三位的精度 但是 当问题进入第 4 章所论述搜索最小安全系数领域时 小数点 第二位的精度就远远不够了 因此 可以说 本章介绍的边坡稳定分析的通用条分法在其数 值计算收敛特性方面具有其突出的优点 2. 3. 2 计算导数的公式
′∆ x sec α + (∆ N − u∆ x sec α ) tan φ e ′ ∆ T = ce
(2.4)
式中
α为土条底倾角
tanα = dy/dx
u 为孔隙水压力
ru = u dW / dx
通常定义孔隙水压力系数 (2.5)
3. 静力平衡条件 将滑动土体分成若干土条 图 2.1 每个土条和整个滑动土体都要满足力和力矩平衡条 件 在静力平衡方程组中 未知数的数目超过了方程式的数目 解决这一静不定问题的办法 是对多余未知数作假定 使剩下的未知数和方程数目相等 从而解出安全系数的值 2. 1. 2 合理性要求
a
=0
(2.32)
先假定一组 F1 和λ1 代入式(2.31) 式(2.32) 下一个更为接近其解 F* λ*的数值 F2 λ2 通过下式求得( i=1)
∂M n ∂G n −Mn ∂ ∂λ λ Fi = Fi +1 − Fi = ∂G n ∂M n ∂G n ∂M n − ∂λ ∂F ∂F ∂λ Gn ∂M n +Mn ∂F λ i = λ i +1 − λ i = ∂G n ∂M n ∂G n − ∂λ ∂F ∂F − Gn ∂G n ∂F ∂M n ∂λ
静力平衡微分方程及其解
∆ N sin α − ∆ T cos α + ∆ Q − ∆ (G cos β ) = 0 −∆ N cos α − ∆ T sin α + (∆ W + q∆ x) − ∆ (G sin β ) = 0
对土条建立 x 和 y 方向的静力平衡方程 (2.10) (2.11)
将式(2.4)代入式(2.10) 式(2.11) 消去∆N 令∆x 0 得到静力平衡的微分方程 dG dβ ′ −α + β ) ′ −α + β ) − sin(φe (2.12) cos(φe G = − p ( x) dx dx
x ′ − α + β ) s −1 ( x) ∫ p(ζ ) s (ζ )dζ − G (a) G ( x) = − sec(φ e a
(2.20) (2.21)
′ − α + β ) exp − s ( x) = sec(φ e
∫ tan(φ ′ − α + β ) dζ dζ
G (a) = 0 G (b) = 0 yt ( a ) = y ( a ) yt (b) = y (b)
微分方程组式(2.12)和式(2.15)的边界条件是 (2.16) (2.17) (2.18) (2.19)
式中 a 和 b 为滑体左 右端点的 x 坐标 式(2.12)是一个一阶非线性常微分方程 它的积分形式是
G sin β = − y
(2.14)
当 ∆x
0时
可得 (2.15)
d d dW (G cos β ) + ( y t G cos β ) + η he dx dx dx
式(2.12)也可通过将作用在条块上的力投影图 2.2 中线 AA' 方向获得 AA' 与土条底切 线方向夹角为φ'e 土条底的法向力 N′与由其贡献的切向抗力 N' tanφ'e 的合力因与 AA' 垂直 故不出现 2. 2. 3 静力平衡方程的解
(2.33)
(2.34)
重复上述步骤 直至下列收敛标准得到满足
∆ Fi < ε ∆ λi < ε
(2.35) (2.36)
在 STA情况证明 程序对绝大多
数问题均能迅速地收敛到这一精度 参见[例 2.1] 在文献中经常可以看到将式(2.33)和式(2.34)的二维迭代过程转化为一维的作法(Spencer, 1973; Fredlund, 1984), 如图 2.3 所示
a e
x
dβ

式(2.15)的积分形式是
∫
x a
G (sin β − cos β tan α )dx =
∫ η dx h dx + [G cos β ( y
a e
x
dW
t
x − y )]a
(2.22)
令 x = b 并使用式(2.16)至式(2.19)的边界条件 应用分部积分法 式(2.20)和式(2.22) 可化为
G cos β
dw
+ ya
(2.29)
f (x)可假定为 1 即假定各土条的β (x)为一常数 也可假定为其它函数 每一组解都要 通过式(2.5)和式(2.7)的合理性要求检验 在大部分的计算中 我们令 f (x)=常数=1 如图 2.1(b)示 这种特例称 Spencer 法 在 STAB 程序中 提供给用户的默认的功能也是这一处理方式 因为大量的计算实例说明 f (x) 的形状对安全系数 F 值的影响并不大 但是在一些特殊条件下 使用 Spencer 法可能导致较大的误差 从严格的理论意义上讲 为了保证在 x = a 和 x = b 处剪应力成对原理不被破坏 要求β (x)在该两端为指定值 因此 假定
a a
dβ dζ ]dξ dζ
(2.25) (2.26)
Me = ∫ η
a
b
dW he dx dx
b
在获得式(2.24)时应用了式(2.23)和下面的关系式
∫
b a
G (sin β − cos β tan α )dx = − =
∫∫
a b a
b
ξ a
ξ p (ζ ) s (ζ )dζdt = − t p (ζ ) s (ζ )dζ + a a
′ +σn ′ ⋅ tan φ e ′ τ = ce ′= ce ′= tan φ e c′ F tan φ ′ F
(2.1) (2.2) (2.3)
上述将强度指标的储备作为安全系数定义的方法是经过多年的实践被工程界广泛承认 的一种作法 采用这一定义 在数值计算方面 会增加一些迭代 收敛方面的问题 2. 摩尔−库仑强度准则 设想土体的一部分沿着某一滑裂面滑动 在这个滑裂面上 土体处处达到极限平衡 即 正应力σn' 和剪应力 τ 满足摩尔−库伦强度准则 设土条底的法向力和切向力分别为 N 和 T 则有
∫
∫ p( x)s( x)t ( x)dx
a
b
(2.27)
∫ p( x)s( x)t ( x)dx
留
注意式(2.27)右侧第一项由式(2.23)可知为零 式(2.23)和式(2.24)分别反映滑动土体力和 力矩平衡要求 这两个方程中包含一个未知数 即安全系数 F 它隐含在φ′e 中和 c'e 中[式(2.2) 和式(2.3)] 另外还包含一个变量β (x) Morgenstern 和 Price 假定其符合某一分布形状 下一个待定常数λ和 F 一起求解 即假定
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或