大连理工数学分析试题及解答

大连理工大学 硕士生入学考试

数学分析试题

一. 从以下的1到8题中选答6题

1. 证明:2()f x x =在区间[0,]M 内一致连续(M 为任意正数),但是在[0,)+∞不一致

连续

2. 证明:若()f x 在[,]a b 内连续,那么()f x 在[,]a b 内Riemann 可积.

3. 证明:若1α>,那么广义积分1

sin x dx α+∞

⎰

收敛

4. 证明:若()f x ,()g x 为区间(,)a b 上的连续函数,对任意的(,)(,)a b αβ⊂有:

()()f x dx g x dx β

β

α

α

=⎰⎰,那么, ()()f x g x ≡于(,)a b

5. 证明:若1

n

n a

∞

=∑收敛,那么

1

nx

n n a e

∞

-=∑在[0,)+∞一致收敛

6. 已知：2

,0

()0,0

x e x f x x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，求"(0)f

7. 已知：()()

1(,)()2

2x at

x at x at x at u x t d a

φφψαα+-++-=

+

⎰. 其中, ψ和φ分别是可以求导一次和求导两次的已知函数,计算

22

222

(,)(,)u x t u x t a t x ∂∂-∂∂

8. 计算,半径为R 的球的表面积

二. 从9到14题中选取6题

9.已知: lim '()0x f x →∞

=,求证: ()

lim

0x f x x

→∞

=

10.证明: ()a

f x dx +∞

⎰

收敛,且lim ()x f x λ→+∞

=,那么0λ=

11.计算曲面积分: 333S

I x dydz y dzdx z dxdy =

++⎰⎰, 其中S 为旋转椭球面222

2221x y z a b c

++=的外侧

12.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: ()()n n S x f x =对于任意小于1的正数δ,在区间(0,1]δ-一致收敛,但是不在(0,1)一致收敛

13.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: 1

lim ()0n n f x dx →∞=⎰

14.证明:若()[,]n u x C a b ∈，1,2,...,...n =且1

()n n u b ∞

=∑发散,那么1

()n n u x ∞

=∑不在[,)a b 一致收

敛

大连理工大学2001年硕士生入学考试

数学分析试题解答

一.

1. 证 利用定义证明

(1) 对于0ε∀>,21

M ε

δ∃=

+,12||x x δ∀-<,那么

12121212|()()||()()|2||2f x f x x x x x M x x M δε-=-+<-<<

(2) 任取1ε=,0δ∀>,1211,22x x δδδ

∃=

=+, 1212121

|()()||()()|1f x f x x x x x δδ

-=-+>=,推出矛盾,从而命题得证■

2. 证 利用一致连续的定义和Riemann 可积的定义来做

因为函数在闭区间内连续,所以一致连续. 根据一致连续的定义

对0ε∀>,δ∃,12||x x δ∀-<,12|()()|f x f x ε-<

考虑可积的定义,对于一个[,]a b 分割112:...n a a a a b ∆=<<<=,11max ||i i i n

a a λ+≤<=-

下面证明:振幅函数1211

10,[,]

1

()lim

max {()}()i i n i i x x a a i w x f x a a λ+-+→∈==-∑

=0

当λδ<时,12111110

,[,]

1

1

0()lim

max {()}()()i i n n i i i i x x a a i i w x f x a a a a b λεε+--++→∈==≤=-≤-=∑

∑.

根据夹逼定理,不难得到()0w x =. 从而,命题得证■

3. 证 利用莱布尼兹交错级数:

假设;n a n π=,1

sin n

n a n a s x dx α-=⎰

考虑:

1

1

1|||||sin ||sin |n n

n

n a a n n a a s s x dx x dx αα+-+-=-⎰

⎰

1

1

1

1

[|sin ||sin |]

n n n n x x dx x

x dx ππ

ππ

αα

ππα--+-=+⎰⎰1

1

1

1

[|sin |(2)

|sin |]

n n n n x

x dx n x x dx ππ

ππ

αα

ππαπ--++=--⎰⎰

1

1

1

1

[(2)]|sin |0n n x n x x dx ππ

ααπ

απ--+=--<⎰