SAS统计之第五章-线性回归分析报告
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回归方程： yˆ ＝ a + b x
a 称为回归截距 b 称为回归系数 i 称为随机误差
第二节 线性回归方程
回归参数的计算——最小二乘法
期望拟合的线性回归方程与试验资料的误差
最小，拟合的误差也称作离回归平方和或残 差 ，可以利用数学中求极值的方法解出 a 和 b 而使得误差平方和为最小。
误差平方和：
对于任一个点有：( y y) ( y yˆ) ( yˆ y) 两边平方得：
( y y)2 ( y yˆ)2 2( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2
对数据资料所有点的求和得：
(y y)2 (y yˆ)2 2(y yˆ)( yˆ y) (yˆ y)2
三个平方和的计算公式:
总平方和: T SSy (y y)2 y2 ( y)2 / n 回归平方和: U SSr (yˆ y)2
a y bx, yˆ a bx, yˆ y bx bx, yˆ y b(x x), （yˆ y）2 b2 (x x)2 ,
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(3)式各项乘 x：a x b( x)2 / n x y / n (5)
(2)-(5)式得：b[ x2 ( x)2 / n] xy x y / n
即：b (x x)2 (x x)( y y)
于是：b (x x)( y y) / (x x)2 SPxy / SSx
第三节 回归关系的显著性检验
对所有点求和得：
(y
yˆ)( yˆ
y)
b[SPxy
SPxy SS x
SSx ]
0
于是：y 的总平方和便分解为两个部分：
(y y)2 (y yˆ)2 (yˆ y)2
y 的总平方和 误差平方和 回归平方和
T SSy
Q SSe U SSr
第三节 回归关系的显著性检验
H0 ： ＝0 vs HA： ≠0
只有在此检验结果为显著时，用 a 估计 ，用 b
估计 ，用 yˆ 估计 y 才是有意义的。
对此统计假设有两种检验方法：
F 检验法 和 t 检验法
注：df1=1，df2=n-2的一尾F值等于df=n-2的两尾t值的平方
第三节 回归关系的显著性检验
1.F检验法
第三节 回归关系的显著性检验
2.t 检验法
H0: ＝0 vs HA：≠0
选择 t 统计量: t b
其中回归系数 b
sb
其标准误:
sb
se SSx
Q n2 SSx
y yˆ 2
n2
x x 2
实例：
研究光照强度与净光合强度的关系
光照 强度X
300 700 1000 1500 2200 3000 4000 5000 6000 7000
利用下图说明F检验法的基本原理。
当自变量为 x ，对应的
y
因变量的实测值为 y，
yˆ
y y
y yˆ 因变量的预测值为 yˆ 。 yˆ y 于是 y的离均差 y y
y
可分解为两个部分：
y y ( y yˆ) ( yˆ y)
xx
离均差 随机误差 回归引起的偏差
第三节 回归关系的显著性检验
U b2 (x x)2 b2SSx bSPxy SPx2y / SSx
误差平方和: SSe SS y SSr
或 Q T U
第三节 回归关系的显著性检验
利用方差分析表
变异来源 自由度 平方和
回归
１
U
误差
n-2
Q
总变异 n-1
T
均方
sU2 se2
Ｆ值
F0.05
sU2 se2
检验结论：若F > F0.05，则存在显著的线性回归关系。
)
0
整理得正规方程组：
na b x y
a x b x2 xy
第二节 线性回归方程
解正规方程组： na b x y (1) a x b x2 xy (2)
(1)式除以 n 得： a b( x / n) y / n
(3)
于是： a y / n b( x / n) y bx (4)
证明：上式右边的中间项为0：
yˆ a bx ( y bx) bx y b(x x) 即 ( yˆ y) b(x x)
y yˆ y [( y bx) bx] 即( y yˆ) ( y y) b(x x)
( y yˆ)( yˆ y) b(x x)[( y y) b(x x)] b[(x x)( y y) b(x x)2 ]
一个变量来预测另一个变量。
一元线性回归：最简单的回归关系，即一个
变量y在一个变量x上的回归关系，称x为自变 量，y为因变量（或称响应变量、依赖变量）
第一节 一元线性回归
如果两个变量x，y之间存在线性回归关系，
则有回归模型：
总体：yi ＝ + xi + i 样本：yi ＝ a + b xi + i
净光合 强度Y
140 260 300 380 410 492 580 690 740 830
一级计算： x 30700 y 4822 x2 143670000 y2 2780764 xy 19492000 n 10
第五章 线性回归分析
一、一元线性回归 二、一元线性回归方程 三、回归关系的显著性检验 四、置信区间 五、多元线性回归 六、回归诊断
第一节 一元线性回归
生产实践中，常常能找到一个变量与另外一
个变量之间的关系：小麦的施肥量与产量、 水稻的株高和穗长、冬天的温度与来年病虫 害的发生程度等等。
回归分析就是找出合适的回归方程，从而用
线性回归方程便已求出为： yˆ a bx
第三节 回归关系的显著性检验
如果在模型 yi＝ + xi +i 中， ＝ 0，这就意味
着不管 xi为什么值， yi 都不发生实质性变化；换言 之，x和 y 之间没有显著的回归关系。
检验线性回归关系是否存在，就是检验建立回归
模型的样本是否来自存在回归关系的总体，即
n
n
Q yi yˆi 2 (yi a bxi )2
i 1
i 1
第二节 线性回归方程
n
n
Q yi yˆi 2 (yi a bxi )2
i 1
i 1
分别求Q 对a 和b 的偏导数，令其等于 0：
Q a
2
(y
a
bx)
2(
y
na
b
x)
0
Q b
2
(y
a
bx) x
2(
xy
a
x
b
x2
a 称为回归截距 b 称为回归系数 i 称为随机误差
第二节 线性回归方程
回归参数的计算——最小二乘法
期望拟合的线性回归方程与试验资料的误差
最小，拟合的误差也称作离回归平方和或残 差 ，可以利用数学中求极值的方法解出 a 和 b 而使得误差平方和为最小。
误差平方和：
对于任一个点有：( y y) ( y yˆ) ( yˆ y) 两边平方得：
( y y)2 ( y yˆ)2 2( y yˆ)( yˆ y) ( yˆ y)2
对数据资料所有点的求和得：
(y y)2 (y yˆ)2 2(y yˆ)( yˆ y) (yˆ y)2
三个平方和的计算公式:
总平方和: T SSy (y y)2 y2 ( y)2 / n 回归平方和: U SSr (yˆ y)2
a y bx, yˆ a bx, yˆ y bx bx, yˆ y b(x x), （yˆ y）2 b2 (x x)2 ,
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(3)式各项乘 x：a x b( x)2 / n x y / n (5)
(2)-(5)式得：b[ x2 ( x)2 / n] xy x y / n
即：b (x x)2 (x x)( y y)
于是：b (x x)( y y) / (x x)2 SPxy / SSx
第三节 回归关系的显著性检验
对所有点求和得：
(y
yˆ)( yˆ
y)
b[SPxy
SPxy SS x
SSx ]
0
于是：y 的总平方和便分解为两个部分：
(y y)2 (y yˆ)2 (yˆ y)2
y 的总平方和 误差平方和 回归平方和
T SSy
Q SSe U SSr
第三节 回归关系的显著性检验
H0 ： ＝0 vs HA： ≠0
只有在此检验结果为显著时，用 a 估计 ，用 b
估计 ，用 yˆ 估计 y 才是有意义的。
对此统计假设有两种检验方法：
F 检验法 和 t 检验法
注：df1=1，df2=n-2的一尾F值等于df=n-2的两尾t值的平方
第三节 回归关系的显著性检验
1.F检验法
第三节 回归关系的显著性检验
2.t 检验法
H0: ＝0 vs HA：≠0
选择 t 统计量: t b
其中回归系数 b
sb
其标准误:
sb
se SSx
Q n2 SSx
y yˆ 2
n2
x x 2
实例：
研究光照强度与净光合强度的关系
光照 强度X
300 700 1000 1500 2200 3000 4000 5000 6000 7000
利用下图说明F检验法的基本原理。
当自变量为 x ，对应的
y
因变量的实测值为 y，
yˆ
y y
y yˆ 因变量的预测值为 yˆ 。 yˆ y 于是 y的离均差 y y
y
可分解为两个部分：
y y ( y yˆ) ( yˆ y)
xx
离均差 随机误差 回归引起的偏差
第三节 回归关系的显著性检验
U b2 (x x)2 b2SSx bSPxy SPx2y / SSx
误差平方和: SSe SS y SSr
或 Q T U
第三节 回归关系的显著性检验
利用方差分析表
变异来源 自由度 平方和
回归
１
U
误差
n-2
Q
总变异 n-1
T
均方
sU2 se2
Ｆ值
F0.05
sU2 se2
检验结论：若F > F0.05，则存在显著的线性回归关系。
)
0
整理得正规方程组：
na b x y
a x b x2 xy
第二节 线性回归方程
解正规方程组： na b x y (1) a x b x2 xy (2)
(1)式除以 n 得： a b( x / n) y / n
(3)
于是： a y / n b( x / n) y bx (4)
证明：上式右边的中间项为0：
yˆ a bx ( y bx) bx y b(x x) 即 ( yˆ y) b(x x)
y yˆ y [( y bx) bx] 即( y yˆ) ( y y) b(x x)
( y yˆ)( yˆ y) b(x x)[( y y) b(x x)] b[(x x)( y y) b(x x)2 ]
一个变量来预测另一个变量。
一元线性回归：最简单的回归关系，即一个
变量y在一个变量x上的回归关系，称x为自变 量，y为因变量（或称响应变量、依赖变量）
第一节 一元线性回归
如果两个变量x，y之间存在线性回归关系，
则有回归模型：
总体：yi ＝ + xi + i 样本：yi ＝ a + b xi + i
净光合 强度Y
140 260 300 380 410 492 580 690 740 830
一级计算： x 30700 y 4822 x2 143670000 y2 2780764 xy 19492000 n 10
第五章 线性回归分析
一、一元线性回归 二、一元线性回归方程 三、回归关系的显著性检验 四、置信区间 五、多元线性回归 六、回归诊断
第一节 一元线性回归
生产实践中，常常能找到一个变量与另外一
个变量之间的关系：小麦的施肥量与产量、 水稻的株高和穗长、冬天的温度与来年病虫 害的发生程度等等。
回归分析就是找出合适的回归方程，从而用
线性回归方程便已求出为： yˆ a bx
第三节 回归关系的显著性检验
如果在模型 yi＝ + xi +i 中， ＝ 0，这就意味
着不管 xi为什么值， yi 都不发生实质性变化；换言 之，x和 y 之间没有显著的回归关系。
检验线性回归关系是否存在，就是检验建立回归
模型的样本是否来自存在回归关系的总体，即
n
n
Q yi yˆi 2 (yi a bxi )2
i 1
i 1
第二节 线性回归方程
n
n
Q yi yˆi 2 (yi a bxi )2
i 1
i 1
分别求Q 对a 和b 的偏导数，令其等于 0：
Q a
2
(y
a
bx)
2(
y
na
b
x)
0
Q b
2
(y
a
bx) x
2(
xy
a
x
b
x2