相似三角形的性质及其应用
相似三角形的性质和实际应用
相似三角形的性质和实际应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它有着广泛的实际应用。
本文将介绍相似三角形的性质以及在实际生活中的应用。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同的形状但大小不同的三角形。
相似三角形的性质有以下几点：1.对应角相等：如果两个三角形的三个内角分别对应相等，则它们是相似三角形。
例如，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。
2.对应边成比例：相似三角形中，对应边的长度成比例。
即如果两个三角形的两个对应边的比值相等，则它们是相似三角形。
例如，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。
3.周长比例：相似三角形的周长之比等于对应边长度之比。
设两个相似三角形的周长分别为L1和L2，对应边长度之比为k，则有L1/L2=k。
4.面积比例：相似三角形的面积之比等于对应边长度平方的比值。
设两个相似三角形的面积分别为S1和S2，对应边长度之比为k，则有S1/S2=k²。
二、相似三角形的实际应用1.测量高度：相似三角形的性质可以在测量高度时应用。
例如，在测量一座高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量自己的身高及影子的长度，然后利用身高与影子的长度之比，以及高楼与其影子的长度之比，计算出高楼的高度。
2.影视特技：在电影、电视剧等影视制作中，有时需要通过特技手法来表现出高楼倒塌等场景。
这时，可以利用相似三角形的性质，制作比例缩小的模型，然后通过摄影机的角度选择和镜头拉远，使得模型在电影中看起来像真实的大楼倒塌一样。
3.地图测量：在地图制作和测量工作中，也经常使用相似三角形的原理。
通过测量地面上的一段距离和其在地图上的投影长度，可以得到地面与地图的比例，从而便于进行地图上其他地点的距离估算。
4.影像重建：在计算机视觉和计算机图形学领域，相似三角形的概念也被广泛应用。
通过计算图像中物体的相似三角形关系，可以进行三维模型的重建，实现计算机生成的虚拟现实场景。
相似三角形的性质与应用
相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中一个重要的概念，它在解决各个数学问题中起到了关键的作用。
本文将介绍相似三角形的性质以及在实际应用中的运用。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。
根据这个定义，我们可以得到相似三角形的一些重要性质。
1. AA相似定理：若两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形相似。
这个定理可以用来判断两个三角形是否相似，从而简化了计算。
2. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形相似。
这个定理说明了对应角相等是相似三角形的充分条件。
3. 相似三角形的对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即对应边的比值相等。
这个性质可以用来求解相似三角形的边长。
二、相似三角形的应用相似三角形的应用非常广泛，涉及到几何、数学和物理等多个领域。
下面列举了一些常见的应用场景。
1. 测量高度：当我们无法直接测量一个高大物体（如树或大楼）的高度时，可以利用相似三角形的性质来计算。
具体的步骤包括：在地面上选取一个适当的距离和角度，测量该距离所对应的高度与距离的比值；然后测量眼睛与地面的高度与测量距离的比值；最后利用相似三角形的对应边成比例的性质，可以计算出物体的实际高度。
2. 相似图形的绘制：在绘制图形时，我们可以利用相似三角形的性质进行比例放大或缩小。
例如，当要将一个城市的地图缩小到一张纸上时，可以通过选取一些关键点的坐标，然后利用相似三角形的对应边成比例的性质，将实际尺寸转换为纸上的尺寸，从而绘制出相似的地图。
3. 解决几何问题：相似三角形的性质在解决几何问题中起到了重要的作用。
例如，当我们需要计算一个不规则图形的面积时，可以利用相似三角形的面积比来简化计算。
此外，在解决直角三角形的问题时，相似三角形的性质也常常被使用。
4. 推导物体的相似性：在物理学中，我们经常需要推导物体的相似性。
比如，在计算机图形学中，我们可以通过计算两个物体的相似三角形，从而得出它们的相似性，并进行进一步的分析和计算。
相似三角形的性质及应用用
通过将相似三角形组合起来，可以创 造出各种具有对称性和美感的几何图 案。这些图案在建筑设计、装饰艺术 和纺织品设计中都有广泛应用。
利用相似三角形解决实际问题
总结词
相似三角形的性质在解决实际问题中具有广泛的应用，如工程测量、航海、航空等。
详细描述
在工程测量中，可以利用相似三角形来计算物体的高度、长度等参数。在航海和航空领域，可以利用相似三角形 来计算航行距离、高度和方向等数据。这些应用都基于相似三角形的性质，能够提供精确和可靠的测量结果。
相似比
相似三角形对应边的比值称为相 似比。
性质
对应角相等
面积比等于相似比的平方
相似三角形的对应角相等，即$angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$。
相似三角形的面积比等于其相似比的 平方，即$frac{S_1}{S_2} = (frac{a_1}{a_2})^2$。
相似三角形的对应边长之比是一个常数，这个常数被称为 相似比。
总结相似三角形的性质和应用
• 面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于其 相似比的平方。
总结相似三角形的性质和应用
测量
在几何测量中，相似三角形是解 决实际问题的重要工具，如计算
建筑物的高度、河的宽度等。
建筑设计
在建筑设计领域，相似三角形可用 于确定建筑物的比例和尺寸，以实 现美观和功能性的平衡。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例，即 $frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2}$。
相似三角形的判定条件
01
02
相似三角形的性质及应用
相似三角形的性质及应用1.相似三角形对应角 ，对应边 。
2.相似三角形的周长比等于 ；相似三角形的面积比等于 ；3. 相似多边形形的周长比等于 ；相似多边形的面积比等于 ；4.应用：利用相似三角形的性质和判定常见的题型是： （1）求证比例式或等积式。
（2）求线段的长度 （3）求周长或面积（4）求函数关系的解析式（5）与函数结合，形成几何与代数的综合题。
习 题1.如图已知，弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P ，求证：PA ·PB ＝PC ·PD2.如图P 是⊙O 外的⊙O 一点，割线PAB 和PCD 分别交⊙O 于A,B 和C,D. 求证：PA ·PB ＝PC ·PD3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D ，求证：CD 2＝AD ·4.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AD 是高，AE 是⊙O 的直径，且AB=5,AC=3,AD=2.求直径AE 的长。
P D·OD C B A · OED C B A5．如图，ABCD 中，M 是AB 上的一点，连结CM 并延长交DA 的延长线于P ，交对角线BD 于N ，求证：NP MN CN ⋅=26.已知如图，正方形ABCD 的边长是4，P 是CD 的中点，Q 是线段BC 上异于B 的一点，当BQ 为何值时，△ADP ∽△QCP.7.已知：如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F,连接FC ，（AB>AE ）△AFE 与△EFC 相似吗？若相似,证明你的结论;若不相似，请你说明理由。
8.已知零件的外径为25cm ，要求它的厚度x ，需先求出它的内孔直径AB ，现用一个交叉卡钳(AC 和BD 的长相等)去量(如图)，若OA ∶OC=OB ∶OD=3，CD=7cm. 求此零件的厚度x .9、如图，ΔABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，AB=5cm ，BE=3cm ， 求EC 的长.D C B A PQ A B C D EF10..如图，DE ∥BC ，S ΔDOE ∶S ΔCOB =4∶9，求AD ∶BD.11、如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，梯脚B 距墙脚1.6m ，梯上点D 距墙1.4m ，BD 长0.55m ，求该梯子的长。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边的比叫做相似比。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：相似三角形的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边的长度之比等于相似比。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
这些性质是解决相似三角形应用问题的基础，我们需要熟练掌握并能够灵活运用。
二、相似三角形在测量中的应用1、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量一些物体的高度，如大树、高楼等。
当直接测量高度有困难时，可以利用相似三角形的原理来解决。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的地面上选择一点 A，然后在 A 点处直立一根标杆 CD，测量出标杆的长度 CD 以及标杆顶端 D 与树顶 E 的仰角∠DAE 和∠DBC。
由于标杆与地面垂直，大树也与地面垂直，所以三角形 ADE 和三角形 ABC 相似。
根据相似三角形对应边成比例，可得：AB ／ AD ＝ BC ／ DE已知 AB、AD、BC 的长度，就可以求出大树的高度 DE。
2、测量距离相似三角形还可以用于测量无法直接到达的两点之间的距离。
比如，要测量一条河的宽度。
可以在河的一侧选择一点 A，在对岸选择一点 B，然后在 A 点所在的岸边选择另一点 C，使得 AC 与河岸垂直。
再在 AC 上选择一点 D，使得∠ADB ＝∠ABC。
此时三角形ABD 和三角形 ABC 相似。
通过测量 AC、AD 的长度以及∠ADB 的度数，就可以根据相似三角形的性质求出河的宽度 AB。
三、相似三角形在几何证明中的应用在几何证明题中，常常会遇到需要证明两个三角形相似的情况。
这时，我们需要根据已知条件寻找三角形相似的条件。
常见的证明三角形相似的方法有：1、两角对应相等的两个三角形相似。
相似三角形的性质与应用
相似三角形的性质与应用相似三角形是初中数学中的重要概念，它们具有一些特定的性质和各种应用。
本文将介绍相似三角形的性质，以及在实际问题中如何应用相似三角形来解决一些实际问题。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但大小不一的两个三角形。
相似三角形具有以下几个基本性质：1. 对应角相等性质：相似三角形中的对应角相等，即相等角所对的边成比例。
例如，若∠A≌∠D，则边AB与边DE的比等于边AC与边DF的比，即AB/DE = AC/DF。
2.对应边成比例性质：相似三角形中的对应边成比例，即边的比和角的比之间成立。
例如，若AB/DE = AC/DF，则∠A≌∠D。
3.三角形的扩大缩小性质：相似三角形中，如果一个三角形的边与另一个三角形的边成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果AB/DE = AC/DF且BC/EF = AC/DF，则三角形ABC与三角形DEF相似。
二、相似三角形的应用相似三角形在实际问题中具有广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用：1.测量高度：相似三角形可用于测量无法直接测量的高度。
例如，当直接无法测量一座建筑物的高度时，可以利用相似三角形原理，在地面上测量一个已知距离的长度，然后观察建筑物的倾斜角度，从而利用相似三角形的比例关系计算出建筑物的高度。
2.计算距离：相似三角形还可用于计算距离。
例如，当无法直接测量两个不相邻点之间的距离时，可以利用相似三角形与已知距离的比例关系计算出所需距离。
3.设计工程：在设计工程中，相似三角形可用于模拟大规模结构的小规模模型。
通过将真实结构缩小成模型，可以通过相似三角形的比例关系获得有关真实结构的信息，从而进行有效的设计和分析。
4.地图测绘：在制作地图时，为了将真实距离转换为地图上的距离，可利用相似三角形的比例关系来缩放。
这样可以保持地图的比例并准确表示真实距离。
总结：相似三角形的性质和应用是初中数学中的重要内容。
准确理解相似三角形性质，并能灵活运用到实际问题中，能够帮助我们解决许多几何和测量方面的困难。
相似三角形性质的应用PPT课件
通过相似三角形，可以将地球上的大范围区域缩小到地图上，方便人们理解和研究 地理分布和特征。
地图绘制中的比例尺就是利用相似三角形的原理，将实际距离按照一定比例缩小到 地图上。
在物理实验中的应用
在物理实验中，常常需要利用 相似三角形来测量和计算各种 物理量，例如力、速度、加速 度等。
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(CA/FD)^2。
相似三角形的判定方法
01
02
03
平行线判定法
如果一个三角形与另一个 三角形的一边平行且等于 这边上的一个线段，则这 两个三角形相似。
角角判定法
如果两个三角形有两个对 应的角相等，则这两个三 角形相似。
利用相似三角形解决长度问题
总结词
通过相似三角形的性质，可以解决一些长度问题，如求线段长度ຫໍສະໝຸດ 判断线段大小关系等。详细描述
利用相似三角形的对应边成比例性质，可以通过已知线段长度求解未知线段长度，或者判断线段的大小关系。例 如，在解题过程中，可以通过构建相似三角形，利用对应边成比例的特点，将未知线段长度转化为已知线段长度， 从而求解问题。
相似三角形与面积
相似三角形的面积比等于其对应边长的平方 比。
相似三角形与角平分线
角平分线将相对边分为两段，与角平分线所 形成的两个小三角形相似。
实际问题实例
测量问题
建筑设计
利用相似三角形的性质，可以方便地测量 无法直接到达的物体的高度或距离。
在建筑设计过程中，可以利用相似三角形 的性质来计算建筑物的尺寸和角度，以确 保建筑物的外观和稳定性。
相似三角形的性质和应用
相似三角形的性质和应用北京四中一、相似形的性质 1． 相似三角形的性质两个三角形相似，则它们的（1）对应角相等，对应边的比相等；——根据定义（2）对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； （3）周长比等于相似比；——容易证明（4）面积比等于相似比的平方．——需（2）成立 重点证明性质（2）如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的高， 求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的中线， 求证：:=:AD A D AB A B ''''．如图，ABC A B C '''△△∽，AD A D ''、分别是它们的角平分线， 求证：:=:AD A D AB A B ''''．2． 相似多边形的性质： 相似多边形的（1）对应角相等，对应边的比相等．（2）周长比等于相似比．（3）面积比等于相似比的平方．二、例题分析例1．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF与△ABC的周长之比为，面积之比等于．例2．如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC.上，Q在BC上，（1）当△PQC的面积与四边形P ABQ的面积相等时，求PC的长；（2）当△PQC的周长与四边形P ABQ的周长相等时，求PC的长．=12，两动点M、N分别在边AB、AC 例3．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y，（1）分别写出三个图中的面积y与边长x之间的函数关系式及x的取值范围；（2）当x= ，y有最大值．三、应用举例测量旗杆的高度平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法例1.如图，小明站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）．例2．如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH=5 米．如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度（精确到0.1米）．四、知识总结学习几何知识的一般思路：。
相似三角形的性质及应用(解析版)
4.5相似三角形的性质及应用一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 二、三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段.OEFDABC即12OD OE OF OA OB OC === . 要点：H OEFDAB C过点E 作EH ∥BC 交AD 于H ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2EH ，从而得到BD=2EH ，再根据△BDO 和△EHO 相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证1=2OE HE OB BD ，同理其他比例也可以得到． 三、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC 、BD 、CE 的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB 的长.2．如乙图所示，可先测AC 、DC 及DE 的长，再根据相似三角形的性质计算AB 的长.要点：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 一、单选题1．两三角形的相似比是2：3，则其对应角的角平分线之比是（ ） A ．2:3 B ．2：3 C ．4：9 D ．8：27 【解答】B【提示】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴相似三角形对应角平分线的比是2：3，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角平分线的比，对应高的比，对应中线的比都等于相似比的性质．2．已知ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2，若BC 边上的中线长为1，则EF 边上的中线长是（ ） A ．2 B ．2 C ．3D ．4【解答】A【提示】由ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2可知：相似比为1:2，则对应中线的比为1:2，即可求出答案．【详解】∵ABC DEF ∽△△，ABC 与DEF 的面积之比为1：2 ∴相似比为1:2 ∴其对应中线的比为1:2 ∵BC 边上的中线长为1 ∴EF 边上的中线长是2 故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的相似比的相关知识点，熟练掌握相似三角形面积比、相似比、对应边的高线、中线的比的关系是解题的关键，属于基础知识题．3．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）．A ．AD DEAB BC =； B ．AD AE AC AB =；C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅． 【解答】D【提示】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断． 【详解】解：A 、∵AD DEAB BC =，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AE AC AB =EAD BAC ∠=∠， ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DEBC AD =，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误；D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AEAB AC ∴=，EAD BAC ∠=∠， DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似． 4．已知ABC 与DEF 相似，且A D ∠=∠，那么下列结论中，一定成立的是（ ） A ．B E ∠=∠ B ．AB ACDE DF =C ．相似比为AB DED ．相似比为BCEF【解答】D【提示】根据相似三角形的性质对不同的对应角和对应边进行分类讨论．【详解】解：∵B 可以与E 对应，也可以与F 对应，∴∠B=∠E 或∠B=∠F ，A 不一定成立； 同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴AB AC DE DF =或AB ACDF DE =，B 不一定成立；同上，AB 可以与DE 对应，也可以与DF 对应，∴相似比可能是AB DE ，也可能是ABDF ，C 不一定成立；∵∠A=∠D ，即∠A 与∠D 是对应角，∴它们的对边一定是对应比，即BC 与EF 是对应比，∴相似比为BCEF ，∴D 一定成立， 故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意相似三角形的性质是针对对应角和对应边而言的． 5．如图，小明站在 C 处看甲、乙两楼楼顶上的点 A 和点 E ．C ，E ，A 三点在同一直线上，B ，C 相距 20 米，D ，C 相距 40 米，乙楼的高 BE 为 15 米，小明的身高忽略不计，则甲楼的高 AD 为 （ ）A ．40 米B ．20 米C ．15 米D ．30 米【解答】D【提示】证明ADC EBC ∽△△，利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：90ADC ∠=︒，90EBC ∠=︒，C ∠是公共角，∴ADC EBC ∽△△， ∴AD DCEB BC =， ∵20m BC =，40m DC =，15m BE =， ∴40=15=30m 20DC AD EB BC =⨯⨯．故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及性质． 6．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=，CD AB ⊥垂足为D ，那么下列结论错误的是（ ）A ．22AC BD BC AD ⋅=⋅B ．22BC BD CD AB ⋅=⋅C ．AD BC AC CD ⋅=⋅ D ．CD BC AC BD ⋅=⋅ 【解答】B【提示】根据直角三角形的性质与相似三角形的判定可知△ADC ∽△CDB ∽△ACB ，利用相似三角形的对应线段成比例即可求解. 【详解】∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ， ∴△ADC ∽△CDB ∽△ACB ∴AC2=AD·AB ，BC2=BD·AB ，故22AC BD BC AD ⋅=⋅，A 正确，B 错误；∵△ADC ∽△CDB∴AD AC CDCD BC BD == ∴AD BC AC CD ⋅=⋅，CD BC AC BD ⋅=⋅,C,D 选项正确； 故选B.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质及相似三角形的判定.7．如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=14AC ．连接DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则ADG BGHS S △△的值为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．1【解答】C【提示】首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得223924ADC BAC BGHBGHS S BA SSBG （）（）====,13ADG ADCSS=，由此即可解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，DC=AB ， ∵AC=CA ， ∴△ADC ≌△CBA ， ∴S △ADC=S △ABC ，∵AE=CF=14AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3， ∴AG ：AB=CH ：BC=1：3， ∴GH ∥AC ， ∴△BGH ∽△BAC ， ∴223924ADC BAC BGHBGHS S BA S SBG （）（）====，∵13ADG ADCS S=，∴913434ADG BGHS S=⨯=.故选C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8．如图，在正方形ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP 、AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是（ ）A ．AE=2DEB ．CFP APHC ．CFP APCD ．2CP PH PB =⋅【解答】C【提示】A.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题． B.根据两角相等两个三角形相似即可判断．C.通过计算证明∠DPB≠∠DPF ，即可判断．D.利用相似三角形的性质即可证明． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°， ∵△ABP 是等边三角形， ∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°， ∴∠DAE=30°， ∴AE=2DE ，故A 正确; ∵AB ∥CD ，∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°， 又∵BC=BP ，∠PBC=30°， ∴∠BPC=∠BCP=75°， ∴∠CPF=105°，∴∠PHA=∠CPF ，又易得∠APB=∠CFP=60°， ∴△CFP ∽△APH ，故B 正确; ∵∠CPB=60°+75°=135°≠∠DPF ， ∴△PFC 与△PCA 不相似，故C 错误; ∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°， ∴∠PCH=∠PBC ， ∵∠CPH=∠BPC ， ∴△PCH ∽△PBC ，∴PC PHPB PC =,∴PC2=PH•PB ，故D 正确， 故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图所示，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、BC 上的点，且//DE AC ，AE 、CD 相交于点O ．若45::2DOE COA S S ∆∆=，则BDES ∆与CDE S ∆的比是（ ）A ．1：2B ．1： 3C ．2：3D ．2：5 【解答】C【提示】利用相似三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵//DE AC ， ∴DEO CAO ∆∆∽， ∵45::2DOE COA S S ∆∆=，∴2425DE AC ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴25DE AC =， ∵//DE AC ， ∴25BE DE BC AC ==， ∴23BE EC =，∴BDES ∆与CDE S ∆的比2:3=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．10．如图，正方形ABCD 和正方形CGFE 的顶点,,C D E 在同一条直线上，顶点, ,B C G 在同一条直线上．O 是EG 的中点，EGC ∠的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接FH 交EG 于点M ，连接OH 交EC 于点N ．则BCCG 的值为（ ）A ．31-B ．3C ．21-D ．2【解答】C【详解】∵四边形ABCD 和四边形CGFE 是正方形，,,BC DC CE CG BCE DCG ∴==∠=∠．在BCE和DCG △中，,,(),,BC DC BCE DCG BCE DCG SAS BEC BGH CE CG =⎧⎪∠=∠∴∴∠=∠⎨⎪=⎩≌．90BGH CDG ∠+∠=︒，,90CDG HDE BEC HDE ∠=∠∴∠+∠=︒．GH BE ∴⊥．GH 平分,EGC BGH EGH ∠∴∠=∠．()BGH EGH ASA ∴≌．BH EH ∴=．又O 是EG 的中点，//HO BG ∴．D C DHN G ∴∽△△．DN HN DC CG ∴=．设HN a =，正方形ECGF 的边长是2b ，则2BC a =，22,,22b a aCD a NC b a b -==∴=，即2220a ab b +-=，解得(12)a b =-+或(12)a b =--（舍去），则221,212a BCb CG =-∴=-．二、填空题11．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________． 【解答】3：5【提示】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案． 【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：25 ∴两个相似三角形的相似比是3：5 ∴对应边上的中线的比为3：5 故答案为：3：5．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 12．如图，△ABC ∽△CBD ，AB=9，BD=25，则BC=______．【解答】15【提示】根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵△ABC ∽△CBD ，∴AB CBCB BD =，即2BC AB BD =⨯， AB=9，BD=25，2292522515BC AB BD ∴=⨯=⨯==，15BC =∴， 故答案为：15【点睛】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键． 13．一个三角形三边长度之比为2：5：6，另一个与它相似的三角形最长边为24，则三角形的最短边为_________． 【解答】8【提示】首先设与它相似的三角形的最短边的长为x ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程，解此方程即可求得答案．【详解】解：设与它相似的三角形的最短边的长为x ，则 2624x =，∴8x =；∴三角形的最短边为8． 故答案为：8．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用．14．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF AE ⊥交DC 于点F ．若4AB =，6BC =，则DF 的长为______．【解答】74【提示】结合矩形的性质证明BAECEF ∆∆可求得CF 的长，再利用DF CD DF =-可求解．【详解】解：四边形ABCD 为矩形，90B C ∴∠=∠=︒，4CD AB ==，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，EF AE⊥，90AEF∴∠=︒，90AEB CEF∴∠+∠=︒，BAE CEF∴∠=∠，BAE CEF∴∆∆，::AB CE BE CF∴=，E是BC的中点，6BC=，3BE CE∴==，4AB=，4:33:CF∴=，解得94CF=，97444DF CD DF∴=-=-=．故选：7 4．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明BAE CEF∆∆是解题的关键．15．用杠杆撬石头的示意图如图所示，P是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕P点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起8cm，已知杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压_____cm．【解答】32【提示】首先根据题意画出图形，然后根据△APM∽△BPN有AP AMBP BN=，然后再利用动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1和8BN≥即可求出AM的最小值．【详解】解：如图：AM、BN都与水平线垂直，即AM∥BN；∴△APM∽△BPN；∴APBP＝AMBN，∵杠杆的动力臂AP与阻力臂BP之比为4：1，∴AMBN＝41，即AM＝4BN；∴当BN≥8cm时，AM≥32cm；故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点A 向下压32cm ． 故答案为：32．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 16．如图，已知,20,60AB BC ACBAD DAE AD DE AE ︒︒==∠=∠=，则DAC ∠的度数为_________．【解答】40°【提示】由AB BC ACAD DE AE ==可判定△ABC ∽△ADE ，得到∠BAC=∠DAE ，再根据20BAD ︒∠=，60DAE ︒∠=，可得出∠DAC 的度数.【详解】解：∵AB BC ACAD DE AE ==， ∴~ABC ADE ， ∴60BAC DAE ︒∠=∠=， 又∵20BAD ︒∠=， ∴40DAC ︒∠=． 故答案为：40°.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能根据AB BC ACAD DE AE ==判定出△ABC ∽△ADE.17．如图，已知在ABC 中，90C ∠=︒，10AB =，1cot 2B =，正方形DEFG 的顶点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长为_____．【解答】207【提示】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，由勾股定理可得出AB ，由面积法求出CM ，证明△CGF ∽△CAB ，再根据对应边成比例，即可得出答案． 【详解】作CM ⊥AB 于M ，交GF 于N ，如图所示： ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，1cot B 2=，∴设BC ＝k ，则AC ＝2k ，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k ）2＋k2，解得：k ＝25， ∴BC ＝25，AC ＝45， ∴CM ＝AC BC AB ⋅＝452510⨯＝4，∵正方形DEFG 内接于△ABC ， ∴GF ＝EF ＝MN ，GF ∥AB ， ∴△CGF ∽△CAB ，∴CN GF =CM AB ，即4EF EF410-=， 解得：EF ＝207；故答案为：207．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．【解答】 234【提示】如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，由面积和差关系可求3BCF S ∆=，通过证明ABE CBF ∆∆∽，可得2()ABE BCF S AB S BC∆∆=，可求2EH =，由勾股定理可求AE ，BE ，EF 的长，通过证明BEH EFQ ∆∆∽，可得2BE EH BH EF QF EQ ===，可求22EQ =，2QF =，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，过点E 作EH AB ⊥于H ，过点F 作FQ AC ⊥，交AC 的延长线于Q ，90ACB ∠=︒，AC BC =，2AB BC ∴，=6AB ，32AC BC ∴==四边形ABFC 的面积为12，12ABC BCF S S ∆∆∴+=， 3BCF S ∆∴=，等腰Rt BEF ∆，2BE BF ∴，45EBF∠=︒，=45ABC ∠︒，ABE CBF ∴∠=∠，2AB BE BC FB == ABE CBF ∴∆∆∽，∴2()ABE BCF S AB S BC ∆∆=， 326ABE S ∆∴=⨯=，∴162AB EH ⨯=，2EH ∴=，45CAB ∠=︒，EH AB ⊥，45CAB AEH ∴∠=∠=︒，2AH EH ∴==，222AE EH ==，4BH ∴=，2CE =，2221825BE CE BC ∴=+=+=，10EF ∴=，180AEH BEH FEB QEF ∠+∠+∠+∠=︒， 90BEH FEQ ∴∠+∠=︒，且90BEH EBH ∠+∠=︒EBH QEF ∴∠=∠，且90Q BHE ∠=∠=︒，BEH EFQ ∴∆∆∽， ∴2BE EH BHEF QF EQ ===， 22EQ ∴=，2QF =， 42AQ ∴=，2232234AF AQ QF ∴=+=+=，故答案为：22，34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用相似三角形的性质求出EH 的长是本题的关键．三、解答题19．如图，在ABP 中，C ，D 分别是,AP BP 上的点．若4,5,6,3CD CP DP AC BD =====．(1)求证：ABP DCP ∽△△； (2)求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)AB＝8【提示】（1）△ABP与△DCP有公共角，分别计算PDPC与APBP的值，得到PD PCPA PB=，根据相似三角形的判定定理得出结论；（2）运用相似三角形的性质计算即可．（1）证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，∴54PDPC=，10584APBP==，∴PD APPC BP=，即PD PCPA PB=，∵∠DPC＝∠APB，∴△ABP∽△DCP；（2）解：∵△ABP∽△DCP，∴AB PBCD PC=，即844AB=，∴AB＝8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，属于基础题．解决问题的关键是掌握：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．20．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．(1)求证：△AEF∽△CBF；(2)若BE⊥AC，求AE：ED．【解答】(1)见解析(2)1：3【提示】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=12x，则DE=32x，从而可计算出AE：DE．（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△CBF；（2）设AB=x，则BC=2x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，∵BE⊥AC，∴∠AFB=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠ABF=∠ACB，∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，∴△ABE∽△BCA，∴AE ABAB BC=，即2AE xx x=，∴AE=12x，∴DE=AD-AE=32x，∴AE：DE=13:22x x=1：3．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．21．如图，为了测量平静的河面的宽度EP，在离河岸D点3.2米远的B点，立一根长为1.6米的标杆AB，在河对岸的岸边有一根长为4.5米的电线杆MF，电线杆的顶端M在河里的倒影为点N，即PM PN=，两岸均高出水平面0.75米，即0.75DE FP==米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N N共线，点B、D、F共线，若AB、DE、MF均垂直与河面EP，求河宽EP是多少米？【解答】河宽为12米【提示】连接DF ，根据题意可得出四边形DEPF 为矩形，由ADB NDF ∽△△可求得DF ，便可解决问题．【详解】解：如图，连接DF ，∵点B 、D 、F 共线，DE 、MF 均垂直与河面EP ，且0.75DE FP ==， 4.5MF =， ∴四边形DEPF 为矩形， ∴DF EP =，∴ 4.50.75 5.25PN FM FP =+=+=， ∴ 5.250.756FN PN FP =+=+=， ∵AB 、DE 、MF 均垂直与河面EP ， ∴90ABD NFD ∠=∠=︒， ∵ADB NDF ∠=∠， ∴ADB NDF ∽△△； ∴AB NFBD DF =， ∵ 1.6AB =， 3.2BD =， ∴1.663.2DF =，∴12DF =， ∴12EP =（米）． 答：河宽EP 是12米．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的判定和性质等知识．关键是构造和证明三角形相似．22．如图，已知AD ，BC 相交于点E ，且△AEB ∽△DEC ，CD ＝2AB ，延长DC 到点G ，使CG ＝12CD ，连接AG ．(1)求证：四边形ABCG 是平行四边形；(2)若∠GAD ＝90°，AE ＝2，CG ＝3，求AG 的长． 【解答】(1)证明见解析； (2)35AG =【提示】（1）根据相似三角形的性质可得AB ∥CD ，再由CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，可得AB ＝CG ，即可证明；（2）由平行四边形的性质可得AG ∥BC ，可得∠AEB ＝90°，再由CG ＝3可得AB ＝3，利用勾股定理可得BE ，再由相似三角形的性质可得CE ，从而得出BC ，即可求解． （1）证明：∵△AEB ∽△DEC ， ∴∠B ＝∠BCD ， ∴AB ∥CD ， 即AB ∥CG ，∵CD ＝2AB ，CG ＝12CD ，∴AB ＝CG ，∴四边形ABCG 是平行四边形； （2）解：∵四边形ABCG 是平行四边形，AE ＝2，CG ＝3， ∴AG ∥BC ，AG ＝BC ，AB ＝CG ＝3， ∵∠GAD ＝90°， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得：BE 22AB AE -即BE ＝22325-=，∵△AEB ∽△DEC ， ∴12BE AB CE CD ==， ∴CE ＝25，∴BC ＝BE+CE ＝35， ∴AG ＝BC ＝35．【点睛】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．23．如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点E 是边AC 上一点，且满足ADE B ∠=∠．(1)证明：ADB AED ∆∆；(2)若3AE =，5AD =，求AB 的长． 【解答】(1)见解析(2)253【提示】（1）证出∠BAD=∠EAD ．根据相似三角形的判定可得出结论； （2）由相似三角形的性质可得出AD ABAE AD =，则可得出答案． （1）∵AD 是∠BAC 的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD ． ∵∠ADE=∠B ， ∴△ADB ∽△AED ． （2）∵△ADB ∽△AED ， ∴AD ABAE AD =，∵AE=3，AD=5， ∴535AB =， ∴253AB =． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ．求证：2CF GF EF =⋅．【解答】见解析【提示】根据平行四边形的性质得到AD BC ∥，AB CD ∥，得到△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥，AB CD ∥，∴△DFG ∽△BFC ，△DFC ∽△BFE ∴GF DF CF BF =，CF DFEF BF =， ∴GF CFCF EF =， 即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．如图，已知cm,cm,23,36,117AD a AC b BC AC B D ===∠∠=︒=︒，ABC DAC △∽△．（1）求AB 的长；（2）求DC 的长； （3）求BAD ∠的度数．【解答】（1）32cm a ；（2）2cm3b ；（3）153︒【提示】（1）由ABC DAC △∽△，可得：,AB BCAD AC =再代入数据可得答案；（2）由ABC DAC △∽△，可得：,AC BCDC AC =再代入数据可得答案；（3）由ABC DAC △∽△，可得：117,36,BAC D B DAC ∠=∠=︒∠=∠=︒再利用角的和差可得答案； 【详解】解：（1）23,,BC AC AD a ==3,2BC AC ∴= ABC DAC △∽△，,AB BCAD AC ∴= 3,2AB a ∴= 3.2AB a ∴=（2） ABC DAC △∽△，,AC BCDC AC ∴= 而3,,2BC AC b AC == 3,2b DC ∴=2.3DC b ∴=（3） ABC DAC △∽△，36,117,B D ∠=︒∠=︒117,36,BAC D B DAC ∴∠=∠=︒∠=∠=︒11736153.BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键.26．如图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 交于点F ．点E 在BD 上，且BAE CAD ∠=∠，AB ACAE AD =．(1)求证：ABC AED ∽△△． (2)若20BAE ∠=︒，求∠CBD 的度数． 【解答】(1)证明见解析 (2)20︒【提示】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等，两个三角形相似，即可证明．（2）根据（1）中ABC AED ∽△△，得出ADB ACB ∠=∠，再根据对顶角相等，AFD BFC ∠=∠，证得AFD BFC ∽△△，得出CBD CAD BAE ∠=∠=∠，即可求解． （1）∵BAE CAD ∠=∠∴BAE EAF CAD EAF ∠+∠=∠+∠， ∴BAC DAE ∠=∠， AB ACAE AD =，∵在ABC 和AED △中， AB ACAE AD BAC DAE ⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC AED ∽△△． （2）∵ABC AED ∽△△， ∴ADB ACB ∠=∠，又∵AFD BFC ∠=∠，对顶角相等，∴AFD BFC ∽△△， ∴CBD CAD ∠=∠，∵BAE CAD ∠=∠，20BAE ∠=︒，∴20CAD ∠=︒， 故答案为：20︒．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 27．如图，四边形ABCD 为正方形，且E 是边BC 延长线上一点，过点B 作BF ⊥DE 于F 点，交AC 于H 点，交CD 于G 点．(1)求证：△BGC ∽△DGF ； (2)求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； (3)若点G 是DC 中点，求GFCE 的值．【解答】(1)见解析 (2)见解析 (3)5GF CE=【提示】（1）由正方形性质和题干已知垂直条件得直角相等，后由对顶角相等，进而得到△BGC ∽△DCF ．（2）由第一问的结论可得到相似比，既有DG BC DF BG ⋅=⋅，然后因为正方形四边相等，进行等量代换即可求出证明出结论．（3）通过ASA 判定出△BGC ≌△DEC ，进而根据第一问结论可得△BGC ∽△DGF ，然后通过相似比设未知数，赋值CG x =，即可求出GFCE 的值．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90BCD ADC ∠=∠=︒ ∵BF DE ⊥ ∴90GFD ∠=︒ ∴BCD GFD ∠=∠，又∵BGC DGF ∠=∠， ∴△BGC ∽△DCF ． （2）证明：由（1）知△BGC ∽△DGF ， ∴BG BCDG DF =， ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅． （3）解：由（1）知△BCC ∽△DGF ， ∴FDG CBG ∠=∠，在△BGC 与△DEC 中，,{,=,CBG CDE BCG DCE BC CD ∠=∠∠=∠ ∴△BGC ≌△DEC （ASA ） ∴CG EC = ∵G 是CD 中点 ∴CG DG = ∴::GF CE CF DC = ∵△BGC ∽△DGF ∴::GF DG CG BG =在Rt △BGC 中，设CG x =，则2BC x =，BC =∴CG BG =∴GF CE=【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识点，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键．28．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN ∠的度数及MNPM 的值；（3）在（2）的条件下，若2BC =PMN 面积的最大值．【解答】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；=2MN PM 3）14 【提示】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可．（2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MNPM 的比值转换为AFCE 的比值即可求得.（3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当2CE BC == 【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC = ∴2AB BC =,45ABC BAC ∠=∠= ∵BE 垂直于射线CD , ∴90,BEF ∠= 又∵EF BE =∴2FB EB =,45FBE EFB ∠=∠= ∵+ABC ABE ABE FBE ∠∠=∠+∠ 即：ABF CBE ∠=∠又∵2AB BFCB BE == ∴ABF CBE ∽（2）解：∵点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点∴//PM CN ，//MN AF ，11,22PM CE MN AF== ∴MPN CNP ∠=∠,CNM EFA ∠=∠∴+MPN MNP CNP MNP CNM EFA ∠∠=∠+∠=∠=∠ 又∵ABF CBE ∽ ∴90AFB CEB ∠=∠= 又∵45EFB ∠=∴904545EFA AFB BFE ∠=∠-∠=-= ∴+45MPN MNP ∠∠=又∵++180MPN MNP PMN ∠∠∠= ∴18045135PMN ∠=-=又∵12=12AFMN AFPM CECE = 又∵ABF CBE ∽ ∴=2AF AB CE CB = ∴=2MNPM（3）如下图：过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q , 135,PMN ∠=︒ 45,PMQ MPQ ∴∠=︒=∠,PQ ∴= 111221222228216PMNS MN PQ AF PM AF CE AF CE ==⨯⨯==△又∵BC =∴AF =∴221168PMN S CE ==△∴当CE 取得最大值时，PMN 取得最大值， ,BE CE ⊥E ∴在以BC 的中点为圆心，BC 为直径的圆上运动，∴当CE CB ==CE 最大，∴11=2=84S ⨯， 【点睛】本题考查的是三角形相似和判定、以及三角形面积最大值的求法，根据题意找见相关的等量是解题关键．。
相似三角形的性质及应用
相似三角形的性质及应用相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个或多个三角形。
相似三角形的性质在几何学中具有重要的应用，涉及到比例、角度等概念。
本文将介绍相似三角形的性质以及在实际问题中的应用。
I．相似三角形的定义和比例关系相似三角形的定义是指：两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
用数学表示形式可以表示为：若ΔABC 与ΔDEF 相似，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，并且 AB/DE=AC/DF=BC/EF。
利用相似三角形的比例关系，我们可以推导出一些重要的性质和应用。
II．相似三角形的性质1. 边比例：在相似三角形中，对应边的比例相等。
即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则 AB/DE=AC/DF=BC/EF。
2. 高线比例：在相似三角形中，对应高线的比例等于对应边的比例。
即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则 h1/h2=AB/DE=AC/DF=BC/EF。
3. 角度比例：在相似三角形中，对应角度相等。
即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
4. 周长比例：在相似三角形中，对应边的比例等于对应周长的比例。
即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则AB/DE=AC/DF=BC/EF=Perimeter(ΔABC)/Perimeter(ΔDEF)。
5. 面积比例：在相似三角形中，对应边的比例的平方等于对应面积的比例。
即若ΔABC 与ΔDEF 相似，则(AB/DE)^2=(AC/DF)^2=(BC/EF)^2=Area(ΔABC)/Area(ΔDEF)。
III. 相似三角形的应用1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量阴影和物体之间的比例，求得物体的高度。
例如，当太阳的高度和一个物体的阴影之间存在相似关系时，可以利用相似三角形的比例关系计算物体的高度。
2. 计算不可测量的距离：在实际测量中，有些距离很难直接测量。
但是，如果存在相似三角形的情况，可以利用相似三角形的比例关系，通过已知距离和比例计算出不可测量的距离。
4.5 相似三角形的性质及其应用九年级上册数学浙教版
知识点1 相似三角形对应线段的性质 重难点
1.根据相似三角形的定义可知，我们可得到相似三角形的两个基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应线段的性质:相似三角形对应高线的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比.
测量数据
观测者的眼睛与地面的距离 ,标杆的高度 ,观测者与标杆之间的距离 ,观测者与旗杆之间的距离 .
注意：观测者的眼睛（点 ）、标杆的顶端（点 ）和旗杆的顶端（点 ）必须要“三点共线”,标杆与地面要垂直,同时旗杆底部必须可到达
典例4 如图,小华在水平地面上放置了一小块平面镜 来测量铁塔 的高度,已知当镜子与铁塔底部的距离 、镜子与小华的距离 时,小华刚好从镜子中看到铁塔的顶端 .若小华的眼睛距离地面的高度 ,试估计铁塔 的高度.
图形
推理
结论
周长之比
.
周长之比等于相似比.
面积之比
.
面积之比等于相似比的平方.
典例3 （2023·丽水期末）已知 ，且 与 的周长比为 ，则 与 的面积比为__.
[解析] ，且周长比为 ， 与 的相似比为 ， 与 的面积比为 .
解题通法相似三角形性质的应用技巧相似三角形的相似比、各对应线段的比、周长比及面积比之间是可以互相转化的,即相似比 对应高线的比 对离等于____ .转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________ .
[解析] 如图，过点 作 ， 的平行线，交 于点 ，过点 作水平线 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，连结 并延长至点 ，使得 .
由题意可知，点 是 的中点. ， , 点 是
的中点. ， ， .
相似三角形的性质在像处理中的应用
相似三角形的性质在像处理中的应用相似三角形是初等几何学中一个重要的概念，它在像处理中有着广泛的应用。
本文将就相似三角形的性质和其在像处理中的应用进行探讨。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
具体而言，若两个三角形的对应角相等，那么它们是相似三角形。
基于相似三角形的定义，我们可以得到以下性质：1. AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角相等，那么它们是相似的。
这一定理在像处理中经常被用到。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
此性质在测量图像尺寸时非常有用。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且两个对应边成比例，那么它们是相似的。
在像处理中，我们可以利用此定理进行图像的尺度变换。
二、像处理中相似三角形的应用1. 图像缩放：在像处理中，我们经常需要对图像进行缩放。
利用相似三角形的性质，我们可以根据图像上某个点与其在缩放后的位置之间的距离比例关系，来对图像进行缩放操作。
2. 倾斜校正：当摄像头或相机的角度不太正常时，拍摄的图像可能出现倾斜。
利用相似三角形的性质，我们可以找到两个平行线（例如，水平线和地平线）在图像中的对应线段，利用它们的比例关系对图像进行倾斜校正。
3. 视角转换：在三维图像处理中，常常需要改变视角。
通过建立相机模型，我们可以利用相似三角形的性质来实现图像视角的转换。
4. 相机标定：在计算机视觉和计算机图形学领域，相机标定是十分重要的环节。
相似三角形的性质可以用于测量真实尺寸和像素尺寸之间的关系，从而进行相机的标定。
总结：相似三角形的性质在像处理中有着广泛的应用。
通过了解相似三角形的定义和性质，我们可以利用这些知识来进行图像缩放、倾斜校正、视角转换和相机标定等操作。
因此，熟悉相似三角形的概念对于像处理有着重要的意义。
(详细版)相似三角形的性质和应用
(详细版)相似三角形的性质和应用
1. 相似三角形的性质
相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
相似三角形的性质如下：
- 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
- 对应边成比例性质：相似三角形的对应边的长度成比例。
2. 相似三角形的应用
相似三角形的性质在实际生活和数学问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
- 测量高度：通过相似三角形的性质，我们可以利用测量出的一个三角形的高度来计算另一个相似三角形的高度。
这在实际中可以用于测量高楼、山峰等的高度。
- 图形设计：相似三角形的性质可以用于图形设计中的缩放问题。
通过改变三角形的大小来实现图形的缩放效果。
- 工程测量：在土木工程中，相似三角形的性质可以用于测量地形的坡度、直角三角形的边长等。
3. 实例分析
为了更好地理解相似三角形的性质和应用，以下是一个实际问题的分析：
假设有一根高大的电线杆，测得其高度为30米。
为了确定杆子的阴影长度，我们利用测量出的相似三角形来推算。
测量阴影的长度为10米，而测量器与杆子的距离为4米。
根据相似三角形的性质，可以建立如下比例关系：(30高度/4距离) = (阴影长度/10距离)。
通过解这个比例关系，我们可以计算出杆子的阴影长度为75米。
以上是相似三角形的性质和应用的一些简要介绍，通过理解和运用相似三角形的性质，我们可以解决许多实际问题，提高数学和几何的应用能力。
(Word count: 229 words)。
了解相似三角形的性质和应用
了解相似三角形的性质和应用相似三角形是几何学中重要的概念之一，它们具有一些独特的性质和应用。
通过了解相似三角形的性质，我们可以在实际问题中应用相似三角形的概念解决一系列的数学和几何问题。
本文将介绍相似三角形的性质和应用，并通过实例来加深理解。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
相似三角形的性质有以下几个方面：1. 边比例：相似三角形的对应边之间有相等的比例关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，其中AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这意味着相似三角形的对应边长之比是相等的。
2. 角度相等：相似三角形的对应角是相等的。
即角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F。
这是相似三角形的一个重要性质，可以通过边对边的比例关系推导出来。
3. 高度比例：相似三角形的高度之比等于对应边之比。
如果相似三角形ABC和DEF，高度分别为h1和h2，对应边长为AB和DE，那么h1/h2 =AB/DE。
这个性质在计算相似三角形的高度时很有用。
4. 面积比例：相似三角形的面积比等于对应边长平方的比。
设有两个相似三角形ABC和DEF，面积分别为S1和S2，对应边长之比为k，那么S1/S2 = k²。
这个性质在计算相似三角形面积的问题中应用广泛。
二、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中应用广泛，特别是在测量和建模方面。
以下是一些常见的应用场景：1. 高度测量：通过相似三角形的高度比例性质，可以利用影子定理或者利用物体和它的影子的尺寸比来计算物体的高度。
例如，一个人的影子长度和身高的比例可以用来计算他所在位置的物体的高度。
2. 远离地面的测量：在无法直接测量物体的高度时，可以利用相似三角形的原理进行测量。
例如，通过测量一个建筑物的阴影与一个水平杆的阴影之间的长度比例，可以计算出建筑物的高度。
3. 建模与比例放大：在建筑设计和工程模型中，可以利用相似三角形的边比例性质进行模型的设计和比例放大。
相似三角形的性质和应用
相似三角形的对应边之间 的比值相等。
两个相似三角形的面积之 比等于它们对应边之比的 平方。
两个相似三角形的周长之 比等于它们的相似比。
相似三角形中对应的高、 中线、角平分线等线段之 比也等于它们的相似比。
XX
PART 02
相似三角形性质探究
REPORTING
对应角相等性质
若两个三角形相似， 则它们的对应角相等 。
及求解相关光学参数。
电学问题
在电学问题中，可以利用相似三 角形的性质分析电路中的电阻、 电流等物理量的关系，从而简化
电路的计算过程。
热学问题
在热学问题中，相似三角形的应 用主要涉及热量传递、热效率等 方面的问题，通过相似三角形的 性质可以分析热量传递的路径和
效率等问题。
XX
PART 06
总结与展望
学生自我评价及反思
知识掌握情况
通过本次课程的学习，我对相似三角形的性质和应用有了更深入的理解，能够熟练运用所学知识解决相关问题。
学习方法反思
在学习过程中，我采用了多种学习方法，如听讲、阅读、练习等，这些方法帮助我更好地理解和掌握知识。同时 ，我也意识到自己在某些方面还有待提高，如需要更加细心和耐心。
相似比
两个相似三角形的对应边之间的 比值称为相似比。
相似度
用于量化两个三角形相似的程度 ，通常通过计算两个三角形的面 积比或周长比的平方来得到。
相似三角形性质总结
01
02
03
04
05
对应角相等
对应边成比例
面积比等于相似 比的平方
周长比等于相似 比
高、中线、角平 分线等线…
相似三角形的对应角相等 。
对未来学习方向提出建议
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4.4相似三角形的性质及其应用（1）教学目标：1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.重点与难点：1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.知识要点：三角形相似的条件：1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比.3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方. 重要方法：1、相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根.2、相似三角形中的相似比和面积比的关系，应注意相似三角形这个前提，否则不成立.教学过程：一、问题情境某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是:被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？1、如图，4 ×4正方形网格看一看：ΔABC与ΔA′B′CΔABC与ΔA′B′C′的相似比是多少？（ 2ΔABC与ΔA′B′C′的周长比是多少? （ 2想一想：关系？结论：相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？已知：如图4-24,△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k.求证：△ABC的周长△A′B ′C ′的周长 ＝k ，△ABC的面积△A′B ′C ′的面积＝k 2 例题已知：如图，△ABC ∽ △A ′B ′′的相似比是k,AD 、A ′D ′是对应高。
求证：AD A ′D ′＝k 证明： ∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠′是对应高。
∴∠ADB=∠A ′D ′B ′=90O ∴求相似比或周长比则要开方。
2、如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB ＝5，求：（1）AG AF ； （2）△ADE 与△ABC 的周长之比； （3）△ADE 与△ABC 的面积之比.例1 如图：是某市部分街道图，比例尺为1∶10000；请估计三条道路围成的三角形地块ABC 的实际周长和面积. 问题解决：ΔABC 的周长为80m ，面积为100m 2,求ΔADE 1.过E 作EF//AB 交BC 于F,S ΔABC , S ΔEFC =S 2.样的关系？你能加以验证吗？证明：（AE AC ）2 S 1S＝AE AC FE//BA △CFE ∽△CBA S 2S ＝（AE AC ）2 S 2S ＝CE AC A ′B ′C ′D ′A B C DE FS 1S ＋S 2S＝1 类比猜想如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且DE 、FG 、MN 交于点P。
若记S ΔDPM = S 1, S ΔPEF = S 2, S ΔGNP = S 3,S ΔABC = S 、S 与S 1、 S 2、S 3之间是否也有类似结论？猜想并加以验证。
练一练：书本P115课内练习1、2练一练（分组练习）证明：相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比等于相似比。
能力训练1.若两个相似三角形的相似比是2∶3，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。
2.两个等边三角形的面积比是3∶4，则它们的边长比是 ，周长比是 。
3.某城市规划图的比例尺为1∶4000，图中一个氯化区的周长为15cm ，面积为12cm 2，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？4、在△ABC 中，DE ∥BC ，E 、D 分别在AC 、AB 上，EC=2AE ，则S △ADE ∶S 四边形DBCE 的比为______5、如图， △ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ＝DF ＝FB ，则S △ADE :S 四边形DFGE :S 四边形FBCG =______ 6.已知:梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=36,BC=60cm,延长两腰BA,CD 交于点O,OF ⊥BC,交AD 于E,EF=32cm,则OF=_______. 7、ΔABC 中，AE 是角平分线，D 是AB 上的一点，CD 交AE 于G ，∠ACD=∠B ，且AC=2AD.则ΔACD ∽Δ______.它们的相似比K =_______.探究活动：1、书本P115 已知△ABC,如图，如果要作与BC 平行的直线把△ABC 划分成两部分，使这两部分（三角形与四边形）的面积之比为1∶1该怎么作？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶2呢？如果要使划分成的两部分的面积之比为1∶n 呢？（平行线等分线段、平行线分线段成比例定理） 2．阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比(a ∶b)．S 甲S 乙 ＝（a b ）2 V 甲V 乙 ＝（a b）3 练习(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )A ．两个球体B ．两个锥体C ．两个圆柱体D ．两个长方体(2)请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于______；②相似体表面积的比等于__ ____；AB C D E F G M NP S 1S 2S 3A B C D E F G A B C D E F O A B C D E③相似体体积比等于___ ． (3)假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为 1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？(不考虑不同时期人体平均密度的变化)设他的体重为x 千克，根据题意得x 18 ＝（1.651.1）3 解得x ＝60.75(千克)三、小结四、作业：见作业本 4.4相似三角形的性质及其应用（2）教学目标：1、能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.2、进一步检验数学的应用价值.重点与难点：1、本节教学的重点是运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.2、由于学生缺乏一定的生活经验，让他们设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点.知识要点：1、若物体的高度和宽度不能被直接测量，则一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系可求得.2、在同一时刻两个物体的高度和它的影长是成比例的.重要方法：1、在测量物体的高时，物体与水平面是垂直的.2、在测量宽度时，可采用下面的方法.教学过程：一、复习提问我们已经学习相似三角形的性质有哪些？1、相似三角形对应角相等。
∵△A ′B ′C ′∽△ABC ∴ ∠A= ∠A ′ ， ∠B= ∠B ′ ∠C= ∠C ′2、相似三角形对应边成比例。
∵△ABC ∽△ABC ∴AB A ′B ′ ＝BC B ′C ′ ＝CA C ′A ′3、相似三角形的周长之比等于相似比；4、相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
5、相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.思考：你能够将上面生活中的问题转化为数学问题吗？二、例题讲解1、校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？ 把一小镜子放在离树（AB ）8米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=2.8m ，观察者目高CD=1.6m 。
这时树高多少？你能解决这个问题吗？ D CA C把长为2.40m 的标杆CD 直立在地面上，量出树的影长为2.80m ，标杆的影长为1.47m 。
这时树高多少？你能解决这个问题吗？ 分别根据上述两种不同方法求出树高（精确到0.1m ）请你自己写出求解过程，并与同伴探讨，还有其他测量树高的方法吗？2、如图，屋架跨度的一半OP=5m ，高度OQ=2. 25 m 。
现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度 AC=1. 20m ，AB 在水平位置。
求AB 的长度。
（结果保留3个有效数字） 三、练一练 1、课内练习 步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE 为80cm ，步枪上准星宽度AB 为2mm ，目标的正面宽度CD 为50cm ，求眼睛到目标的距离OF 。
2、反馈练习 （1）某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高 4米 .（2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米， 长臂OB=10米，短臂端下降AC=0.6米，则长臂端上升BD= 6 米。
3.(深圳市中考题)如图:小明在打网球时,要使球恰好能打过网 ,而且落在离网５米的位置上，则拍击球的高度h 应为（ A ） 。
A 、2.7米 B 、1.8米 C 、0.9米 D 、 6米 思考题：1、如图，已知零件的外径为a ，要求它的厚度x ，需先求出内孔的直径AB ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n ，且量得CD=b ，求厚度x 。
分析：如图，要想求厚度x ，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB 。
而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB 的长度。
解：∵ OA:OC ＝OB:OD ＝n 且∠AOB ＝∠COD ∴△AOB ∽△COD ∵ OA:OC ＝AB:CD ＝n 又∵CD ＝b ∴AB=CD·n ＝nb ∴x ＝a －AB 2＝a －nb 2 2、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN 是符合要求的△ABC 的高AD 与PN 相交于点E 。
设正方形PQMN 的边长为x 毫米。
因为PN ∥BC ，所以△APN ∽ △ABC所以AE AD ＝PN BC 因此80－x 80 ＝x 120得 x=48（毫米）。
答：这个正方形零件的边长是48毫米。
四、课堂小结1、相似三角形的应用主要有如下两个方面（1）测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)（2）测距(不能直接测量的两点间的距离)2、测高的方法A B C O P Q E A B O C D F 准星A B A O D B C 5m 10m 0.9mh O AB C D E PQ M N测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决.3、测距的方法测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.4、解决实际问题时（如测高、测距），一般有以下步骤：①审题②构建图形③利用相似解决问题五、布置作业1、见作业本22、书本P117 作业题1、2、3、4、53、课外活动设计题：以4～6人为一组举行一次应用相似三角形的有关知识进行测量实践的活动.每组测量的目标、内容和方法均可以自选.在完成实践活动后，以组为单位写一份测量实践报告，在班内进行交流.。