现代设计方法鲍威尔法powell法.ppt

据是否满足条件计算：
Sk (n)
f1=f(Xk(0))
X2
f3
f2=f(Xk(n)) f3=f(Xk(n+2))
X (n2) k
f2
X (n1) k
X k(n)
f1
2
X k (0)
1
X k (1)
X1
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同时成立
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现代设计方法
• 表明方向Sk(n)与原方向组成线性无关，可以 用来替换对象△m所对应的方向Sk(m)。否则仍 用原方向组进行第k+1轮搜索。
X2 f1
Sk (n)
f3
X (n2) k
f2
X (n1) k
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现代设计方法
Ⅱ、鲍威尔法缺陷
• 当某一循环方向组中的矢量系出现线性相关的情况（退 化、病态）时，搜索过程在降维的空间进行，致使计算 不能收敛而失败。
e3
新一轮搜 索方向
新一轮搜索 e3 方向和原方
向线性相关
e2
e2
(1)
X0
(1)
S4
(1)
X3
(1)
S4
(1)
X3
e1
(1)
X k(n)
2
X k (0)
1
X k (1)
X1
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现代设计方法
• 例：试用修正Powell法求f(X)=X12+2X22－ 4X1-2X1X2的最优解。X0=[1,1]T ，收敛精度 ε=0.001 。
X1
(1)
X2
e1
(1)
X0
(1)
X1
(1)
X2
为了避免此种情况产生，提出了修正的Powell法。
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Ⅲ、修正Powell法
现代设计方法
• 为了避免鲍威尔法缺陷，提出了修正算法。
Sk (n)
X2
f3
X (n2) k
S (1) X 0(2)
S
(1) 2
S1(1)
X
(1) 1
• 由图可知点X0(2) 、X2(2) 是先后两次沿S(1)方向一 维搜索的极小点。
• 由共轭性质知：连接 X0(2) ，X2(2)构成的矢量 S(2) 与S(1)对H共轭。
X1
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f2
X (n1) k
X k(n)
映射点
f1
2
X k (0)
1
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X k (1) X1
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现代设计方法
• 和原始Powell法的主要区别在于：在构成第
k+1次循环方向组时，不用淘汰前一循环中的
第一个方向S1(k)的办法，而是计算函数值并根
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S (1)
X2
模式方向
现代设计方法
S (2)
X
(1) 0
X
( 1
2)
X (3) 0
X
( 2
2)
X
(1) 2
S (1) X 0(2)
S
(1) 2
S1(1)
X
(1) 1
0 X1
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S (1)
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现代设计方法
• 从理论上讲，二维二次正定函数经过这组共 轭方向的一维搜索，迭代点已达到函数的极 小点X* 。
• 将此结构推广至n维二次正定函数，即依次沿 n个（S(1) ，S(2)，…，S(n)）共轭方向一维搜 索就能达到极小点。
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S (2)
X2
现代设计方法
X 0(1)
X
(2) 1
X (3) 0 X 2(2)
X 2(1)
S (1) X 0(2) S 2 (1)
S1(1)
X
(1) 1
第一循环 第二循环
初始点
X (1) 0
方向
e1 e2
X
(2来自百度文库 0
[
X (1) 3
]
e2 S (1)
终点
X (1) 2
X (2) 2
新方向 X1
S (1)

X (1) 2

X (1) 0
S (2)

X (2) 2

X
(2) 0
S(1)与S(2)之间的关系？
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现代设计方法
S (1)
S (2)
X2
X
(1) 0
X
( 1
2)
X (3) 0 X 2(2)
X
(1) 2
现代设计方法
• 找出前一轮迭代法中函数值下降最多的方向 m及下降量△m，即：
△m=max｛[f(Xk(i))－f(Xk(i+1))]（i=0,1,…,n-1）｝ = f(Xk(m-1))－f(Xk(m))
• 可以证明：若 f3 <f1 (f1 -2f2+f3)(f1-f2- △m)2< 0.5△m(f1-f3)2
思考：如采用原始Powell法，如 何判别此题具有几次收敛性？ 修正Powell算法是否具有同样的 收敛性？ 提示：先沿(e1,e2)进行搜索： e1=[1,0]T，e2=[0,1]T
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现代设计方法
f(X)=X12+2X22－4X1-2X1X2
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现代设计方法
§5.4.3 鲍威尔法（ Powell法）
• 两次平行搜索产生一个共轭方向，Powell法 也是一种共轭方向法，能在有限步长内极 小化一个二次函数，是直接搜索方法中使 用效果最佳的一种方法。
• 对于维数n<20的目标函数求最优化问题， 此法可获得满意效果。
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解:
X (1) 0

X0

1 1
f1=f(X0(1）)=－3
第一次循环：沿坐标轴方向e1进行一维 搜索：
X (1) 1

X
(1) 0

(1) 1
S (1) 1

1 1

(1) 1
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现代设计方法
Ⅰ、鲍威尔法基本原理、迭代格式 • 原始的Powell法是沿着逐步产生的共轭方向
进行一维搜索的。 • 现以二维二次目标函数为例来说明。 如下图所示，选定初始点X0(1)，初始方向：
S1(1)=e1=[1,0]T S2(1)=e2=[0,1]T
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