第2章 静电场(8) 静电场的能量

2
400 R 5Q
2
―带电金属球”或“均匀带电球面”
We Q 80 R

400 R
35
均匀带电球体
We 6Q
2
400 R
―带电金属球”或“均匀带电球面”
We 5Q
2
400 R
36
[结论] 将“带电金属球”改为同样大小的 “均匀带电球面”，结果？
Answer: 改为球面, We不变； 同样大小的“均匀带电球体”？
20
能量体密度：
（定义）
1 we D E 2
we E 2 1
2
（2-103）
对于理想介质： （2-104）
物理意义：
电场是一种物质，它具有能量。
21
注释：
We 1
2
d V
（2-97）
V
★适用范围： 仅适用于静电场
★适用范围：
（反映了：静止电荷所具有的静电位能）
即位移是虚设的，故称为虚位移法。
45
★虚位移法
★原理：能量守恒
外力做的功=静电场能量的变化+电场力做功
d W d We f g d g
d W k dqk
与各带电导体 相连的外电源 提供的能量；
K
第p号导体作dg 位移后电场储 能We的增量；
f 在 g 方向 的分量。
46
★方法：
第二章 静电场
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8 库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉斯方程 分界面上的边界条件 导体系统的电容 静电场能量和静电力
★ 静电场的能量体密度
1 we D E 2
A
1 C

Q 0
qdq
Q U
1 2
Q
2
2C
C
A 1 2 QU
+ U E - - - - - - - - - dq
+++++++++
CU
2
电容器贮存的电能
We Q
2

1 2
QU
1 2
CU
2
2C
27
2. 静电场的能量
充电与放电→极板间电场产生与消失
场的观点：静电能储存于电场中
28
电场的能量 能量体密度
对平行板电容器
q
q

d
S
电场的空间体积
电场能量密度
29
例2-19 P82
在真空中一半径为R的圆球（其介
电常数为0 ）内，均匀分布有体密
度为0的电荷，求静电能量。
按照公式（2-102） 解：
选择高斯面——同心球面。 应用高斯通量定理，有
Qr 40 R Q
40 r
因此把积分区域任意扩大并不影响积分的结果。 当积分扩大时，包围这个体积的表面S也无限扩大，
因为电荷分布的区域是有限的，对于表面S而言，整个 电荷分布区域恰似一个与它距离为R的点电荷一样， 因而表面上的和 都将分别与1/R和1/R2成正比， 而 将与1/R3成正比， 因此：
1 1 2 S (D) d S ~ R 3 R ~ R |R 0
We d We
1 1
0 V
d() d V d d V 2 d V（2-97）
0 V V
1
13
如果电荷是分布在表面的， 其最终面密度为时，
We
1
如果带电体是导体， 则在第i号导体上， i为常数，S i d Si qi 是第i号导体上带的电荷，则
改为球体, We增大。
37
Note:
We → C , 也是计算电容的一种方法。
We Q
2
2C
根据电场在空间的分布，
然而计算出空间中的总电场能量We， 则可计算出电容器的电容值： C = Q2 / 2We
这是计算电容的另一种方法。
38
例2-20 P83
某一同轴电缆的内、外导体的直径分别为10mm 和20mm，其中绝缘体的相对介电常数为5，击 穿场强为200kV/cm，问该电缆中每公里所储存 的最大静电能量为多少？
We
1 2
D E dV
V
（2-101） 不仅适用于静电场，
且也适用于时变场。
（可以用来计算全部空间的总能量， 也可以计算部分区域的能量。）
22
以电容器为例
进一步阐述静电场的能量
23
1.带电电容器的能量 充电时,电源做功→电容器的静电能； 放电时,能量释放→电场力做功。
e.g.
We Q
2

Q
2
2C
80 R
[解法二]计算静电场的能量：
o
r r+dr
r
33
球内：E=0 → W=0
球外：w
DE 2 Q
2 2 4
32 0 r
r－r+dr区域的能量：
dWe wdV
Q
2 2 4
32 0 r
4 r dr
2
Q dr 80 r
2
2
整个电场的能量：
解：根据题义，
RA=0.5cm,
可按照圆柱电容器处理。
RB=1.0cm
r=5，l=1km Emax=2×105V/cm
RB
RA

r

A
l
B
39
选择高斯面——同轴圆柱面。
应用高斯通量定理，有
E

2r

RB
RA
( RA r RB )
r=RA时，E最大，即：
r

A
5 5
l
E|
RB 13
3 2r 10 d r RB RA
41
2
5 10 0 ln
964( J )
[例]
电容为C的电容器,极板上带电量Q。 将其与另一不带电的相同电容器并联, 则该电容器组的静电能W= 。 +Q C -Q
并联后, 总带电量为 Q, 总电容为 2C W=Q2/4C
解： C
上、下极板各带Q的电荷，总电荷算Q吗？？
42
§2.8 静电场能量和静电力
一、静电场的能量
1、电荷系统的能量（用电荷和电位表示静电能量） 2、用场强表示的静电能量及能量体密度
二、静电力
43
二、静电力
计算方法
★ 库仑定律 ★ 虚位移法
44
二、静电力
★虚位移法
★定义：
假设带电导体系统中某一导体发生一小的位移 时的功能转换关系来确定导体所受的电场力。 由于计算出来的力是没有发生位移时的力，
一、静电场的能量
例：带电电容器的能量
充电时，电源做功→电容器的静电能；
放电时，能量释放→电场力做功。

C
B
5

C
B
故电场是储存有能量的， 其能量来源于 建立系统的电荷分布过程中的外界所做的功。
充电（电源做功）→电容器的静电能
6
一、静电场的能量
电场最基本的特征是对电荷有力的作用。 若受电场力的作用电荷发生了位移， 则电场力对该电荷做了功， 可见电场中是存储有能量的。
d W d q d() d V
12
故对整个空间，电荷分布由
+d()时， 电源（外源）向电场提供的功：
（亦即使电场能量获得的增量）
V 整个充电过程中，亦即：01，：0，
d We d( ) d V
电场能量的总增量为： （亦即系统的总电场能量）
2
d S
（2-98）
S
We
1
q 2
i i 1
N
i
（2-99）
14
§2.8 静电场能量和静电力
一、静电场的能量
1、电荷系统的能量（用电荷和电位表示静电能量） 2、用场量表示的静电能量及能量体密度
二、静电力
15
2、用场量表示的静电能量及能量体密度
E 0 微分形式： D
介质方程
1 2 We E E d V E d V （2-102） 2 V 2 V 可见，电场分布不为0的区域对积分都有贡献， 即有电场分布的空间都有能量储存。 1
19
任一带电系统，电场空间所存储的能量：
We
1 2
E d V
2 V
（2-102）
V：整个电场空间
3


0r
3 0 3 0 R
2
(r R)
(r R)
E
2
3 0 r
30
We
1 2
E d V
2 V
1
2
1
R
0
0( 0(
0r
3 0
) 4r d r
2 2 3 2
20 9 0
2 2 R
2

0 R
3 0 r
2 6
) 4r d r
2 2
R

We Q
2
80


dr r
2

Q
2
R
80 R
34
Hale Waihona Puke 均匀带电球体 Q 4R 0 0
3
3 4R
3
Q
We
1
E 2
V 5
2
dV