《试验设计》概述详解

《试验设计方法》要点概述弟一章 试验设计简介一、试验设计的概念与意义试验设计就是以概率统计方法为理论基础，经济的、科学地制定试验案对试验数据进行有效的统计分析的数学理论和方法。

一个好的试验设计方案除了具备概率论与数理统计知识外，还要有宽广的专业技术知识和丰富的实际经验，只有三者紧密结合起来，才能取得良好的结果。

其基本原则是随机化原则、重复原则、对照原则和区组原则， 试验设计的意义在于（1）科学合理的试验可以减少试验次数。

缩短试验周期，节约人力、物力、财力，提高经济效益，对多因素、多水平尤其有效（2）在众多因素指标中可以分清影响因素主次、强弱 （3）可以分析交互作用的大小 （4）可以分析试验误差影响的大小（5）可以快速找到较优设计参数与生产工艺条件常见的试验设计有回归设计、正交设计、参数设计、均匀设计、响应曲面设计、混料设计、饱和设计与超饱和设计及全因子试验设计第二、试验设计的历史沿革试验设计的起因由英国统计学学家费歇耳在进行农业田间试验时，发现环境条件难于控制而随机差不可视，从而对试验方案作出合理安排，使试验数据有合适的数学模型以减经随机误差的影响，从而提高试验精度与可靠性而提出。

1923年，他与肯齐合作第一次发表了试验设计的实例与设计基本思想。

1935年出版名著《试验设计》，试验设计由此诞生。

试验设计的发展主要经历了四个阶段：传统的方差分析、正交试验设计、信噪比设计与产品三次设计、电脑仿真 详细历史详见P4-6第三、试验设计的常用术语与统计模型 1、常用术语： 因素 水平 响应随机误差2、常见统计模型统计试验设计的诸方法之所以精确高效，其主要原因是它们是在特定的数学模型下达到最优的方法。

常见的统计模型有（1） 方差分析模型()()()⎪⎩⎪⎨⎧====+=相互独立未知ij ij ij ij i ij D E n j r i y εσεεεμ2,0,...3,2,1,,...,3,2,1,原假设：r μμμ===...21，备择假设：不全相等r 、、、μμμ (21)注：方差分析模型是很多数据分析的基础，应重点掌握 （2）回归模型如果凭经验与常识，感觉因变量与变量之间存在线性关系（或可转化为线性关系），可考虑用回归模型()()⎪⎩⎪⎨⎧==++++=未知相互独立232122210,...,,0...σββββσεεββββm m m ，，，D E x x x y 回归设计的任务就是根据建立准确模型的要求设计因素的取值。

由试验数据对模型的参数进行估计。

注：最优设计实际就在特定回归模型下的最优（3）如果试验者对模型具体函数关系未知，可考虑用非参数模型非参数回归设计的任务就是研究如何设计一个好的试验方案以求得精度较高的估计)(ˆx g，均匀设计就是一种非参数回归设计 （4）稳健回归设计 如果凭经验与常识，感觉因变量与变量之间存在非线性关系（不存在线性关系），可考虑用稳健回归模型⎩⎨⎧++=为模型偏差已知)()()()(x ，h x f x h x f y ε 稳健回归设计的任务就是当模型偏差在某一确定范围时，研究如何给出试验点使之能最精确建立模型()()⎪⎩⎪⎨⎧==+=未知数不含未知参数的未知函22)(,0)(σσεεε，x g D E x g y第二章、方差分析方差分析是数理统计学中常用的数据处理方法之一，是工农业生产和科学研究中分析试验数据的一种有效工具。

它的掌握对统计数据分析有基础性的作用。

一、方差分析的基本思想在单因子方差分析中，其基本思想是把总体的波动n T y S ri n j ijTi21122-=∑∑==依据波动源的性质通过数学手段将其分析为组内波动n T y n S ri n J ij iA i22112)(1-=∑∑==和组间波动2111122)(1∑∑∑∑====-=ri n J iji ri n j ij e iiyn y S 。

从实际上去分析，如果因素的水平对指标影响不大，那么组间的波动与组内的波动应该相差不大，反之，如果相差较大的话，说明不同水平对指标确实影响显著。

为便于比较什么才算显著，给定一个误差标准αF 临界值且都取它们的平均值，如果rn SR S F eAA --=221值有αF F A >，就认定为水平对指标有显著影响，反之，就没有显著影响二、方差分析方法方差分析方法综述：不管是单因子还是双因子，不管是重复还是不重复方差分析，都遵循相同的方差分析思想（前述），先求出偏差平方和，再求出F 比，依此作统计分析；在数据的处理上都遵循数据收集表及计算表、方差分析表、统计分析这三个过程。

如果是统计软件操作就只有数据录入与统计分析两个过程，数据计算与方差分析表全由软件输出。

（1）单因子方差分析单因子方差分析统计模型： 内容：1、参数估计选用最大似然估计方法得出估计结果()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==∑∑r i s jiji i y y n r i yy y221ˆ,...2.1ˆˆσαμ2、离差平方和分解与显著性检验P14-163、多重比较多重比较的目的是选出具体显著性影响的水平 方法是：ij j i ij D j i y y H 与),.(<-=作比较单因子方差分析过程详见教材P17例2.2121122-=-=∑∑==n f n T y S T ri sj ij T 其中112112-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==r f y s S A ri s j ij A 其中r n ，fS S S eA T e -=-=222（二）方差分析表方差来源 离差平方和 自由度 均方F 值 F 临界值 显著性 Ae总和（三）统计分析（2）不重复试验的双因子方差分析 不重复试验的双因子方差分析统计模型()⎪⎩⎪⎨⎧==++=sj r i N y ij ij ij j i ij ,...2,1,,..2,1,0~2σεεεβα相互独立sj H H r i H H j s i r ,...2,1,0:,...:,...2,1,0:,...:122102112101=≠===≠==ββββαααα内容：不重复试验的双因子方差分析不重复试验的双因子方差分析过程详见教材P18例2.3 几个重要计算指标：121122-=-=∑∑==n f nTy S T r i sj ij T 其中112112-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==r f y s S A ri s j ij A 其中112112-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==s f y r S B si r j ij B 其中()()B A T eB A T e f f f s r ，fS S S S --=--=--=112222（一）试验数据与计算表（二）方差分析表方差来源 离差平方和自由度均方 F 值 F 临界值显著性 A B e 总和（三）统计分析(3)有重复试验的双因子方差分析 统计模型：原假设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====+++=∑∑∑∑====r i sj ijsj jr i i ij j i sj r i 111100,...2,1,...2,1δβαδβαμμ备择假设,...,:,0...:0,...,:,0...:0,...,:,0...:12111312110321123210221112101至少有一个不为至少有一个不为至少有一个不为rs rs s r R H H H H H H δδδδδδββββββαααααα============ 内容：等重复试验的双因子方差分析， 交互作用及其自度等重复试验的双因子方差分析过程详见教材P27例2.5过程与方法基本与前述相同。

（一）数据收集表 （二）数据计算表 （三）方差分析表 （四）统计分析第四章、正交设计正交试验设计是用于多因素试验的一种方法，它是从全面试验中挑出部分有代表性的点进行试验，这些点具有均匀和整齐的特点，试验数据具有综合可比性。

一、正交表介绍1、正交表是正交试验设计的基本工具，它是根据均衡分散的思想，运用组合数学理伦在拉丁方和正交拉丁方的基础上构造的一种表格。

2、正交表的结构)(q n t L ，其中L 表示正交表，n 表示试验次数，t 表示因子的水平数，q 表示可以安排的最大因子数3、正交表的分类二、正交设计基本方法：1、明确目的，确定指标，挑选因数，选择水平2、用正交表安排试验 1）、选用合适正交表（方法） 2）、表头设计（方法） 3）水平翻译（方法） 4）列出试验方案表3、按试验方案进行试验4、试验数据方差分析（方法）三、试验数据的直观分析内容与方法正交试验设计中直观分析法的基本思路与方法是： （1）在正交试验数据表中计算出各因素的水平和水平和的求法是S Ⅰ=响应指标所在列的数码1对应的指标和S Ⅱ，S Ⅲ类推 （2）找出因素的主次 计算各因素水平和的极差R ，因素的强弱由R 的大小来确定，极差R=最大水平——最小水平和（3）选取较优生产条件 比较各因素水平和的大小，选出相应最优水平，进而确定最优水平组合。

较优条件的选取依据望大（或望小）特性，选取最大（或）最小水平和（4）画水平和趋势图 明确各水平对指标的影响强度及趋势 以横坐标作因子水平数，以各水平和作纵坐标作平面图四、交互作用的表头设计及交互作用的统计分析交互作用的表头设计由交互作表和交互作用的自由度共同决定，交互作用的自由度=水平数减1×水平数减1，所占列数也等于其自由度的个数。

在安排交互作用表时注意交互作用要回避混杂现象 交互作用的统计分析：在作交互作用析中，把交互作用作为一个因素来处理就可以了，但必竟交互作用不是具体因素，而是因素之间的联合搭配作用，当然无所谓水平可言，因此，交互作用的列在试验方案中不起作用而只是在统计分析试验结果时用。

其结果分析与无交互作用的分析基本类同，无本质区别，在较优生产条件的选取中也是按极差R 的大小来排序，所不同的是有交互作用的因素在水平选取时要用二元作用表来决定水平的选取五、多指标试验多指标试验就是需要用多个指标才能衡量试验结果的试验，多指标试验分析的基本方法有综合平衡法和综合评分法 （一）、综合平衡法：综合平衡法的基本思想就是在水平的选取时，通过极差R 的大小来确定强弱指标，在用水平和作较优条件选取时，以权衡，照顾强指标条件为主，经弱指标为辅的原则，其它类同于单标分析。

详见教材例题P76例4.3 （二）、综合评分法：综合评分法的基本思想就是依据指标的强弱给不同指标以权重打分，再加起来作和，就转化为了单指标分析，不过对权重的分析对分析结果有重要影响。

详见教材例题P77例4.4六、正交验设计的方差分析综述：正交验设计的数据分析，其本质就是方差分析，如同前面方差分析一样，作数据收集与数据分析计算表，方差分析表、统计分析作较优条件选择 1、无重复试验的正交试验设计方差分析无重复试验的正交验设计的方差分析详见教材例题P80例4.5各水平和S Ⅰ=响应指标所在列的数码1对应的指标和S Ⅱ，S Ⅲ类推 极差R=最大水平——最小水平和偏差平方和, (2)2222nT III II I S S iA -+++==水平重复数所在列自由度=-=1r f A 误差平方和空列自由度之和其中空列偏差平方和之和=++++==+++=⨯⨯ (2)2222BA CB A e B AC B A e f f f f f S S S S S（二）方差分析表 注：在作方差分析时，若存在偏差平方和均方比误平方和均主还小就应把此偏差平方各合并入误差平方和里作误差处理，否则会出现误差偏小，从而造成F 值增大的情况，影响统计分析结果前面计算结果列成如下方差分析表方差来源离差平方和自由度均方值F值F临界值显著性ABA×BCe总和（三）统计分析选取较优条件，方法与前类同，交互作用要考虑二元列表2、重复试验与重复取样的正交试验的方差分析基本方法：把重复试验（或重复取样）的数据求和，就转化为了无重复试验正交试验的方差分析，所不同的是这时的误差平主和由试验误码平方和与取样误差平方和之和现从部分构成，其计算方法也有两种方法，重复试验的正交验设计的方差分析详见教材例题P85例4.7重复取样的正交试验的方差分析详见教材例题P85例4.8七、混合正交试验设计与方差分析所谓混合正交试验就是由不同水平的因子在同一试验下进行试验的方法，常见的混合正试验以直接查表法、并列法、拟水平法、拟因素法，除直接查表法以外，其它方法实质就是涉及正交表的改造，把单一正交表改造成混合正交表，其方差分析在改造与前面基本类同，注意改造后来数据计算，具体内容详见教材例题P89-100八、直和法、直积法作了解内容，掌握其设计方法，了解方差分析（了解）第五章、参数设计产品的三次设计包含系统设计、参数设计、容差设计三个阶段一、数学公式分析参数设计的基本思想，概述参数设计的数据分析方法，写出信噪比与灵敏度的统计统计意义与相应的参数估计参数设计的基本思想就是首先产品的质量特性依据产品对社会的损失大小来确定，其度量方法就是损失函数L （y ）,考虑其二次展开式为2)()(m y k y L -=,由于随机性，取其均值2)(m y kE EL -=。