矩阵的分解毕业论文.
矩阵分解及其应用
《线性代数与矩阵分析》课程小论文矩阵分解及其应用学生姓名：******专业：*******学号：*******指导教师：********2015年12月Little Paper about the Course of "Linear Algebra and MatrixAnalysis"Matrix Decomposition and its ApplicationCandidate:******Major:*********StudentID:******Supervisor:******12,2015中文摘要将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。
本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。
矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。
因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。
关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用AbstractMany particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition.Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application目录中文摘要 (1)ABSTRACT (1)1 绪论 (1)2 矩阵分解的常用方法 (1)2.1矩阵的等价分解 (1)2.2矩阵的三角分解 (2)2.2.1 矩阵的三角分解 (2)2.2.2 矩阵的正三角分解 (2)2.3矩阵的谱分解 (5)2.3.1 单纯形矩阵的谱分解 (5)2.3.2 正规矩阵与酉对角化 (6)2.3.3 正规矩阵的谱分解 (6)2.4矩阵的奇异值分解 (7)2.4.1 矩阵的奇异值分解（SVD分解） (7)2.5矩阵的FITTING分解 (7)3矩阵分解的理论应用 (8)3.1矩阵等价分解的理论应用 (8)3.2矩阵三角分解的理论应用 (8)3.3矩阵奇异值分解的理论应用 (9)4 矩阵分解在递推系统辨识中的应用 (10)4.1递推系统辨识中的困难 (10)4.1.1 病态问题 (10)4.1.2 效率和计算量问题 (10)4.2QR分解的实现方法 (11)4.2.1 GIVENS变换 (13)4.3递推算法 (13)5 结论 (18)6 参考文献 (18)1 绪论矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。
矩阵的分块及应用
矩阵的分块及应用武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。
分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。
分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。
讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。
通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。
关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。
I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it isvery important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。
矩阵分解及其的综述
96《矩阵论》课程论文题目：矩阵分解与其应用李影赵礼峰摘要：本文主要归纳和总结了代数学中的矩阵分解理论与理论应用。
根据本学期所学知识，本文把矩阵分解分为三角分解、正交三角分解、奇异值分解和满秩分解。
在论文中对相关理论进展了简要的说明与描述，并在应用方面，展示了矩阵分解在一些常见领域的重要以与广泛的应用。
关键词：矩阵分解，应用，三角分解，满秩分解，奇异值分解。
一、引言在有限维线性空间中，线性变换问题可以转化为矩阵问题进展讨论。
因此，将一个矩阵分解为假如干个特殊矩阵的乘积意味着将一个线性变换分解为假如干个特殊线性变换的乘积。
矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解与奇异值分解是将矩阵分解为形式比拟简单或性质比拟熟悉的一些矩阵的乘积，这些分解式能够明显的反映出原矩阵的许多数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值与奇异值等。
另一方面，构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供理论依据。
矩阵的分解给予了我们将线性变换转化成矩阵问题讨论的方法，将以往复杂而且性质不“好〞的矩阵分解成为大家所熟知并且性质“好〞的常用矩阵的乘积。
通过对常用矩阵的分析获取复杂矩阵的相关性质，这在实际的应用中也具有很大的意义。
二、矩阵分解简介1.矩阵的三角分解如果方阵A 可表示为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 之积，即A=LU ，如此称A 可作三角分解。
矩阵三角分解是以Gauss 消去法为根据导出的，因此矩阵可以进展三角分解的条件也与之一样，即矩阵A 的前n-1个顺序主子式都不为0，即.所以在对矩阵A 进展三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否如此怎么分解都没有意义。
矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下，A=LDU 的分解可以是唯一的，其中D 是对角矩阵。
矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle 分解和Crout 分解，它们用待定系数法来解求A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。
《矩阵的分解算法》论文
《矩阵的分解算法》论文
《矩阵的分解算法》
矩阵分解是一种重要的数值计算技术，它可以解决复杂的数学和物理问题，在决策分析、系统解耦、图像处理、通信工程等领域得到广泛应用。
矩阵分解技术的基本原理是将大型矩阵分解为小型矩阵或特征向量，以更快地实现其所需的计算过程。
本文详细讨论了矩阵分解算法的三个主要方面：它们的定义、目标和解决方案。
首先，本文介绍了矩阵分解的定义，即将大型矩阵分解成小型子矩阵或特征向量，并根据具体应用分析需要考虑的分解要求。
其次，本文还讨论了矩阵分解的目标，即减少算法求解时间，提高处理效率，以及提供可视化的高维数据表示。
最后，本文简要评估了常用的几种矩阵分解算法，包括SVD分解、LU分解、QR分解、PQR分解和Cholesky分解。
此外，本文还综述了矩阵分解算法的一些变体，如SVD的变体——压缩SVD、可加性SVD和映射SVD；LU的变体——
高斯-约旦分解和索比-容斯特分解；QR的变体——Householder变换和Givens变换；Cholesky的变体——LDL变
换和Bunch-Kaufman分解。
本文的最后，还简要介绍了机器
学习和深度学习中常用的一些矩阵分解技术。
本文描述了矩阵分解算法的定义、目标及其各种变体，以及它们在机器学习和深度学习中的应用，希望为读者提供一个对矩阵分解技术有更全面认识的基础。
矩阵的分解毕业论文.
学士学位论文矩阵的分解学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学学生姓名林意学号200920134781指导教师姓名周末指导教师职称教授2014年4 月 16日矩阵的分解摘要众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积（或和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，首先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来.关键词：矩阵；分解；QR分解；三角分解；满秩分解The Decomposition of the MatrixABSTRACTAs everyone knows，matrix is one of the most important concepts in algebra，whose appearance promotes the development of algebra．While as a significant part of the theory of matrix，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matrices．The decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problems．In this paper，the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below，such as QR decomposition，full rank decomposition，LU decomposition and so on．Firstly，the definitions and related properties of these forms of decomposition are given．And then，specific decomposition ways of theirs are illustrated．Finally，these decomposition methods are clearly presented by the forms of some examples．Keywords：Matrix；Decomposition；QR Decomposition；LU Matrix Decomposition；Full Rank Decomposition目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)一、引言 (1)二、矩阵的QR分解 (1)（一）矩阵QR分解的基本概念及定理 (1)（二）矩阵QR分解的常用方法及应用举例 (1)三、矩阵的三角分解 (8)（一）矩阵三角分解的基本概念及定理 (8)（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例 (9)四、矩阵的满秩分解 (15)（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理 (15)（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例 (15)五、矩阵的奇异值分解 (17)（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理 (17)（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例 (18)六、结论 (20)参考文献 (20)致谢................................................................................................................ 错误!未定义书签。
矩阵论矩阵分解范文
矩阵论矩阵分解本篇将重点介绍矩阵的各种分解方式，最终目的其实都是为了求Ax=b的最小二乘解。
1.满秩分解矩阵满秩分解的计算如何在给定矩阵A的情况下，求出B，C呢？设A=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n] B=[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r]，其中\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n线性无关所以A=BC\Rightarrow[\alpha1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]=[\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r]\l eft[\begin{array}{cc}c_{11}&\cdots&c_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\c_{r1}&\cdots&c_{rn}\end{array}\right]实际上我们可以取\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_r为\alpha1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n的一个极大线性无关组，因此B就是矩阵A列向量组的一个极大线性无关组，C就是该线性无关组去表示A时的系数。
例：求矩阵A=\left[\begin{array}{ccccc}2&1&-2&3&1\\2&5&-1&4&1\\1&3&-1&2&1\end{array}\right]的满秩分解. 解：对矩阵A只坐初等行变换A=\left[\begin{array}{ccccc}2&1&-2&3&1\\2&5&-1&4&1\\1&3&-1&2&1\end{array}\right] \rightarrow\cdots \rightarrow\left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&\frac{8}{5}& -\frac{2}{5}\\0&1&0&\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\0&0&1&\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{array}\right]A的秩为3，且前三个列向量线性无关。
矩阵分解的研究文献综述
矩阵分解的研究文献综述毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵分解的研究一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念，综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩阵理论的知识。
因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。
矩阵理论发展到今天，已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富。
矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用。
寻求矩阵在各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。
因为这些分解式的特殊形式，一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。
这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用。
本文结合矩阵的基本知识原理，对矩阵分解的各种常用形式进行梳理、归纳，并举例进行说明。
矩阵的定义:由m n ?个数(1,2,,,1,2,,)ij a K i m j n ∈==K K 排成的m 行、n 列的长方形表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ?? ? ? ? ???K K M M O M K (1) 称为数域K 上的一个m n ?矩阵。
其中的ij a 称为这个矩阵的元。
两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等[1]。
矩阵通常用一个大写拉丁字母表示。
如（1）的矩阵可以被记为A .如果矩阵的行数m 与列数n 相等，则称它为n 阶方阵。
数域K 上所有m n ?矩阵的集合记为(),m n M K ,所有n 阶方阵的集合记为()n M K ，元全为0的矩阵称为零矩阵，记为0.矩阵A 的位于第i 行、第j 列的元简称为A 的(),i j 元，记为(),A i j 。
如果矩阵A 的(),i j 元是(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n ==K K ，则可以写成()ij A a =。
矩阵理论论文
矩阵分解在信号和图像处理方面的应用矩阵理论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它又能广泛应用于各个领域。
矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。
用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。
下面简单介绍一下矩阵的奇异值分解在信号和图像处理方面的简单应用。
此方法近年来在数据降维和压缩,滤波器设网络节点估计、小波变换结果的后续处理等很多领域都获得了重要的应用。
在滤波器设计方面，VOZALIS等将SVD 用于协同滤波，他们的研究结果表明，SVD提高了协同滤波过程中预测的质量和精度。
而在消噪方面，LEHTOLA等利用SVD和数学形态学相结合，对心电信号(Electrocardiogram，ECG)进行处理，消除了噪声的影响，提高了心电图诊断的准确性。
同时奇异值分解已用于从孕妇皮肤测量信号中提取胎儿心电信号。
在另一些研究中SVD则被利用来实现特征提取和弱信号分离，如LIU等利用SVD从背景噪声强烈的振动信号中提取周期性冲击信息。
SVD在神经网络中也获得了应用，如TEOH等利用SVD实现了对隐层空间中模式的线性独立性分析，进而决定了隐层神经元节点的数目。
SVD的正交化特性在对小波和小波包变换结果的后续处理中也得到了有效的应用，如XIE等利用SVD对小波包分解后的肌电信号进行正交化处理，以获得代表肢体运动模式的最优特征，进而对肌电信号进行分类，用于对假肢的控制。
小波多分辨分析的本质就是把信号在一系列不同层次的空间上进行分解，获得相应的近似和细节信号，从而以不同的层次显示信号的各种概貌和细节特征[9]，这种多分辨思想使得小波分析在很多领域获得了极为广泛的应用。
基于这种多分辨分析思想的思考，赵学智在SVD中提出了一种矩阵二分递推构造方法，根据该方法得到的SVD分解结果将分属于不同层次的空间，而且下一层次空间的基矢量是利用上一层次的近似基矢量而获得的，实现了利用SVD以不同的层次来展现信号的概貌和细部特征。
矩阵分解法在求解矩阵方程中的应用
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1．矩阵常用分解方法
1.1 矩阵的标准分解
矩阵的标准分解法是将原矩阵分解三个矩阵的乘积形式， 并使中间的矩阵的 秩与原矩阵的秩相同，且左右乘上的矩阵为可逆矩阵。
定 理 1.1.1[1] ： 若
A C mn ， 且 矩 阵 A 满 足 r(A)=r ， 则 存 在 可 逆 矩 阵
Er 0 [1] P C mm , Q C nn ，有 A=P Q 0 0
1.2 矩阵的满秩分解 将任意非零矩阵表示为一列满秩矩阵和一行满秩矩阵的乘积的矩阵分解称 为矩阵的满秩分解 定 理 1.2.1[1] ： 若 A C nm ， 且 矩 阵 A 满 足 r(A)=r ， 则 存 在 矩 阵
G C nr , H C r m ，有 A=GH，其中 G 列满秩阵，H 为行满秩阵且 r(G)=r(H)=r. Er 0 证明： r(A)=r 存在可逆矩阵 P,Q，使 A=P Q 0 0 Er A=P Er 0 Q 0
院（系） 专 业
学生姓名 学 号
指导教师 论文字数完成日期:来自2013 年 5 月 日
巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书
矩阵的分解分析范文
矩阵的分解分析范文矩阵的分解分析是一种重要的数学方法，被广泛应用于多个领域，包括线性代数、数值分析、图论、统计学等。
矩阵分解可以将一个矩阵拆分成几个特定形式的矩阵相乘的形式，从而使得对原矩阵的分析更加简单和高效。
本文将从矩阵的分解基本概念开始，分析常见的矩阵分解方法，并介绍它们在实际问题中的应用。
在矩阵的分解分析中，最基本的概念是矩阵的秩。
矩阵的秩是指矩阵中的线性无关行或列的最大个数。
矩阵的秩与矩阵的特征值和特征向量密切相关。
其中，特征值是矩阵所特有的一个数值，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过特征值和特征向量的分析，可以得到矩阵的谱分解，也就是将矩阵分解成特征值和特征向量构成的矩阵相乘的形式。
在实际问题中，矩阵的分解分析经常运用到矩阵的对角化。
矩阵的对角化是指将一个矩阵通过合适的相似变换（相似变换指矩阵的相似矩阵和原矩阵的乘积等于乘法交换律）转换为对角矩阵的过程。
而对于对称矩阵，可以通过正交相似变换将其对角化为对角矩阵，即正交对角化。
对称矩阵的正交对角化可以通过求解特征值和特征向量来实现，其中特征向量用来构造正交矩阵。
在实际问题中，特别是在机器学习和数据挖掘中，矩阵的分解分析被广泛应用于协同过滤推荐算法、图像处理、文本分析等领域。
其中，协同过滤推荐算法利用矩阵的分解将用户对物品的评分矩阵分解为低秩的用户矩阵和物品矩阵，从而实现个性化推荐。
图像处理中的奇异值分解可以对图像进行降噪和特征提取，从而辅助图像识别和图像分析。
文本分析中的矩阵分解可以对文档进行主题建模和文档相似性计算，从而实现对大规模文本数据的分析和处理。
总之，矩阵的分解分析是一种重要的数学方法，其应用领域广泛，如线性代数、数值分析、图论、统计学等。
通过矩阵的分解分析，可以简化对矩阵的分析和处理，从而实现对复杂问题的计算和求解。
无论是在理论研究还是在实际应用中，矩阵的分解分析都起着重要的作用，对于提高计算效率和解决实际问题都具有重要意义。
毕业论文矩阵分解方法的探讨
毕业论文矩阵分解方法的探讨————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：矩阵分解方法的探讨The discussion about decomposition of Matrix专业: 数学与应用数学作者：指导老师：学校二○一摘要矩阵是数学研究中一类重要的工具之一，有着非常广泛的应用, 矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用. 本文从矩阵的LU分解、矩阵的QR分解、矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行了论述: 给出了矩阵分解的几种方法。
关键词: 矩阵，对称正定矩阵,矩阵的三角分解；矩阵的满秩分解；矩阵的QR分解.AbstractThe matrix is a important tool in class of mathematical research, and it has a very wide range of applications, matrix decomposition plays a key role in matrix theory and development of modern computational mathematics。
This article begin at the discuss from the matrix of LU decomposition、Matrix of the QR Decomposition、Matrix decomposition of full rank and so on。
given a matrix factorization method.Keywords: Matrix; Symmetric positive definite matrix，Triangular decomposition of matrix；matrix full rank decomposition；QR decomposition of matrix.目录摘要 (I)Abstract................................................. 错误!未定义书签。
矩阵的分解及其应用
编号2015110156 研究类型理论研究分类号O24学士学位论文（设计）Bachelor’s Thesis论文题目矩阵分解及其应用作者姓名张志敏学号2011111010156所在院系数学与统计学院学科专业名称数学与应用数学导师及职称袁永新教授论文答辩时间2015年5月21日学士学位论文（设计）诚信承诺书目录1.前言 (2)2. 矩阵分解 (3)2.1矩阵的三角分解 (3)2.1.1矩阵的三角分解基本概念 (3)2.1.2三角分解的应用 (8)2.2矩阵的满秩分解 (16)2.2.1 矩阵的满秩分解基本概念 (16)2.2.2矩阵的满秩分解及其应用 (18)2.3矩阵的谱分解 (21)2.3.1矩阵的谱分解的基本概念 (21)2.3.2矩阵谱分解的应用 (23)2.4矩阵的奇异值分解 (25)2.4.1矩阵的奇异值分解基本概念 (25)2.4.2矩阵的奇异值分解的应用 (26)3．参考文献 (28)矩阵分解及其应用张志敏（指导教师，袁永新教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石 435002）摘要：矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或之和。
在线性代数中，借助于矩阵分解时常可用来解决各种复杂的问题。
矩阵分解理论在统计学，结构动力学等专业领域也有重要的作用。
本文介绍了矩阵的三角分解，矩阵的满秩分解，矩阵的谱分解和矩阵的奇异值分解以及它们的应用，并给出了求解这些分解的实例。
关键词: 矩阵的三角分解；矩阵的满秩分解；矩阵的谱分解；矩阵的奇异值分解中国分类号：O24Matrix Decompositions and its ApplicationsZhang Zhimin（Tutor: Yuan Yongxin）(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University,Huangshi, Hubei, 435002)Abstract: Matrix decomposition means that a matrix is expressed as product or sum of several matrices with simple structures or with special properties. In linear algebra,it can be used to solve the complicated problems. Matrix decomposition theoryplays an important role in statistics, structural dynamics and other professionalfields. This article discusses the triangular decomposition of matrices, the full rankdecomposition of matrices, spectral decomposition of matrices and the singularvalue decomposition of matrices. Some examples are provided to solve thesematrix decompositions.Keywords: Triangular decomposition; Full rank decomposition; Spectral decomposition;Singular value decomposition矩阵分解及其应用张志敏（指导教师，袁永新教授）（湖北师范学院数学与统计学院中国黄石435002）1.前言矩阵是数学研究中一类重要的工具，有着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵理论及计算数学的发展起了重要作用。
浅谈矩阵的分解及应用
编号：08005110218南阳师范学院2012届毕业生毕业论文（设计）题目：浅谈矩阵的分解及应用完成人：xxxx班级：2008-02学制： 4 年专业：数学与应用数学指导教师：xxxxx完成日期：2012-03-31目录摘要 (1)0引言 (1)1矩阵的秩分解 (2)1.1矩阵的满秩分解的基本概念与定理 (2)1.2矩阵的一般秩分解 (3)2矩阵的QR分解 (4)2.1矩阵的QR基本概念与定理 (4)2.2矩阵QR分解的常用方法 (7)3矩阵特征值分解 (8)4矩阵的和分解 (10)4.1矩阵的和分解 (10)4.2积分解 (11)5矩阵分解的实例应用 (11)6总结 (21)7致谢 (21)参考文献 (22)Abstract (22)浅谈矩阵的分解与应用作 者：xxx 指导教师：王骁力摘要：矩阵是数学研究中一类重要的工具之一,有着非常广泛的应用, 矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.本文从矩阵的秩分解、矩阵的QR 分解、矩阵的特征值分解以及矩阵的和积分解四个方面对矩阵分解方法进行了论述，给出了矩阵分解的几种方法.并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性.关键词: 矩阵分解；秩分解；QR 分解；特征值分解；和积分解；应用0 引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为秩分解、QR 分解、特征值分解以及和积分解等几种.矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用.本文从矩阵的秩分解、矩阵的QR 分解、 矩阵的特征值分解以及矩阵的和积分解等角度探讨矩阵的分解方法，将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的和或乘积.这样就能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等. 另一方面, 构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供理论依据.1 矩阵的秩分解1.1 矩阵的满秩分解基本概念与定理定义1.1[]6 若矩阵A 的行(列)向量线性无关, 则称A 为行(列)满秩矩阵. 定义1.2[]4 设A 是秩为r （r >0）的m n ⨯矩阵, 若存在m r ⨯列满秩矩阵F和r n ⨯行满秩矩阵G , 使得A FG =(2.1)则称（2.1）式为矩阵A 的满秩分解.定义1.3[]4 设H 是m n ⨯的矩阵, ()rank Hr =, 满足1)H 的前r 行中每一行至少含有一个非零元素, 且每行第一个非零元素是1, 而后m r -行元素均为0;2)设H中的第i 行的第一个非零元素1位于第()1,2,,i j i r =列,有12rj j j <<< ；3)H 的第1j ,2j ,,r j 列构成m阶单位矩阵I 的前r 列.则称H 为A 的H erm ite 标准型.定理1.1 设A 为任一秩为r 的m n ⨯矩阵, 则A 必有满秩分解式A F G=,其中F 为列满秩的, G为行满秩的.证明 因为A 的秩为r , 所以存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q , 使得000rE PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭若令-10r E F P ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()-1=0rG E Q则F 为m n ⨯列满秩矩阵,G为r n ⨯行满秩矩阵, 且有()-1-1-1-10==0=000r r r E E A P Q P E Q G⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.结论成立.若记()12r =,,,F ααα , ()T12r =,,,G βββ 则有TTT1122==+++r rA FG αβαβαβ (2.2)这里(2.2)式也是A 的满秩分解的一种表示.定理1.2 任何非零矩阵m n A P ⨯∈都存在满秩分解.证明 设()0r A r =>. 则可通过初等变换将A 化为阶梯形矩阵B ,即0G A B ⎛⎫→= ⎪⎝⎭行, r nG P ⨯∈且()r G r=. 于是存在有限个m 阶初等矩阵的乘积P ,使得0G P A B ⎛⎫== ⎪⎝⎭或者 -1=A P B .于是110G A PB P--⎛⎫== ⎪⎝⎭.将1P -作相应的分块,()1PFS -=, m n F P ⨯∈, ()m n r S P ⨯-∈.则有()100G A P B FS F G S FG -⎛⎫===⋅+⋅= ⎪⎝⎭.其中F 为列满秩矩阵,G 为行满秩矩阵.由于初等行变换有三种变换：1、调换两行; 2、某一行乘以一个非零常数; 3、某一行乘以一个非零常数加到另一行. 实际上只用第三种初等变换方法就可以将其化为阶梯形.值得指出的是,A 的满秩分解式为(2.1)与(2.2)并不是惟一的. 现对任一r阶可逆方阵H , 总有()()-1===A FG FH H G FG(2.3)成立，且,F G 分别为m r ⨯列满秩矩阵与r n ⨯行满秩矩阵. 因而(2.3)式也是A 的一个满秩分解式.定理1.3[]5 设r rrA C ⨯∈, 且A BC BC == 均为A 的满秩分解, 则 1) 存在矩阵r rrQ C ⨯∈,使得B BQ= ,1C Q C-=;2)()()()()1111HHHHH H H HCCCB B BCCC BB B----= .定理 1.4[]4 设A 是m n ⨯的矩阵,()0rank H r =>,其H erm ite 标准型为H ,则在A 的满秩分解中, 可取F 为由A 的12,,,r j j j ⋯列构成的m r ⨯的矩阵, G为H的前r 行构成的r n ⨯的矩阵.定理1.5[]3 矩阵满秩分解的存在性定理1)设()0m n r A C r ⨯∈>,则使用初等行变换可将A 化为H erm ite 标准型; 2) 设()0m n r A C r ⨯∈>, 则存在m rrF C ⨯∈和r n rG C⨯∈, 使得A F G=.1.2 矩阵的一般秩分解定义1.4 任一矩阵m nA ⨯，都存在可逆矩阵P 、Q ，使000rE A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中r 为矩阵A 的秩.称形如这样的分解为矩阵的秩分解.定理1.6 秩为r 的实矩阵m nA ⨯都可分解成m rr n A PQ ⨯⨯=.证明：由定义2，知存在可逆矩阵P 、Q ，使得000rE A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭因此，得()00000rr r m r r nE E A P Q P E Q P Q ⨯⨯⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得证.定理1.7 秩为r 的实矩阵m nA ⨯可分解成r 个秩为1的矩阵之和.证明：由定义2，知 存在可逆矩阵P 、Q ，使得000rE A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭因此，得10001000rri in nEA P Q P Q =⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭∑而秩0010in nP Q ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭秩00110in n⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1,2,,i r= ，得证.2 矩阵的QR 分解2.1 矩阵的QR 分解基本概念与定理定义2.1[]7 设n u R ∈是单位列向量,即1T u u =, 称矩阵2HH I uu=-为H ouseholder 矩阵. 由H ouseholder 矩阵确定的n R 上的现线性变换y Hx =称为H ouseholder变换. 若u 不是单位向量, 则定义222THI uuu=-为H ouseholder 矩阵,对应的变换成为H ouseholder 变换.H ouseholder矩阵具有如下性质: 1)TH H=（对称矩阵）;2)T H HE=（正交矩阵）;3)2H E =（对合矩阵）; 4)1H H -=（自逆矩阵）; 5)00r E H ⎛⎫⎪⎝⎭是1n +阶H ouseholder 矩阵;6)1H =-.定义2.2[]7 如果实（复）非奇异矩阵A 能够转化成正交（酉）矩阵Q 与实（复）非奇异上三角矩阵R 的乘积, 即A QR =,则称上式为A 的QR 分解.定理 2.1[]7 任何实的非奇异n 阶矩阵A 可分解为正交矩阵Q 和上三角矩阵R 的乘积,且除去相差一个对角线元素之绝对值全等于一定对角矩阵因子D 外, 分解式A QR =是惟一的.定理2.2[]5 设A 为m n ⨯复矩阵()m n ⨯, 且n 个列向量线性无关, 则A 有分解式A U R =,其中U 是m n ⨯复矩阵, 且满足H U U I=,R是n 阶复非奇异上三角矩阵, 且除去相差一个对角线元素的矩阵行列式全为1的对角矩阵因子外,分解式A U R =是惟一的.推论[]5 设A 为m n ⨯实（复）矩阵, 且其n 个列向量线性无关, 则存在m 阶正交（酉）矩阵Q 和n 阶非奇异实（复）上三角矩阵R , 使得0R Q A ⎛⎫= ⎪⎝⎭定理 2.3[]9 如果在非奇异矩阵A 的QR 分解中规定上三角阵R 的各个对角元素的符号, 则A 的QR 分解式惟一的.定理 2.4 设A 为任意的m n ⨯矩阵, 且()rank A r =, 则存在m 阶正交矩阵T H 与n 阶正交矩阵K , 使得T H AK R =或TA HRK=， 这里R 为m n ⨯矩阵, 他可以表示为一个准对角矩阵形式:11000R R ⎛⎫=⎪⎝⎭其中11R 是r 阶的下三角非奇异方阵, T H AK R =或TA HRK=又称为A 的正交三角分解.定理2.5 设m n A C ⨯∈, 则存在酉矩阵m m Q C ⨯∈, 使得A QR =, 其中m nR C ⨯∈是阶梯型矩阵.定义2.3 设A 为n 阶实可逆矩阵，则可分解为A QR =，其中Q 为正交矩阵，R 为一个对角线上全为正数的上三角形矩阵.称形如这样的分解为矩阵的QR 分解.定理2.6 实矩阵m nA ⨯可以分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵及一个正交矩阵的积.即A U RV =，其中U 、V 为正交矩阵，r 为A 的秩且10ra a R ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，0ia>，1,2,,i r = .证明 已知存在可逆矩阵P 、Q ，使得000rE A P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭对P 、Q '作QR 分解，使得11P Q R =，22Q QR '=，其中1Q 、2Q 为正交矩阵，1R 、2R 为上三角矩阵，从而有1122000rE A Q R R Q ⎛⎫''=⎪⎝⎭将1R 、2R '分块成与等价标准形能积的形式：12130B B RB ⎛⎫= ⎪⎝⎭、12230C C R C ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，1B 、1C 为r阶方阵.记11G B C '=，由定理1.2，得G G '为实对称的正定矩阵.且有1212111211221212330000000000rrB BC C E E B C B C A Q R R Q Q Q Q Q B C ⎛⎫''⎛⎫''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）由定理3.3，得存在r 阶正交矩阵1P ，使得111111111r r r G G P P P P λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪'== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中0i λ>1,2,,i r = 记11r R λλ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭，得1111111111111()()(())(())r E R P G G P R G P R G P R -----''''==, 从而知111()GP R-'为正交矩阵.现令1111()11m mG P R U -⨯⎛⎫'⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、1111n nP V ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭显然1U 、1V 为正交矩阵. 由（1）式，得111111112111212111200(())000000000R R B C B C GP R R P A Q Q Q Q Q U V Q U V -⎛⎫⎛⎫'''⎛⎫⎛⎫'''==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中11UQ U =、12V V Q '=为正交矩阵，现令ii aλ=，1,2,,i r = ，则100ra a R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且A U RV =. 得证.2.2 矩阵QR 分解的常用方法 2.2.1 利用H ouseholder 矩阵变换将矩阵A 的列向量一次实施H ouseholder 矩阵变换, 简记H , 使之化为以具有1个非零元, 2个非零元,…, n 个非零元作为列向量的上三角矩阵R , 即若有121n H H H A R -= ,则121n Q H H H -= . 2.2.2 利用QR 分解公式设()12,,,n A ααα= , ()12,,,Tn Q q q q =,Q为（列）正交矩阵,R为上三角矩阵, 即1112122200r rrr d d d d d R d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 若A有QR分解, 则由A Q R =,有1111d q α=,11111q d α==, 即111d α=,111q αα=,…得A 的QR 分解公式:111d α=,111q αα=,Tkj k i d q α=,1,2,,1k i =- ,ii i jiid dq α=-∑i ji i i iid q q d α⎛⎫- ⎪⎝⎭=∑,i =1, 2, …, r .利用对矩阵A 的列向量进行标准正交化得到Q , 且T R Q A = 2.2.3 利用列初等变换法步骤如下:1)构造矩阵T A A P A ⎛⎫= ⎪⎝⎭;2)对P 作初等列变换将T A A 化为下三角矩阵1R , 同时A 化为列正交矩阵1Q ;3)对上述得到的矩阵11R Q ⎛⎫⎪⎝⎭,再利用初等列变换化1Q 的各列向量为单位向量, 则1Q 化为列正交矩阵, 同时1TRR=, 即1T R R =.3 矩阵特征值分解定义3.1任意n 阶矩阵A ，存在酉矩阵T ，使得110n A T T λλ-*⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,,n λλ 为矩阵A 的特征值，称形如这样的分解叫做矩阵A的特征值分解.性质 3.1 任意n 阶矩阵A ，存在酉矩阵T ，使得11s J A TT J -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其11i iiii i n nJ λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1,2,,i s = 且1,,sλλ 为矩阵A 的特征值.对于对称矩阵有如下结论:定理 3.1 若A为n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T ，使得11n A TT λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中1,,nλλ 为矩阵A 的特征值.证明:由定义1知 存在酉矩阵T ，使得110n A TT λλ-*⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭又由于A 为n 阶实对称矩阵，因此111111000n n n A TT T T A T T λλλλλλ---'⎛⎫**⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪'==== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪*⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而，得1100n n λλλλ*⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭,因此11n A T T λλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，得证.定理3.2 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵B ，使得A B B '=.证明:必要性:因为A 为正定矩阵，由定理1.1，得存在可逆的正交矩阵T ，使得11n A TT λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且0iλ>，1,2,,i n = ,令11n B T T λλ-⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则()111111n n n B a TT T T T T λλλλλλ---'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪'''=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而有1111n n B B T TT T λλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()211112n nT T T T A λλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭充分性:因为A B B '=,则()()A B B B B B B A '''''''====,因此A 为对称矩阵. 又任意不为零的向量x ，有()()x Ax x B Bx Bx Bx ''''==令12(,,)Bx x x = ，又B 为非奇异矩阵,从而知12(,,)0Bx x x=≠因此22212()()0n x Ax Bx Bx xx x ''==+++> ,所以A为正定矩阵. 得证.定理3.3 设A 是n 阶实对称矩阵，则A 是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵B ，使得kA B =，k 为任意正整数.证明:必要性:因为A 为正定矩阵，由定理1.1，得存在可逆的正交矩阵T ，使得11n A TT λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且0iλ>，1,2,,i n =对任意的正整数k ，令11kkn B T T λλ-⎛⎫⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则有()()111111kk kkk kkkn n nB T T T T T T A λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭充分性:由于B 为正定矩阵，因此对任意的非零向量x ，有0x Bx '>. 又kA B =，则有()()kkk A B B B A '''====即A 为对称矩阵且有kx Ax x B x ''=① 当k 为奇数时,1122()()k k kx Ax x B x B x B B x --'''==,又B 为正定矩阵，因此12k Bx -≠，即有22()()0k kkx Ax x Bx B x B B x '''==>② k 为偶数时，22()()kkkx A x x Bx B x B x '''==，又B 为正定矩阵，因此2k Bx ≠，即有22()()0kkkx Ax x Bx B x B x '''==> 从而，知对任意不为零的向量x ，有x A x '>.因此A 是正定矩阵.得证.定理3.4 设A 为一个n 阶可逆矩阵，则存在一个正定矩阵S 和一个正交矩阵U ，使得A U S =或A SU =.证明：由B A A '=为正定矩阵，得存在正定矩阵S ，使得2B S =令1UAS-=，则()11U AS S A --'''==，从而有11121U U S A AS S S S E ----''===因此1U AS-=为正交矩阵.且又1US AS S A -==，同理可证A SU =的结论.得证. 4 矩阵的和积分解 4.1 和分解定理4.1：任一n 阶矩阵A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.证明:令1()2B A A '=+、1()2C A A '=-，则111()()()222B A A A A A A B'⎛⎫''''=+=+=+= ⎪⎝⎭111()()()222C A A A A A A C'⎛⎫''''=-=-=--=- ⎪⎝⎭知B 为对称矩阵，C 为反对称矩阵.且有11()()22B C A A A A A ''+=++-=4.2 积分解定理4.2: 任意方阵可分解为两个对称矩阵之积，其中一个对称矩阵为可逆的.证明：设A 是任一n 阶方阵，则存在n 阶可逆矩阵T ，使得：-1A=T JT .其中：1J J J k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121J 11i i λλλ⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，(1,2,,)i k = . 取11H 1i ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，H i与J i阶数相同，(1,2,,)i k = .显然有11H'H H ,H 'H i i i i i i i J J --===(1,2,,)i k = .令12H H H H i k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则H 为n 阶可逆阵.5 矩阵分解的实例应用例 1 已知A 是一个23⨯矩阵12-324-6⎛⎫⎪⎝⎭, 则A 的秩为1, 且它的满秩分解为()1==12-32A FG ⎛⎫⎪⎝⎭显然, 分块矩阵()0=0000r r r E E E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例 2求矩阵133226951330A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的满秩分解. 解 由题可知,()20rank A =>, 由定理2.4 可得32211231221332133200310031000620000r r r r r r r r G A ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−−→−−−→ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中13320031G ⎛⎫= ⎪⎝⎭3211001001001000100102102100201101121P E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1100210121P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭对单位下三角矩阵求逆矩阵等于把严格下三角部分元素变号即可.取1P -的前两列构成102112F ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则10133221003112A FG ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪-⎝⎭.例3求矩阵1111111111111111-⎛⎫⎪---⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭的满秩分解.解1111100011110111111100001111000A B -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪⎪=−−→= ⎪⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭行,()2rank B =且B 中的第1列和第2列为单位矩阵的前两列,故1111100011011111A -⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭⎪⎝⎭例 4已知31000410A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求A 的QR 分解.解由H ouseholder 变换易得10.600.80100.800.6H ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭令115140002A H A ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,又2100001010H ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,可使215140200H A R ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭从而120.60.800010.80.60Q H H ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭例5用正交化方法求矩阵011110101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的QR 分解.解 由已知, 把列向量()10,1,1Ta =,()21,1,0Ta =,()31,0,1Ta =正交化可得()110,1,1Tb a ==2211111,,222Tb a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭332111222,,32333Tb a b b ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭构造矩阵21063111263111263Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭, 11222316623R ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则有A QR =.例6将矩阵132111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭分解为QR 形式.解 取121311TA ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 则66611T A A ⎛⎫=⎪⎝⎭, 用-1乘以第一列加到第二列,则有116125606566601261165651312222121651110106T TA A R P A Q ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==→−−−−→= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第列第列, 即6605R ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭,12652165106Q ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 例7设矩阵308316205A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，求100502AA-.解 对矩阵E A λ-作如下的初等变换38316111316308308205205205E A λλλλλλλλλλλ--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-=---→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111000(1)(3)(1)(5)02(1)3(1)02(1)3(1)0(1)(3)(1)(5)λλλλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪→--+-→-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-+--+-⎝⎭⎝⎭2210010002(1)3(1)02(1)61100(1)00(1)22λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪→-+→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22100100062(1)010100(1)(1)0(1)02λλλλ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭-+ ⎪⎝⎭所以A 的初等因子为1λ-，2(1)λ+. 所以A 的Jardon 标准形为:1100010011A T T -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭从而得10050100501110010020102010011011A AT T T T --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭111002000100200100101002T T T T --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1100010001T T E --⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭即100502AAE-=-例8 设A 为n 阶实矩阵，E 为n 阶单位矩阵.证明：()()rank A iE rank A iE -=+，其中i 为虚数单位.解 由定理1知:存在可逆的酉矩阵T ，使得110n A T T λλ-*⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭从而有110n iA iE TT i λλ-+*⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭110n i A iE TT i λλ--*⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭由于A 为n 阶实矩阵，所以A 的特征多项式为n 次实多项式，又实多项式的复根是成对共轭出现的，因此A 的复特征值出是成对共轭出现的.①当A 的所有特征值都不是i （或i -），则A 的特征值不存在i -（或i ）. 则此时0k i λ±≠，1,2,,k n =且有1()0nkk i λ=+≠∏， 1()0nkk i λ=-≠∏而此时111()0nkk n iA iE TT i iλλλ-=+*+==+≠+∏111()0nkk n iA iE TT i iλλλ-=-*-==-≠-∏从而得()()rank A iE rank A iE n -=+=②当A 的特征值中存在有i （或i -），则A 一定有一特征值i -（或i ）存在.并且有几个i （或i -）存在相应的就有几个i -（或i ）存在.又由于110n iA iE TT i λλ-+*⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭，110n iA iE T T i λλ--*⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪-⎝⎭从而知111()()()00n n i i rank A iE rank TT rank i i λλλλ-+*+*⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+== ⎪ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭111()()()00n n i i rank A iE rank TT rank i i λλλλ--*-*⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1()0k n irank i i λλλ+*⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭（1,2,,k n = ）中不为零的个数s1()0k n i rank i i λλλ-*⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（1,2,,k n = ）中不为零的个数s从而可得()()rank A iE rank A iE n s-=+=-得证.例9 设A 是秩为r 的n 级矩阵. 证明:存在秩为n r -的方阵B 和C 使得AB C A O==.证明 因为A 是秩为r 的n 级矩阵，由性质2得 存在可逆矩阵P 、Q ，使得000rE A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭现令11000n r B QP E ---⎛⎫= ⎪⎝⎭、11000n r C P Q E ---⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有1110000000000000rrn r n r E E AB P QQ P P P E E -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1110000000000000rrn r n r E E CA QP P Q Q Q E E -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得证.例10设113113226A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求2002A.解 由于()1rank A =，则由性质2，知()113111311132262A αβ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中112α⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()113β=-，则有()1113142βα⎛⎫⎪=--= ⎪ ⎪⎝⎭所以2002200220012001200120113()()444113226AA αβαβαβαβ-⎛⎫⎪=====-- ⎪ ⎪-⎝⎭例11 设A 为n 阶矩阵，且2A E=，证明：秩()A E ++秩()A E n -=.解 由于2A E=，则2()()0A E A E A E -=+-=因此2(1)(1)1x x x +-=-为A 的化零多项式 从而有2()|1A m x x -所以A 的最小多项式的根只能为-1或1又A 的特征多项式与最小多项式有相同的根，因此A 的特征值为-1或1 假设A 的特征值中有r 个-1（或1），则A 的另外的n r -个特征值必为-1（或1）.由性质1，知 存在正交矩阵T ，使得11111rA T T --⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭则有11111111111rrA E T T E T T T ET -----⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111111111rrT E T T T --⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--+ ⎪⎪⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1022rT T -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此00()22rrank A E rank n r ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭同理可得111212110rrA E T T E T T ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有22()00rrank A E rank r -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭从而有秩()A E ++秩()A E n r r n -=-+=得证.例12 设A 为n 级矩阵, 求证: (1) 存在正整数m 使得秩(m A ) =秩(1m A +); (2) 若存在正整数m 使得秩(m A )=秩(1m A +), 则对于任意正整数j , 秩(m A )=秩(m j A +).证明 由性质1',知,存在酉矩阵T ，使得11s J A TT J -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中11i ii ii i n nJ λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1,2,,i s = 且1,,sλλ 为矩阵A 的特征值.不妨假设120r λλλ==== 、120r r s λλλ++===≠ ，则可得11i iiii i n nJ λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1,2,,i r r s =++为可逆矩阵，因此对任意的正整数k ，l 有()()kli i r J r J =，1,2,,i r r s =++ （2）又对任意,ik l n ≤，()()k li i r J r J ≠，且()0i n ir J=，1,2,,i r = （3）因此可令12max(,,,)r m n nn = ，则由（3）式，知()0mi r J = （4）由（4），得对任意的k m ≥，有()0m ir J= 从而由（2）、（4），得 秩()mA1()si i r r J =+==∑秩1()m A +且对任意的正整数j ，也有秩()mA1()si i r r J =+==∑秩()m j A +得证.6 总结本文从矩阵的秩分解、矩阵的QR 分解、矩阵的特征值分解以及矩阵的和积分解四个方面对矩阵分解方法进行了论述，给出了矩阵分解的几种方法. 并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性.让大家对矩阵的分解有了一定的认识.也能够多思维的思考矩阵方面的问题，对解决矩阵类问题有了一定的推动作用. 7 致谢本文是在导师王骁力教授的悉心指导下完成的，导师在学业上的谆谆教诲和身体力行，在生活上的默默关心和无私帮助使我受益匪浅，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师对科学事业的献身精神以及高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.参考文献[1] 王岩,王爱青.矩阵分解的应用[J].青岛建筑工程学院学报,2005,26(2):90-93.[2] 屈立新.关于矩阵的分解形式[J].邵阳学院学报(自然科学版),2005.2（3）:4-5.[3] 张贤达.矩阵分析及应用[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.[4] 刘慧,袁文燕,姜冬青.矩阵论及应用[M]. 北京: 化学工业出版社,2003.[5] 方保镕,周继东,李医民.矩阵论[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004.[6] 刘丁酋.矩阵分析[M].武昌: 武汉大学出版社, 2003. 8.[7] 廖安平,刘建州.矩阵论[M].长沙: 湖南大学出版社, 2005. 7.[8] 冯天祥, 李世宏. 矩阵的QR分解[J]. 西南民族学院学报20:4（2001）[9] 曲茹,王淑华.正交矩阵的正交分解[J].高师理科学刊,2001,21(2):19-22.[10] 史秀英.对称矩阵的分解及其应用[J].内蒙古大学报(自然科学(汉文)版),1999,28(4):1-2.[11] 章朝庆.矩阵QR分解的一种简便求法[J].泰州职业技术学院学报，2005,5（4）：41-43On the Matrix Decomposition and its ApplicationsDONG ShanshanAbstract : Matrix is one of the most important tools in mathematical study.It had been widely used.Matrix decomposition played a crucial role in development of matrix theory and computational mathematics.In this thesis,starting from the rank decomposition,QR decomposition,matrix eigenvalue decomposition and decomposition,I discussed the matrix decomposition and demonstrated several methods on it.Finally,some particular examples were given to illustrate the importance of matrix decomposition in practical application.Key words : matrix decomposition; rank decomposition or decomposition; application。
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板
大学矩阵数学论文1200字_大学矩阵数学毕业论文范文模板大学矩阵数学论文1200字(一)：浅谈矩阵在离散数学中的应用摘要：离散数学是计算机学科的一门重要的专业基础课，扎实的基础是非常重要的。
本文就矩阵在离散数学中的各种应用展开讨论，并实例说明。
关键词：矩阵；离散数学；运用引言：随着计算机科学的发展，重点研究有限系统的离散数学已经成为一门越发重要的科学，数字计算机本质上是一个有限结构，它的许多性质都可以在有限数学系统的框架下得到解释。
矩阵是一种有力的数学工具，本文就矩阵在离散数学中的应用展开讨论，总结了矩阵在离散数学中的应用类型，以期对初学者和数学工作者在学习离散数学时提供学习辅导和参考资料。
定义1给出m×n个数，按一定顺序排成一个m行、n列的矩形数表此数表称为m行n列矩阵。
常记a=，或a=（），或。
有关应用及其举例一、二元关系的表示定义2设a，b为有限集，构造一个矩阵，以a的元素和b的元素分别标注其行与列，对于a∈a和b∈b。
视a，b是否具有关系r，在a行和b列交叉处标上1或0.这样得到的矩阵称为关系矩阵。
例如：a={1，2，3，4}，在a上定义二元关系r为大于关系，表示x大于y，采用列举法为r={<2，1>，<3，1>，<4，1>，<3，2>，<4，2>，<4，3>}.则关系矩阵为二、图的表示和邻接矩阵定义3设无向图g=，v={v1，v2，vn}，e={e1，e2，，em}。
令为节点vi 与边ej关联的次数，则称矩阵为g的关联矩阵，记为m（g）。
例如：无向图g如下所示，则m（g）为：定义4设图g=为有向图，v={v1，v2，vn}，即有n个节点，令是vi邻接到vj的边的数目，则称矩阵为g的邻接矩阵，记为a（g）。
例如：有向图ｇ如下三、用矩阵求关系合成和偏序中的盖住关系（一）关系合成设和分别表示关系r和s的矩阵，令m=，则m中的非零元素表示其对应的元素具有关系。
矩阵理论的论文作业
矩阵分解在数值计算中的应用【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。
由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具．在广义逆矩阵问题和统计学方面都有重要应用。
关键词 ： 矩阵分解 对角化 逆矩阵 范数 条件数 斜量法引言矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中,而这主要就是关系到储存和计算时间的问题上面,如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。
在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍；了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。
最后就是介绍了斜量法运用，并对其进行了些许改进。
1. 矩阵的三角分解数值求解线性方程族的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。
其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。
矩阵的一种有效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。
考虑一般的线性方程组，设其中的系数矩阵A 是可逆的，1111n m mn a a A a a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭（1-1） 设矩阵A 的第一列中至少有一个是非零元素（否则A 就是奇异矩阵）不妨设为1i a 若一般的记初等矩阵[1]101(,)11i P i j j i j⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1-2） 根据矩阵理论的知识我们知道矩阵(,)P i j 左乘矩阵A ，作用就是对换A 的第i 和第j行，右乘A 的作用是对换A 第i 和第j 列。
因此通过取11(1,)P P i =，则矩阵111()ij A P A a ==中的1110a ≠。
毕业论文终稿 矩阵分解的初等方法
X X X X 大学本科毕业论文（设计）题目：矩阵分解的初等方法学院：学生姓名：学号：专业：年级：2008级完成日期：2012年5月10日指导教师：矩阵分解的初等方法摘要：矩阵是大学数学中一个重要的、有着广泛的应用的工具,它涉及到矩阵分析，线性代数和泛函分析等多个数学科目. 本文从矩阵的三角分解、矩阵的QR分解、矩阵的满秩分解、矩阵的奇异值分解、矩阵的谱分解和矩阵的极分解等几个方面，对矩阵分解的初步方法进行了概括总结性论述。
关键词: 矩阵；初等；分解；应用The Elementary Method of Matrix DecompositionAbstract：Matrix is an important tool in the study of university mathematics, which has a wide range of applications. It involves several mathematical subjects, such as matrix analysis, linear algebra and functional analysis. From the triangular decomposition of the matrix, the matrix of the QR decomposition, the matrix of the full rank decomposition, singular value decomposition, the spectral decomposition of the matrix , the matrix polar decomposition and other aspects, this paper discusses the initial method of matrix decomposition systematically in the summary.Keywords: matrix; elementary; decomposition; application目录1 矩阵的三角分解 (1)1.1 Gauss消元法的矩阵形式 (1)1.2 矩阵的三角分解 (2)1.3三角分解的紧凑计算格式 (3)1.4 矩阵的三角分解与解线性方程组 (7)2 矩阵的QR分解 (8)2.1 矩阵的QR分解基本概念、定理与方法 (8)2.2 直线度误差数学模型的建立及矩阵QR分解 (10)3 矩阵的满秩分解 (12)3.1 矩阵的满秩分解基本概念、定理 (12)3.2 矩阵的满秩分解的方法 (13)4 矩阵的谱分解 (15)4.1 矩阵的满秩分解基本概念、定理 (15)5 矩阵的奇异值分解与极分解 (17)5.1 矩阵的奇异值分解基本概念、定理 (17)5.2 矩阵的极分解基本概念、定理 (19)6 矩阵分解的应用与举例 (20)参考文献 (26)引言矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等. 另一方面, 构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供了理论依据. 本文从矩阵的L U 分解； 矩阵的QR 分解； 矩阵的满秩分解等几个方面对矩阵分解方法进行论述: 探讨矩阵分解的初等方法. 1 矩阵的三角分解1.1 Gauss 消元法的矩阵形式 定义1.1.1 形如k L =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+10010101,1nkkk l l )1,,2,1-=n k的矩阵称为初等下三角矩阵，其中ik l =kkik a a ()n k i ,,1 +=且主对角线元素皆为 1 ，其余元素皆为零。
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学士学位论文矩阵的分解学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向代数学学生姓名林意学号200920134781指导教师姓名周末指导教师职称教授2014 年4 月16 日矩阵的分解摘要众所周知，矩阵是代数学中的一个重要概念，它的出现促进了代数学的快速发展．矩阵分解作为矩阵理论中非常重要的一部分，是指将一个矩阵分解成一些特殊类型矩阵的乘积和）的形式．矩阵分解的内容丰富，形式多样，是解决某些线性代数问题的重要工具．本文主要从矩阵的 QR分解、满秩分解、三角分解和奇异值分解等方面对矩阵的分解作了论述，先给出了这几种分解形式的定义以及相关性质，然后给出了它们各自的具体的分解方法，最后通过例题的形式将各分解方法呈现出来 .关键词：矩阵；分解； QR 分解；三角分解；满秩分解The Decomposition of the MatrixABSTRACTAs everyone knows ，matrix is one of the most important concepts in algebra ，whose appearance promotes the development of algebra． While as a significant part of the theory of matrix ，the decomposition of matrix aims at decomposing a matrix into the product(or sum) of several specific kinds of matrices ．The decomposition of matrix not only concludes rich contents and forms ，but also works as one of the significant methods in dealing with some linear algebra problems ．In this paper ， the decomposition of matrix is mainly introduced from the aspects mentioned below ， such as QRdecomposition ，full rank decomposition ，LU decomposition and soon ．Firstly ，the definitions and related properties of these forms of decomposition are given ．And then ，specific decomposition ways of theirs are illustrated ． Finally ，these decomposition methods are clearly presented by the forms of some examples．Keywords ：Matrix ；Decomposition ；QR Decomposition ；LU Matrix Decomposition ；Full Rank Decomposition目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)一、引言 (1)二、矩阵的 QR分解 (1)（一）矩阵 QR分解的基本概念及定理 (1)（二）矩阵 QR 分解的常用方法及应用举例 (1)三、矩阵的三角分解 (8)（一）矩阵三角分解的基本概念及定理 (8)（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例 (9)四、矩阵的满秩分解..................................................15（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理 (15)（二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例 (15)五、矩阵的奇异值分解................................................17（一）矩阵奇异值分解的基本概念及定理 (17)（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例 (18)六、结论............................................................20参考文献 (20)致谢................................................. 错误！未定义书签。
、引言矩阵分解是代数学中的一个重要概念．把一个矩阵分解成若干个矩阵的和或乘积的形式 是解决某些线性代数问题的重要方法，如解矩阵方程和最小二乘问题等．本文将从矩阵的 QR 分解，满秩分解，三角分解以及奇异值分解等方面对矩阵分解进行探讨．对于本文中所涉及到的一些概念，我们做如下规定：用R 表示实数域； R n表示实数域上 n 维向量空间； C n表示复数域上 n 维向量空间； Rm n表示实数域上 m n 矩阵空间； Cm n表示复数域上 m n 矩阵空间； E n 表示单位矩阵； A T表 示矩阵（或向量） A 的转置； A H表示矩阵（或向量） A 的共轭转置；diag 1, 2,L , n 表 示 n 阶对角矩阵．二、矩阵的 QR 分解（一）矩阵 QR 分解的基本概念及定理定义 2.1 对于 n 阶复矩阵 A ，若满足 A HA AA HE ，则称 A 是酉矩阵． 定义 2.22如果方阵 A 可以分解成一个酉 （正交）矩阵 Q 与一个复（实）上三角矩阵 R 的乘积，即 A QR ，则称上式为 A 的一个 QR 分解．定理 2.12 如果 n 阶方阵 A 为非奇异实 （复）矩阵，则存在正交 （酉）矩阵 Q 和非奇异实 （复） 上三角矩阵 R ，使得A QR 且除去相差一个对角元绝对值 （模）全等于 1 的对角矩阵因子外，分解式是唯一的．（二）矩阵 QR 分解的常用方法及应用举例1、利用 Schmidt 正交化方法进行 QR 分解方法： 1 ．写出矩阵的列向量组；则a1, a2 ,a3 b1,b2,b3 C q1,q2,q3 HC ，2、Givens 变换法求矩阵的QR 分解所以它是正交变换，从而A是正交矩阵，且detA 1．定义2.3 3一般的，在n维欧式空间R n中取定一组标准正交基e1,e ,L ,e，在平面2．把列向量组按照Schmidt 方法进行正交化；3．得出矩阵的QR 分解．例 2.1 用Schmidt 正交化方法求矩阵124A 2 1 4 的QR 分解．122T T T 令a1 1,2,1 ，a22,1,2 ，a3 4,4,2 将a1,a2,a3 正交化得Tb 1 a11,2,1 ,b2a2a2,b1b,b b1a2 b1 1, 1,1T,b3 a3 32b2 37b1 1,0, 1 Tb1,b1 3 31 1 7 3记C 0 1 2 3 ，则a1,a2,a3 b1,b2,b 3 C ，再将b1, b2 ,b3单位化，得0 0 1q166,3663,q233 3 3233, 3,q333 2233 033 2222,0,22 T．22R HC 732317632 33 ，则有A QR ．在平面解析几何中，使向量x顺时针旋转角度后变为向量y 的旋转变换为cos y sin sinx Axcoscos，其中A c s o i s nsincos因为旋转变换不改变向量的模，，记H66令Q q1 ,q2, q3 = 6 366r ij ，它所确定的线性变换叫做 Givens 变换（初等旋转变换）．Givens 变换可以将向量或矩阵中指定的元素化为零．定理 2.22设 A 是n 阶非奇异实矩阵， 则存在由有限个初等旋转矩阵的乘积构成的正交 矩阵 Q 和一个上三角矩阵 R ，使得 A QR ．e i ,e j 中旋转，它的矩阵表示是cossinR ijsincosr ii cos ,r ij sin ,r ji sin ,r jj cos ， 为旋转角，其他元素为 0． 令 c cos ,s sin ，则 22c2s2这时RijR ij 叫做 Givens 矩阵（初等旋转矩阵）110101 011 解 （1）对 A 的第一列 1 1,1,0 T ，取例 2.2 用 Givens 变换求矩阵 A 的 QR 分解．2 c ,sx 2 x 22x 2x1x22 x 222,T 12 2 222 22 0，则22T 12 12,0,0 ,T 12 A2 2 022 220 2 2 2 0 2 2 0122 22. 12）然后对 T 12A 的右下方子矩阵A 112 2 2 2 ， 1取 c 2 12 3,s2x22 x 12 x 223x 12 x 221 6，则 T 23A16 2x1 则T 23 12,0T3 3 6 3 ，6 3 3 36 6．2 3 33）再令 T22 T 126 6 33 2 26 6 6 6 ，于是得到 3 3 3 32 2 2 2 01102 2 2 2 2 R TA6 6 6 6 6 3 1010 6 2 6 63 3 3 3 3 3 0110 0 2 3 322 22 066 66 63333 3 ． 333、Householder 变换求矩阵的QR 分解般的，在R n中，是非零的单位向量，将向量映射为关于与正交的n 1维子空间对称的向量的镜像变换定义如下．定义2.43设R n是非零的单位向量，n阶矩阵H E n 2 T称为Householder 矩阵（初等反射矩阵），变换H （R n）称为Householder 变换（初等反射变换）定理2.33设A是n 阶非奇异矩阵，则存在由有限个初等反射矩阵的乘积构成的正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使得A QR ．例 2.3 用Householder 方法求矩阵A 的QR 分解．H1 解（1）对A 的第一列 122作H22）对A 10,1,0 0, 1 1，取单位向量E222 2T3）令S10 3 1010 1045353545，从而H 2 A1H2H145355 ，取单位向量010 01000013 5 ，从而可得E3 2 1 12的第 1 列 1 14,3 T , 112,035451451 0 1 1 1 0 45 35R SA H1A 0 5 2 ，以及正交阵Q S 1 S T 1 0 00 H2200 1035 454、利用初等变换求矩阵的QR 分解矩阵的初等变换共有三种，其中把数域P上矩阵的某一行（列）的c倍加到另一行（列）上，这种初等变换称为第三种行（列）初等变换（c 为任意实数）．定理2.44设A是一m n实矩阵，若A是列满秩矩阵，则A T A对称正定，因而A T A有唯一的三角分解式A T A LDL T，其中L 是单位下三角，D 是对角元全为正数的的对角矩阵．定理2.54若A m n是一个列满秩矩阵，则A总可经过一对第三种行和列的初等变换分解为A QR 的形式，其中Q 是一个列正交矩阵，R是非奇异上三角矩阵．步骤：1．求出对称正定矩阵A T A ；2．对A T A同时进行相应的第三种初等行和列变换，得到对角矩阵且主对角线上元素全为正实数．因为对矩阵施行行初等变换相当于用相应的初等矩阵左乘该矩阵，对矩阵施行列初等变换相当于用相应的初等矩阵右乘该矩阵，所以存在下三角矩阵B 和上三角矩阵B T（显然可逆），使得B T A T A B diag d1,d2, ,d n ，d i 0,i 1,2, ,n ；3．设C diag d1, d2 , , d n ，C 1B T A T A BC 1 ABC 1 T ABC 1E ，其中E 为单位矩阵．令Q ABC 1，则Q 是一个列正交矩阵，R CB 1是一个非奇异上三角矩阵，即得分解式．28 20 24解A T A 20 15 16，24 16 23 对A T A 只用第三种初等变换4．2.4 用初等变换求矩阵A 的QR 分解．28 20 24 28 20 0 280 0 280 020 15 1620 15 870 57 870 57 0 A TA24 16 230 87 17 70 87 17 70 0 35 E10 010 67157 67157 21 01 01 01 850 10 10 10 12157 227 0 0 C，B 01 85 ,C0 35 7 0 B10 0 15 51 57 677 14 0 0 则B10 1 8 5， C 10 35 5 0115 3因此可得5 、利用行 ( 列) 初等变换法 步骤如下：TA TAA(ii)对 P 用第三种列初等变换，将 A TA 化为下三角矩阵 R 1，同时 A 化为列正交矩阵Q 1； 正交矩阵，同时 R R 2T．例 2.5 将矩阵 A 1 3分解为 QR 的形式． 21Q BC 17777 772 7 7 17 35 35 24 35 3517 35 35 41 35 35 74 15 105 17 15 105109 15 10557 15 105,R CB 127 010 7 7 35 7 012 7 7 8 35 35 . 3 35 35(i)构造矩阵Q 1的各列为单位向量， 则 Q 1化为 (列)(iii) 对上述得到的矩阵，再用第二种列初等变换化用— 1 乘以第一列加到第二列，则有Schmidt 正交化法，即对矩阵的列向量组进行正交化来求矩阵的 QR 分解， 清晰，适用于低阶矩阵的 QR 分解．实际上，我们一般不用 Schmidt 正交化法作 而是借助Givens 变换和 Householder 变换对矩阵进行 QR 分解． Givens方法需要作最多n （n 1） 2 个 Givens 矩阵的连乘，当 n 较大时，计算量较大，因此常利用 Householder 变换 进行 QR 分解． Householder 只需作 n 1个 Householder 矩阵，计算量大约是 Givens 方法 的一半．而对于初等变换法和列初等变换，它们的思路都比较简单，但计算易出错，比较适 用于低阶矩阵的 QR 分解．三、矩阵的三角分解（一）矩阵三角分解的基本概念及定理定义 3.16设 A a ij 是 n 阶矩阵，如果 A 的对角线下 （上）方的元素全为零，即对 i j ， a ij 0 （对i j ,a ij 0 ），则称矩阵 A 为上 （下）三角矩阵．上三角矩阵和下三角矩阵 统称为三角矩阵．对角元全为 1 的上 （下 ）三角矩阵称为单位上 （下 ）三角矩阵．定义3.26设 A 是n 阶矩阵，如果有下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U 使得 A LU ，则5 55 055 105 5R15 5R21 31 2Q1552 5 5Q2121255 55于是可得 2 5 5TA TA解 因为 A T12 31，所以 A TA10R 5 5 ，05思路简单、QR 分解，称A 能作三角分解，并且称A LU 为A 的三角分解或LU 分解．如果A的三角分解A LU 中，L 为单位下三角矩阵，U 为上三角形矩阵，此时的三角分解称为Doolittle （杜利特）分解；若L 为下三角形矩阵，U 为单位上三角矩阵，则称此三角分解为Crout （克劳特）分解．矩阵的三角分解是不唯一的（Doolittle 分解和Crout 分解就是两种不同的分解方式）．因为如果A的三角分解为A LU ，设D 是非奇异的任意对角矩阵，则A L%U%也是A的三角分解， 其中 L %LD 是下三角形矩阵， U% D 1U 是上三角形矩阵，由于 D 的任意性， A的三角分解有无穷多种．关于矩阵的三角分解有如下结论：定理 3.1 6（ LU 分解定理） 设A 是n 阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L和上三角矩阵 U 使得A LU的充分必要条件是 A 的前 n 1 个顺序主子式均非零，即定理 3.2 6（ LDU 分解定理） 设 A 是n 阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵L ，对角矩阵 D diag d 1,d 2, ,d n 和单位上三角矩阵A LDU的充分必要条件是 A 的所有顺序主子式均不为零，即推论 3.1 设 A 是 n 阶矩阵，则 A 可以唯一地进行要条件是 A 的顺序主子式 k 0 k 1,2,L ,n 1 ．注 矩阵 A 的LU 分解与 LDU 分解都需要假设 A 的前n 1阶顺序主子式非零．如果这 个条件不满足，可以给 A 左（或右）乘以置换矩阵 P （以 n 阶单位矩阵的 n 个列向量为列作成的 n 阶矩阵 ），就把 A 的行（或列）的次序重新排列使之满足这个条件，从而有如下的行交换的 矩阵分解定理．定理3.36设 A 是n 阶非奇异矩阵，则存在置换矩阵 P ，使得 PA 的 n 个顺序主子式均非零，且有 PA LU% LDU ，其中， L 为单位下三角矩阵， U%为上三角矩阵， U 为单位上 三角矩阵， D 为对角矩阵．kA 0,k 1,2,L ,n 1.U 使得k0 i 1,2, ,n ，并且 d 1 a 11 ，dkk， k 2,L ,n.k1Doolittle 分解和 Crout 分解的充分必（二）矩阵三角分解的常用方法及应用举例1、Gauss 消元法Gauss消元法的基本思想是利用矩阵的初等行变换化矩阵 A 为上三角矩阵．对于一般的n 阶方阵A ，不妨令a1na 21na 32n ，这相当于用单位下三角矩阵a12a21a22an1an2a1na2n可按如下步骤分解： (不妨设 a 11 0 ，以下类似)ann首先ai1a11乘 以 第 一 行 加 到 第 i 行 上 i 2 , 3,n ,，a11A1 a12a 212 a n 12a1na 21nanna21A而得到， 再将a i12a 212 ，这相当于用单位下三角矩阵P 1a11an1 a11乘以 A 1的第二行加到第 i 行上( i 3,4, , n )，可把左乘矩阵A 1变形为0 0 01a 312a 212 10 左乘以 A 1而得到，a n 1211a 2121 00 P2如此一直进行下去直到第n 1步， A 就被化为一个上三角矩阵A n 1 ，记为：a11a12a13a 212 a 213A20 a 3230 a n 23a nnP n 1P n 2 P 2P 1A U ，由于 P 1,P 2, ,P n 1均为单位下三角阵，所以它们的逆矩阵都存在，并且这些逆矩阵及其乘积也是单位下三角阵．因此U 11 0U 12U22U 1n U 2nUnn，此时P n 1一系列行初等变换，相当于用单位下三角矩阵 01 a n n ,n 21 a n n 1,2n 1．上述对 A 进行的P 1,P 2, ,P n 1 依次左乘 A ，即： P 11P 21P n 11P n 1 P 2P 1A P 11P 21 P n 11U ，即A P 11P 21 P n 11U ． 最后令L P 1 1P 2 1 Pn 11 ，则 A LU ．例 3.1 求解方程组： x 1 2x 2 3x 3 2 2x 1 2x 2 x 3 3 3x 1 4x 2 2x 3 4解 方程组为 AX b ，其中： 123 x12A 221，Xx2，b 3342x 34A施行行初等变换化为上三角矩阵 首先对 A 进行三角分解．先对 1 2 3 1 2 31 2 3 2 2 12r 1 r 20 2 5r 2 r 3 0 2 53r 1 r 33 4 2 0 2 7 0 02A 这相当于用如下的三个初等矩阵依次左乘 1 0 0 1 0 0 100 P1 210 ， P2 0 1 0 ，P3010 0 0 13010 1 1，即 P 3P 2P 1A U ，其中 U35 ．由于初等矩阵都是非奇异方阵，故其逆矩阵均存在，1因此 A P 11P 21P 31U ，而100100100 P 11210， P 2 1010， P 3 10 1 0 ，001301011令L P 1 1P 21P 3 1，则1 0 01 0 01 0 01 0 0L 2 1 0 0 1 0 0 1 02 1 00 0 1 3 0 1 0 1 131 11 0 0 1故 A LU ，即 A 2 1 0 03110于是方程组变为 LU X b 或 L UX b ．2、 Doolittle 分解法第 1 步： L 的第 1 行乘以 U 的第 1,2, ,n 列：a11a12a1nl 令Aa21a22a2n21u 12u22u 1n u 2nunn23 25 02令UX，则有 Ly b ，其中 y y 1,y 2,y 3 ．于是有0 0 1 y 3y 1 y2 y 1 2 2y 1 y 23 3y 1 y 2 y 3 42 容易求得y 21 ．又解y 1 y1x 1 2x 2 3x 3 2 即2x 2 5x 3 1 ，2x 3 1可求得 1 x322 3 x 2 4 1 x32x1即1 0x 2， 故原方程组的解为u 1j a 1j j 1,2, ,n ．L 的第 2,3, ,n 行乘以 U 的第 1 列：l i1 i1i 2,3, ,n ． u 11可得u 1j a 1j , j 1,2, ,n, l i1 a,i 2,3, ,n. u11第 2 步： L 的第 2 行乘 U 的第 2,3, ,n 列：l 21u 1 j u 2 j a 2j j 2,3, ,n最后可得k1u kj a kj l kt u tj , j k,k1, ,n, likt1k1 3.1)a kj l it u tk u kk ,i k 1, ,n.t12111222 1 1 10 0 u 11 u 12 u13解 令 A 1 3 2l21 1 0 0 u22u23 ，代入公式（ 3.1）122l31l321u33115 3 33得 u11 2,u 12 1,u 13 1,l 21 ,l ,u 22 ,u 23 ,l 32 ,u 33 ，2 3122 232 55 例 3.2 用 Doolittle 分解法求矩阵 A 13 2 的 LU 分解． 1 0 0 2 1 1 L 12 1 0 ,U 0 52 3212 35 10 35 3、 Cholesky 分解当 A 是对称正定时， A 有如下分解：定理 3.4 5若 A R n n对称正定，则存在唯一的对角元为正的下三角形矩阵L ，使 A分解为 A LL T，这种分解称为 Cholesky 分解．j1得a ij l ik l jk l ij l jj i j,j 1, ,n ．k1列求得 L 的元素l ij ，即得 A 的 Cholesky 分解．例 3.3 用平方根法分解矩阵 A0 55 255C h o l e s 分k 解y 法要求用到开方运算， 为避免开方运算， 可将 A 分解为 A中 L 为单位下三角矩阵 ） ，这种分解方法称为改进平方根法．a11 a12 a1n1 001 l 21 l n1a21a 22a2nl21100 1ln2an1an2annln1l n210 01由A解 先验证系数矩阵为对称正定，对称是显然的，又 13 detA 1 0， 故 A对称正定．可用 Cholesky分解，由式（ 3.2 ）和（ 3.3 ）10 ，计算求得l 11 5,l21 5 ,l314 5,l 22 15 ,l 32 2 5,l 33 1． 当i j 时，有 l jjj1ajj l jk k1 a ij当ij 时，有l ijj1lik ljk k1l jj1,2, ,ni j 1, ,n ，当 j 1 时，有 l 11 a11， li1ai1i1，对j 2,3, ,n ，由式 3.2）和式 （3.2）（3.3）3.3）， A LL T．LDL T （其四、矩阵的满秩分解（一）矩阵满秩分解的基本概念及定理定义 4.1 8设 A 是 m n 矩阵， rank A r >0 ．如果存在 m r 的列满秩矩阵F 和r n 的行满秩矩阵 G ，使得 A FG ，则称此分解为矩阵 A 的满秩分解．定理 4.1 9任何 m n 矩阵 A A 0 都有满秩分解．实际上对任何一个矩阵只需用第三种初等变换就可将其化为阶梯形， 而第三种初等矩阵P i, j k 的逆矩阵为 P i, j k ，若干个第三种初等矩阵的乘积仍为初等矩阵．二）矩阵满秩分解的常用方法及应用举例1、利用初等变换法101011332 取 P 1的前两列构成 F 21 ，则 A FG 21006211112、化为 Hermite 标准形求满秩分解3 3 26 12 6 的满秩分解3 31 例 4.1 求矩阵 A2 11 3 3 解A0 0 613 3332062 0621 0 0100 P1210 ，P 20100 0 11011000 1 0 ， G 0 1 1332 0621 0 01 0 0P P 3P 2P 1 210 ，则 P12 1 03 1 111121 20 003 0 0，其中各个变换所对应的初等矩阵依P 3定义4.2 设H 是m n 矩阵，rank H r ，满足：(i) H 的前 r 行中每一行中至少含有一个非零元素， 且每行第一个非零元素是 1，而后 m r 行元素均为 0．(ii)设 H 中第 i 行的第一个非零元素 1位于第 j i (i 1,2, ,r )列，有 j 1 j 2(iii) H 的第 j 1, j 2, , j r 列构成 m 阶单位矩阵 I 的前 r 列． 则称 H 为 A 的 Hermite 标准形．实际上矩阵 A 的 Hermite 标准形就是在阶梯形基础上进一步化为最简形，再到标准形．Hermite 标准形方法求矩阵的满秩分解，省去了求初等行变换矩阵的逆矩阵，方法更简 便，效率更高．例 4.2 求矩阵 A经过行初等变换，我们有一个满秩分解．注 该例中矩阵 A 的列向量极大线性无关组不唯一，导致其满秩分解也不唯一．j r ．的满秩分解．故矩阵 A 的秩为 2．令 B，C，则 A BC 为矩阵 A 的取不同的列向量极大线性无关组，则可得到不同的满秩分解． 1， 3 列为极大线 性无关组，则2 3 1 5 41 2 1 3 31 1 02 1 1 2 13 30 1 1 1 20 1 1 1 23 5 2 8 70 1 1 1 20 0 0 0 013 24 51 1 1 20 0 0 0此时令 B 1，C 1，则A B 1C 1 为矩阵 A 的另一个满秩分解．例如取A 2 1秩分解．注 矩阵 A 的秩 r 永远不会超过其行数 m 和列数 n ．如果 n 阶方阵 A 的秩 r 远小于其 阶数 n ，则满秩分解可以大大简化求解方程特征值的计算．设n 阶方阵 A 有满秩分解 A BC ，我们有直接计算左边的行列式要简单得多．解 易知矩阵 A 的秩为 1，TA 1,1,L ,1 1,1,L ,1 ，由等式 (4.1) 得E n A n 1n ，所以矩阵 A 的特征值为1 2 n 10, n n五、矩阵的奇异值分解一)矩阵奇异值分解的基本概念及定理奇异值分解是现代数值计算的最基本和最重要的工具之一．矩阵的奇异值分解在优2 3 1 5 41 2 1 3 31 12 03 11 2 1 3 30 1 1 1 20 1 1 1 23 5 2 8 70 1 1 1 20 0 0 0 0132 4 51 1 1 20 0 0 04 列为极大列无关组，则1， 再如取第 此时令 B 2，C 23，A B 2C 2 为矩阵 A 的另一个满E n AE n BCnrE r CB(4.1)如果 n 阶方阵 A 的秩 r 远小于其阶数n ，则通过上式右边的行列式来求 A 的特征值要比 例 4.3 求 n 阶矩阵 A的特征值．其满秩分解为化问题、特征值问题、最小二乘问题、广义逆矩阵问题及统计学等方面都有着重要的应用．引理 5.16设A C m n，则rank A H A rank AA H rank A ．引理5.2 6设A C m n，则HH（1）A H A与AA H的特征值均为非负实数；HH（2）A H A与AA H的非零特征值相同，并且非零特征值的个数（重特征值按重数计算）等于rank A ．定义5.16设A C m n，如果存在非负实数和非零向量u C n，v C m使得Au , A H u，则称为A的奇异值，u 和分别称为A对应于奇异值的右奇异向量和左奇异向量．设A C m n，rank A r，且A H A的特征值为 1 2 n．由引理 5.2 知，1 r r 1 n 0 ，记k min m, n ，称i i i 1,2, ,L k 为A 的奇异值 .定理5.16设A 是m n矩阵，且rank A r，则存在m阶酉矩阵U 和n阶酉矩阵V 0使得A U V H，00其中diag 1, 2,L , r ，且 1 2 L r 0.（二）矩阵奇异值分解的常用方法及应用举例求解奇异值分解的步骤如下：1、确定，计算A H A ，求其特征值i，可得A的正奇异值i i ,i 1,2,L ,r．则diag 1, 2,L , r ，且 1 2 L r 0．2、确定V ，求非零特征值对应的特征向量p i ，将其用Schmidt 正交化法化为正交向量v i i 1,2,L ,r ，即得V1 v1, v2 ,L ,v r ．再取V2和V1的列向量拼成C n的标准正交基，即得到V n n v1,L ,v r ,v r 1,L ,v n ．3、确定U ，求U1 C mr，取V1 v1, v2,L ,v r ，diag 1, 2,L , r ，计算U1AV11．在C m中取U2C m m r，使得U1与U2的列向量成C n的标准正交基，从而01 10例 5.1 求矩阵 A 的奇异值分解．02 10因此 A 的奇异值分解为01552 5 5 0 5 0100 22 0 22 0 2 01 A022550 55 0 010102222U U 1,U 2 为酉矩阵，则 A U00 VH2 因为 A HA，所以 A 的非零奇异值为 2, 5 ． A HA 对应于特征值 5和 2 的标准正交特征向量为 v1， v212则V．而 AA H对应于特征值的标准正交特征向量为 0, 22,0, 22. AA H对应于特征值u332 5,0, 5,0 T,u 4 0, 22,0, 22T55 42 255 00 22255 00 22 故U2 5 50 55 022 022,u 2u 155,0, 55,0的标准正交特征向六、结论本文首先介绍了矩阵分解的定义及相关定理，然后着重探讨了几种特殊类型的矩阵分解 形式，如 QR 分解，三角分解，满秩分解，奇异值分解等，并对这些分解形式的各种分解方法 进行了全面的归纳和总结，最后对这些不同的分解方法给出了相应的应用举例．从这些不同 的分解形式中，我们可以看出矩阵分解对于解决代数学中的许多问题都具有非常重要的意 义． 它不仅能够简化计算， 而且在求矩阵的秩， 特征值以及解线性方程组等方面优势显著． 对 于矩阵的分解，其内容非常丰富，除上面提到的几种分解形式外，还有其它的一些分解形式， 如谱分解、 Schur 分解等．由于时间仓促和本人水平有限，对矩阵分解理论的探讨也只是浅尝 辄止，未能面面俱到，但是对矩阵分解理论的研究仍然是十分必要的．参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组．高等代数 [M] ．第三版．北京：高等教育出版社， 2009：187-188 ．[2] 许立炜，赵礼峰．矩阵论 [M] ．北京：科学出版社， 2011： 91-113 ． [3] 谢冬秀，雷纪纲，陈桂芝．矩阵理论及方法 [M] ．北京：科学出版社， 2012：48-100 ．[4] 李建东．矩阵 QR 分解的三种方法 [J] ．吕梁高等专科学校学报， 2009，25（1） ：16-19 ．[5] 刘秀梅．矩阵 QR 分解途径的研究 [J] ．内江师范学院学报， 2007， 22（ 4）： 18-20 ．18（3）： 37-40 ．[10] 靳全勤．初等变换的一个矩阵的满秩分解 [J] ．大学数学， 2009，25[6] 戴华．矩阵论 [M] ．北京：科学出版社，[7] 苏文洵．矩阵的三角分解与解线性方程组 13（4）： 75-78 ．[8] 房月华，陈萍．矩阵的满秩分解2001：118-142 ．[J] ．重庆电力高等专科学校学报， 2008 ，[J] ．衡水学院学报， 2011，13（4） ：．南昌航空工业学院学报。