《相互独立事件》PPT课件
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3.1.3相互独立事件ppt 人教课标版
答： ２人都击中目标的概率是 0.36．
解: ( ２)
“其中恰有１人击中目标” 包括： 和
事件 A B ：“甲击中、乙未击中”
事件 A B ：“乙击中、甲未击中” 这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即 A B 与 A B 是互斥事件
P ( A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A ) P ( B )
1 0 . 16 0 . 84 P 1 P(A B)
答：至少有 1 人击中目标的概率是 0.８４ ．
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤
10.2事件的相互独立性课件(人教版)
(2)他们都失败即事件A、B、C同时产生． P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－1)×(1－1)×(1－1)＝4×3×2＝2.
5
4
3 543 5
(3)“他们能研制出疫苗”的对峙事件为“他们都失败”，结合对峙事 件间的概率关系可得所求事件的概率
产生的影响；同样，不可能事件一定不会产生，不受任何事件是否产生
的影响，当然，他们也不影响其他事件的产生．
P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(AØ)=P(Ø)=P(A)P(Ø)成立．
因此，必然事件Ω、不可能事件Ø与任意事件相互独立．
若事件A与B相互独立， 那么它们的对峙事件是否也相互独立？ 分别验证 A与B，A与B，A与B 是否独立？
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26.
(3)事件“两人都脱靶” =AB，所以 P(AB) =P(A)P(B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.
(4)方法1：由于事件“至少有一人中靶”的对峙事件是“两人都脱 靶"，根据对峙事件的性质得，事件“至少有一人中靶”的概率为
1－P(AB) =1－0.02 =0. 98.
考点
学习目标
核心素 养
相互独立事件的概念 理解相互独立事件的概念及意义 数学抽象
相互独立事件同时产 生的概率
能记住相互独立事件概率的乘法 公式；能综合运用互斥事件的概 率加法公式及独立事件的乘法公 式解题
数学运算 、
数学建模
温故知新
概率的基本性质
性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 P(Ω)=1，P(Ø)=0；
2025届高中数学一轮复习课件《事件的相互独立性与条件概率》ppt
高考一轮总复习•数学
第1页
第十章 统计、排列组合与概率
第8讲 事件的相互独立性与条件概率
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概 率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概 型，会利用全概率公式计算概率．
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A 正确； 对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1,1,1，
利用相互独立事件的概率公式判断 A，B．
则依次收到 1,0,1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的 积，
门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 2 个 A＋的概率是____3_0___．
高考一轮总复习•数学
解析：(1)P(A)＝AA22A66 55＝13，P(B)＝AA33A66 34＝15， A66
P(C)＝2AA3366A33＝110，P(D)＝AA6336＝A133＝16. 对于 A，P(AB)＝A22AA3366A23＝110≠P(A)·P(B)，故 A 错误； 对于 B，P(AC)＝2C15AA6622A22＝74200＝118≠P(A)P(C)，故 B 错误； 对于 C，P(AD)＝C12AC1466C15＝118＝P(A)·P(D)，故 C 正确； 对于 D，P(BC)＝P(C)≠P(B)P(C)，故 D 错误．
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第10页
3 ． (2024·四 川 成 都 七 中 月 考 ) 某 保 险 公 司 将 其 公 司 的 被 保 险 人 分 为 三 类 ： “ 谨 慎
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第十章 统计、排列组合与概率
第8讲 事件的相互独立性与条件概率
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.在具体情境中，结合古典概型，了解条件概率和两个事件相互独立的概 率.2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会用乘法公式计算概率.3.结合古典概 型，会利用全概率公式计算概率．
它们相互独立，所以所求概率为(1－β)(1－α)(1－β)＝(1－α)(1－β)2，A 正确； 对于 B，三次传输，发送 1，相当于依次发送 1,1,1，
利用相互独立事件的概率公式判断 A，B．
则依次收到 1,0,1 的事件，是发送 1 接收 1、发送 1 接收 0、发送 1 接收 1 的 3 个事件的 积，
门科目考试成绩的结果互不影响，那么这位同学恰好得 2 个 A＋的概率是____3_0___．
高考一轮总复习•数学
解析：(1)P(A)＝AA22A66 55＝13，P(B)＝AA33A66 34＝15， A66
P(C)＝2AA3366A33＝110，P(D)＝AA6336＝A133＝16. 对于 A，P(AB)＝A22AA3366A23＝110≠P(A)·P(B)，故 A 错误； 对于 B，P(AC)＝2C15AA6622A22＝74200＝118≠P(A)P(C)，故 B 错误； 对于 C，P(AD)＝C12AC1466C15＝118＝P(A)·P(D)，故 C 正确； 对于 D，P(BC)＝P(C)≠P(B)P(C)，故 D 错误．
解析 答案
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3 ． (2024·四 川 成 都 七 中 月 考 ) 某 保 险 公 司 将 其 公 司 的 被 保 险 人 分 为 三 类 ： “ 谨 慎
相互独立事件精品PPT教学课件
日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
8
例1 生产一种零件，甲车间的合格率是 96%，乙车间的合格率是95%，从它们生 产的零件中各抽取一件，（1）都抽到合 格品的概率是多少？（2）只有甲车间的 是合格品的概率是多少？
解：记从甲车间抽到的是合格品为事件A 从乙车间抽到的是合格品为事件B，则都 抽到合格品的事件可记为A·B
又因为A与B是独立事件
比赛规则：各位选手必须独立解题，团队 中有一人解出即为获胜。
已知诸葛亮想出计谋的概率为0.88，三个 臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率各 为0.6、0.5、0.4.问这三个臭皮匠能胜过 诸葛亮吗 ？
2020/12/6
12
课堂小结:
定义
互斥事件
相互独立事件
不可能同时发 事件A是否发生对事件B 生的两个事件 发生的概率没有影响
事件A、B同时发生记 A·B ，即事件 A·B=“两
次取到都是白球”, 如何求P(A·25B)？
P(A
·
C B)=C
1 3 1 5
• •
C C
1 3 1 5
= 9 =0.36
观察以上结论,有P(A · B)= P(A) · P(B)
2020/12/6
= 0.6 ×0.6=0.36 6
归纳结论： 若A、B是相互独立事件，则有 P（A·B）= P（A）· P（B）
若事件A发生，则P（B）=0.6；若事件A 不发生，则P（B）=0.6
2020/12/6
2
相互独立事件的概念
相互独立事件：如果事件A（或B） 是否发生对事件B（或A）发生的 概率没有影响，这样的两个事件 叫做相互独立事件.
2020/12/6
3
练习1下列各对事件中，A与B是否是相互独立事件？
事件的相互独立性课件
【思路启迪】 如果A、B是，所以利用独立事件的概率公 式来解题即可．
【解】 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件 B，则A、B相互独立，从而A与 B 、 A 与B、 A 与 B 均相互独 立．
(1)“两个都能破译”为事件AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
要点二 求相互独立事件的概率
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤是 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌 握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同 时发生．
一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中 任取2个球，取出后再放回，求：
(1)一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和 生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}， B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．已知家庭中有三个小孩， 判断A与B的独立性；
(2)判断下列各对事件是否是相互独立事件： 甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从 甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1 名男生”与“从乙组中选出1名女生”．
2．熟记部分符号语言含义：如A，B至少有一个发生的 事件记为A∪B；都发生记为AB；恰有一个发生的事件记为 (A B )∪( A B)；至多有一个发生的事件记为(A B )∪( A B)∪( A B )．
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率 分别为13和14.
求(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能破译的概率．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝CC2325·CC2225＝130·110＝1300. 故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是 红球的概率是1300.
相互独立事件PPT优秀课件1
变式3：至少有一队夺冠的概率有多大？1P(AB)
变式4：至少有一队不夺冠的概率有多大？1P(A)P(B)
引例问题的解决: 已知诸葛亮独自解出问题的概率为0.8,臭 皮匠老大独自解出问题的概率为0.5,老二 独自解出问题的概率为0.45,老三独自解出 问题的概率为0.4，问三个臭皮匠中至少有 一人解出问题的概率与诸葛亮一人解出问 题的概率比较，谁大？
④ 甲坛子里有3个红球，2个黄球，乙坛子里也有3 个红球，2个黄球，从这两个坛子里分别摸出1个球。
事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到黄球. 事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到黄球.
想一想：
第④题中事件 A 与 ，B A 与 ， B 与 是A 否相B 互独立
？
二、讲授新课 1、相互独立事件的定义:
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概 率没有影响，则称事件A与B为相互独立事 件．
P(ABC)P(D)
因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛亮了！
一、情景导入 问题：你认同以上的观点吗？
①事件概率的不可能大于1
②公式 P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C )运用的 前提：事件A、B、C彼此互斥.
二、讲授新课 判断：下列事件哪些是相互独立的：
事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到黄球.
略解：P (A ) 2 ,P (B ) 2 ,P (A B ) 2 2 4
5
5
5 52 5
猜想： P (A B ) P (A ) P (B )
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互 独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于 每个事件发生的概率的积.
① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了. 事件B：第二次罚球，球进了.
变式4：至少有一队不夺冠的概率有多大？1P(A)P(B)
引例问题的解决: 已知诸葛亮独自解出问题的概率为0.8,臭 皮匠老大独自解出问题的概率为0.5,老二 独自解出问题的概率为0.45,老三独自解出 问题的概率为0.4，问三个臭皮匠中至少有 一人解出问题的概率与诸葛亮一人解出问 题的概率比较，谁大？
④ 甲坛子里有3个红球，2个黄球，乙坛子里也有3 个红球，2个黄球，从这两个坛子里分别摸出1个球。
事件A：从甲坛子里摸出1个球，得到黄球. 事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到黄球.
想一想：
第④题中事件 A 与 ，B A 与 ， B 与 是A 否相B 互独立
？
二、讲授新课 1、相互独立事件的定义:
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概 率没有影响，则称事件A与B为相互独立事 件．
P(ABC)P(D)
因此，合三个臭皮匠之力，把握就大过诸葛亮了！
一、情景导入 问题：你认同以上的观点吗？
①事件概率的不可能大于1
②公式 P ( A B C ) P ( A ) P ( B ) P ( C )运用的 前提：事件A、B、C彼此互斥.
二、讲授新课 判断：下列事件哪些是相互独立的：
事件B：从乙坛子里摸出1个球，得到黄球.
略解：P (A ) 2 ,P (B ) 2 ,P (A B ) 2 2 4
5
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5 52 5
猜想： P (A B ) P (A ) P (B )
一般地，如果事件A1，A2，…，An相互 独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于 每个事件发生的概率的积.
① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了. 事件B：第二次罚球，球进了.
3.1.3相互独立事件PPT优秀课件
――[阿萨·赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉·海兹利特]
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
做事件A ，把 “从乙坛子里摸出 1个球，得到白
球”叫做事B件 ．很明显，从一个坛子里摸出的是
白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没 有影响．
116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯·里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可·汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰·夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯·米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子]
做事件A ，把 “从乙坛子里摸出 1个球，得到白
球”叫做事B件 ．很明显，从一个坛子里摸出的是
白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没 有影响．
事件的相互独立性-PPT课件
8
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1射人击击1中次目,击标中的目概标率”为事件A.“乙射 击（31）次至,击少中有目一标人”击为中事目件标B的.且概A率与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
A
B
C
.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为__C_1002
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C102011
（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An） 6
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”,
事件1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”,
事件B表示 “第2球罚中”.
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
13
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
《相互独立事件》课件
02 相互独立事件的 性质
相互独立事件的概率性质
概率乘法公式
若事件A和B相互独立，则$P(A cap B) = P(A) times P(B)$。
独立事件的概率性质
若事件A和B相互独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B)$。
独立事件的加法公式
若事件A和B相互独立，则$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。
事件A的发生不影响事件B发生的概率 ，事件B的发生不影响事件A发生的概 率。
事件A和B相互独立与两事件独立的区别
事件独立
如果事件A的发生不影响事件B发生的概率，同时事件B的发生也不影响事件A 发生的概率，则称事件A和B独立。
两事件独立与相互独立的区别
两事件独立不一定是相互独立，而相互独立一定是两事件独立。
05 相互独立事件的 扩展知识
多个事件的相互独立性
多个事件相互独立
当且仅当一个事件的结果不会影响到另一个事件的结果，那么这两 个事件就是相互独立的。
独立性的判断
可以通过计算各个事件的联合概率和各个事件的边缘概率的乘积来 判断是否相互独立。如果相等，则说明事件相互独立。
独立性的性质
如果两个事件相互独立，那么它们的和事件、积事件、逆事件等也相 互独立。
概率论中的相互独立事件
投掷硬币
一个人先后投掷两枚硬币 ，每枚硬币出现正面的概 率不受另一枚硬币的影响 。
抽取样本
从总体中随机抽取两个样 本，每个样本的抽取概率 与另一个样本无关。
随机试验
两个随机试验的结果相互 独立，一个试验的结果不 会影响到另一个试验的结 果。
04 相互独立事件的 应用
相互独立事件PPT课件
(1) 2人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率．
解：(1)记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射 击1次，击中目标”为事件B．由于甲(或乙)是否击中，对 乙(或甲)击中的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立
又“两人各射击1次事，件都击．中目标”就是事件 A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到：
答：两件都是正品的概率是0．855恰有一件是正品概率 是0．14
三.例题分析：
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关 能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中 至少有1个能够闭合，这可以包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其 中某2个开关闭合、恰好3个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求 其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3个开关都不能闭合的概率， 从而求得其对立事件——3个开关中至少有1个能够闭合的概率． 解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够 闭合为事件A，B，C(如图)．由题意，这段 时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有 影响．根据相互独立事件的概率乘法公式， 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
相互独立事件同 时发生的概率
一.新课引人
问题：
甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，
从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
把“从甲坛子里摸出1个
球，得到白球”叫做事件
A
P( A)
3
5
把“从乙坛子里摸出 1个
球，得到白球”叫做事件B
解：(1)记“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射 击1次，击中目标”为事件B．由于甲(或乙)是否击中，对 乙(或甲)击中的概率是没有影响的，因此A与B是相互独立
又“两人各射击1次事，件都击．中目标”就是事件 A·B发生，根据相互独立事件的概率乘法公式，得到：
答：两件都是正品的概率是0．855恰有一件是正品概率 是0．14
三.例题分析：
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1 个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关 能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
分析：根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中 至少有1个能够闭合，这可以包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其 中某2个开关闭合、恰好3个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求 其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3个开关都不能闭合的概率， 从而求得其对立事件——3个开关中至少有1个能够闭合的概率． 解：分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够 闭合为事件A，B，C(如图)．由题意，这段 时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有 影响．根据相互独立事件的概率乘法公式， 这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
相互独立事件同 时发生的概率
一.新课引人
问题：
甲坛子里有3个白球，2个黑球，乙坛子里有2个白球，2个黑球，
从这两个坛子里分别摸出1个球，它们都是白球的概率是多少？
把“从甲坛子里摸出1个
球，得到白球”叫做事件
A
P( A)
3
5
把“从乙坛子里摸出 1个
球，得到白球”叫做事件B
相互独立事件概率一 ppt课件
相互独立事件同时 发生的概率 (一)
1.互斥事件与对立事件
(1)A与B是互斥事件: 事件A与事件B不可能同时发生；
(2)A与B是对立事件: 事件A与事件B不可能同时发生，且A 与B中必有一个发生 对立事件必是互斥事件，但互斥事 件不一定是对立事件。
2、互斥事件的概率关系
（1）若A，B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) （2）若A1,A2,…,An彼此互斥, 则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) （3）若A的对立事件记为Ā，
课堂练习
例题2
在一线路中并联着3个自动控制的常用开 关，只要其中有一个开关能够闭合，线路 就正常工作。假定某段时间内每个开关能 够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间 内线路正常工作的概率.
课堂练习
1.P.140-3 2.甲袋中有8个白球，4个红球； 乙袋中有6两个坛子里分别摸出1个球，都是
白球”的概率 P(AB)32 54
另一方面：“从甲坛子里分别摸出1
个球，得到白球”的概率P：( A) 3 5
“从乙坛子里分别摸出1个球，都是
白球”的概率：
P(B) 2
4
∴ P(A•B)= P(A)•P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积.
球是同色的概率是多少？
课堂小结
两个事件相互独立，是指它们其 中一个事件的发生与否对另一个 事件发生的概率没有影响
相互独立事件同时发生的概率等 于每个事件发生的概率的积
课堂小结
求解较复杂事件概率的一般思路 (1)正向思考：
通过“分类”或“分步”将较复杂事 件进行分解，转化为简单的互斥事 件的和事件或相互独立事件的积事 件； (2)逆向思考:转化为求它的对立事件 的概率
1.互斥事件与对立事件
(1)A与B是互斥事件: 事件A与事件B不可能同时发生；
(2)A与B是对立事件: 事件A与事件B不可能同时发生，且A 与B中必有一个发生 对立事件必是互斥事件，但互斥事 件不一定是对立事件。
2、互斥事件的概率关系
（1）若A，B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) （2）若A1,A2,…,An彼此互斥, 则P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) （3）若A的对立事件记为Ā，
课堂练习
例题2
在一线路中并联着3个自动控制的常用开 关，只要其中有一个开关能够闭合，线路 就正常工作。假定某段时间内每个开关能 够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间 内线路正常工作的概率.
课堂练习
1.P.140-3 2.甲袋中有8个白球，4个红球； 乙袋中有6两个坛子里分别摸出1个球，都是
白球”的概率 P(AB)32 54
另一方面：“从甲坛子里分别摸出1
个球，得到白球”的概率P：( A) 3 5
“从乙坛子里分别摸出1个球，都是
白球”的概率：
P(B) 2
4
∴ P(A•B)= P(A)•P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积.
球是同色的概率是多少？
课堂小结
两个事件相互独立，是指它们其 中一个事件的发生与否对另一个 事件发生的概率没有影响
相互独立事件同时发生的概率等 于每个事件发生的概率的积
课堂小结
求解较复杂事件概率的一般思路 (1)正向思考：
通过“分类”或“分步”将较复杂事 件进行分解，转化为简单的互斥事 件的和事件或相互独立事件的积事 件； (2)逆向思考:转化为求它的对立事件 的概率
数学——相互独立事件概率课件
由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立, 进而
= 0.8
20年后重登奥运之巅 中国女排雅典圆梦
2004年雅典奥运会女子排球决赛在中国和俄罗斯 之间展开，最终中国女排在先失两局的不利情况 下连扳三局，以总比分3-2击败俄罗斯女排获得冠 军，这也是中国女排继1984年洛杉矶奥运会夺冠 以来第二次在奥运会女排比赛中摘金，这是女排 姑娘的骄傲！也是全中国人民的骄傲！！！
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将 硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就
是 n重伯努利试验.
一般地，对于贝努里概型，有如下公式：
3. 二项概率公式 定理 如果在贝努里试验中，事件A出现的
概率为p (0<p<1), 则在n次试验中，A 恰好出现 k 次的概率为：Leabharlann A 第一次抽取,取到绿球,
B 第二次抽取,取到绿球,
则有
3 P(B A) P(B)
5
它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小.
若 P( A) 0，则
P(B A) P(B) P( AB) P( A)P(B)
2. 定义1.9 设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P( AB) P( A) P(B)
也相互独立.
①
注 称此为二事件的独立性
②
关于逆运算封闭.
③
证①
又∵ A与B相互独立 ③
例1 甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中 敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率.
解 设 A={ 甲击中敌机 } B={ 乙击中敌机 }
C={敌机被击中 } 依题设,
事件的相互独立性 课件
问题 3 互斥事件与相互独立事件有什么区别？ 答 两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两 个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的 发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
问题 4 若 A 与 B 是相互独立事件，则 A 与 B ，A 与 B，A 与 B 也相互独立，如何证明？ 答 若 A 与 B 是相互独立事件，则 P(AB)＝P(A)P(B)． 因为 A＝AB＋A B ，B＝B A ＋BA， 所以 P(A B )＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)(1－P(B)) ＝P(A)P( B )； P( A B)＝P(B)－P(AB) ＝P(B)－P(A)P(B)＝(1 －P(A))P(B)＝ P( A )P(B)；
件B
( ห้องสมุดไป่ตู้)
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥 解析 对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影
响的，所以事件 A 与 B 相互独立； 对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说
事件 A 与 B 可能同时发生，所以事件 A 与 B 不是互斥事件．
P( A B )＝P( A )－P( A B)＝P( A )－P( A )P(B)＝P( A )(1－P(B)) ＝P( A )P( B )． 即 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也相互独立．
例 1 (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件 A：“甲
击中目标”，事件 B：“乙击中目标”，则事件 A 与事
探究点二 相互独立事件同时发生的概率 例 2 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以
获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次 抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都 是 0.05，求两次抽奖中以下事件的概率： (1)都抽到某一指定号码； (2)恰有一次抽到某一指定号码； (3)至少有一次抽到某一指定号码． 解 设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件 A，“第二次 抽奖抽到某一指定号码”为事件 B，则“两次抽奖都抽到某一 指定号码”就是事件 AB.
10.2事件的相互独立性 课件【共26张PPT】
归纳：求相互独立事件的概率
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤： (1)首先确定各事件之间是相互独立 的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积．2.使 用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事 件是相互独立的，而且它们同时发生．
练习2.
所以 M,N 不是相互独立事件;
③中,P(M)= ,P(N)= ,P(MN)= ,P(MN)=P(M)P(N),因此 M,N 是相互独立事件.
练习1.
2.【2021年·新高考Ⅰ卷】 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次， 每次取1个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”， 乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”， 丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
我们再用理论来验证：
对于A与B，因为A=AB∪AB，而且AB与AB互斥，所以 P(A)=P(AB∪AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(AB)
所以 P(AB)=P(A)-P(A)P(B)= P(A)(1-P(B))= P(A)P(B) 由事件的独立性定义，A与B相互独立. 类似地，可以证明事件A与B，A 与 B也都相互独立.
所以P(A
B)=
P(A)P( B)=
1 2
1 2
1， 4
P(AB)= P(A)P(B)=
1， 4
P(AB)= P(A)P(B)=
1， 4
因此A与B，A 与B，A与 B是独立的.
1 第二次
第一次
2
3
4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
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事件的相互独立性
即：事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有 影响，这样两个事件叫做相互独立事件。
问题３：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是 不是相互独立的？
问题３：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是
不是相互独立的？
相互独立
若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
2.2.2 事件的相互独立性
问题 1.盒中有 5 个球(3 白两黑),每次取出一个,有放回地取 两次,记 A 第一次抽取取到白球, B 第二次抽取取到黑 球. 试问事件 A 是否发生会影响事件 B 发生的概率大小 吗?
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B 相互独立。
所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，且各元件能否正常工作是
互相独立的。试求各系统的可靠性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)
1
2
P1=r2
1
2
(3)
1
2
P3=1－(1－r2)2
(2)
1
2
P2=1－(1－r)2
1
2
(4)
1
2
P4=[1－(1－r)2]2
练习: 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的 概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰由1人击中目标的概率 （3）至少有一人击中目标的概率
变式.
JA
JB
JC
设每个开关能闭合的概率都是0.7，计算这条线路正常工作 的概率？
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、JC 能够闭合为事件A,B,C. 所以这段事件内线路正常工作的概率是
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生的概率为：
P( A B) P( A) P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件 的概率的积。
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个
事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）
问题 2.甲盒子里有 3 个白球和 2 个黑球，乙盒子里有 2 个 白球和 2 个黑球，记 A =从甲盒子里摸出 1 个球，得到白 球;B=从乙盒子里摸出 1 个球，得到白球,试问事件 A 是否 发生会影响事件 B 发生的概率大小吗?(即 P(B) P(B | A) 吗?)
（2）若以0.99的概率击中飞碟，求需小口径步枪多少支？
例 4．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种 考试方案. （06 北京） 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及 格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. 求:(1)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的 概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率 的大小.（说明理由）
① A 与 B；② A 与 B； ③ A 与 B.
例如证 ① A A A(B B) AB AB P( A) P( AB) P( AB)
P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B)
P( A)1 P(B) P( A)P(B)
计算 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A·B)=P(A)·P(
B)
例1. 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以 获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次 抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都 是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码； （2）恰有一次抽到某一指定号码； （3）至少有一次抽到某一指定号码。
例3.猎人在距离100m处射击一只野兔,其命中率为0.5,若第一次 射击未中,则进行第二次射击,但距离为150m,若第二次射击又未 中,则进行第三次射击,但距离为200m.已知猎人的命中概率与距 离的平方成反比,求猎人在三次内(含三次)命中野兔的概率.
练习.每支小口径步枪射击飞碟的命中率为P＝0.004，则 （1）现用250支小口径步枪同时独立地进行一次射击， 求击中飞碟地概率；
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
例2：甲,乙,丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率是1/2, 三人都做对的概率是1/24,三人全做错的概率是1/4.
(1)分别求乙,丙两人各自做对这道题的概率；
(2)求甲,乙,丙三人中恰有一人做对这道题的概率.
例 5．用某种方法来选择不超过 100 的正整数 n，若 n 50时选择 n 的概率为 P，若 n 50 时选择 n 的概率 为 2P，求选择到一个完全平方数 n 的概率。
(考虑加法公式, 转化为互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步 P(A·B)= P(A) ·P (B)
(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
件
概 率
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥;互独; 对立). 注意关键词， 如“至多” “至少” “同时” “恰有”.
选例:一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。由多
个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。今设
P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）
问题４：互斥事件和相互独立事件有什么区别吗？
概念 符号
互斥事件
不可能同时发生 的两个事件
互斥事件A、B 中有一个发生, 记作:A+B
相互独立事件
事件A(或B)是 否发生对事件 B(或A)发生的 概率没有影响
相互独立事件A、 B同时发生记 作:A·B
即：事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的概率没有 影响，这样两个事件叫做相互独立事件。
问题３：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是 不是相互独立的？
问题３：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是
不是相互独立的？
相互独立
若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
2.2.2 事件的相互独立性
问题 1.盒中有 5 个球(3 白两黑),每次取出一个,有放回地取 两次,记 A 第一次抽取取到白球, B 第二次抽取取到黑 球. 试问事件 A 是否发生会影响事件 B 发生的概率大小 吗?
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B 相互独立。
所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，且各元件能否正常工作是
互相独立的。试求各系统的可靠性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)
1
2
P1=r2
1
2
(3)
1
2
P3=1－(1－r2)2
(2)
1
2
P2=1－(1－r)2
1
2
(4)
1
2
P4=[1－(1－r)2]2
练习: 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击中目标的 概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率； （2）其中恰由1人击中目标的概率 （3）至少有一人击中目标的概率
变式.
JA
JB
JC
设每个开关能闭合的概率都是0.7，计算这条线路正常工作 的概率？
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、JC 能够闭合为事件A,B,C. 所以这段事件内线路正常工作的概率是
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件AB发生的概率为：
P( A B) P( A) P(B)
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件 的概率的积。
一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个
事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）
问题 2.甲盒子里有 3 个白球和 2 个黑球，乙盒子里有 2 个 白球和 2 个黑球，记 A =从甲盒子里摸出 1 个球，得到白 球;B=从乙盒子里摸出 1 个球，得到白球,试问事件 A 是否 发生会影响事件 B 发生的概率大小吗?(即 P(B) P(B | A) 吗?)
（2）若以0.99的概率击中飞碟，求需小口径步枪多少支？
例 4．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种 考试方案. （06 北京） 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及 格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. 求:(1)分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的 概率； (2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率 的大小.（说明理由）
① A 与 B；② A 与 B； ③ A 与 B.
例如证 ① A A A(B B) AB AB P( A) P( AB) P( AB)
P( AB) P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B)
P( A)1 P(B) P( A)P(B)
计算 公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A·B)=P(A)·P(
B)
例1. 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以 获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次 抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都 是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的概率：
（1）都抽到某一指定号码； （2）恰有一次抽到某一指定号码； （3）至少有一次抽到某一指定号码。
例3.猎人在距离100m处射击一只野兔,其命中率为0.5,若第一次 射击未中,则进行第二次射击,但距离为150m,若第二次射击又未 中,则进行第三次射击,但距离为200m.已知猎人的命中概率与距 离的平方成反比,求猎人在三次内(含三次)命中野兔的概率.
练习.每支小口径步枪射击飞碟的命中率为P＝0.004，则 （1）现用250支小口径步枪同时独立地进行一次射击， 求击中飞碟地概率；
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
例2：甲,乙,丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率是1/2, 三人都做对的概率是1/24,三人全做错的概率是1/4.
(1)分别求乙,丙两人各自做对这道题的概率；
(2)求甲,乙,丙三人中恰有一人做对这道题的概率.
例 5．用某种方法来选择不超过 100 的正整数 n，若 n 50时选择 n 的概率为 P，若 n 50 时选择 n 的概率 为 2P，求选择到一个完全平方数 n 的概率。
(考虑加法公式, 转化为互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步 P(A·B)= P(A) ·P (B)
(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
件
概 率
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥;互独; 对立). 注意关键词， 如“至多” “至少” “同时” “恰有”.
选例:一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。由多
个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可靠性。今设
P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）
问题４：互斥事件和相互独立事件有什么区别吗？
概念 符号
互斥事件
不可能同时发生 的两个事件
互斥事件A、B 中有一个发生, 记作:A+B
相互独立事件
事件A(或B)是 否发生对事件 B(或A)发生的 概率没有影响
相互独立事件A、 B同时发生记 作:A·B