抛物线焦点弦经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨

过抛物线px y 22

=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点

结论1：p x x AB ++=21

p x x p

x p x BF AF AB ++=+++

=+=2121)2

()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2p

AB =

证: (1)若2

π

θ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2

(2)若2

π

θ≠

时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -

=即2

cot p

y x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=

由弦长公式得θ

θθ2

2212

sin 2)cot 1(2cot

1p

p y y AB =

+=-+= 结论3： 过焦点的弦中通径长最小

p p

2sin 21sin 2

2≥∴

≤θ

θΘ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(8

3

2为定值p AB S oAB =∆

()8

sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 2

1

sin 21322

20P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =

∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=

+=∆∆∆∆θθθθθϑθ

结论5： (1) 2

21p y y -= (2) x 1x 2=4

2

p

证44)(,2,22

2

221212

22211P P

y y x x p y x p y x ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切

证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2

2

2

1

11AB BF

AF BB AA MM =

+=

+=

故结论得证

结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1F

FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ

同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F

M ⋅=2

1

（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆 （5）2

1212

1

4M M B M AM =+

证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1

Θ11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点

1

11111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ

︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA

∴M 1F ⊥AB

BF AF F M ⋅=∴2

1 Θ AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM

︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，2

212

1

AB B M AM =+

()()()2

12

12

11

2

42MM MM BB AA

BF

AF ==+=+=

结论9： （1）、A O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线

（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴

（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴

证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 22121

11122,221-=-====

，而221p y y -=

所以122

2

22oB oA k p y y p

p

k =-=-=

所以三点共线。同理可征（2）（3）（4） 结论10：

p

FB FA 211=+

p

21

|CD |1|AB |1=+证：过A 点作AR 垂直X 轴于点R ，过B 点作BS 垂直X 轴于点S ，设准线与x 轴交点为

E,θ的倾斜角为

因为直线L 则θ

θcos 1cos -=

∴=+=+=P

AF AF AF P FR EF ER P AF θcos 11-=∴ 同理可得

P BF θcos 11+= ∴p

FB FA 2

11=+ 结论11：

证:A

A B B EA E B A A FA B B BF FA

BF EA E B AA EF BB 111

1111

111,////=

∴

===

∴

ΘΘ

EB B EA A EB B 90111111∠∠∴∆∆∴︒=∠=∠＝相似于EA A E BB E AA Θ

PEQ

EF BEF AEF 90EB B BEF EA A AEF 11∠∠∠∴︒∠∠∠∠平分角即＝＝＋＝＋Θ

0K K X BE AE BE

AE BF

AF BE AE ＝＋轴对称关于和直线直线∴=

∴

Θ

(4) 90AEB FB EF AF 2

︒∠∴=＝＝＝时，当π

θ

2px y 2p -x k y L 2 2=⎪⎭

⎫

⎝⎛=≠

将其代入方程的方程为时，设直线当π

θ ()

k

2

k p x x )y ,B(x ),y ,A(x 04p k 2)x p(k -x k 2

2212211222

2

2

+=+=++则设得 x 1x 2=4

p 2

假设12

2y 1K K BE AE 22

11

BE AE -=+

⋅

+∴⋅⊥p x y p x ＝－

则

⎪

⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝

⎛

∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2p x 2p x -2p -x k 2p -x k 2p x 2p x -y y 21212121即

(

)()()()()

()()

2

22222222

21212

2121k 2p 01k 4p 1k x x 2p x x 1k k k k p -+=

+∴=++-+-+∴

结论得证假设错误不可能∴∴∴=-∴02

结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则

推广与深化：

AE BE AF AE

(1)PEQ (2)

(3) K K 0BF BE

(4) AE BE , AE BE

2

2

EF π

π

θθ∠=+==

⊥≠

线段平分角当时当时不垂直于