高等数学多元函数微分法

第 八 章 多元函数微分法及其应用第 一 节 多元函数的基本概念教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念,掌握多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出连续函数在连续点的极限。

教学重点:多元函数概念与极限,多元函数的连续性定理。

教学难点:计算多元函数的极限。

教学内容:一、 区域1． 邻域设),(000y x p 就是xoy 平面上的一个点,δ就是某一正数。

与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体,称为点0P 的δ邻域,记为),(0δP U ,即),(0δP U =}{0δ<PP P ,也就就是),(0δP U = {),(y x │δ<-+-2020)()(y y x x }。

在几何上,),(0δP U 就就是xoy 平面上以点),(000y x p 为中心、0>δ为半径的圆内部的点),(y x P 的全体。

2． 区域设E 就是平面上的一个点集,P 就是平面上的一个点。

如果存在点P 的某一邻域E P U ⊂)(,则称P 为E 的内点。

显然,E 的内点属于E 。

如果E 的点都就是内点,则称E 为开集。

例如,集合}41),{(221<+<=y x y x E 中每个点都就是E 1的内点,因此E 1为开集。

如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点,也有不属于E 的点(点P 本身可以属于E ,也可以不属于E ),则称P 为E 的边界点。

E 的边界点的全体称为E 的边界。

例如上例中,E 1的边界就是圆周122=+y x 与 22y x +=4。

设D 就是点集。

如果对于D 内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于D ,则称点集D 就是连通的。

连通的开集称为区域或开区域。

例如,}0),{(>+y x y x 及}41),{(22<+<y x y x 都就是区域。

开区域连同它的边界一起所构成的点集,称为闭区域,例如{),(y x │y x +≥0}及{),(y x │1≤22y x +≤4}都就是闭区域。

对于平面点集E ,如果存在某一正数r ,使得 (0,)E U r ⊂,其中0就是原点坐标,则称E 为有界点集,否则称为无界点集。

例如,{),(y x │1≤22y x +≤4}就是有界闭区域,{),(y x │y x +>0}就是无界开区域。

二、多元函数概念在很多自然现象以及实际问题中,经常遇到多个变量之间的依赖关系,举例如下:例1 圆柱体的体积V 与它的底半径r 、高h 之间具有关系h r V 2π=。

这里,当r 、h 在集合}0,0),{(>>h r h r 内取定一对值),(h r 时,V 的对应值就随之确定。

例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 与绝对温度T 之间具有关系 p =VRT , 其中R 为常数。

这里,当V 、T 在集合0{(,)0,}V T V T T >>内取定一对值(,)V T 时,p 的对应值就随之确定。

定义1 设D 就是平面上的一个点集。

称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数,通常记为),(y x f z =,(,)x y D ∈(或)(P f z =,P D ∈)。

其中点集D 称为该函数的定义域,y x 、称为自变量,z 称为因变量。

数集}),(),,({D y x y x f z z ∈=称为该函数的值域。

z 就是y x ,的函数也可记为 ),(y x z z =, (,)z x y ϕ=等等。

类似地可以定义三元函数),,(z y x f u =以及三元以上的函数。

一般的,把定义1中的平面点集D 换成n 维空间内的点集D ,则可类似地可以定义n 元函数),,,(21n x x x f u =。

n 元函数也可简记为)(P f u =,这里点D x x x P n ∈),,,(21 。

当1=n 时,n 元函数就就是一元函数。

当2≥n 时,n 元函数就统称为多元函数。

关于多元函数定义域,与一元函数类似,我们作如下约定:在一般地讨论用算式表达的多元函数()u f x =时,就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。

例如,函数)ln(y x z +=的定义域为}0){(>++y x y x(图8-1),就就是一个无界开区域。

又如,函数)arcsin(22y x z +=的定义域为}1){(22≤++y x y x (图8-2),这就是一个有界闭区域。

图8-1 图8-2设函数),(y x f z =的定义域为D 。

对于任意取定的点D y x P ∈),(,对应的函数值为),(y x f z =。

这样,以x 为横坐标、y 为纵坐标、),(y x f z =为竖坐标在空间就确定一点 ),,(z y x M 。

当),(y x 遍取D 上的一切点时,得到一个空间点集 }),(),,(),,{(D y x y x f z z y x ∈=,这个点集称为二元函数),(y x f z =的图形。

通常我们也说二元函数的图形就是一张曲面。

三、多元函数的极限定义2 设二元函数),(y x f 的定义域为D ,),(000y x P 就是D 的聚点。

如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点0(,)(,)P x y D U P δ∈⋂时,都有ε<-A y x f ),( 成立,则称常数A 为函数),(y x f 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=,或 A y x f →),((00(,)(,)x y x y →)。

为了区别于一元函数的极限,我们把二元函数的极限叫做二重极限。

我们必须注意,所谓二重极限存在,就是指),(y x P 以任何方式趋于000(,)P x y 时,函数都无限接近于A 。

因此,如果),(y x P 以某一种特殊方式,例如沿着一条直线或定曲线趋于000(,)P x y 时,即使函数无限接近于某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在。

但就是反过来,如果当),(y x P 以不同方式趋于000(,)P x y 时,函数趋于不同的值,那么就可以断定这函数的极限不存在。

下面用例子来说明这种情形。

考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(222222y x y x y x xy y x f 显然,当点),(y x P 沿x 轴趋于点)0,0(时,(,)(0,0)00lim (,)lim (,0)0x y x y f x y f x →→→==;又当点),(y x P 沿y 轴趋于点)0,0(时,(,)(0,0)00lim (,)lim (0,)0x y y x f x y f y →→→==。

虽然点),(y x P 以上述两种特殊方式(沿x 轴或沿y 轴)趋于原点时函数的极限存在并且相等,但就是(,)(0,0)lim (,)x y f x y →并不存在、这就是因为当点),(y x P 沿着直线kx y =趋于点)0,0(时,有 2222222(,)(0,0)0lim lim 1x y x y kxxy kx k x y x k x k →→===+++, 显然它就是随着k 的值的不同而改变的、例3 求 (,)(0,2)sin()limx y xy x→、 解 这里x xy y x f )sin(),(=的定义域为{}(,)0,D x y x y R =≠∈,0(0,2)P 为D 的聚点。

由极限运算法则得(,)(0,2)02sin()sin()limlim lim 122x y xy y xy xy y x xy →→→=⋅=⋅=。

四、多元函数的连续性定义3 设函数),(y x f 在开区域(闭区域)D 内有定义,),(000y x P 就是D 聚点,且D P ∈0。

如果0000(,)(,)lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=,则称函数),(y x f 在点),(000y x P 连续。

如果函数),(y x f 在开区域(或闭区域)D 内的每一点连续,那么就称函数),(y x f 在D 内连续,或者称),(y x f 就是D 内的连续函数。

若函数),(y x f 在点),(000y x P 不连续,则称0P 为函数),(y x f 的间断点。

这里顺便指出:如果在开区域(或闭区域)D 内某些孤立点,或者沿D 内某些曲线,函数),(y x f 没有定义,但在D 内其余部分都有定义,那么这些孤立点或这些曲线上的点,都就是函数),(y x f 的不连续点,即间断点。

前面已经讨论过的函数222222,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩当(,)(0,0)x y →时的极限不存在,所以点)0,0(就是该函数的一个间断点。

二元函数的间断点可以形成一条曲线,例如函数11sin 22-+=y x z 在圆周122=+y x 上没有定义,所以该圆周上各点都就是间断点。

与闭区域上一元连续函数的性质相类似,在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。

性质1(最大值与最小值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数,在D 上一定有最大值与最小值。

这就就是说,在D 上至少有一点1P 及一点2P ,使得)(1P f 为最大值而)(2P f 为最小值,即对于一切P ∈D, 有)()()(12P f P f P f ≤≤、性质2(介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数,必取得介于最大值与最小值之间的任何值。

一切多元初等函数在其定义区域内就是连续的。

所谓定义区域就是指包含在定义域内的区域或闭区域。

由多元初等函数的连续性,如果要求它在点0P 处的极限,而该点又在此函数的定义区域内,则极限值就就是函数在该点的函数值,即)()(lim 00P f P f P P =→、例4 求(,)(1,2)limx y x y xy →+、 解 函数 xy y x y x f +=),(就是初等函数,它的定义域为}0,0),{(≠≠=y x y x D 。

因D 不就是连通的,故D 不就是区域。

但}0,0),{(1>>=y x y x D 就是区域,且D D ⊂1 ,所以D 就是函数),(y x f 的一个定义区域。

因10)2,1(D P ∈, 故(,)(1,2)3lim(1,2)2x y x y f xy →+==、 如果这里不引进区域1D ,也可用下述方法判定函数),(y x f 在点)2,1(0P 处就是连续的:因0P 就是),(y x f 的定义域D 的内点,故存在0P 的某一邻域D P U ⊂)(0,而任何邻域都就是区域,所以)(0P U 就是),(y x f 的一个定义区域,又由于),(y x f 就是初等函数,因此),(y x f 在点0P 处连续。