线性计算方法

第八章线性相关

前面着重于描述某一变量的统计特征

或比较该变量的组间差别

两个随机变量之间的关系：

如体重与肺活量、

年龄与血压

是否存在线性联系？正向还是负向？联系的程度？

线性相关（linear correlation）：线性联系？方向？程度？

8.1 线性相关概念

1．独立随机的双变量正态分布样本

讨论两个变量X和Y的相关性。

样本：独立的、成对的观察值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)

第八章线性相关 2

例8.1 为讨论父子身高间的线性相关程度，南方某地在应届中学毕业生花名册中随机抽取20名男生，分别测量他们和他们的父亲的身高(cm)，得样本资料如表8.1所示。

表8.1 20对父子的身高(cm)数据

问如何保证这是一份可供讨论线性相关的合格样本?

解（1）随机抽取；

（2）互相独立？

2．散点图(scatter plot)

线性相关3/17

座标轴：分别表示两个变量；n个点：构成一幅散点图（图8.1）

第八章线性相关 4

图8.2 典型散点图

线性相关 5/17

图(a)和(c)，正相关(positive correlation) 图(b)和(d)，负相关(negative correlation) 图(e) 、(f) 、(g)，Y 和X 无关联 图 (h)，可能存在曲线型联系。

通常所说的相关就是线性相关，(e)到(h)均属不相关 对于不相关的情形，宜进一步澄清是否为曲线关系

8.2 相 关 系 数

Pearson 积矩相关系数(product-moment correlation coefficient) 对双变量正态分布变量X 和Y 的方差）

的方差（的协方差和相关系数)(Y Y X X

(8.1)

第八章 线性相关 6

总体相关系数，记为ρ

ρ＝0，X 和Y 无线性相关或零相关(null correlaton) ρ >0, 正相关 ρ <0, 负相关

ρ＝1或-1, 完全相关（罕见！）。 样本相关系数,记为r

对于n 对随机样本，X 和Y 的样本协方差：

1

1

))((1

-=

---=

∑=n l n y y x x

Y X xy n

i i i

的样本协方差和 (8.2)

l xy ：X 与Y 的离均差乘积和

若所有离均差乘积平均后接近零，则表明部份个体的X 和Y 同方向，部份个体的X 和Y 反方向，总的说来，诸个体各循其道，杂

线性相关 7/17

乱无章

相反，若离均差乘积平均后为正，且距零较远，则表明多数个体的X 和Y 同方向，即正相关；

若离均差乘积平均后为负，且距零较远，则表明多数个体的X 和Y 反方向，即负相关。

协方差的大小与X ，Y 的取值单位有关，不同问题中的协方差不可比较。

相关系数：X 和Y 分别标准化之后的协方差。 数值介于-1和+1之间,且没有单位

])(1][)(1[))((1)()())((2

11

221121

1111221∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========---=----=

=n

i i

n i i n i i n i i n

i i n

i i n

i i i n i n i i i n

i i i yy

xx xy

y n y x n x y x n y x y y x x y y x x l l l r

(8.3)

第八章 线性相关 8

l xx : X 的离均差平方和 l yy :Y 的离均差平方和

例8.2 试计算例8.1中父高X 和子高Y 的样本相关系数(假定系独立随机双正态样本)。 解 ∑=n i i

x 1＝3376， ∑=n

i i

y 1＝3407， n =20

∑=n

i i

x

1

2＝571728，

∑=n

i i

y

1

2＝581081，

∑=n

i i

i y x 1

＝576161

由(8.3)式得到， 9296.0)55.698)(2.1859(4.1059)

20/3407581081)(20/3376571728(20

/)3407)(3376(5761612

2==---=

r 8.3 相关系数的统计推断

样本相关系数r 只是总体相关系数ρ的一个估计值。

样本相关系数也存在变异性。

线性相关 9/17

得到线性相关的描述统计量r 之后，还有必要对其所来自的总体进行统计推断。

1． 相关系数的假设检验 H 0: ρ＝0

直接查r 界值表 或 t 检验：

r

r s r t 0-= v =n -2 (8.4)

2

12

--=n r

s r (8.5)

S r : 样本相关系数r 的标准差(也称标准误)。 例8.3 继例8.2中算得r ＝0.9296后，试检验相关是否具有统计学意义。

第八章 线性相关 10

解 （1）直接查r 界值表

可得到r 0.001，18 = 0.679， | r | ＞r 0.001，18，P ＜0.001， （2）t 检验

H 0：ρ＝0， H 1：ρ≠0，α=0.05。 7.102

209296.019296.02

=--=r

t

查t 分布表，得到t 0.001，18＝3.922。显然｜t r ｜＞3.922，P ＜0.001。 故拒绝H 0，接受H 1，可以认为父子身高之间存在正相关关系。与查表结论相同。

2． 相关系数的区间估计

(1) 对样本相关系数r 作变换 r z 1

tanh -= 或 )11l n (21r

r

z -+= (8.6)