导数的综合应用 ppt课件

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图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x)，则不等式 f′(x)≤0的解集为[__13_,_1]___[2_,_3_) .
解析 由函数y=f(x)在定义 域 ( 3 ,3) 内的图象可得,函 数y=f2′(x)的大致图象如图
所示.由图象可得不等式 f′(x)≤0的解集为
[1,1][2,3).
①
由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,
则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.
而g(x)的图象关于y轴对称,所以2m6 0,
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所以m=-3.代入①得n=0.
于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)>0得x>2或x<0,
故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞);
但要注意规范步骤.求函数单调区间的基本步骤是:
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①确定函数f(x)的定义域;
②求导数f′(x);
③由f′(x)>0(或f′(x)<0),解出相应的x的范围.当 f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是增_函__数___;当f′(x) <0时,f(x)在相应的区间上是减__函__数___.
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基础自测
1.已知曲线C:y=2x2-x3,点P(0,-4),直线l过点P且与
曲线C相切于点Q,则点Q的横坐标为 A.-1 B.1 C.-2 D.2
(A )
解析 y 4x3x2,设Q(x0,2x02 x03),则l方程为 y2x02 x03 (4x0 3x02)(xx0).Ql过点P(0,4), 42x02 x03 (4x0 3x02)(0x0),x03 x02 20, x03 1(x02 1) 0,(x0 1)(x02 2x0 2) 0, x0 1.
还可以通过列表,写出函数的单调区间.
(2)在利用导数研究函数的单调性时,我们往往应用
以下的充分条件：设函数f(x)在(a，b)内可导，若
f′(x)>0(或f′(x)<0),则函数f(x)在区间(a,b)内为
增函数(或减函数);若函数在闭区间［a,b］上连续,
则单调区间可扩大到闭区间［a,b］上.
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5.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问 题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系式y=f(x); (2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值 的大小,最大(小)者为最大(小)值.
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题型分类 深度剖析
题型一 函数的极值与导数
【例1】已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,
-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.
(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间;
(2)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极
值.
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3.已知函数f(x)=xm+ax的导数f′(x)=2x+1,则数列
{ 1 } (n∈N*)的前n项和为
f (n)
(C )
A .n
Β .n 1 C .n
n 1
n
n 1
解析 ∵f′(x)=mxm-1+a=2x+1
D .n 2 n 1
m 2
a 1 ∴f(x)=x2+x ∴f(n)=n2+n=n(n+1)
11 1 11n.故 C 选 . f(1 ) f(2 ) f(n ) n 1n 1
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4.a、b为实数，且b-a=2，若多项式函数f(x)在区间
(a,b)上的导函数f′(x)满足f′(x)<0,则以下式子
中一定成立的关系式是
(B )
A.f(a)<f(b)
B.f(a+1)>f(b-1 ) 2
§3.4 导数的综合应用
基础知识 自主学习
要点梳理
1.曲线的切线方程
点P(x0,f(x0))在曲线y=f(x)上,且f(x)在(x0,f(x0)) 处存在导数,曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y_-__ _f_(_x_0)_=_f_′__(_x_0_)_(_x_-_x_0_).
2.函数的单调性
(1)用导数的方法研究函数的单调性往往很简便,
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3.函数的极值 求可导函数极值的步骤 求导数f′(x)→求方程_f_′__(_x_)_=_0的根→检验f′(x) 在方程根左右值的符号,求出极值(若左正右负,则 f(x)在这个根处取极大值;若左负右正,则f(x)在这 个根处取极小值).
4.函数的最值 求可导函数在［a,b］上的最值的步骤 求f(x)在(a,b)内的极值→求f(a)、f(b)的值→比 较f(a)、f(b)的值和极__值___的大小.
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2.函数f(x)=xcos x的导函数f′(x)在区间[-π,π]
上的图象大致是
(A)
解析 ∵f(x)=xcos x,∴f′(x)=cos x-xsin x. ∴f′(-x)=f′(x),∴f′(x)为偶函数,∴函数图象 关于y轴对称.由f′(0)=1可排除C、D选项.而 f′(1)=cos 1-sin 1<0,从而观察图象即可得到答 案为A.
由f′(x)<0,得0<x<2,
故f(x)的单调递减区间是(0,2).
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(2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
C.f(a+1)>f(b-1)
D.f(a+1)>f(b-3 )
2 解析 因为f(x)在区间(a,b)上的导函数f′(x)满
足f′(x)<0,故f(x)在区间(a,b)上单调递减,
又 b-a2 ,a 1a21b1, 22
故f(a+1)>f(b- 1 ),故选B. 2
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5.函数y=f(x)在其定义域( 3 ,3) 内可导,其图象如
思维启迪 (1)由f(x)过点(-1,-6)及g(x)图象关
于y轴对称可求m,n.由f′(x)>0及f′(x)<0可求单
调递增和递减区间.(2)先求出函数y=f(x)的极值
点,再根据极值点是否在区间(a-1,a+1)内讨论.
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解 (1)由函数f(x)的图象过点(-1,-6),
得m-n=-3.