麦克斯韦方程组和电磁波

r r r r r r 三个介质方程 （ D = ε E B = µ H J 0 = σ E）
一个洛仑兹力
r r v r f = qE + qυ × B
在确定的边界条件下联合解上述方程， 在确定的边界条件下联合解上述方程， 原则上可解决电磁场的一般问题。 原则上可解决电磁场的一般问题。
2. 爱因斯坦相对论的重要实验基础 3. 预言电磁波的存在 由微分方程出发 在各向同性介质中 且在
D1n = D2n
介质1 介质
介质2 $ 介质 n
ε 1E1n = ε2 E2n
P ⋅ ⋅P 1 2
E2n ε1 = E1n ε2
E 2 n ε r1 = E1n ε r 2
或
•切线分量的关系 切线分量的关系 即 D1t D2 t E 1t E 2 t 之间的关系 在界面两侧过 P1 和 P2 点
0
∫
S
r r D ⋅ dS =
∫ρ
V
dV
r ∇⋅D = ρ0
r r r ∂B r ∫ E ⋅ d l = − ∫ ∂t ⋅ d S L S
r r ∂B ∇× E = − ∂t
∫
S
r r B ⋅dS = 0
r ∇⋅B = 0
r r r ∂D ∇ × H = J0 + ∂t
r r r r r ∂D r ∫ H ⋅dl = ∫ J0 ⋅dS + ∫ ∂t ⋅dS L S S
J0 = 0
ρ0 = 0
r H
情况下
r E
满足的微分 方程形式 形式是 方程形式是 波动方程 波动方程
方向传播的电磁场(波 对沿 x 方向传播的电磁场 波) 有
∂ 2 Ey ∂x
2
2
= µε
∂ 2 Ey ∂t
2
2
yE y
u
x
∂ Hz ∂ Hz = µε 2 2 ∂x ∂t
是波动方程的形式
z
Hz
1886年赫兹发现了电磁波，证实了麦的预言 年赫兹发现了电磁波， 年赫兹发现了电磁波
E1t (− )l + E 2 t l = 0
E1t = E2t
D1t
介质1 介质
介质2 介质 t$
ε1
=
D2 t
ε2
P l⋅ ⋅P 1 2
D2t ε2 = ε1 D1 t
或
D2 t ε r 2 = D1t ε r1
2. 磁场在物质分界面上的边界条件 界面某点P两侧的磁场场量的关系 界面某点 两侧的磁场场量的关系 过场点作扁圆柱面 由 得 由介质 方程有
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x 和时间 t 的函数。 讨论一维问题,场量 的函数。 前述方程组可简化为： 前述方程组可简化为：
∂E x ∂E x (I) = 0 = 0, ∂t ∂x ∂H x ∂H x (II) = 0, =0 ∂x ∂t ∂E y ∂E y ∂H z ∂H z (III) , − = −µ =ε ∂x ∂t ∂x ∂t ∂H y ∂H y ∂E z ∂E z (IV) =µ , =ε ∂x ∂t ∂x ∂t
L
r r ∫ B ⋅ dS = 0
S
重新整合写成电场和磁场各两个方程
r r ∫ D ⋅ dS =
S
注意： 注意：
∫ρ
V
0
dV
r r r ∂B r ∫ E ⋅ dl = − ∫ ∂t ⋅ dS L S r r ∫ B ⋅ dS = 0
S
r r r D = D静电 + D感生 r r r E = E静电 + E感生
平面电磁波的波动方程
经过一系列变换， 经过一系列变换，得到
∂2Ey ∂t
2
∂2Ey 1 = 2 εµ ∂x
∂ H 1 ∂ Hz = 2 2 ∂t εµ ∂x
2 2 z 2
是按波动形式传播。 表明变化电磁场 Ey 和Hz 是按波动形式传播。 去掉E 去掉 y 和Hz 的下标 y 和 z，得
2 2
∂ E 1 ∂ E = 方向） 沿 方向 2 2 （E沿y方向） ∂t εµ ∂x 平面电磁波
积分得
E0 x x H= cos ω t − + φ0 = H 0 cos ω t − + φ0 µu u u
E0 ε 的振幅 H0 = = E0 ——H的振幅 µu µ
ε E0 = µ H 0
H 和E 有相同的频率,且两者同相位，二者满足瞬 有相同的频率,且两者同相位， 时关系： 时关系：
在界面处，场不连续，微分关系不能用了， 在界面处，场不连续，微分关系不能用了， 要代之以界面关系 也称边界条件）： （也称边界条件）：
ˆ n
1 2
E1t = E2t D1n − D2 n = σ 0 表面 v ˆ ˆ H1t − H 2t = (J 0表面 × n )⋅ t B1n = B2 n
ˆ t
r r r B = B稳恒 + B位移 r r r H = H传导+ H位移
r r r r r ∂D ∫ H ⋅dl = ∫ J0 ⋅ dS + ∫ ∂t ⋅ dS L S S
积分形式
二、微分形式 1.数学上的定理 数学上的定理 Gauss定理 定理
r r r ∫ A ⋅ dS = ∫ ∇ ⋅ A dV
σ0表面 界面处自由
v J 0 表面 界面处传导
电流密度
7
电荷面密度
如果
σ 0表面 = 0
v J 0表面 = 0
则边界关系为
E1t = E2t
ˆ n
1 2
D1n = D2 n
ˆ t
H1t = H 2t B1n = B2 n
8 边界条件推导
三、麦克斯韦的贡献 1. 完善了宏观的电磁场理论 四个微分方程
S
σ 0界面= 0
介质1 介质 介质2 n 介质 $
P ⋅ ⋅P 1 2
(∆S1 )
r r ∫ D1 ⋅ dS +
( ∆S 2 )
r r ∫ D2 ⋅ dS
= −D1n∆S1 + D2n∆S2
因为
σ 0界面= 0
所以 = 0
由 得 由介质 方程有 即
− D1n ∆S1 + D2 n ∆S 2 = 0
四、电磁场的边界条件 物质分界面上 电场 磁场 (电流 电流) 电流 1. 电场在分界面上的边界条件 分界面上一点P的情况 分界面上一点 的情况
介质1 介质 介质2 介质
P1 ⋅ ⋅ P2
介质1 一侧紧邻界面 点的 1点的场量 点的P 介质 一侧紧邻界面P点的 r r r r B1 H 1 E1 D1 介质2 一侧紧邻界面P点的 点的P 介质 一侧紧邻界面 点的 2点的场量 r r r r B2 H 2 E2 D2
∂ H 1 ∂ H = 方向） 方向 2 2 （H 沿z方向） εµ ∂x ∂t
2 2
}
的波动方程
平面电磁波的波动方程
电磁波的波速
u = 1 εµ
真空中的波速
c = 1 ε 0 µ 0 = 2.9979 m/s
2.电磁波的性质 2.电磁波的性质
电磁波是横波。 电磁波是横波。 轴正方向传播的平面余弦电磁波特解： 沿 x 轴正方向传播的平面余弦电磁波特解：
介质1 介质 介质2 介质 t$
l
作一平行界面的狭长的矩形回路
P ⋅ ⋅P 1 ⋅ 2
r r ∫ E ⋅dl =
L
r r ∫ E1 ⋅dl +
介质 1
r r E2 ⋅ dl = E1t ( −) l + E2t l ∫
介质 2
因为
r ∂B r ⋅ dS ≈ 0 ∂t
所以
=0
由 得 由介质 方程有 即
P
•法线分量的关系 法线分量的关系 即 D1 n D 2 n E 1 n E 2 n 之间的关系 设界面处无自由电荷 即 在界面两侧 过 P1 和 P2 作底面平行界面的扁圆柱面 介质2处底面积记作∆ 介质 处底面积记作∆S2，介质 处底面积记作 1处记作∆S1 。 处记作∆ 处记作
r r ∫ D ⋅ dS =
S V
直角坐标系中
∂ ∂ ∂ ˆ ˆ ˆ ∇= x+ y+ z ∂x ∂y ∂z
ˆ x r ∂ ∇× A = ∂x Ax ˆ y ∂ ∂y Ay ˆ z ∂ ∂z Az
( )
)
Stokes定理 定理
r r r r ∫ A⋅ dl = ∫ ∇× A ⋅ dS
L S
(
2. 微分形式 积分形式 微分形式
1. 平面电磁波的波动方程
在无限大均匀绝缘介质(或真空) =0 =0， 在无限大均匀绝缘介质(或真空)中，ρ=0，δ=0，且介 是常量。麦克斯韦方程简化为： 电常量ε 和磁导率µ 是常量。麦克斯韦方程简化为：
r r r r ∂Ex ∂E y ∂Ez ∫ D ⋅ d S = ε ∫ E ⋅ d S = 0 → ∂x + ∂y + ∂z = 0
ε E = µH
电磁波的性质
平面简谐电磁波的传播
y
r u
r E
z
r H
x
电磁波的一般性质： 电磁波的一般性质： (1)电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向, (1)电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向,三 电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向 者相互垂直,并构成右手螺旋关系。电磁波是横波。 者相互垂直,并构成右手螺旋关系。电磁波是横波。
ε E = µH (5)电磁波的传播速度 (5)电磁波的传播速度 u = 1 εµ
与电磁波的频率有关， 通常ε 和µ 与电磁波的频率有关，在介质中不同 频率的电磁波具有不同的传播速度， 频率的电磁波具有不同的传播速度，此即电磁波在介 质中的色散现象 色散现象。 质中的色散现象。
§1 麦克斯韦电磁场方程组 一、 积分形式 二、微分形式 三、麦克斯韦的贡献 四、电磁场的边界条件
一、 积分形式
r r r E = E静电 + E感生 r r r D = D静电 + D感生
通量 r r ∫ D静电 ⋅ dS = V ρ 0dV ∫ S r r ∫ D感生 ⋅ dS = 0
S
r r r B = B稳恒 + B位移 r r r H = H传导 + H位移

r r B ⋅ dS = 0 ∫
S
通量
r r ∫ D静电 ⋅ dS = ∫ ρ 0dV
S
环流 r r ∫ E静电 ⋅ dl = 0
r V r ∫ D感生 ⋅ dS = 0
S
r r r ∂B r ∫ E感生 ⋅dl = −∫ ∂t ⋅ dS L S
r r r r r ∂D ∫ H ⋅dl = ∫ J0 ⋅dS + ∫ ∂t ⋅dS L S S
r r r r ∂H x ∂H y ∂H z ∫ B ⋅ d S = µ ∫ H ⋅ d S = 0 → ∂x + ∂y + ∂z = 0
平面电磁波的波动方程
∂H x ∂E z ∂E y ∂y − ∂z = − µ ∂t r r r r ∂H y ∂E x ∂Ez ∂B ∫ E ⋅ d l = −∫ ∂t ⋅ d S → ∂z − ∂x = −µ ∂t ∂E y − ∂Ex = − µ ∂H z ∂x ∂y ∂t ∂Ex ∂H z ∂H y ∂y − ∂z = ε ∂t r r r ∂D r → ∂H x − ∂H z = ε ∂E y ∫ H ⋅ d l = − ∫ ∂t ⋅ d S ∂z ∂x ∂t ∂H y − ∂H x = ε ∂Ez ∂x ∂y ∂t
得 由介质 方程有
H 1t = H 2 t
B2t µ = B1 t µ
2 1
有了场量边界关系 可为解题带来方便
§2
电磁波
变化的电场和变化的磁场不断地交替产生，由近 变化的电场和变化的磁场不断地交替产生， 及远以有限的速度在空间传播，形成电磁波 电磁波。 及远以有限的速度在空间传播，形成电磁波。最初由 麦克斯韦在理论上预言，1888年赫兹进行了实验证实 年赫兹进行了实验证实。 麦克斯韦在理论上预言，1888年赫兹进行了实验证实。
r r ∫ B ⋅ dS = 0
S
介质1 介质
介质2 $ 介质 n
P ⋅ ⋅P 1 2
B1n = B2n
H 2n µ = H 1n µ
1 2
过场点作狭长矩形回路 r ∂D r 由于 J 0 = 0 ⋅ ds ≈ 0 ∂t r r 有 ∫ H ⋅ dl = 0
L
介质1 介质
介质2 介质 t$
P l⋅ ⋅P 1 2
电磁波的性质
(2)沿给定方向传播的电磁波, (2)沿给定方向传播的电磁波,E 和H 分别在各自平 沿给定方向传播的电磁波 面内振动，这种特性称为偏振 偏振。 面内振动，这种特性称为偏振。 (3)E 作周期性的变化，而且相位相同， (3) 和H 作周期性的变化，而且相位相同，同地 同时达到最大，同地同时减到最小。 同时达到最大，同地同时减到最小。 (4)任一时刻、空间任一点,E 和H 在量值上满足 任一时刻、空间任一点,
x E = E0 cos ω t − + φ0 u
∂E ∂H 计算出H： 据 计算出 = −µ ∂x ∂t 1 ∂E E0ω x H =− dt = − sin ω t − + φ0 d t µu µ ∂x u
∫
∫
电磁波的性质