空间向量解决空间距离问题PPT课件
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人教A版选修一1.4.2用空间向量解决距离问题(第1课时课件)课件
2
2
2.点P到平面α的距离为 PQ AP
n
|n|
AP n
| AP n |
|n|
3.点线距求解方法
线线距实质上都是求点线距，
直线方向向量→点到直线点的向量→求点线距
4．点面距求解方法
线面距、面面距实质上都是求点面距，
平面法向量→点到平面点的向量→求点面距
|n|
THANKS
1)
2
2
1
AB (0,1,0), AC1 (1,1, 1), AE (0, , 1),
2
1
1
1
EC1 (1, ,0), FC (1, ,0), AF (0, ,0).
2
2
2
A
C
F
B
D1
A1
x
E
C1 y
B1
AC1
3
(1)取a AB (0,1,0), u
则点A到直线EF的距离为
答案:
.
174
6
解析:如图,以点 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、
z 轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2), =(1,-2,1),
=(1,0,-2),∴| |= 12 + (-2)2 + 12 = 6,
· = 0,
-2 + 2 = 0,
则
得
-2 + 4 = 0.
·1 = 0,
取 z=1,则 x=y=2,所以 n=(2,2,1).
|·1 1 |
所以点 B1 到平面 AD1C 的距离 d=
||
8
2
2.点P到平面α的距离为 PQ AP
n
|n|
AP n
| AP n |
|n|
3.点线距求解方法
线线距实质上都是求点线距，
直线方向向量→点到直线点的向量→求点线距
4．点面距求解方法
线面距、面面距实质上都是求点面距，
平面法向量→点到平面点的向量→求点面距
|n|
THANKS
1)
2
2
1
AB (0,1,0), AC1 (1,1, 1), AE (0, , 1),
2
1
1
1
EC1 (1, ,0), FC (1, ,0), AF (0, ,0).
2
2
2
A
C
F
B
D1
A1
x
E
C1 y
B1
AC1
3
(1)取a AB (0,1,0), u
则点A到直线EF的距离为
答案:
.
174
6
解析:如图,以点 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、
z 轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2), =(1,-2,1),
=(1,0,-2),∴| |= 12 + (-2)2 + 12 = 6,
· = 0,
-2 + 2 = 0,
则
得
-2 + 4 = 0.
·1 = 0,
取 z=1,则 x=y=2,所以 n=(2,2,1).
|·1 1 |
所以点 B1 到平面 AD1C 的距离 d=
||
8
空间向量与空间距离课件
A1B1 n n
2 3
A
x
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(2) 求D1C到面A1BE的距离；
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(3) 求面A1DB与面D1CB1的距离；
(x,
y,
z)为面A1BE的法向量，
则
n
A1E
0,
x 1 y 0, 2
n A1B 0, y z 0,
即zy
2x, 2x,
取x＝1，得平面A1BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
z
D1 A1
E
C1 B1
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1， E为D1C1的中点，求下列问题：
(1) 求B1到面A1BE的距离； z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
1)A1
E
=(-1,1 2
,0),A1B=(0,1,-1)设n
z
D1
A1
D
A
x
C1
B1
Cy
B
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
空间向量解决空间距离问题PPT教学课件
取x＝1，得平面A1BE的 一个法向量n (1, 2, 2)
z
D1 A1
E
C1 B1
选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 0,1,0,
D
得B1到面A1BE的距离为d
A1B1 n n2 3A来自xCyB
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，
DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示
位。
让我们走近这两位先哲，让他们思想 的光环也闪耀在我们这一代人的心中！
综合性学习
我所了解的孔子和孟子
圣人孔子
• 孔子，名丘，字仲尼， 春秋时期鲁国人。他 的祖先是宋国贵族， 大约在孔子前几世没 落了，失掉了贵族的 地位，《史记》称 “孔子贫且贱”，孔 子自己也说：“吾少 也贱，故能多鄙事。” （《论语·子罕》）
孔子十五岁立志学习，先后 做过吹鼓手、仓库和牧场管 理员、小司空(掌管工程)及 司寇(掌管刑法)，曾拜老子 为师；五十多岁后周游列国， 宣传自己的政治主张。晚年 收徒讲学，并著书立说，编 修整理了《诗》、《书》、 《礼》、《乐》、《周易》、 《春秋》等书，直至七十三 岁逝世。
孔府
亚圣孟子
战国时期伟大的思想家， 名轲，邹（今山东邹县） 人。他幼年丧父，家庭贫 困，在母亲的教导下勤奋 学习。青年时以士的身份 游说诸侯，推行自己的政 治主张，后来退居讲学。 孟子继承和发展了孔子的 思想，提出一套完整的思 想体系，对后世产生了极 大的影响，被尊奉为“亚 圣”。
n
P
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时+用空间向量研究距离问题)课件
= -,
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
空间向量与空间距离课件
D(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
BD 2，0，1，BC 2，2，0，
∴ B在D 上B的C 投影长为
| BC BD | 4 2， BC 2 2
故D到BC的距离为 BD 2
2
2 3.
答案： 3
2.因为AB=1，BC=2，AA′=3，所以A′(0，0，3)，C(1，2，
【解析】1.选D.方法一：建立如图所示的坐标系，据题意 知，A(2，0，0)，D(0，2，2)，
AD (2，2，2) AD 22 22 22 2 3.
方法二：
AD AB BC CD，
2
2
2
2
AD AB BC CD 2(AB BC AB CD BC CD)
22 22 22＝12，
2
EF
2
FB
144
49
144
337，
25 25 25 25
DB 337 ，故点B，D间的距离是 337 .
5
5
方法二：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，过点
E
作FB的平行线EP，以E为坐标原点，EP，EC，ED所在直线分别
为x轴，y轴DE，zF轴B建 1立2，空E间F 直7角，坐标系，如图所示.
(3)结论： ①点A到平面π的距离d等于线段__A_A_′__的长度； ②向量 PA 在n上的投影的大小 | PA n0 | 等于线段_A_A_′__的长度 (n0是n方向上的单位向量)； ③向量公式：d=__| _P_A__n_0_| _.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间 的距离.( ) (2)直线到平面的距离指直线与平面平行时，直线上任意一点 到平面的距离.( ) (3)两异面直线间的距离不能转化为点到平面的距离.( )
用向量法求空间距离课件
奇异点
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
用空间向量研究距离、夹角问题 课件
（1）求平面的法向量
n;
（2）选择参考向量 AP(其中点A为平面内任意一点 )；
（3）代入点到平面的距离公式求解距离.
思考： 类似地，请同学们研究如何求两个平行平面的距离.
直线与平面平行时，直 直线上的任意一点到平
线与平面的距离可以转
面的距离；
n
化为 P
l
αA 平面与平面平行时，两 个平面间的距离可以转 化为 其中一个平面上任意一 点到另一个平面的距离 .
5.平面与平面平行时，两个平面间的距离可以转化为 其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离.
布置作业：
同步训练里《跟踪练习》
巩固练习：
1.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，
（1）点A到平面B1C的距离为
D1
（2）直线DC到平面AB1的距离为
A1
（3）平面DA1到平面CB1的距离为
D
A
C1 B1
C B
2.如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，
E为DD1的中点， F为线段 BB1的中点.
第一章空间向量与立体几何
1.4空间向量的应用（2） ——用空间向量研究距离、夹角问题
第一课时
导入新课：
我们知道, 立体几何中的距离问题 包括点到直线、点到 平面、两条平行直线以 及两个平行平面的距离 问题等. 如何用空间向量解决这些问题呢？
学习新课：
1. 点到直线的距离：探究：已知直线 l的单位向量
a
b
a b
2
距离？ 可转化为求其中一条直 线上 的点到另一条直线的距 离.
练习：
如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，
（1）点A到直线D1C的距离为
用向量方法求空间中的距离 课件
||·cos∠ABO=
||||cos∠
.
||
如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法向量的方向,可以得到点 B
到平面 α 的距离为|| =
|·|
.
||
因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:(1)求出该
平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应
|·|
||
=
3 3
5
=
3 15
.
5
错因分析:错误的根本原因是忽视了求点面距时,应是用平面内
一点与该点构成的向量与平面的法向量来求.实际上本例中 O∉平面
MBC,选择求点A 到平面 MBC 的距离是错误的,应选向量(或
, ).
正解:(接错解)又 = (0,0,2 3),
则点 A 到平面 MBC 的距离 d=
解:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1).
(1)∵CM=BN=a(0<a< 2), 且四边形ABCD,ABEF 为正方形,
∴
2
2
,0,1-
2
2
2
2
, ,0
2
2
,
,
2
2
∴ = 0,
,
-1 .
2
2
∴|| = 2 - 2 + 1,
即 MN 的长为 2 - 2 + 1.
的向量;(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除
以法向量的模,即可求出点到平面的距离.因为 =n0 可以视为平面
||
的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与
从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值,即 d=| ·n0|.
||||cos∠
.
||
如果令平面 α 的法向量为 n,考虑到法向量的方向,可以得到点 B
到平面 α 的距离为|| =
|·|
.
||
因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成:(1)求出该
平面的一个法向量;(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应
|·|
||
=
3 3
5
=
3 15
.
5
错因分析:错误的根本原因是忽视了求点面距时,应是用平面内
一点与该点构成的向量与平面的法向量来求.实际上本例中 O∉平面
MBC,选择求点A 到平面 MBC 的距离是错误的,应选向量(或
, ).
正解:(接错解)又 = (0,0,2 3),
则点 A 到平面 MBC 的距离 d=
解:建立坐标系如图,则 A(1,0,0),F(1,1,0),C(0,0,1).
(1)∵CM=BN=a(0<a< 2), 且四边形ABCD,ABEF 为正方形,
∴
2
2
,0,1-
2
2
2
2
, ,0
2
2
,
,
2
2
∴ = 0,
,
-1 .
2
2
∴|| = 2 - 2 + 1,
即 MN 的长为 2 - 2 + 1.
的向量;(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除
以法向量的模,即可求出点到平面的距离.因为 =n0 可以视为平面
||
的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与
从该点出发的斜线段对应的向量的数量积的绝对值,即 d=| ·n0|.
新教材高中数学第一章第1课时用空间向量研究距离问题pptx课件新人教A版选择性必修第一册
例1 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′，AB＝1，
BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
方法归纳
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
巩固训练1 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，
∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
题型 2 利用空间向量求点面距、线面距
图形
语言
文字
语言
2 − ·
2
AP ·
状元随笔
AP·n
n
表示向量AP在法向量n→方向上的投影的大小，因此点P到平面
α的距离也可以表示成
AP·n
n
或 AB ·
n
n
.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距
离．( √ )
平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为(
)
A．10
B．3
810C． NhomakorabeaD．3
3
答案：D
解析：∵α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，
2
2
1
∴n0＝ − ， − ， .
3
3
3
又点A(－1，3，0)在α内，∴AP＝(－1，－2，4)，
2
2
1
10
∴点P到平面α的距离为|AP·n0|＝ −1， − 2，4 · − ， − ， ＝ .
)
3 2
A．
2
10
C．
2
B．
2
2
D． 2
答案：A
解析：PA＝(－2，0，－1)，|PA|＝ 5，
BC＝2，AA′＝3，求点B到直线A′C的距离．
方法归纳
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
巩固训练1 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，
∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离．
题型 2 利用空间向量求点面距、线面距
图形
语言
文字
语言
2 − ·
2
AP ·
状元随笔
AP·n
n
表示向量AP在法向量n→方向上的投影的大小，因此点P到平面
α的距离也可以表示成
AP·n
n
或 AB ·
n
n
.
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)点到直线的距离是指过该点作直线的垂线，该点与垂足间的距
离．( √ )
平面α内，则点P(－2，1，4)到α的距离为(
)
A．10
B．3
810C． NhomakorabeaD．3
3
答案：D
解析：∵α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，
2
2
1
∴n0＝ − ， − ， .
3
3
3
又点A(－1，3，0)在α内，∴AP＝(－1，－2，4)，
2
2
1
10
∴点P到平面α的距离为|AP·n0|＝ −1， − 2，4 · − ， − ， ＝ .
)
3 2
A．
2
10
C．
2
B．
2
2
D． 2
答案：A
解析：PA＝(－2，0，－1)，|PA|＝ 5，
《空间向量求距离》课件
点到直线的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到直线的最短距离。
点到平面的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到平面的最短距离。
线段间的距离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以计算 线段间的距离。
示例演示
我们将通过具体的示 例来演示如何计算不 同情况下的空间向量 的距离。
总结
空间向量的加减法
1
减法定义
2
向量的减法是指将减去的向量的对应分
量与被减向量的对应分量相减，得到一
个新的向量。
3
加法定义
向量的加法是指将两个向量的对应分量 相加，得到一个新的向量。
示例演示
通过具体的示例演示，我们将更好地理 解向量的加减法。
空间向量的数量积
1
数量积性质
2
数量积具有交换律、分配律和结合律等
空间向量基础知识
通过本课件，您已经掌握了 空间向量的基础概念和性质。
空间向量的运算和性质
您已经学会了空间向量的加 减法、数量积和向量积等运 算。
空间向量求距离的方法
通过向量的数量积和叉积， 您可以计算点到直线、点到 平面和线段间的距离。
Q&A
在本节中，您可以向我们提问，并得到关于空间向量的解答。
性质。
3
数量积定义
数量积是指两个向量的对应分量相乘再 相加的结果。
示例演示
我们将通过一些实例来展示数量积的具 体应用。
空间向量的向量积
向量积的定义
向量积是指两个向量 通过向量积公式计算 而得到的另一个向量。
向量积的性质
向量积具有垂直于原 向量的性质，可用于 求平面的法向量。
向量积的意义
向量积在物理学、几 何学等领域中有广泛 的应用。
利用空间向量解决立体几何向量(三)空间距离问题27页PPT
利用空间向量解决立体几何向量(三)空 间距离问题
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
新教材高中数学第6章空间向量的应用：空间距离的计算pptx课件苏教版选择性必修第二册
的法向量,则点 到平面 的距离 =
⋅
.
名师点睛
（1） 为平面 内的任意一点,可视题目情况灵活选择.
（2）点 到平面 的距离的实质就是平面 的单位法向量与从该点出发的任一
条斜线段 对应的向量 的数量积的绝对值.
知识点2.点到直线的距离
若 为直线 外一点, 是 上任意一点,在点 和直线 所确定的平面内,取一个与
直线 垂直的向量 ,则点 到直线 的距离为 =
⋅
.
设 是直线 的方向向量,记 = ⟨ , ⟩ ,则点 到直线 的距离为 = sin .
知识点3.直线（平面）到平面的距离
（1）如果一条直线 与一个平面 平行,可在直线 上任取一点 ,将线面距离转
点,求点 到平面 的距离.
解
以 为坐标原点, , , 1 所在直线分别为
轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
2,0,0
, 0,2,1
所以 = 0,1,0
设
= , ,
的距离为 ,
, 1,0,2
, 2,1,0
6.3 空间向量的应用
6.3.4 空间距离的计算
【课标要求】1.能用向量方法解决点线、点面、面面的距离的计算问题.2.通过空间中
距离问题的求解,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.点到平面的距离
若 是平面 外一点, ⊥ ,垂足为 , 为平面 内任意一点,设 为平面
, = (−1 ,0,
⋅
.
名师点睛
（1） 为平面 内的任意一点,可视题目情况灵活选择.
（2）点 到平面 的距离的实质就是平面 的单位法向量与从该点出发的任一
条斜线段 对应的向量 的数量积的绝对值.
知识点2.点到直线的距离
若 为直线 外一点, 是 上任意一点,在点 和直线 所确定的平面内,取一个与
直线 垂直的向量 ,则点 到直线 的距离为 =
⋅
.
设 是直线 的方向向量,记 = ⟨ , ⟩ ,则点 到直线 的距离为 = sin .
知识点3.直线（平面）到平面的距离
（1）如果一条直线 与一个平面 平行,可在直线 上任取一点 ,将线面距离转
点,求点 到平面 的距离.
解
以 为坐标原点, , , 1 所在直线分别为
轴、 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
2,0,0
, 0,2,1
所以 = 0,1,0
设
= , ,
的距离为 ,
, 1,0,2
, 2,1,0
6.3 空间向量的应用
6.3.4 空间距离的计算
【课标要求】1.能用向量方法解决点线、点面、面面的距离的计算问题.2.通过空间中
距离问题的求解,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1
要点深化·核心知识提炼
2
题型分析·能力素养提升
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.点到平面的距离
若 是平面 外一点, ⊥ ,垂足为 , 为平面 内任意一点,设 为平面
, = (−1 ,0,
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求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
8
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，
DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示
则D1
(0,
0,1),
B(1,1,
0),
A1
(1,
0,1),
E(0,
1 2
,1)
z
A1E
1,
1 2
,
0
,
D1B 1,1, 1
设n (x, y, z)是与A1E, D1B都垂直的向量，
D1
则 n A1E 0,
x
1பைடு நூலகம்2
y
0,
A1
n D1B 0, x y z 0,
E C1
B1
即
y z
2x, 3x,
11
2019/12/22
12
A
其中 AP为斜向量， n为法向量。
P
n d O
4
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P d O
5
四、异面直线的距离
d | AP n | a n
AP ?
n?
b
A
n 是与 a, b 都垂直的向量
n
P
6
2019/12/22
7
作业 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
取x＝1，得其中一个n
选A1E与BD1的两点向量为D1A1 1,
0,
(1,
0
2, 3)
,
A
x
D
得A1E与BD1的距离
d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
9
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
10
小结
空间距离问题的向量解法
1
一、求点到平面的距离
一般方法：
利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段，再计算这个
垂线段的长度。
还可以用等积法求距离.
P
d
O
2
向量法求点到平面的距离
d | AP n | n
P
n
d
O
A
其中 AP为斜向量， n 为法向量。
3
二、直线到平面的距离
l
d | AP n | n
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
8
解：1)以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，
DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所示
则D1
(0,
0,1),
B(1,1,
0),
A1
(1,
0,1),
E(0,
1 2
,1)
z
A1E
1,
1 2
,
0
,
D1B 1,1, 1
设n (x, y, z)是与A1E, D1B都垂直的向量，
D1
则 n A1E 0,
x
1பைடு நூலகம்2
y
0,
A1
n D1B 0, x y z 0,
E C1
B1
即
y z
2x, 3x,
11
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A
其中 AP为斜向量， n为法向量。
P
n d O
4
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P d O
5
四、异面直线的距离
d | AP n | a n
AP ?
n?
b
A
n 是与 a, b 都垂直的向量
n
P
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7
作业 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1，E为D1C1的中点，求下列问题：
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
取x＝1，得其中一个n
选A1E与BD1的两点向量为D1A1 1,
0,
(1,
0
2, 3)
,
A
x
D
得A1E与BD1的距离
d
D1A1 n n
14 14
Cy
B
9
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
|
AP n |
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
10
小结
空间距离问题的向量解法
1
一、求点到平面的距离
一般方法：
利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段，再计算这个
垂线段的长度。
还可以用等积法求距离.
P
d
O
2
向量法求点到平面的距离
d | AP n | n
P
n
d
O
A
其中 AP为斜向量， n 为法向量。
3
二、直线到平面的距离
l
d | AP n | n