第一章 质点力学

求：速度，加速度，轨道曲率半径。 解：
v 4 x y 1 4 5
2 2
a 16 x y 32 an , at 0
2 2
v x y 1 5 2.5 an 2 x2 y2
2 2 2
§1.3 平动参考系
绝对速度、相对速度与牵连速度
两种参考系：基本参考系 S、运动参考系 S 。 三种运动：质点的绝对运动、相对运动和牵连运动。 牵连速度：由于运动参考系的运动而使质点所具有 的相对基本参考系的运动速度叫做质点的牵连速度； 它等于运动参考系上与质点位置重合的空间点的速 度。
a1 F1 m
… an Fn m a 2 F2 m a a1 a2 an
3.力学相对性原理和经典力学时空观
（1）力学相对性原理 对任何惯性系，力学运动规律完全相同.或者说， 对力学运动规律而言，一切惯性系都是等价的 .(对 于一个相对于惯性参考系做匀速直线运动的参考系， 它的内部所发生的一切力学过程，都不受参考系本 身匀速直线运动的影响) （2）经典力学时空观 经典力学中认为时间和空间都是均匀的、各向 同性的；时间和空间是互相独立的；空间距离和时 间间隔是绝对的，和参考系的选取无关，不因参考 系的运动而变化.经典力学时空观又称绝对时空观.
2. 自由度
确定力学系统位置所需要的独立坐标数为系统的自由 度, 自由度记为 s .
3. 运动学方程和轨道
若用直角坐标系 Oxyz 代表参考系 , 如图位置矢量 (简称位矢)
r rer r r (t )
称为质点的运动学方程, 它 包括了质点运动的全部信息. 质点运动的轨道即为位 置矢量 r 的矢端曲线. i. 不可两个物体占有同一空间点 ii. 不能突变到另一位置
i. 弧长方程
在轨道上取一点 O 作原点, 规定沿轨道的某一 方向为弧长的正方向, 质点位置可由原点 O 到质点 间的一段弧长 s 来确定, s 称为弧坐标.
s s(t )
弧长方程和轨道方程一起 与质点的运动学方程等价.
弧坐标为可正可负的标量,与恒正的路程是不同的.
ii. 相关的微分几何知识
切线、切向、密切面、曲率 圆、曲率中心、曲率半径、 曲率、法线、法平面、主法 线、副法线
d (mv ) F dt
牛顿第二定律一方面给出了惯性质量和力的操作 型定义; 又是建立质点动力学微分方程的基础. 惯性质量与引力质量相等而称为质量.
百度文库
牛顿第二定律只在由牛顿第一定律定义的惯性系 中成立. （3）牛顿第三定律 两个质点间的作用力和反作用力总是同时成对出 现, 大小相等, 方向相反, 作用在同一条直线上. （4）力的独立作用原理 如果一个质点同时受多个力的作用, 这些力各自 产生的动力学效果不受其他力存在的影响.
在直角坐标系Oxyz中具体表述为
r xi yj zk
运动学方程的分量形式为
x x(t ), y y(t ), z z (t )
连续运动质点各坐标变量之间的关系式叫做轨道方程。
f x, y , z 0
质点的运动学方程就是质点的轨道参数方程， t 是参 数。
4. 位移和路程
位移是质点位置矢量的增量
r r (t t ) r (t )
路程是质点沿轨道走过的长度 , 为一恒正标量 , 记 为 s .
r r r s 当 t 0时， r s ，记为 dr ds .
r s
c 1 a b sin
故M点的速度分量为
bc x ctg , ab
ac y ab
M点的加速度分量为
bc bc 1 2 x csc 2 3 ab a b x y0
4 2
2. 平面极坐标系
当质点被限制在一个平面上运动时, 自由度为2， 可以建立与参考系固连的极坐标系来描述质点的运动 . 质点的位置由坐标量 r 和 确定, 要明确极角 的正方向 (即 的增加方向)!
e e k e e e k k e 0
e z e k v
速度和加速度的表达式为
a ( 2 )e ( 2 )e zk
[例2，p15]
求：M点的轨道方程，速度 及加速度 解：M点的坐标
x b sin , y a cos
轨道方程（椭圆）
x y 2 1 2 b a
2
2
M点的速度分量为
x b cos ,
由于B点的坐标分量为
y a sin
xB 0,
且B点的速度为
yB (a b)cos
vB yB (a b) sin c
小环P在半径为 r 的粗糙水平圆圈上滑动，摩擦 系数为 ，假设在切线方向给予小环以初速 度 v 0 。试求环在圆圈上所能滑过的距离。
iv. 总结：自然坐标系的建立
前提：轨道（轨道方程）是已知的
选用的坐标：弧坐标
方法： • 确定轨道上某点的切线和切向（沿弧长增加的方 向） • 确定法向：过该点作垂面（法面）；求主法线， 须作密切面。 • 垂直密切面的法线－－副法线。
运动学物理量： 位移，速度，加 速度 运动学方程： 轨道方程
牛 顿 运 动 定 律
动力学学物理 量：动量，动 量矩，能量 动力学方程： 运动微分方程
§1.1 运动的描述方法
1. 参考系和坐标系
在研究问题时，被选择作为定位标准的物体或物 体群叫做参考系。 有一定大小且不变形的物体, 或几个相对位置保 持不变的物体, 都可以作为参考系.一个质点不能作参 考系！
理论力学 朱红波
hbzhu@nenu.edu.cn
理论力学的研究对象、方法
矢量力学（ 几何方法） 力 分析力学（解 析法） 能（动能、势 能） 哈密顿原理
基本概念
基本理论
牛顿三定律 、力的独立 作用原理 基本物理量 力、动量 基本方程
d mv F dt
拉格朗日函数 、作用量
d L L 0 dt q q
v x v cos 4 v y v sin v
v x v cos 8 v cos 45 v y v sin v sin 45
v 4 2km/h, 45
[例6，p22]
dr C 2 dt d r C1 sin dt
5.速度 r dr v lim r t 0 t dt
速度的方向沿轨道 (即 r 的矢端曲线) 的切线 指向运动的前方, 它的大 小称为速率
v v lim
r
t 0
ds s t dt dt
dr
6.加速度
2 v dv dr a lim v 2 r t 0 t dt dt
det 1 d s en en en dt dt
s vt
切向加速度
2
法向加速度
s et en a s

内禀方程
在自然坐标描述中, 需要已知质点运动的轨道, 而对轨道的数学描述又需要一个坐标系, 所以必须掌 握自然坐标描述中的物理量与其他坐标系中的物理量 之间的联系 . 建立这个联系的基本依据是 : 速度 和 v 加速度 a 在不同的描述方法中有不同的表达形式, 但 它们的大小和方向是惟一确定的.
§1.4 质点运动定律
1.质点动力学
质点动力学研究质点的运动和周围其他物体与 之相互作用的关系.
牛顿三定律
力的独立作用原理
完整的牛顿力学理论体系

牛顿运动定律(§1.4) 质点运动微分方程(§1.5) 质点的动量定理和动量守恒定律(§1.8) 质点的角动量定理和角动量守恒定律(§1.8)
[例3，p18]圆滚线
已知：s 4a sin , 求证：加速度a为常数。 解：
at s 4a sin
2
an
v
2

2 t

s
2
ds d
4a cos
2
a a a 4a
2 n
2
[例4，p18]螺旋线
已知： x 2sin 4t ,
y 2cos4t , z 4t


质点的动能定理和机械能守恒定律(§1.8)
势能曲线 (§1.8) 质点的平衡和平衡的稳定性
2.牛顿三定律和力的独立作用原理
（1）牛顿第一定律
孤立质点保持静止或做匀速直线运动.
孤立质点相对其静止或做匀速直线运动的参考系 为惯性参考系, 简称惯性系. （2）牛顿第二定律
m r F
F mv

1


1 (dy dx)
d 2 y dx 2
2 32
eb et en
iii. 速度和加速度表达式
速度 加速度
et v vt et s
dv d et ) a (s dt dt
ds d
det set s dt
S系
绝对运动 （r,v）
牵连运动 (r0,v0)
S 系
相对运动 (r’,v’)
r r r0
v v v0
[例5，p21]
某人以每小时4千米的速率向东方前进时，感觉风从 正北吹来；如将速率增加一倍，则感觉风从东北方 向吹来。试求风速及风向。
v 4i v
v 8i v
坐标系是参考系的数学抽象，是在参考系上所树 立的数学标架，用以定量描述物体的位置。
坐标系可以看成是由坐标曲线组成的带有标度的空 间网格. 沿质点所在位置的坐标曲线切线方向建立的一组 单位矢量称为坐标系的基矢.
直角坐标系,基矢为
i , j, k
右手正交系
i j k
i j j k k i 0
er re v r
dv d er re ) a (r dt dt
de e r e re r rer r dt de er dt
径向加速度
矢量的变 化为矢量 大小的变 化及矢量 方向的变 化二者产 生效果的 叠加！
横向加速度
2 )e (r 2r )e a ( r r r
3. 柱面坐标系
柱坐标系可以看成是由Oxy平面内的极坐标系 (坐标量为 和 ) 及 z 轴构成的三维空间坐标系.
加速度一定指向轨道的凹侧.
§1.2 速度、加速度的分量表示式
1. 直角坐标系
v xi yj zk vx i v y j vz k
a vx i v y j vz k xi yj zk ax i a y j az k
[例1，p10]椭圆规尺
矢量力学（几何 分析力学（解析法 方法） ）
特 隔离各质点， 逐个考虑 ② 把作用分离到 各个质点上 ③ 非自由质点运 动方程中存在 约束力
①
点
系统作为一个整 体，按自由度来 分析 ② 作用体现为势能 ，反映场的性质 和结构 ③ 拉格朗日方程中 不含约束力
①
第一章 质点力学
质点运动学 质点动力学
dr dr der v er r dt dt dt der er (t t ) er (t ) lim dt t 0 t er lim lim e e t 0 t t 0 t
径向速度 横向速度
已知：某质点极坐标为 求：速度及加速度 解：
r e , bt
ct
v rer r e crer rbe
a ( r r )er ( r 2r )e
2
c b rer 2bcre
2 2
4. 自然坐标系、切向加速度、法向加速度
利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、 法线方向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自 然坐标法.