数学：北京课改版八年级上--分式(课件)
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路程 敌军 我军 速度 时间
24 30
x 1.5 x
24/x
Байду номын сангаас
30/1.5x
48 等量关系： 我军的时间？ = 敌军的时间 – 60
解：设敌军的速度为X千米/时,则我军为1.5X千米/时。
由题意得方程：
30 24 48 1.5X X 60
列分式方程解应用题的 方法与一般步骤为：
1审、2设、3列、 4解、5验、6答
x1 有意义。 4x 1
当x取什么值时，下列分式有意义？
1 1) xa
1 2) | x | -5
1 1 3) 2 4) 2 ( x 1) x 4x 3
(x－1)² ≠0 |x|－5≠0 (x－1) ≠0 x² － 4x+3≠0 |x| x≠5 －a≠0 x ≠1 (x-x3)(x4) ≠0 ≠± 5
用分式表示下列各式： 1. (x+2) ÷y 2. 2x : (y+1) 3. x : (y³ －1) 4. (2x－1) ÷[- (x² +1)]
1.
2.
3.
4.
x除以x与8的和所得的商； a与c的差的一半； 3m加上n和的倒数； 甲乙相距180千米，一辆汽车行驶n 小时从甲地到达乙地，则汽车的速 度是多少？
要点六：分式的通分
分式的分子和分母同乘适当的 整式 ，不改变分式 的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式， 这样的分式变形叫做分式的通分.
要点诠释：
关键:确定各分式的最简公分母
取各分母所有因式的 最高 次幂的积作为公分母.
通分方法 1、找最简公分母 2 3 b b b b 多项式因式分解 2 2 4 ac 4ab c 4ab c 系数的最小公倍数 字母或多项式的最高 a a 2a 2a 2 次幂 2 2 2b c 4ab c 4ab 2c 2、将分式化为同分母 的分式
例1、甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先
行1小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的C地 相遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A 地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C 地到B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求 甲乙两车的速度。
2017/7/13
解题思路： x 关键点：将 y 看成一个整体
易错点：解题思路不会，计算失误
考点、所属类型：分式条件求值 总结升华： 1、整体思想 ：用分式的基本性质，整体代入法 2、把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式 解题五步走： A正确答案 ；B解题思路（关键点、易错点） ； C考点 ；D所属类型；E总结升华。
最大公因式 与相同因式_______ 最低 次幂的积； 系数的______________ 分解因式 ， 分子、分母中含有多项式时，要先将其____________
再约分.
将下列各式约分： (1)
15 x n 2 y 4 (2) n 3 3x y
约分的方法： 1、找公因式 知识导学. — 多项式因式分解 基础.例5 a 1 系数的最大公约数 字母或多项式的最低次幂 2 a 1 2、约分化为最简分式
整式A 、 B 相除可 A 写为 B 的形式， 若分母中含有字 母，那么 A 叫做 B 分式。
分母≠0
①分子=0 ②代入分母≠0 ③最后答案
解：
若分式
| x | 3 2 x 2x 3
① |x|－3 = 0 |x| = 3 ∴ x =± 3 ②把x= - 3 代入，分母为0， 分式没有意义
分析：本题把时间作为考虑的着眼点。 设甲的速度为 x 千米/时 20 40 1)、相等关系：乙的时间=甲的时间 60 60 2)、乙用的时间= 甲用的时间甲的速度 5 x 乙的速度 x4 3)、甲用的时间= 乙用的时间 乙的速度 4( x 4) 甲的速度 x
例1、甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先行 1小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的C地相 遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A地 的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C地 到B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求甲 乙两车的速度。
中间变量，代入求值
2017/7/13
课堂总结
分 式
概念 有意义 无意义 值为0 基本性质 约分 通分
A B≠0，且B中含有字母 B
B≠0 分母不为0 B=0 分母为0 B≠0 A=0
A A M A A M ， B BM B B M
实质：化为最简分式 实质：化为同分母
-2
解题思路： 关键点：分母≠0，分子=0 易错点：绝对值计算问题 解题五步走： 考点、所属类型：分式值为0 A 正确答案 ；B解题思路（关键点、易错点） ； 总结升华： （ 1）分式值为 0时，分母 ≠0，分子=0 C 考点 ；D所属类型； E总结升华。 （2）十字相乘法因式分解
2017/7/13
两个整式A、B相除时，可以表示为 的形式。如果 分母 中含有 字母 ，那么 A 叫做 。 分式
B
A B
整式 和
分式统称有理式。
分式中分母的值 不能为零 A 分式 ，B≠0
B
x1 当x取什么值时，分式 有意义？ 4x 1
x1 解：使得 有意义 4x 1
∴4x－1≠0 4x ≠1 x ≠1/4 答：当x ≠1/4时，分式
列分式方程解应用题的一般步骤
1、审题 ； 2、设未知数；
3、找出能表示题目全部含意的相等关 系，列出分式方程； 4、解分式方程；
5、验根：先检验是否有增根，再 检查是否合符题意；
6、写出答案。
常见题型及相等关系
1、行程问题 ：
基本量之间的关系：
路程=速度 X 时间，即s=vt
常见的相等关系：
(1)、相遇问题 ：甲行程 + 乙行程 =全路程 (2)、追及问题： (设甲的速度快) 1)、同时不同地： 甲用的时间 = 乙用的时间 甲的行程 - 乙的行程 = 甲乙原来相距的路程 2)、同地不同时： 甲用的时间 = 乙用的时间 - 时间差 甲走的路程 = 乙走的路程 3)、水(空)航行问题 ： 顺流速度 = 静水中航速 + 水速 逆流航速 = 静水中速度 – 水速
2017/7/13
要点四：分式的变号法则
b b b a a a
b b b a a a
对于分式中的分子、分母与分式
本身的符号，改变其中任何两个，
分式的值 不变 ；
改变其中任何一个或三个，分式 成为原分式的 相反数 .
a a b b
a = b
要点五：分式的约分、最简分式
解题思路： 关键点：通分的方法 易错点：符号问题 考点、所属类型：分式的通分 总结升华：通分方法 1、找最简公分母 多项式因式分解 系数的最小公倍数 字母或多项式的最高次幂 解题五步走： 2、将分式化为同分母的分式 A正确答案 ；B解题思路（关键点、易错点） C考点 ；D所属类型；E总结升华
工作时间 = 工作量 / 工作效率
等量关系： 工作量 = 工作效率 × 工作时间
甲做45个零件的时间 = 乙做30个零件的时间
工作量（个） 工作效率（个/时） 甲 工作时间（时）
45 X 30 X 3
45
X
乙
30
X–3
练习1：甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时 比乙多做3个，甲做45个零件的时间与乙做30个 零件的时间相同问甲、乙每小时各做多少个？
列分式方程解应用题
一、复习：1、解分式方程
45 30 x x 3
解:去分母得:45（x-3) = 30x
解这个方程得 x = 9
经检验9是原方程的解
2、解分式方程的步骤有哪些？
去分母、解整式方程、检验
问题1：甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时比乙 多做3个，甲做45个零件的时间与乙做30个零件的时间 相同，问甲、乙每小时各做多少个？ 分析：这是一个工作量的问题：
要点一:分式的概念
整式 字母
其中A叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：
字母 1、重要标志：分母中含有______ 2、注意： 不能先化简
标志：分母中是否含有字 母
π是常数 不能化简
要点二:分式有意义，无意义 或等于零的条件
1.有意义：分母 2.无意义：分母 3.值为零：分子
≠ = =
零. 零. 零且分母
要点诠释： 变形时，分式值不变，但 分式中字母的取值范围有可能 发生变化.
M≠0
X2017/7/13 范围变大
D
非同一个
1 x 1 1 2 (1 x) 1 x x 1
—提高.例3变式
m n 0 不一定成立
关键点：分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式 易错点：符号问题
的值为0，则 x的值是多少？ 把x=3代入，分母等于12
∴当x = 3时，此分式值为0。
《分式的概念和性质》
##老师
2017/7/13
2017/7/13
学习目标
1、理解分式的概念，能求出使分式有意 义、分式无意义、分式值为0的条件； 2、掌握分式的基本性质，并能利用分式 的基本性质将分式恒等变形，进而进行条 件计算.
≠
零.
要点诠释： 分式有无意义与
分母 有关但与 分子 无关
A B
B0
B 0 B 0 A 0
2017/7/13
要点三：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个 不等于0 的整 式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质.
用式子表示是：
A A M A A M ， B BM B B M
x ≠3且x ≠ 4
x ≠a
当y取什么值时，分式 零？
2y 1的值是 4y - 1
解：①使得分式的值为0，则2y+1=0 ∴y = - ½ ②使得分式有意义，则4y－1≠0 ∴把y = - ½代入4y－1= - 3≠0 ∴当y = - ½时，此分式的值是零。
分式的定义 分式的意义 分式的值为0
解：设甲每小时做X个零件 ，则乙每小时做（X-3）
由题意得：
45 X
30 X3
解这个方程得：X = 9 经检验：X = 9是所列方程的解 由X = 9，得 X – 3 = 6 答：甲每小时做9个零件，乙每小时做6个零件。
问题2---行程问题： 已知甲车行驶45千米的时间与 乙车行驶30千米的时间相同，如果甲车每小时比乙车 快3千米，问两车的速度各为多少？ 分析：这是一个行程问题：速度=路程/时间 等量关系：路程=速度*时间
x x (2) 2 x 2 2( x 1) 1 1 2 x 1 ( x 1)( x 1)
最简公分母为
x x ( x 1) x2 x 2 x 2 2( x 1)( x 1) 2(x 1)(x 1)
1 1 2 2 2 x 1 2( x 1)( x 1) 2( x 1)( x 1)
解题思路： 关键点：分式约分的方法 易错点：符号问题，因式分解 考点、所属类型：分式的约分 总结升华：约分的方法 1、找公因式 多项式因式分解 解题五步走： 系数的最大公约数 A正确答案 ；B解题思路（关键点、易错点） ； 字母或多项式的最低次幂 2 、约分化为最简分式 C 考点 ；D所属类型；E总结升华。
读一读：了解本节
课的学习目标。
1. 请一位同学有 激情的朗读 2. 其余同学尝试 用色笔标记 奖励
出自：《学案导学——目标与策略》
2017/7/13
重点
1、分式的概念 2、分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件 3、分式的基本性质、约分、通分
难点
1、约分、通分 2、分式恒等变形，条件计算.
2017/7/13
利用分式的基本性质，约去分子和分母的 公因式 ， 不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式 没有相同的因式 分子与分母__________________(1 除外)的分式
要点诠释：
最简分式 ， （1）约分实质是将一个分式化成____________
（2）关键是：确定分子与分母的公因式
甲车行驶45千米的时间 = 乙车行驶30千米的时间
依题意填出下表有关内容：
路程（千米） 速度（千米/时） 时间（时）
甲车 乙车
45 30
X
45/x
30/x-3
所得方程为
x x3 45 30
X–3
练习1：我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离 桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军 速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达， 求我部队急行军的速度。
24 30
x 1.5 x
24/x
Байду номын сангаас
30/1.5x
48 等量关系： 我军的时间？ = 敌军的时间 – 60
解：设敌军的速度为X千米/时,则我军为1.5X千米/时。
由题意得方程：
30 24 48 1.5X X 60
列分式方程解应用题的 方法与一般步骤为：
1审、2设、3列、 4解、5验、6答
x1 有意义。 4x 1
当x取什么值时，下列分式有意义？
1 1) xa
1 2) | x | -5
1 1 3) 2 4) 2 ( x 1) x 4x 3
(x－1)² ≠0 |x|－5≠0 (x－1) ≠0 x² － 4x+3≠0 |x| x≠5 －a≠0 x ≠1 (x-x3)(x4) ≠0 ≠± 5
用分式表示下列各式： 1. (x+2) ÷y 2. 2x : (y+1) 3. x : (y³ －1) 4. (2x－1) ÷[- (x² +1)]
1.
2.
3.
4.
x除以x与8的和所得的商； a与c的差的一半； 3m加上n和的倒数； 甲乙相距180千米，一辆汽车行驶n 小时从甲地到达乙地，则汽车的速 度是多少？
要点六：分式的通分
分式的分子和分母同乘适当的 整式 ，不改变分式 的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式， 这样的分式变形叫做分式的通分.
要点诠释：
关键:确定各分式的最简公分母
取各分母所有因式的 最高 次幂的积作为公分母.
通分方法 1、找最简公分母 2 3 b b b b 多项式因式分解 2 2 4 ac 4ab c 4ab c 系数的最小公倍数 字母或多项式的最高 a a 2a 2a 2 次幂 2 2 2b c 4ab c 4ab 2c 2、将分式化为同分母 的分式
例1、甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先
行1小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的C地 相遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A 地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C 地到B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求 甲乙两车的速度。
2017/7/13
解题思路： x 关键点：将 y 看成一个整体
易错点：解题思路不会，计算失误
考点、所属类型：分式条件求值 总结升华： 1、整体思想 ：用分式的基本性质，整体代入法 2、把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式 解题五步走： A正确答案 ；B解题思路（关键点、易错点） ； C考点 ；D所属类型；E总结升华。
最大公因式 与相同因式_______ 最低 次幂的积； 系数的______________ 分解因式 ， 分子、分母中含有多项式时，要先将其____________
再约分.
将下列各式约分： (1)
15 x n 2 y 4 (2) n 3 3x y
约分的方法： 1、找公因式 知识导学. — 多项式因式分解 基础.例5 a 1 系数的最大公约数 字母或多项式的最低次幂 2 a 1 2、约分化为最简分式
整式A 、 B 相除可 A 写为 B 的形式， 若分母中含有字 母，那么 A 叫做 B 分式。
分母≠0
①分子=0 ②代入分母≠0 ③最后答案
解：
若分式
| x | 3 2 x 2x 3
① |x|－3 = 0 |x| = 3 ∴ x =± 3 ②把x= - 3 代入，分母为0， 分式没有意义
分析：本题把时间作为考虑的着眼点。 设甲的速度为 x 千米/时 20 40 1)、相等关系：乙的时间=甲的时间 60 60 2)、乙用的时间= 甲用的时间甲的速度 5 x 乙的速度 x4 3)、甲用的时间= 乙用的时间 乙的速度 4( x 4) 甲的速度 x
例1、甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先行 1小时之后，乙才出以，又经过4小时，两人在途中的C地相 遇，相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A地 的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C地 到B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求甲 乙两车的速度。
中间变量，代入求值
2017/7/13
课堂总结
分 式
概念 有意义 无意义 值为0 基本性质 约分 通分
A B≠0，且B中含有字母 B
B≠0 分母不为0 B=0 分母为0 B≠0 A=0
A A M A A M ， B BM B B M
实质：化为最简分式 实质：化为同分母
-2
解题思路： 关键点：分母≠0，分子=0 易错点：绝对值计算问题 解题五步走： 考点、所属类型：分式值为0 A 正确答案 ；B解题思路（关键点、易错点） ； 总结升华： （ 1）分式值为 0时，分母 ≠0，分子=0 C 考点 ；D所属类型； E总结升华。 （2）十字相乘法因式分解
2017/7/13
两个整式A、B相除时，可以表示为 的形式。如果 分母 中含有 字母 ，那么 A 叫做 。 分式
B
A B
整式 和
分式统称有理式。
分式中分母的值 不能为零 A 分式 ，B≠0
B
x1 当x取什么值时，分式 有意义？ 4x 1
x1 解：使得 有意义 4x 1
∴4x－1≠0 4x ≠1 x ≠1/4 答：当x ≠1/4时，分式
列分式方程解应用题的一般步骤
1、审题 ； 2、设未知数；
3、找出能表示题目全部含意的相等关 系，列出分式方程； 4、解分式方程；
5、验根：先检验是否有增根，再 检查是否合符题意；
6、写出答案。
常见题型及相等关系
1、行程问题 ：
基本量之间的关系：
路程=速度 X 时间，即s=vt
常见的相等关系：
(1)、相遇问题 ：甲行程 + 乙行程 =全路程 (2)、追及问题： (设甲的速度快) 1)、同时不同地： 甲用的时间 = 乙用的时间 甲的行程 - 乙的行程 = 甲乙原来相距的路程 2)、同地不同时： 甲用的时间 = 乙用的时间 - 时间差 甲走的路程 = 乙走的路程 3)、水(空)航行问题 ： 顺流速度 = 静水中航速 + 水速 逆流航速 = 静水中速度 – 水速
2017/7/13
要点四：分式的变号法则
b b b a a a
b b b a a a
对于分式中的分子、分母与分式
本身的符号，改变其中任何两个，
分式的值 不变 ；
改变其中任何一个或三个，分式 成为原分式的 相反数 .
a a b b
a = b
要点五：分式的约分、最简分式
解题思路： 关键点：通分的方法 易错点：符号问题 考点、所属类型：分式的通分 总结升华：通分方法 1、找最简公分母 多项式因式分解 系数的最小公倍数 字母或多项式的最高次幂 解题五步走： 2、将分式化为同分母的分式 A正确答案 ；B解题思路（关键点、易错点） C考点 ；D所属类型；E总结升华
工作时间 = 工作量 / 工作效率
等量关系： 工作量 = 工作效率 × 工作时间
甲做45个零件的时间 = 乙做30个零件的时间
工作量（个） 工作效率（个/时） 甲 工作时间（时）
45 X 30 X 3
45
X
乙
30
X–3
练习1：甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时 比乙多做3个，甲做45个零件的时间与乙做30个 零件的时间相同问甲、乙每小时各做多少个？
列分式方程解应用题
一、复习：1、解分式方程
45 30 x x 3
解:去分母得:45（x-3) = 30x
解这个方程得 x = 9
经检验9是原方程的解
2、解分式方程的步骤有哪些？
去分母、解整式方程、检验
问题1：甲、乙两人做某种零件，已知甲每小时比乙 多做3个，甲做45个零件的时间与乙做30个零件的时间 相同，问甲、乙每小时各做多少个？ 分析：这是一个工作量的问题：
要点一:分式的概念
整式 字母
其中A叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：
字母 1、重要标志：分母中含有______ 2、注意： 不能先化简
标志：分母中是否含有字 母
π是常数 不能化简
要点二:分式有意义，无意义 或等于零的条件
1.有意义：分母 2.无意义：分母 3.值为零：分子
≠ = =
零. 零. 零且分母
要点诠释： 变形时，分式值不变，但 分式中字母的取值范围有可能 发生变化.
M≠0
X2017/7/13 范围变大
D
非同一个
1 x 1 1 2 (1 x) 1 x x 1
—提高.例3变式
m n 0 不一定成立
关键点：分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式 易错点：符号问题
的值为0，则 x的值是多少？ 把x=3代入，分母等于12
∴当x = 3时，此分式值为0。
《分式的概念和性质》
##老师
2017/7/13
2017/7/13
学习目标
1、理解分式的概念，能求出使分式有意 义、分式无意义、分式值为0的条件； 2、掌握分式的基本性质，并能利用分式 的基本性质将分式恒等变形，进而进行条 件计算.
≠
零.
要点诠释： 分式有无意义与
分母 有关但与 分子 无关
A B
B0
B 0 B 0 A 0
2017/7/13
要点三：分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个 不等于0 的整 式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质.
用式子表示是：
A A M A A M ， B BM B B M
x ≠3且x ≠ 4
x ≠a
当y取什么值时，分式 零？
2y 1的值是 4y - 1
解：①使得分式的值为0，则2y+1=0 ∴y = - ½ ②使得分式有意义，则4y－1≠0 ∴把y = - ½代入4y－1= - 3≠0 ∴当y = - ½时，此分式的值是零。
分式的定义 分式的意义 分式的值为0
解：设甲每小时做X个零件 ，则乙每小时做（X-3）
由题意得：
45 X
30 X3
解这个方程得：X = 9 经检验：X = 9是所列方程的解 由X = 9，得 X – 3 = 6 答：甲每小时做9个零件，乙每小时做6个零件。
问题2---行程问题： 已知甲车行驶45千米的时间与 乙车行驶30千米的时间相同，如果甲车每小时比乙车 快3千米，问两车的速度各为多少？ 分析：这是一个行程问题：速度=路程/时间 等量关系：路程=速度*时间
x x (2) 2 x 2 2( x 1) 1 1 2 x 1 ( x 1)( x 1)
最简公分母为
x x ( x 1) x2 x 2 x 2 2( x 1)( x 1) 2(x 1)(x 1)
1 1 2 2 2 x 1 2( x 1)( x 1) 2( x 1)( x 1)
解题思路： 关键点：分式约分的方法 易错点：符号问题，因式分解 考点、所属类型：分式的约分 总结升华：约分的方法 1、找公因式 多项式因式分解 解题五步走： 系数的最大公约数 A正确答案 ；B解题思路（关键点、易错点） ； 字母或多项式的最低次幂 2 、约分化为最简分式 C 考点 ；D所属类型；E总结升华。
读一读：了解本节
课的学习目标。
1. 请一位同学有 激情的朗读 2. 其余同学尝试 用色笔标记 奖励
出自：《学案导学——目标与策略》
2017/7/13
重点
1、分式的概念 2、分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件 3、分式的基本性质、约分、通分
难点
1、约分、通分 2、分式恒等变形，条件计算.
2017/7/13
利用分式的基本性质，约去分子和分母的 公因式 ， 不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式 没有相同的因式 分子与分母__________________(1 除外)的分式
要点诠释：
最简分式 ， （1）约分实质是将一个分式化成____________
（2）关键是：确定分子与分母的公因式
甲车行驶45千米的时间 = 乙车行驶30千米的时间
依题意填出下表有关内容：
路程（千米） 速度（千米/时） 时间（时）
甲车 乙车
45 30
X
45/x
30/x-3
所得方程为
x x3 45 30
X–3
练习1：我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离 桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军 速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达， 求我部队急行军的速度。