2020重庆中考复习数学利用二次函数求几何最值问题二(含答案解析)

2020重庆中考数学专题复习----如何用二次函数求几何最值问题二（含答案解析）

例1、（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是．

练习：

（2013秋•周口校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于．

例2、（2017春•江汉区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是．

练习：

如图：△ABC是等边三角形，AB＝12，E是AC中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值为．

例3、（2019•无锡八中定时练习六）如图,在△ABC 中，5,45AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .

练习：

（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则S △BDE 的最大值为 ．

例4、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝2，点D 为线段BC 上一

动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．

练习：

（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．

2020重庆中考数学专题复习----如何用二次函数求几何最值问题二（含答案解析）

例1、（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是3．

解：如图，过点D作DE⊥AC于E，

∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，∴DP＝BP，∠DPB＝90°，

∴∠DPE+∠BPC＝90°，且∠BPC+∠PBC＝90°，

∴∠DPE＝∠PBC，且DP＝BP，∠DEP＝∠C＝90°，

∴△DEP≌△PCB（AAS），∴DE＝CP，EP＝BC＝9，∵AE+PC＝AC﹣EP＝6，∴AE+DE＝6，

设AE＝x，DE=6﹣x，∵AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝x 2+（6﹣x）2=2（x﹣3）2+18，

当x＝3时，AD有最小值为3，

练习：

（2013秋•周口校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于．

解：过D作DE⊥AC于E，

∵∠C＝∠DPB＝90°，∴∠DEP＝∠C＝90°，∠EDP+∠DPE＝90°，∠DPE+∠BPC＝90°，

∴∠EDP＝∠BPC，

在△DEP和△PCB中，，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴PE＝BC＝3，DE＝CP，

设PC＝x，则AD2＝x2+（2﹣x）2＝2（x﹣1）2+2，∴AD2的最小值是2，∴AD的最小值是，

例2、（2017春•江汉区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动

点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，AF 的最小值是 +1 ．

解：作DM ⊥AC 于M ，FN ⊥AC 于N ，如图，设DM ＝x ，在Rt △CDM 中，CM ＝DM ＝

x ，

而EM +

x ＝2，∴EM ＝﹣

x +2，∵线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，∴ED ＝EF ，

∠DEF ＝90°，易得△EDM ≌△FEN ，当D 在BC 上时，∴DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝﹣x +2，

在Rt △AFN 中，AF 2＝（﹣

x +2）2+（2+x ）2＝（x +

）2+4+2

，

此时AF 2没有最小值，当D 在BC 的延长线上时，∴DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝x +2，

在Rt △AFN 中，AF 2＝（x +2）2+（2﹣x ）2＝（x ﹣

）2+4+2， 当x ＝时，AF 2有最小值4+2

，∴AF 的最小值为

＝

+1．

练习：

如图：△ABC 是等边三角形，AB ＝12，E 是AC 中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值为 3+3

．

例3、（2019•无锡八中定时练习六）如图,在△ABC 中，5,45AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点

面积的最大值为.

(B点除外),以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则BDE

解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．

∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，

∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），

∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，

当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．

练习：

（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B 点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为．

解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，

∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中

∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，

∴AM＝AC＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，

设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE有最大值为.

例4、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D为线段BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．