26第11章多因素试验资料方差分析2

1.实验设计方法
正交设计是按正交表（orthogonal layout）安排部分 试验，即各因素各水平的组合方式要查正交表才能决定， 正交表是正交试验设计的主要工具。每个正交表都有一 个表头符号，记作 LN（mk），表示该正交表有N行k列， 每一列数值由整数1，2，…，m组成。
用表LN（mk）安排试验时，N表示试验次数，k表示 最多可以安排的因素个数，m表示各因素的水平数。例 如L8（27）正交设计表。
4.60 4.25 4.175 4.25 4.80
T16~20 20.60 20.55 21.625 20.025 22.52
Ai
51.80 52.22 51.095 43.80 58.145
C 因素合计 C1 44.365， C2 212.6950， X 257.06， X 2 1011.3747
2007级公共事业管理专业（统计方向）本科
第十一章 多因素试验资料方差分析
基础医学统计学
第一节 析因设计资料的方差分析 Factorial design ANOVA
三、完全随机分组水平，C 因素有 K个水平,称三因素析因设计，共有 g = I ×J × K 个处理组。完全随机分组是将个实验单位随机等 分为g组，每组例数为n。
活动 环境
干燥
( b1 )
表11-11 战士主观热感觉
活动 状态
静坐
( c1 )
活动
( c2 )
T1~5 T6~10
a1
0.25 -0.25 1.25 -0.75 0.40 0.90
4.75
3.45 4.00 4.85 4.55 21.6
军装类型
a2
a3
a4
0.30 0.75 0.20
0.10 -0.50 -1.00
7
a2
b2
c1
8
a2
b2
c2
D（7） d1 d2 d2 d1 d2 d1 d1 d2
试验结果 X X X X X X X X
注：表中（1）,（2）,（4）,（7）为正交表的列号。
例 11-4
研究雌螺产卵的最优条件，在
2
20cm
的泥盒里饲养同
龄雌螺 8 只，试验条件有 4 个因素，每个因素 2 个水平。试在考虑
a3 8.670 42.425
a4 3.225 40.575
a5 14.100 44.405
BC 交叉分组的合计 TBC
c1
c2
b1 5.400 107.375
b2 38.965 105.320
（2）将以上计算的 TAB , TAC , TAC 和表 11-11 中计算的 Ai , Bj, C k 代入表 11-10，得方差分析表，见表 11-12。
T11~15
1.00 2.35
1.37 2.55
0.05 1.17
0.625 3.05 1.05 2.75
( b2 )
8.70 8.17 7.62 2.775 11.70 3.75 4.00 4.10 3.275 4.80
144.285
活动
( c2 )
4.00 4.05 5.00 4.25 4.02 4.00 4.15 4.20 4.00 4.15 4.25 4.10 4.15 4.25 4.75
2 1 2 2 12 1
2 2 1 1 22 1
2 2 1 2 11 2
366 368 352 351
2 1 2 1 21 2
2 1 2 2 12 1
2 2 1 1 22 1
2 2 1 2 11 2
正交设计的优缺点
优点：当实验因素较多时，采用正交设计可成倍地减少
试验次数、减少数据处理的工作量。在具体实验操作上， 也比析因试验简单
缺点：只能分析各因素的主效应和低阶交互作用。在正
交设计时通常要根据生物学或医学专业知识，只分析有意 义的主效应或部分重要因素的一阶交互作用项，以牺牲分 析各因素交互作用为代价
-0.10 0.00 2.50 0.10 -0.10 2.40
4.725
4.30 4.10 4.80 3.60 21.525
Bj
112.775
表11-11 战士主观热感觉
0.50 1.50 0.75 -0.75 1.75
静坐
( c1 )
潮湿
2.10 1.50 2.65 0.90 2.40
2.75 1.25 3.00 0.95 1.75
表 11-10
变异来源 自由度
三因素析因设计方差分析表
SS
MS F P
总变异 A 主效应 B 主效应 C 主效应 AB AC BC
gn 1
I 1 J 1
K 1
( I 1)( J 1) ( I 1)( K 1)
( J 1)( K 1)
2
X C
SS
A
1 nJK
Ai2
C
1
2
SSB nIK B j C
直接分析
雌螺产卵条件的 L8（27）正交试验结果
试验序号
1 2 3 4 5 6 7 8 T1k T2k
L8（27）正交表各列(试验因素)
1 2 3 4 56 7
(A) (B) (AB) (C)
(D)
1 1 1 1 11 1
1 1 1 2 22 2
1 2 2 1 12 2
1 2 2 2 21 1
2 1 2 1 21 2
0.50 0.60 0.85
-0.35 0.40 -0.50
0.05 -0.20 0.90
0.60 1.05 0.45
4.60 4.55 4.25
4.80 3.50 3.10 4.00 4.25 4.00 5.20 4.10 5.00 4.30 4.40 4.20 22.9 20.8 20.55
a5
有G=3×3×3×3=81个处理，不但计算复杂，而且给众多交互作用的解 释带来困难。因此，当因素及水平数较多时，一般不采用完全交叉分 组的析因设计，而采用非全面试验的正交设计。
第二节 正交设计资料方差分析
正交设计（ the orthogonal design）
析因设计是全面试验，G个处理组是各因素各水平的全面组 合；而正交设计则是非全面试验或称析因试验的部分实施， G个处理组是各因素各水平的部分组合。 例如，对于有A、B、C、D、E五个因素、每个因素有2 个水平的试验，按析因设计共有G=25=32个处理，但用 正交设计，可选1/2实施方案，即有G/2=16个处理，或 1/4实施方案，即有G/4=8个处理。
10
6.0
83
8
25
5.0
30
8.0
88
雌螺产卵条件的 L8（27）正交试验安排
试验序号
1 2 3 4 5 6 7 8
L8（27）正交表各列(试验因素)
1 2 3 4 56 7
(A) (B) (AB) (C)
(D)
1 1 1 1 11 1
1 1 1 2 22 2
1 2 2 1 12 2
1 2 2 2 21 1
表11-12 战士的主观热感觉的方差分析表
变异来源
总变异 A(军装类型) B(环境) C(活动状态) AB AC BC ABC 误差
自由度
99 4 1 1 4 4 1 4 80
SS
350.5763 5.2088 9.9319
283.3330 1.9418 1.4795 12.6914 1.6088 34.3811
用途：寻找疗效好的药物配方、医疗仪器多个参数的优
化组合、医疗产品的生产工艺、生物体的培养条件等。
2.试验结果的统计分析
正交试验结果的数据处理根据试验目的有两种方式： （1）直接分析：试验目的是筛选因素间的最佳组合，可 直接根据实验结果计算各因素各水平的均数，从而找出 各因素各水平的最佳组合方式。 （2）方差分析：试验目的是为了对试验结果影响最大的 几个因素进行统计推论，则要对试验结果进行方差分析。
SSC SS AB SS AC SS BC
MS ABC
误差
g ( n 1)
SSE
X
2
1 n
Ti2
MS E
注：其中 TAB ， TAC ， TBC 分别为 AB、AC、BC 两因素交叉分组的合计
例11-3 用5×2×2析因设计研究 5 种类
型的军装在两种环境、两种活动状态下的散热 效果，将100名受试者随机等分20组，观察指 标是受试者的主观热感觉(从“冷”到“热”按 等级评分)，结果见表11-11。试进行方差分析。
（1）计算两因素交叉分组的合计
AB 交叉分组的合计 TAB
b1
b2
a1 22.500 29.300
a2 23.500 28.720
a3 21.850 29.245
a4 21.000 22.800
a5 23.925 34.220
AC 交叉分组的合计 TAC
c1
c2
a1 9.600 42.200
a2 8.770 43.450
1
2
SSC nIJ Ck C
SS
AB
1 nK
TA2B
C
SSA
SSB
SSAC
1 nJ
TA2C
CSSA
SSC
SSBC
1 nI
TB2C
C
SSB
SSC
MS A MS B MS C
MS AB MS AC
MS BC
ABC
(I 1)( J 1) (K 1)
1
2
SS ABC n Ti C SS A SS B
表 11-16 雌螺产卵条件的正交试验
试验 A 因素
B 因素
C 因素
D 因素 产卵
序号 温度(℃) 含氧量(%) 含水量(%) pH 值 数量
1
5
0.5
10
6.0
86
2
5
0.5
30
8.0
95
3
5
5.0
10
8.0
91
4
5
5.0
30
6.0
94
5
25
0.5
10
8.0
91
6
25
0.5
30
6.0
96
7
25
5.0
析因设计优缺点
优点：比单因素设计能提供更多的试验信息，尤其是能反映各因素各
水平组合后的协同作用和拮抗作用，在医学上可用于筛选最佳治疗方 案、药物配方、实验条件等研究。
缺点：当因素个数较多（三个因素以上）及水平数过细时，所需实验
单位数、处理组数和方差分析的计算量剧增。 例如，A，B，C，D四个因素、每个因素有３个水平，按析因设计共
试验号 1 2 3 4
处理 a1b1c1 a1b1c2 a1b2c1 a1b2c2
试验号 5 6 7 8
处理 a2b1c1 a2b1c2 a2b2c1 a2b2c2
再将 8 个实验单位随机分配给 8 个处理即可。
当因素间存在交互作用时，正交表的各列不 能随机安排，需要根据所选正交表列与列之间的 关系进行表头设计（根据分析的要求，选用合适 的正交表，并把各个因素安排在正交表的各列的 过程就称为表头设计），并且将N个实验单位随 机分配给正交表中的N个处理。
表头设计：
因素 实施 个数 比例 1
3
1A
4 1/2 A
2
3
4
5
6
7
B AB C AC
BC ABC
B AB=CD C AC=BD BC=AD D
按正交表安排试验，各处理的组合为
处理编号 A（1） B（2） C（4）
1
a1
b1
c1
2
a1
b1
c2
3
a1
b2
c1
4
a1
b2
c2
5
a2
b1
c1
6
a2
b1
c2
温度与含氧量对雌螺产卵有交互作用的情况下安排正交试验。
因素 水平
1
2
表 11-15 雌螺产卵条件因素与水平
A 因素
B 因素
C 因素 D 因素
温度(℃) 含氧量(%) 含水量(%) pH 值
5
0.5
10
6.0
25
5.0
30
8.0
选 L8（27）正交表。按表头设计，在 AB 存在交互作用的情况下， A、B、C、D 只能安排在 L8（27）正交表的 1、2、4、7 列。8 次试 验的各因素各水平的搭配和试验结果见下表。
表 L8（27）正交设计表 处理编号 1 2 3 4 5 6 7
1
11 1 1 1 11
2
11 1 2 2 22
3
12 2 1 1 22
4
12 2 2 2 11
5
21 2 1 2 12
6
21 2 2 1 21
7
22 1 1 2 21
8
22 1 2 1 12
用正交表安排试验，当专业上有理由认为各因素间不存在交互 作用时，可直接将正交表的列依次安排实验因素。通常正交表中要 留若干空列，用于计算实验误差。例如用 L8（27）安排三因素、每 个因素有两水平的试验，假定三个因素间不存在交互作用，则可将 L8（27）正交表的第 1，2，4 列安排为 A，B，C 三个因素，8 次试 验的安排为
MS
1.3022 9.9319 283.3330 0.4855 0.3699 12.6914 0.4022 0.4298
F
3.03 23.11 659.22 1.13 0.86 29.53 0.94
P
<0.05 <0.01 <0.01 >0.05 >0.05 <0.01 >0.05
（3）结论：不同军装、不同环境和不同活动 状态的主观热感觉的主效应都有差别，但尚不能 认为军装类型的主观热感觉与其他两个试验因素 （环境、活动状态）存在交互作用。结合样本信 息（即表11-11中A因素各水平的小计 51.8，52.2， 51.1，43.8，58.1）得，第4种类型的军装具有散 热效果，第5种类型的军装具有保温效果，其余三 种类型的军装介于两者之间。