大学物理第三章动量与角动量
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第3章_动量与角动量
m a/2
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
o
a/2 m V0 m
(a/2) mv0 =(a/2)2mv+（a/2）mv
设碰后杆转动的角速度为 则碰后三质点的速率为
m
V
V=a/2
a/2
o a/2
V
解出
=2v0/3a
作 业 3.2、3.22、3.23
f mac
f ac m
c
ac
f
1 2 1 f 2 xc ac t （ ）t 2 m 2
作 业
3.1、3.5、3.11、3.19
22
§3.4 质点的角动量和角动量守恒定律 一、质点的角动量
L
L r P r m
L
角动量的大小
P
m
r
o
L rP sin mr sin
注意：同一质点相对于不同的定点，角动量可以不同。
在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。
二、质点的角动量定理
dL d r P 角动量对时间的变化率 dt dt
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
t0
（积分形式） 方向？ 重要性：动量定理将过程量的计算转化为 状态量的计算，比较方便。
例题1 质量为m的质点，以恒速率v 沿一正三角形的 三边顺时针运动一周。求作用于正三角形一顶点处质 点的冲量。
P 2
解：由质点的动量定理
m
I P2 P1
P 1 P 2 m
120
v M
m
解:
发炮前,系统在竖直方向上的外力有重力 G 地面支持力 N 而且 G N
大学物理课件 第3章 动量 角动量
例 如图所示,一个有四分之一圆弧光滑槽的大物体,质量为 M, 置于 光滑的水平面上。另一质量为m的小物体从圆弧顶点由静止开始下滑。 求当小物体m滑到底时，M滑槽在水平上移动的距离。
解 以 M和 m 为研究对象，其在水平方向不受外力（所受外力都 在竖直方向），故水平方向动量守恒。
设在下滑过程中，m相对于M的滑动速度为m ， M 对地速 度为 M ，并以水平方向右为正，则有
t
问题 结果与m与槽M间是否存在摩擦有关系吗？
3. 质心运动定理
C
mii mc m i 1 质点系的动量 p mc
i 1
m
n
rC
mi ri
n i 1
m
n
i i
质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度。 注 质点系的动量的两种表达式
n p mii , p mc
pA m j ,
pB mi
y
B
I AB pB pA m (i j )
C
pC m j
o
A
x
I AC pC pA 2m j
质点的动量定理
例 一质量为10kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设t=0时，物体 位于原点，速度为零。设物体在力(F=3+4t)N作用下运动了3秒， 求此时它的速度和加速度。 解
3.2
角动量定理 角动量守恒定律
3.2.1 质点的角动量定理及守恒定律
1. 力矩
讨论
力F 对定点O 的力矩 Mo F r F
单位：牛 米（N m）
(1)力矩的大小和方向
所组成的平面，指向是由 180 的角转到 F 时的右手螺旋前进的方向
①方向垂直于 r 和 F o
r 经小于
x 方向： m sin m0 sin 0 y 方向： ( f mg )t m cos m0 cos sin 由第一式 0 sin
大学物理动量与角动量
恒力的冲量：
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t
2
F
(
t
)
dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
dt dt
动量定理的微分式：
dp
解：(1) 设沙袋抛到船上后，共同运动的初速度为V， 并设此运动方向为x轴正方向，忽略沙袋撞击船时受 水的阻力，则可认为沙袋+船在沙袋落到船上前后水 平方向动量守恒，因而有
(M m)V mv0
3分
V m v0
2分
Mm
(2) 由 k d x (M m) d v 得 d x M m d v
动量与角动量
研究： 力的时间积累作用
对平动——动量定理 对转动——角动量定理
基础：牛顿定律（牛顿力学）
1 动量
2 动量定理
3 动量守恒定律
*4 火箭飞行原理
*5 质心与质心运动定理 6 质点的角动量
7 力矩
8 角动量定理 角动量 守恒定律
2-2 动量守恒定律
动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
t
v2 x
mv 2
sin
Ft sin105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
动量守恒定律
质点系的动量定理： t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时,
I F (t2 t1)
运动员在投掷标 枪时，伸直手臂，尽 可能的延长手对标枪 的作用时间，以提高 标枪出手时的速度。
变力的冲量：
I
t
2
F
(
t
)
dt
单位：N·s
t1
牛顿运动定律：
F
ma
F
d(mv)
dp
dt dt
动量定理的微分式：
dp
解：(1) 设沙袋抛到船上后，共同运动的初速度为V， 并设此运动方向为x轴正方向，忽略沙袋撞击船时受 水的阻力，则可认为沙袋+船在沙袋落到船上前后水 平方向动量守恒，因而有
(M m)V mv0
3分
V m v0
2分
Mm
(2) 由 k d x (M m) d v 得 d x M m d v
动量与角动量
研究： 力的时间积累作用
对平动——动量定理 对转动——角动量定理
基础：牛顿定律（牛顿力学）
1 动量
2 动量定理
3 动量守恒定律
*4 火箭飞行原理
*5 质心与质心运动定理 6 质点的角动量
7 力矩
8 角动量定理 角动量 守恒定律
2-2 动量守恒定律
动量
车辆超载容易 引发交通事故
车辆超速容易 引发交通事故
t
v2 x
mv 2
sin
Ft sin105
sin 0.7866 51.86 51.86 45 6.86
动量守恒定律
质点系的动量定理： t t0
Fidt P P0
当 Fi 0 时,
03动量和角动量
r
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
m
r F M
Lr pC
M 0
dL 0 dt
合外力矩为零时,质点角动量(动量 矩)为恒量。
M 0, L C , r mv r p C M rF sin 可能性1、 S F = 0 ； 表示F 平行r （过 o点) 2、 sin =0 没有转动！！
微分公式
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dL d dr dp r p pr dt dt dt dt v p r F r F M
m1v z1 m2 v z 2 常量
动量守恒定律的几点说明：
1. 系统的动量守恒是指系统的总动量不变， 系统内任 一物体的动量是可变的, 各物体的动 量必相对于同一惯性参考系。。 2. 动量定理及动量守恒定律只适用于惯性系。 3. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一 切惯性系中均守恒。 4.若某个方向上合外力为零，则该方向上动量 守恒，尽管总动量可能并不守恒。
v2 θ tg v1
1
v2
例4.水平光滑铁轨上有一小车M，长l， 车 端站有一人m，人和车原都不动。现人从车 的一端走到另一端。问人和车各移动多少 距离？ l
分析：
动量守恒 ＋相对运动
x人地
x车地 x车地+x人地=l
解： 以地为参考系
mv人地 MV车地= 0 mv人地 dt MV车地 dt
角动量定理
dL M dt
1、力矩意义（在转动中）
相对确定的点o r 是 质点与o 的连线
F
M
r o
M r F
第三章 动量和角动量
mi
由n个质点组成的质点系： dpi Fi F外i F内i dt i i i i
质点系
F外i
F内i mi
合外力 F外 零 dp 质点系的动量定理 dpi d dp F外 pi 右边： （微分形式） dt dt dt dt i i p2 持续一段时间： F外dt dp p2 p1
弹性碰撞 碰撞
动量守恒，机械能守恒 动量守恒 动量守恒
非完全弹性碰撞
完全非弹性碰撞
3）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
F外x 0 , F外y 0 , F外z 0 ,
px mi vix C x pz mi viz C z p y mi viy C y
解：由质点的动量定理，
t1
t2 I Fdt p2 p1
F t mgt p2 p1
4m / s
F/N 30
0-4s： I
t=4s时： v
0
1 0-7s： I (4 7) 30 mg t p2 p1 2
t=7s时： v
x2 x1
x
解得：x1 3.33m, x2 1.67m
小结
动量定理及动量守恒定律 1. 动量定理
t2 对 质 点: I F dt P2 P1 t1 Fdt dP t2 对 质 点 系 I F外 dt P2 P1 t1 F外 dt dP
第三章 动量和角动量
力的累积效应
力对时间的累积冲量 力对空间的累积做功
动量 能量
3-1 质点的动量定理
1、冲量 动量定理 牛顿第二定律
第三章动量与角动量
上式表明，火箭发动机的推力与燃料燃烧速率 (dm / dt )及 喷 出 气 体 的 相 对 速 度 u 成 正 比 。 Mi v f v i u ln 练习：3.9 M f
z
3.4
质心
rC
C
一. 质心的定义
由下式决定的位置矢量 rc 所对
应的c，称为质点系的质心。
rC mi mi ri
动量（角动量）、动量（角动量）定理、 动量（角动量）守恒定律
本次课主要内容
1、第二章小结 2、冲量、动量 #3、动量定理、动量守恒 4、火箭飞行原理
3.1 冲量与动量定理
一、冲量和动量
1. 冲量: 力F对dt时间的积累 量，叫做在dt时间 内质点所受合外力 的冲量。
F
I
t
Fdt
O t0
K
R
t
v0 R vt R K vt v0t vt ( R K v0t ) v0 R vt v0 R ( R K v0t )
S
t 0
vt d t
t 0
v0 R R v0 K t 1
dt
v0 R v0 K R
t 0
R v0 K t
2. 动量
p mv
F dp dt Fdt dp
二. 用冲量表示的动量定理
1. 牛顿第二定律的普遍形式
2. 动量定理(质点）
t t0
Fdt
p p0
dp
I p p0
上式表明在dt时间内质点所受合外力的冲量等于在 同一时间内质点动量的增量。
矢量法
z
3.4
质心
rC
C
一. 质心的定义
由下式决定的位置矢量 rc 所对
应的c，称为质点系的质心。
rC mi mi ri
动量（角动量）、动量（角动量）定理、 动量（角动量）守恒定律
本次课主要内容
1、第二章小结 2、冲量、动量 #3、动量定理、动量守恒 4、火箭飞行原理
3.1 冲量与动量定理
一、冲量和动量
1. 冲量: 力F对dt时间的积累 量，叫做在dt时间 内质点所受合外力 的冲量。
F
I
t
Fdt
O t0
K
R
t
v0 R vt R K vt v0t vt ( R K v0t ) v0 R vt v0 R ( R K v0t )
S
t 0
vt d t
t 0
v0 R R v0 K t 1
dt
v0 R v0 K R
t 0
R v0 K t
2. 动量
p mv
F dp dt Fdt dp
二. 用冲量表示的动量定理
1. 牛顿第二定律的普遍形式
2. 动量定理(质点）
t t0
Fdt
p p0
dp
I p p0
上式表明在dt时间内质点所受合外力的冲量等于在 同一时间内质点动量的增量。
矢量法
第三章-动量-角动量
对于同一点的角动量对时间的变化率，这一结论称为质点的角
动量定理。
质点的角动量定理可以写为
Mdt dL
其中 Mdt 称为dt 时间内力矩 M对质点的冲量矩。两边
积分有：
t2 t1
Mdt
L2
L1
上式表明：作用于质点的合外力矩M 从 t1 到 t2 时间间隔 内的冲量矩，等于质点在同一时间间隔内角动量的增量。
力心
例4、一质点在x-y平面内运动，已知质点的质量为20 g，在A 、
B 两位置处的速率都是20 m/s ，vA与X轴成45 o角，vB垂 直于y轴。求质点由A点到B点这段时间内，作用在质点
上外力对O点的总冲量矩（已知OA=2m，OB=4m）。
解： 由质点的角动量定理知：
y vB B
由A到B，角动量的方向均垂 直于x-y平面向上
标量式为
(3-5)
对于冲量 I 应注意：
（1）冲量是力对时间的积累作用。
I
t2
Fdt
t1
mv1
mv
mv2
（2）冲量是矢量，其方向与动量增量方向相同。 即 I 的方向与 P 或 mv 的方向相同。
对动量原理应注意：
（1） F 是指物体所受的合外力，I 是合外力的冲量。 （2） 动量原理是矢量式，常用其分量式。 （3） 动量原理用于惯性系。
②已知炮弹对炮车的相对速度为v ，仰角
为时速θ ，度由v速’ 的度水叠平加分原量理为，炮弹对V地的瞬
v’ x = v cosθ – V
系统总动量为 m (v cosθ - V) – MV 系统总动量的水平分量守恒方程：
m (v cos θ - V) – MV = 0
代入数字 解得：
v v
物理动量和角动量
02
角动量
定义
总结词
角动量是描述旋转运动的物理量，表示物体转动惯量和角速度的乘积。
详细描述
角动量是描述旋转运动的物理量，它等于物体转动惯量和角速度的乘积。转动惯量是描述物体转动惯 性的物理量，与物体的质量分布和旋转轴的位置有关。角速度是描述物体旋转快慢的物理量，等于物 体转过的角度与时间的比值。
乒乓球的旋转速度和方向决定了球的 轨迹和落点，对于比赛结果具有重要 影响。因此，乒乓球运动员需要熟练 掌握各种旋转球技术，以提高比赛水 平。
感谢您的观看
THANKS
动量的计算公式
总结词
动量的计算公式是质量与速度的乘积 。
详细描述
动量的计算公式为 P=mv，其中 P 表示 动量，m 表示质量，v 表示速度。这个 公式用于计算物体的动量，是物理学中 常用的基本公式之一。
动量的矢量性
总结词
动量是一个矢量，具有方向和大小。
详细描述
动量具有矢量性，表示物体运动的方向和大小。在物理学中，动量的方向与速度 的方向一致，大小等于质量与速度的乘积。矢量性是动量最基本的性质之一，对 于描述物体的运动状态和变化趋势非常重要。
角动量的计算公式
总结词
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。
详细描述
角动量的计算公式为 L = Iω，其中 L 是角动 量，I 是转动惯量，ω 是角速度。转动惯量 I 是由物体的质量分布和旋转轴的位置决定的， 可以通过质心坐标系和刚体转动轴的垂直距 离计算得出。角速度 ω 是描述物体旋转快慢 的物理量，等于物体转过的角度与时间的比
动量的守恒定律
总结词
在没有外力作用的情况下，封闭系统中的总动量保持不变。
大学物理第三章动量与角动量分解
mg=Mgx/L
所以
F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
19
例2:(page72)一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下通过,每
秒钟落入车厢的煤为Δ m=500kg.如果使车厢的速率保持不
变,应用多大的牵引力拉车厢?
v
dm m F
20
例3:质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动.一质量 为m的小球水平向右飞行,以速度 v 1 (相对地面)与滑块斜 面相碰,碰后竖直向上弹起,速度为 v (相对地面).若碰撞
F 可分解为两个分量 F//
与水对船的垂直阻力相平衡 与船平行,并指向船前进的方 向 10
例4.一篮球质量m = 0.58kg,从h = 2.0m的高度下落,到达 地面后以同样速率反弹,接触地面时间 t 0.019 s 。 求：篮球对地面的平均冲力 F 球对地
解：篮球到达地面的速率为：
f f’
m1
m2
F2
碰撞后两质点的速度分别为
1和 2
相碰时的相互作用内力为 f 和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F 2
d P1 对质点m1: F1 f dt d P2 对质点m2:F2 f dt
两式相加,得
13
f f
d P1 d P2 F1 F2 f f dt dt
p 2mv 篮球接触地面前后动量改变（大小）为：
由动量定理有： F 地对球 t p 2mv 由牛顿第三定律有： F 球对地 F 地对球
v 2 gh 2 9.80 2 6.26 m/s
2mv 2 0.58 6.26 t 0.019 3.82 10 2 N
03第三章 动量与角动量作业答案
第三次作业（第三章动量与角动量）一、选择题［A］1.（基础训练2）一质量为m0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图3-11(A) 保持静止．(B) 向右加速运动．(C) 向右匀速运动．(D) 向左加速运动．【提示】设m0相对于地面以V运动。
依题意，m静止于斜面上，跟着m0一起运动。
根据水平方向动量守恒，得：m V mV+=所以0V=，斜面保持静止。
［C］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为(A) 2m v．(B) 22)/()2(vv Rmgmπ+(C) v/Rmgπ(D) 0．【提示】22TGTI mgdt mg==⨯⎰，而vRTπ2=［C ］3．（自测提高1）质量为m的质点，以不变速率v沿图3-16正三角形ABC的水平光滑轨道运动。
质点越过A点的冲量的大小为(A) m v．(B) ．(C) ．(D) 2m v．【提示】根据动量定理2121ttI fdt mv mv==-⎰，如图。
得：21I mv mv∴=-=[ B] 4.（自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图3-17所示的方向射入一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度不可伸缩。
子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为(A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s．【提示】相对于摆线顶部所在点，系统的角动量守恒：2sin30()mv l M m lV︒=+其中m为子弹质量，M为摆球质量，l为摆线长度。
解得：V=4 m/s（解法二：系统水平方向动量守恒：2sin30()mv M m V︒=+)图3-11图3-17二、填空题1、（基础训练7）设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s ⋅．【提示】2222(63)(33)18I Fdt t dt t t N s ==+=+=⋅⎰⎰2．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船。
大学物理 动量与角动量解读
t2 t1
F外
dt
P2
P1
—质点系动量定 理（积分形式）
系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。
用质点系动量定理处理问题可避开内力。 8
§3.2动量守恒定律 （law of conservation of momentum）
质点系所受合外力为零时，质点系的总动量
不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。
zC
mi zi m
质量为权重的平均值。 17
二.几种系统的质心
● 两质点系统
· · m1
C× m2
r1
r2
● 连续体
z
dm
r
×C
rc m
0
x
m1 r1 = m2 r2
rC
r dm
m
xC
xdm
……m
18
● 均匀杆、圆盘、圆环、球，质心为其几何中心。
● “小线度”物体的质心和重心是重合的。
[例]如图示，求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解：由对称性分析，质心C应在x轴上。
2
3.1 冲量与动量定理
冲量：力和力作用时间的乘积 （单位：牛顿·秒 (N·s)）
恒力 变力
在 dt 时间内的元冲量： dI Fdt
在 t1至 t2 时间段内的冲量：
（力对时间的积累效应）
动量：质点质量 m 和速度 的乘积
P mv
单位：千克·米·秒-1 (kg·m·s-1) 3
一、质点的动量定理
经整理得： Mdv = -udM
d v u d M M
f
Mf dM
d v u
i
M Mi
速度公式：
vf
vi
大学物理动量与角动量练习题与答案
第三章 动量与角动量一、选择题[ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将(A) 保持静止． (B) 向右加速运动．(C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动．提示：假设斜面以V 向右运动。
由水平方向动量守恒得0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V =［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为(A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+(C) v /Rmg π．(D) 0．提示：2T mg I G ⨯= ， vRT π2=[ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ．提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。
2sin 30()mv l M m lV ︒=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。
［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则(A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断．提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。
对重物用动量定理：0'''=--⎰⎰⎰++dt T mgdt dt T t t t t t 下上't 为下拉力作用时间，由于't t >>，因此，上面的细线也不断。
大学物理第3章_动量与角动量
C
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
N i 1
28
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
i
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 rj 响。 应用质点系动量定理不必 o 惯性系 考虑内力。
ri
f ij f ji
mj
pj
fj
13
证明：对第 i 个质点 d f ij fi d t pi j i 对质点求和
fi
pi
ri
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt
由此得火箭所受燃气的反推力为
dm F F气 对 箭 u dt
3
§ 3.1 冲量与动量定理 力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt t I F (t )dt
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dI Fdt dp t I F (t )dt p p0
t0
动量定理常用于碰撞过程。
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
N N i 1 i 1
i 1
在任何参考系中，质心的动量都等于质点系 的总动量。
dvc mi ai m 4、质心的加速度 ac dt
N i 1
28
§3.6 质心运动定理和质心参考系
一、质心运动定理
f2外
p2
dP F m a c （惯性系） dt
i
内力可改变各质点的动量， 但合内力为零，对总动量无影 rj 响。 应用质点系动量定理不必 o 惯性系 考虑内力。
ri
f ij f ji
mj
pj
fj
13
证明：对第 i 个质点 d f ij fi d t pi j i 对质点求和
fi
pi
ri
2.火箭所受的反推力 研究对象：喷出气体 dm t 时刻：速度v (和主体速度相同)，动量 vdm t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u)
由动量定理，dt内喷出气体所受冲量
F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt
由此得火箭所受燃气的反推力为
dm F F气 对 箭 u dt
3
§ 3.1 冲量与动量定理 力的时间积累称为冲量（impulse）：
dI Fdt t I F (t )dt
t0
牛顿第二定律质点的动量定理： dI Fdt dp t I F (t )dt p p0
t0
动量定理常用于碰撞过程。
星（TEMPEL1）的彗核相撞。 据推算，撞击的强度相当于 4.5 吨 TNT 炸药造成的 巨大爆炸，它将会在彗核表面撞出一个约有足球场大
大学物理-动量与角动量
解：以小孔O为原点，绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。则小球对点的角动量守恒。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
因：v = rw
则小球的动能增量为：
例3.18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。
太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：
角动量守恒：r1mv1=r2mv2 v1=(r2/r1)v2=1.2857v2
机械能守恒：
代入数据计算时，注意长度单位要统一使用m或km。
空间累积效应
时间累积效应
瞬时效应
动量定理
角动量定理
动能定理
功能定理
质点的角动量守恒定律
力
力矩
动量
角动量
冲量
冲量矩
力与动量
力矩与角动量
动量定理(冲量与动量)
角动量定理(冲量矩与角动量)
动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，…
角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，…
例2-17：将质量为m 的小球系于轻绳一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O 用手拉住。先使小球以角速度 w1 在水平面上做半径为 r1 的圆周运动，然后慢慢将绳下拉，使半径缩小为 r2 ，求在此过程中小球的动能增量。
力矩
O
力矩的分量式:
对轴的力矩
力矩为零的情况: （1）力 F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线（即 sinj = 0 ）
二、角动量定理
角动量 力矩
质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。
表示成积分形式：
冲量矩（合力矩在Δt时间内对定点的冲量矩）
由对称性分析，质心C应在x轴上。
动量与角动量关
r L mvr sin m r sin t 开普勒第二定律 1 r r sin S 2 2m 2m t t
行星受力方向与矢径在一条直线（中心 力），故角动量守恒。
作业 大学物理习题指导书.
第三章1, 2, 3, 4, 5, 6
第三章完
关荣华
解：取挡板和球为研究对象， 由于作用时间很短，忽略重力 影响。设挡板对球的冲力为 F 则有： I F dt mv 2 mv1
取坐标系，将上式投影，有：
y O
v2 30o
45o x
v1
n
I x Fx dt mv2 cos 30 (mv1 cos 45 ) Fx t I y Fy dt mv2 sin 30 mv1 sin 45 Fy t
yc
ydl
m
y R sin
dl Rd
1 1 2 yc 0 R sin Rd m 2R m
m R
yc
2
注意：质心不在铁丝上。
R
§3.5 质心运动定律
rc
m r
i i
i
m
d rc 1 d ri 1 vc mi mi v i dt m i dt m i
动量定理常用于碰撞过程中。因F作用时间很短 可用力的平均值来代替。称为平均冲力。
平均冲力
p p F t t
f f i
i
注意：动量为状态量，冲量为过程量。
动量定理可写成分量式，即：
I mv mv
x 2x y 2y
1x
I mv mv I mv mv
z 2z
1y
大学物理课件第3章 动量与角动量
§3.3 动量守恒定律 质点系所受合外力为零， Σ 时间改变，即
Fi = 0 总动量不随
N P pi 常矢量
i 1
1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
2. 合外力沿某一方向为零；
p i
i
const .
3. 只适用于惯性系； 4. 比牛顿定律更普遍的最基本的定律。
M r F
力
M F d F r sin
提问:力矩为0的情况?
力矩
Lrp
动量
N m 矢量性: r F
单位:
三、角动量定理
pr p v pr F Lr 角动量定理： r F M (力矩)
q
v
V
v sinq
v cosq V
解：设车相对地面的反冲速度为V，方向水平向左 炮弹相对地面的速度水平分量为 v cosq V mv cosq 水平方向动量守恒 m(v cosq V ) MV 0 解得V
炮弹相对地面的速度竖直分量为 v sinq
m M
v sinq tg v cosq V
t2
mg
3秒时物是否被拉起？
F cos f 0 N F sin mg 0 f N t1 1.9 s
I x 0.62 Kgm / s
t1
F
x
dt 1.12t (cos sin ) mg dt
3
I x mvx 0 0.62Kgm / s
6
h
v
0
N =
m 2gh
τ
m 工件
mg
大学物理第三章动量与角动量分解
相碰时的相互作用内力为 f 和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F 2
d P1 对质点m1: F1 f dt d P2 对质点m2:F2 f dt
两式相加,得
13
f f
d P1 d P2 F1 F2 f f dt dt
d F1 F2 ( P1 P2 ) dt ( F1 F2 )dt d ( P1 P2 ) ( m1 1 m2 2 ) ( m1 10 m2 20 )
由牛顿第三定律有： f ij 0
i j i
15
d t d pi 所以有： ( Fi） i i 令 Fi F外 ， pi P
则有：
F外 d t d P
F外 dP dt
i
i
或
质点系动量定理 （微分形式）
t2 F t1 外
m’ N
已知μs
解:箱子是否下滑,决定于物体坠入 箱子时,在冲力的作用下箱子的受力 是否
mgsin f s mg cos s tg
当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足:
s ( mg cos F cos ) ( mg sin F sin ) ma
力在时间上的积累效应：
平动 冲量，改变动量 转动 冲量矩，改变角动量
2
1、冲量（impulse）
定义:力对一段时间的积累
t2 大小： I ＝ Fdt
t1
F F
方向：速度变化的方向 单位：N· s 0 t
量纲：MLT－1
微分形式: d I F d t d p
v 2 gh 2 9.80 2 6.26 m/s
大学物理 牛顿运动学定律 动量 动量守恒 角动量 角动量守恒
1 2
mv02[(
r0 r
)2
−
1]
>
0
例2. 用角动量守恒定律推导行星运动的开普勒第二定律: 行星对 太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积,即行星的矢径 的面积速度为恒量。
解： 在很短的时间dt内，行星的矢径扫过的面积
dS
=
1 2
r
dr
sin α
=
1 2
r × dr
行星
α
r dS dr
面积速度
孔做圆周运动，半径为 r1 ，速率为 v1 ，当半径为 r2 时，求 小球的速率 v2
解：小球受力： f 拉 为有心力
L = r × mv
L2 = L1
r1mv1 = r2mv2
v2
=
r1 r2
v1
显然 v2 > v1
f拉
0 v1
r2
r1
利用动能定理，该力所做的功
W == ∆Ek
1 2
m= v2 − 12 mv02
p1
= p2 − p1 = mv2 − mv1
2. 动量守恒定律 （与外界没有质量交换的质点系）
∑ 当当 ∑FFixi = 0 时 时
∑ miv∑i =mimvix1v=1恒+矢m量2v2 + + mnvn = 恒矢量
当质点系所受的合外力为零时，系统的总动 量保持不变。
第7节 角动量定理 角动量守恒定律
t： t+dt ：
质量 m m + dm -dm
速度
v
v + dv
v'
动量 p1 = mv
p2
(此处dm<0)
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之比？
29
§3.4变质量系统、火箭飞行原理 低速（v << c）情况下的两类变质量问题： ▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）
还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下，这时即使没有 粘附和抛射，质量也可以随速度改变 — m = m(v)，这是相对论情 形，不在本节讨论之列。
m1 m2 m2
t
0 v1dt
在这段时间内人相对于地面的位移为
x1
t
0 v1dt
m2 m1＋m2
l
小车相对于地面的位移为
x2
l
x1
m1 m1 m2
l
28
例3:在一次 粒子散射过程中， 粒子(m)和
静止的氧原子核(M)发生碰撞。实验测出：碰撞
后 粒子沿与入射方向成 72 的方向运动, 而氧原子核沿与 粒子的入射方向成 41 的方向反冲，求 粒子碰撞后与碰撞前的速率
F外 d t d P
F外
dP dt
质点系动量定理 （微分形式）
t2
t1
F外
dt
P2
P1
质点系动量定理 （积分形式）
意义: 作用在系统的合外力的冲量等于系统
动量的增量
16
说明:
·系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。 ·用质点系动量定理处理问题可避开内力。
·质点系动量定理是一矢量式,因此在直角坐标 系中它的分量式为:
o 证明：取如图坐标，设t时刻已有x 长的柔绳落至桌面，随后的dt时间 内将有质量为dx(Mdx/L)的柔绳以 dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的 动量变化率为：
dP
dx
dx dt
x
dt
dt
18
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
F ＝ dP
dx
dx dt
＝ －v 2
dt
3.82102 N
方向向上
11
例5.在斜面上放着一个盛有细沙的箱子,在摩擦力的作用 下箱子刚好不下滑.若有一物体m’从竖直方向坠入箱中,试 问在该物体的冲力作用下,箱子是否还能保持静止?
m’
已知μs
N
f
解:箱子是否下滑,决定于物体坠入
箱子时,在冲力的作用下箱子的受力
F
是否平衡.
α mg
刚好不下滑时:
v dm
m
F
20
例3:质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动.一质量
为m的小球水平向右飞行,以速度 v1 (相对地面)与滑块斜 面相碰,碰后竖直向上弹起,速度为 v2 (相对地面).若碰撞
时间为 t ,求:在这个过程中滑块对地面的平均作用力和
滑块速度的增量.
21
§3.3 动量守恒定律（law of conservation of momentum）
23
5.无论相互作用力是什么力(重力、弹力、摩擦力、电场 力、磁场力、分子作用力、核子作用力…)，动量守恒定 律都适用。因此，动量守恒定律是一条大到星体间的作用, 小到基本粒子间的作用的关于自然界一切物理过程的最基 本定律。
6.质点相互作用后,不论它们是结合在一起运动还是分开 运动,不论是整体还是分裂成碎块,不论是接触作用还是超 距作用,动量守恒定律都适用。
1、两个质点组成的系统
F1
已知:
f m1
f’ m2
碰撞前两质点的速度分别为 10和 20 碰撞后两质点的速度分别为 1和 2
F2
相碰时的相互作用内力为 f和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F2
对质点m1: F1
f
d P1 dt
两式相加,得
对质点m2:F2
f
d P2 dt
Fx
Fy
Fz
dPx
t2 Fxdt
dt
t1
dPy
dt dPz
dt
或
t
2
t1 t2
t1
Fydt Fz dt
Px Py Pz
17
例1：一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触
到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。 试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已 落到桌面上的绳重量的三倍。
7.系统动量守恒定律的条件是合外力为0,但在某些外力比
内力小得多的情况下,外力对质点系的总动量变化影响很
小,这时可以近似地认为它满足守恒条件,即可以近似地应
用动量守恒定律来解题了。
24
解题步骤：
1．选好系统，分析要研究的物理过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的初动量与末动量； 4．建立坐标系，列方程求解； 5．必要时进行讨论。
解：篮球到达地面的速率为：
v 2gh 2 9.80 2 6.26m/s
篮球接触地面前后动量改变（大小）为：p 2mv
由动量定理有： F 地对球 t p 2mv
由牛顿第三定律有：F 球对地 F 地对球
2mv 2 0.58 6.26
t
0.019
dt
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
F v2 M v 2 而v2 2 gx F 2 Mgx / L
L
而已落到桌面上的柔绳的重量为
mg=Mgx/L
所以
F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
19
例2:(page72)一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下通过,每 秒钟落入车厢的煤为Δm=500kg.如果使车厢的速率保持不 变,应用多大的牵引力拉车厢?
mgsin f smg cos s tg
当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足:
s ( mg cos F cos ) ( mg sin F sin ) ma
代入 s tg 得 a=0
12
§3.2 质点系的动量定理
（theorem of mometum of a system of particles）
5.动量定理的分量式. I x Fxdt m v2x m v1x t
I y Fydt m v2 y m v1 y t
6.应用：
Iz Fzdt m v2z m v1z t
利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲6
•冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；
•冲量是矢量： 大小和方向；
•冲量是过程量， 改变物体机械运动状态的原因。 3
2、动量（momentum）
定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量
P
mv
•单位： kg·m·s-1
•量纲：MLT－1
说明:
•动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向；冲量的方向
应用举例: 例1.
例2.问题：人为什 么从高处跳到地面 时，要把腿弯一下？
7
例3. “船行八面风”---帆船靠风力推动前进，只要有风，不
管风从什么方向吹来，都可借助风力前进。
8
F风对帆 F横
F进
v1 v2 帆
风 v1
Δv v2 F帆对风 Δv
F阻
F横
龙骨
9
F帆对风
帆给风团的冲力为:
方向向斜后方
不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同.
•动量表征了物体的运动状态.
•牛顿第二定律的另外一种表示方法
F
ma
m dv
d
(mv)
dP
dt dt
dt
4
3、质点的动量定理（theorem of momentum of
F
dP
a particle）
dt
质点动量定理的微分形式
F
t2 t1
F dt
p
t2 t1 t
5
说明:
1.动量定理将始末时刻的动量与冲量联系起来,而忽略细节变化；
2.碰撞或冲击过程,牛顿第二定律无法直接使用,用动量定理解；
3.变质量物体的运动过程,用动量定理较方便;
4.动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因
素，即冲量决定的;
27
解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动 量守恒。建立如图所Байду номын сангаас的坐标系，有 m1v1-m2v2=0 即 v2=m1v1/m2
人相对于车的速度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m2 设人在时间t 内从车的一端走到另一端，则有
l
t
udt
0
t 0
m1 m2 m2
v1dt
2. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均 守恒。
3.动量是矢量,因此动量守恒定律的数学表达式是一个矢 量关系式。但在一些实际问题中,若系统所受的合外力 不为0,但合外力沿着某个坐标轴的分量为0,则尽管总的 动量不守恒,但总动量在这个方向上的分量却是守恒的。
4.在合外力为0时,尽管质点系的总动量不变,但组成系统 的各个质点的动量是可以变化的。
根据牛顿第三运动定律,风团对帆有一反作用力 F :
可分解为两个分量 F F//
与水对船的垂直阻力相平衡
与船平行,并指向船前进的方 向
10
例4.一篮球质量m = 0.58kg,从h = 2.0m的高度下落,到达
29
§3.4变质量系统、火箭飞行原理 低速（v << c）情况下的两类变质量问题： ▲ 粘附 — 主体的质量增加（如滚雪球） ▲ 抛射 — 主体的质量减少（如火箭发射）
还有另一类变质量问题是在高速（v c）情况下，这时即使没有 粘附和抛射，质量也可以随速度改变 — m = m(v)，这是相对论情 形，不在本节讨论之列。
m1 m2 m2
t
0 v1dt
在这段时间内人相对于地面的位移为
x1
t
0 v1dt
m2 m1＋m2
l
小车相对于地面的位移为
x2
l
x1
m1 m1 m2
l
28
例3:在一次 粒子散射过程中， 粒子(m)和
静止的氧原子核(M)发生碰撞。实验测出：碰撞
后 粒子沿与入射方向成 72 的方向运动, 而氧原子核沿与 粒子的入射方向成 41 的方向反冲，求 粒子碰撞后与碰撞前的速率
F外 d t d P
F外
dP dt
质点系动量定理 （微分形式）
t2
t1
F外
dt
P2
P1
质点系动量定理 （积分形式）
意义: 作用在系统的合外力的冲量等于系统
动量的增量
16
说明:
·系统总动量由外力的冲量决定，与内力无关。 ·用质点系动量定理处理问题可避开内力。
·质点系动量定理是一矢量式,因此在直角坐标 系中它的分量式为:
o 证明：取如图坐标，设t时刻已有x 长的柔绳落至桌面，随后的dt时间 内将有质量为dx(Mdx/L)的柔绳以 dx/dt的速率碰到桌面而停止，它的 动量变化率为：
dP
dx
dx dt
x
dt
dt
18
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
F ＝ dP
dx
dx dt
＝ －v 2
dt
3.82102 N
方向向上
11
例5.在斜面上放着一个盛有细沙的箱子,在摩擦力的作用 下箱子刚好不下滑.若有一物体m’从竖直方向坠入箱中,试 问在该物体的冲力作用下,箱子是否还能保持静止?
m’
已知μs
N
f
解:箱子是否下滑,决定于物体坠入
箱子时,在冲力的作用下箱子的受力
F
是否平衡.
α mg
刚好不下滑时:
v dm
m
F
20
例3:质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动.一质量
为m的小球水平向右飞行,以速度 v1 (相对地面)与滑块斜 面相碰,碰后竖直向上弹起,速度为 v2 (相对地面).若碰撞
时间为 t ,求:在这个过程中滑块对地面的平均作用力和
滑块速度的增量.
21
§3.3 动量守恒定律（law of conservation of momentum）
23
5.无论相互作用力是什么力(重力、弹力、摩擦力、电场 力、磁场力、分子作用力、核子作用力…)，动量守恒定 律都适用。因此，动量守恒定律是一条大到星体间的作用, 小到基本粒子间的作用的关于自然界一切物理过程的最基 本定律。
6.质点相互作用后,不论它们是结合在一起运动还是分开 运动,不论是整体还是分裂成碎块,不论是接触作用还是超 距作用,动量守恒定律都适用。
1、两个质点组成的系统
F1
已知:
f m1
f’ m2
碰撞前两质点的速度分别为 10和 20 碰撞后两质点的速度分别为 1和 2
F2
相碰时的相互作用内力为 f和f
同时受系统外其它物体的作用外力为 F1和F2
对质点m1: F1
f
d P1 dt
两式相加,得
对质点m2:F2
f
d P2 dt
Fx
Fy
Fz
dPx
t2 Fxdt
dt
t1
dPy
dt dPz
dt
或
t
2
t1 t2
t1
Fydt Fz dt
Px Py Pz
17
例1：一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触
到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。 试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已 落到桌面上的绳重量的三倍。
7.系统动量守恒定律的条件是合外力为0,但在某些外力比
内力小得多的情况下,外力对质点系的总动量变化影响很
小,这时可以近似地认为它满足守恒条件,即可以近似地应
用动量守恒定律来解题了。
24
解题步骤：
1．选好系统，分析要研究的物理过程； 2．进行受力分析，判断守恒条件； 3．确定系统的初动量与末动量； 4．建立坐标系，列方程求解； 5．必要时进行讨论。
解：篮球到达地面的速率为：
v 2gh 2 9.80 2 6.26m/s
篮球接触地面前后动量改变（大小）为：p 2mv
由动量定理有： F 地对球 t p 2mv
由牛顿第三定律有：F 球对地 F 地对球
2mv 2 0.58 6.26
t
0.019
dt
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
F v2 M v 2 而v2 2 gx F 2 Mgx / L
L
而已落到桌面上的柔绳的重量为
mg=Mgx/L
所以
F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
19
例2:(page72)一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下通过,每 秒钟落入车厢的煤为Δm=500kg.如果使车厢的速率保持不 变,应用多大的牵引力拉车厢?
mgsin f smg cos s tg
当一物体竖直坠入箱中,在冲力作用下,时的瞬间应满足:
s ( mg cos F cos ) ( mg sin F sin ) ma
代入 s tg 得 a=0
12
§3.2 质点系的动量定理
（theorem of mometum of a system of particles）
5.动量定理的分量式. I x Fxdt m v2x m v1x t
I y Fydt m v2 y m v1 y t
6.应用：
Iz Fzdt m v2z m v1z t
利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床 避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲6
•冲量是表征力持续作用一段时间的累积效应；
•冲量是矢量： 大小和方向；
•冲量是过程量， 改变物体机械运动状态的原因。 3
2、动量（momentum）
定义：物体的质量与速度的乘积叫做物体的动量
P
mv
•单位： kg·m·s-1
•量纲：MLT－1
说明:
•动量是矢量，大小为 mv，方向就是速度的方向；冲量的方向
应用举例: 例1.
例2.问题：人为什 么从高处跳到地面 时，要把腿弯一下？
7
例3. “船行八面风”---帆船靠风力推动前进，只要有风，不
管风从什么方向吹来，都可借助风力前进。
8
F风对帆 F横
F进
v1 v2 帆
风 v1
Δv v2 F帆对风 Δv
F阻
F横
龙骨
9
F帆对风
帆给风团的冲力为:
方向向斜后方
不是与动量的方向相同，而是与动量增量的方向相同.
•动量表征了物体的运动状态.
•牛顿第二定律的另外一种表示方法
F
ma
m dv
d
(mv)
dP
dt dt
dt
4
3、质点的动量定理（theorem of momentum of
F
dP
a particle）
dt
质点动量定理的微分形式
F
t2 t1
F dt
p
t2 t1 t
5
说明:
1.动量定理将始末时刻的动量与冲量联系起来,而忽略细节变化；
2.碰撞或冲击过程,牛顿第二定律无法直接使用,用动量定理解；
3.变质量物体的运动过程,用动量定理较方便;
4.动量定理说明质点动量的改变是由外力和外力作用时间两个因
素，即冲量决定的;
27
解：以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动 量守恒。建立如图所Байду номын сангаас的坐标系，有 m1v1-m2v2=0 即 v2=m1v1/m2
人相对于车的速度 u=v1+v2=(m1+m2)v1/m2 设人在时间t 内从车的一端走到另一端，则有
l
t
udt
0
t 0
m1 m2 m2
v1dt
2. 动量若在某一惯性系中守恒，则在其它一切惯性系中均 守恒。
3.动量是矢量,因此动量守恒定律的数学表达式是一个矢 量关系式。但在一些实际问题中,若系统所受的合外力 不为0,但合外力沿着某个坐标轴的分量为0,则尽管总的 动量不守恒,但总动量在这个方向上的分量却是守恒的。
4.在合外力为0时,尽管质点系的总动量不变,但组成系统 的各个质点的动量是可以变化的。
根据牛顿第三运动定律,风团对帆有一反作用力 F :
可分解为两个分量 F F//
与水对船的垂直阻力相平衡
与船平行,并指向船前进的方 向
10
例4.一篮球质量m = 0.58kg,从h = 2.0m的高度下落,到达