第五章波动率的估计(GARCH模型)

>0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负 扰动要大；<0同等程度的正扰动引起条件方差 的变化比负扰动要小; =0同等程度的正扰动引 起条件方差的变化与负扰动相等。
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后
的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设t~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2/)1/2
hT
(l)
0[1 (1 1 1
1 )l1 ] 1
(1
1 )l1 hT
(1)
0 , (l ) 1 1 1
GARCH(1,1)的无条件方差
练习题1：求GARCH(1,2)的向前一步和向
前两步预测公式
GARCH(1,2)模型：
t ht vt
ht
0
1ht1
1
2 t 1
2
2 t2
vt 是独立同分布的白噪声过程，并且
1
2 t 1
1ht1
0
1
2 t 1
1 ( 0
1
2 t2
1ht2 )
0
(1
1)
1
2 t 1
1
1
2 t2
12 ht 2
0 (1
1
12
)
1
2 t 1
2
2 t2
2
2 t3
是无穷阶ARCH过程
2)
过程
2 t
是一个ARMA(r,p)过程,其中
r
max(p, q)
对于GARCH(p,q),
t ht vt
GARCH（p,q） 广义条件异方差模型
t ht t
ht
0
1ht1
phtp
1
2 t 1
q
2 tq
相比ARCH模型：
1) GARCH (p,q)模型是ARCH模型的扩展,
即GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差
平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线
性函数。
2) GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了
E(vt ) 0, Var(vt ) 1.
ARMA和GARCH过程的比较
性质
髙斯
ARMA
白噪声
GARCH ARMAGARCH
条件均值 条件方差 条件分布 边际均值 和方差 边际分布
常数 常数 正态 常数
正态
非常数 常数 正态 常数
正态
0 非常数 正态 常数
厚尾
非常数 非常数 正态 常数
厚尾
实际例子5.2
hT (2) E(hT 2 | FT )
E[ 0 (1 1 )hT 1 1hT 1 (vT21 1) | FT ] 0 (1 1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
hT (l) 0 (1 1 )hT (l 1) l 1
对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成
而
wt
2 t
ht 满足：
E(wt ) 0
cov(wt , wt j ) 0, j 1
但 wt 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性
峰度=4阶原点矩/标准差的四次方
正态分布的峰度=3意味着 E(vt4 ) 3
E(
4 t
ht
2 t
0
1
(
2 t 1
ht
1
)
p
(
2 t
p
ht p )
1
2 t 1
p
2 t
p
1
2 t 1
Fra Baidu bibliotek
q
2 tq
2 t
变形有
ht
0
1ht1
phtp
1
2 t 1
q
2 t q
令 wt
2 t
ht 合并同类项有
2 t
0
wt
1wt 1
p wt p
j q 时 j 0
(1
1
)
2 t 1
(
p
r
)
2 tr
l p 时 l 0
0
1
2 T
1hT
于是
hT
(1)
E(hT 1
|
FT
)
0
1
2 T
1hT
GARCH（1，1）的向前多步预测
对向前多步预测，我们用
2 t
ht vt2
将
GARCH(1,1)公式改写为
ht1 0 1htvt2 1ht
0 (1 1)ht 1ht (vt2 1)
利用 E(vT21 1| FT ) 0 从而得GARCH(1,1)以T为 预测原点的向前两步预测公式
实际例子5.3
ARCH与GARCH模型一些共同的缺点
不能反应波动率的非对称特点 约束强，要求系数非负，如果要求高阶
矩存在，还有更多的约束 不能解释为什么存在异方差，只是描述
了条件异方差的行为
GJR模型
反映波动率的非对称性
t ht t
ht
k0
1ht1
phtp
1 t21
2
q tq
S
1
2 t 1
S-1如是果虚拟t-1变0则量S，-1如取果值为t-10<。0，则S-1取值为1， 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好
消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线 20
15
SIG2
10
5
0
-10
-5
0
5
Z
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht k0 1 ln ht1 r ln htr 1g(vt1 ) ... q g(vtq ) g(vt ) {| t | E(| t |)} t
)
3E (ht2
)
GARCH(1,1)过程的峰度
K
E(
4 t
)
3
612
[
E
(
2 t
)]2
1 212 (1 1 )2
GARCH性质
1)当p=0时,GARCH过程成为ARCH过程,ARCH过程 是GARCH的特例，这也是该过程被称为广义 的原因。
2)和GARtC-1H,过t-程q的的函含数义。是条件方差ht是ht-1,…ht-p
高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性
GARCH(1,1)
t ht t
ht
0
1 ht 1
1
2 t 1
ht是条件方差，随时间变化而变化。
无条件均值 E( t ) 0
无条件方差
Var ( t
)
1
0 1
1
GARCH(1,1)的性质： 1) GARCH(1,1)等价一个无穷的ARCH过程
ht
0
ARCH-M模型
yt X t g(ht ) t
g()是条件方差的函数通常是ht ，ln ht
t ht t
ht
0
1
2 t 1
p
2 t q
GARCH性质
3）参数i , i=1,2,…,q和i , i=1,2,…,p大 于零是保证条件方差为正的充分条件,而 不是必要条件。
4)可以证明 {2t}平稳的条件是1+…+q+1+…+ p <1。
GARCH预测
考虑GARCH(1,1)模型，假定T为预测原点。对 向前一步预测，我们有，
hT 1
金融时间序列模型
第五章：波动率的估计
金融时间序列模型
其它ARCH类模型
ARCH(q)模型
t ht t
ht
0
1
2 t 1
q
2 tq
Vt是独立白噪声过程
为反映收益率波动的异方差性， ARCH模型将条件
方差 ht 表示为滞后残差平方的线性函数
引入GARCH模型的背景：
ARCH模型虽然简单但为了充分描述波动 性聚类的特点往往需要很多参数，即要 提高ARCH模型的阶数p。但p较大时，参 数估计不再精确，由此计算出的条件方 差也不精确，存在较大误差。为克服这 一问题，Bollerslev1986提出了广义的 ARCH模型。