第五章波动率的估计(GARCH模型)
波动率的估计(ARCH模型)
异方差性破坏了古典模型的基本假定，如果
我们直接应用最小二乘法估计回归模型，将得 不到准确、有效的结果。
异方差性
异方差性另一例子：波动率据聚类性。
资本市场的波动性通常用收益率的标准差 来度量,也称为波动率.大量研究表明股票 收益率表现为在某个时间段波动大,而在 另一个时间段收益率波动又比较小的现 象, 这种现象被称为波动率聚类性。
异方差性例子：在实际经济问题中，随机
扰动项Ui往往是异方差的，例如
（1）调查不同规模公司的利润，发现大公 司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大；
（2）分析家庭支出时发现高收入家庭支出 变化比低收入家庭支出变化大。
在分析家庭支出模型时，我们会发现高收入 家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大 的方差。
HEW0.8
HEWV0.2
波动率的特性： P194, (1)-(6)
实现的波动率
使用日内数据计算样本方差做为一天内波 动率的估计。
假设一天内收集到价格 计算日内收益率
pt,0, pt,1,..p.t,n
r t,1 ,r t,2 ,.r t.,n ,.r t,i, ln p t,i 1 ( ) ln p t,i)(
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H120V
H60V
H240V
滑动平均波动率
30天与240天 60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V
H240V
滑动平均波动率－关于n的选择
garch波动率模型
garch波动率模型GARCH波动率模型是金融领域中常用的一种波动率预测模型，它基于过去的波动率信息来预测未来的波动率。
本文将介绍GARCH 模型的原理、应用和局限性。
一、GARCH模型的原理GARCH模型是由Engle于1982年提出的，它的全称是Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity model，翻译过来就是广义自回归条件异方差模型。
GARCH模型的基本思想是通过对过去一段时间的波动率进行建模，来预测未来的波动率。
GARCH模型的核心是通过对过去的波动率进行建模，来捕捉波动率的自相关性和异方差性。
在GARCH模型中，波动率是一个时间序列，它的波动会受到过去一段时间内的波动率的影响。
GARCH 模型通过引入自回归项和移动平均项，来捕捉波动率的自相关性和异方差性。
二、GARCH模型的应用GARCH模型在金融领域有着广泛的应用，特别是在风险管理和衍生品定价中。
通过对未来波动率的预测，可以帮助投资者和交易员更好地管理风险和制定交易策略。
1. 风险管理：GARCH模型可以用来估计金融资产的风险价值，即在给定的置信水平下，资产可能的最大损失。
通过对不同资产的风险价值进行估计，可以帮助投资者更好地分散风险，保护资产。
2. 衍生品定价：GARCH模型可以用来估计衍生品的隐含波动率，从而为衍生品的定价提供基础。
隐含波动率是指市场上衍生品的价格中所隐含的未来波动率，通过GARCH模型的预测，可以帮助交易员判断衍生品的市场价格是否合理。
三、GARCH模型的局限性尽管GARCH模型在金融领域有着广泛的应用，但它也存在一些局限性。
1. 假设限制：GARCH模型假设波动率是一个时间序列，它的波动受到过去波动率的影响。
然而，在实际应用中，市场的波动率可能受到其他因素的影响，如宏观经济变量、政治事件等，这些因素无法被GARCH模型捕捉到。
2. 参数估计：GARCH模型的参数估计比较复杂，需要通过最大似然估计等方法来求解。
波动率模型_ARCH_GARCH
波动率模型在金融领域主要有两个方面的重要作用：
衍生证券定价 风险管理
自回归条件异方差模型(ARCH)
ARCH模型的定义：Engle(1982)
ARCH(p)：p-阶自回归条件异方差过程
t ht vt
vt i.i.d .N (0,1) E (vt ) 0, E (vt2 ) 1 ht 0 j t2 j
识别ARCH模型的阶数，估计模型；
检验ARCH模型的残差是否满足独立同分布条件， 根据情况修改模型。
方法一：检验残差平方是否存在自相关。 计算残差的无条件方差：
ˆ
2
ˆ ( L) ˆ ˆ yt ， ˆ 计算出估计的残差值 t yt X 或ut ˆ ( L)
t2 / T ˆ
ARCH(1)过程{εt}的条件期望仍然是常数，但是条件 方差不再是常数。这样的过程根据定义是不相关的， 但是并不独立。
ARCH模型表明，如果εt-1异常地偏离它的条件期望，
那么εt的条件方差ht要比通常情况下大，所以有理由 预期εt会比较大，这样使得ht+1比较大；反之，如果 εt-1异常地小，那么条件方差ht要比通常情况下小，所 以有理由预期εt会比较小。这样使得ht+1比较小。虽然
所以{t2} 的形式类似于AR(1)。虽然过程{εt}不相关，但
{ t2}，在1 1 时的自相关函数为： 是过程
(h) 1|h| , h
2
{ t } 更高阶次的矩： 容易证明：
Et 1 ( t4 ) 3( 0 1 t21 )2
2 E ( t4 ) [3 0 (1 1 )] /[(1 1 )(1 312 )] 2 3 0 (1 1 ) (1 1 ) 2 峰度 E ( t4 ) / E ( t2 )2 2 (1 1 )(1 31 ) 02
第五章波动率的估计(GARCH模型)
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后 的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设νt~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2X t′β + δg (ht ) + ε t
g()是条件方差的函数通常是ht ，ln ht
2 利用 E(vT +1 − 1 | FT ) = 0 从而得GARCH(1,1)以T为 预测原点的向前两步预测公式 hT (2) = E(hT +2 | FT )
2 t
= ht v
2 t
将
2 = E[α 0 + (α1 + β1 )hT +1 + α1hT +1 (vT +1 − 1) | FT ]
ε t = htν t
ht = α 0 + α ε
2 1 t −1
+L+α ε
2 p t −q
反映波动率的非对称性 ε t = htν t
S-1是虚拟变量，如果εt-1<0，则S-1取值为1， 如果εt-1≥0则S-1取值为0。 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好 消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线
20
15
SIG2
10
5
0 -10
-5
0 Z
5
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht = k 0 + β 1 ln ht −1 + L + β r ln ht − r +
= α 0 + (α1 + β1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
波动率预测GARCH模型与隐含波动率
波动率预测GARCH模型与隐含波动率一、本文概述波动率预测一直是金融领域的核心问题之一，对于投资者、风险管理者和市场监管者都具有重要意义。
本文旨在探讨GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）在波动率预测中的应用，并与隐含波动率进行比较分析。
通过这一研究，我们希望能够更深入地理解这两种波动率预测方法的原理、优缺点及适用范围，为金融市场的稳定和发展提供理论支持和实践指导。
本文首先将对GARCH模型进行详细介绍，包括其理论基础、模型构建过程以及在实际应用中的表现。
随后，我们将对隐含波动率的概念、计算方法和应用领域进行阐述。
在此基础上，我们将对GARCH模型预测波动率与隐含波动率进行比较分析，探讨它们之间的异同点以及在不同市场环境下的适用性。
通过本文的研究，我们期望能够为投资者提供更准确的波动率预测方法，帮助他们在金融市场中做出更明智的投资决策。
我们也希望为风险管理者提供有效的风险管理工具，以降低投资风险并保护投资者的利益。
我们还将为市场监管者提供政策建议和监管思路，以促进金融市场的健康稳定发展。
二、波动率与金融市场在金融市场中，波动率是一个至关重要的概念，它反映了资产价格变动的幅度和不确定性。
对于投资者和风险管理者来说，理解并预测波动率是做出有效决策的关键。
因此，波动率预测在金融领域中具有广泛的应用，包括但不限于资产配置、风险管理、衍生品定价和投资策略制定等。
在众多波动率预测模型中，GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）因其能够捕捉金融时间序列数据的波动性聚集现象而备受关注。
波动性聚集是指资产价格在大幅波动后往往伴随着更大的波动，而在小幅波动后则可能出现较小的波动。
GARCH模型通过引入条件方差的概念，允许波动率随时间变化，并能够在一定程度上解释这种波动性聚集现象。
除了GARCH模型外，隐含波动率也是金融市场中的一个重要概念。
隐含波动率是指从金融衍生品价格中反推出的波动率，它反映了市场对未来资产价格波动的预期。
基于非参数GARCH模型的一种波动率估计方法
基于非参数GARCH模型的一种波动率估计方法非参数GARCH模型是一种用来估计金融资产的波动率的方法，它不需要对模型的参数进行先验设定，而是根据历史数据来估计波动率的方法。
非参数GARCH模型可以更准确地捕捉金融市场的波动性，因为它不受参数设定的限制。
非参数GARCH模型是基于李晓华等人提出的方法发展起来的。
该方法首先对数据进行预处理，然后通过将预处理后的数据分箱，再根据每个箱子中的数据计算平均差和标准差等参数，进而计算出波动率。
具体而言，非参数GARCH模型的估计步骤如下：1.数据预处理：首先，对原始数据进行筛选和清洗，排除异常值和缺失值等干扰因素。
然后，对数据进行收益率计算，得到每个观测期的收益率序列。
2.数据分箱：将收益率序列分成若干个箱子，每个箱子中包含相同数量的收益率观测值。
通常情况下，可以将数据分为等宽箱或等频箱。
3.参数估计：计算每个箱子的平均差和标准差，其中平均差表示每个箱子中的平均波动性，标准差表示每个箱子中的波动性差异。
可以使用有监督学习方法，如回归分析或支持向量机等，来估计平均差和标准差。
4.波动率计算：根据每个箱子的平均差和标准差计算波动率。
可以使用线性插值或其他方法来计算波动率。
非参数GARCH模型的优点在于它不需要对模型的参数进行预设，因此可以更灵活地适应不同类型的数据。
此外，非参数GARCH模型还能够更准确地表达金融市场的异常波动情况。
然而，非参数GARCH模型也存在一些限制。
首先，该方法需要对数据进行分箱，而箱宽的选择会对波动率估计结果产生影响。
其次，由于计算每个箱子的参数估计需要大量的计算资源和时间，在处理大规模数据时可能面临挑战。
总而言之，非参数GARCH模型是一种基于历史数据的波动率估计方法。
它通过对数据进行预处理、分箱和参数估计，最终计算出波动率。
非参数GARCH模型能够更准确地估计波动率，但也面临一些限制。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择适合的波动率估计方法。
金融工程学Chapter5
金融工程学 Chapter5引言金融工程是一门综合性学科，旨在运用数学、统计学和计算机科学等工具，研究金融市场和金融产品，以解决金融领域的实际问题。
本章将探讨金融工程学中的第五章内容，包括期权定价、风险中性测度以及波动率的估计等。
1. 期权定价1.1 期权的基本概念期权是一种金融衍生品，它给予持有者在未来某个时间点或某个特定时间段内购买或卖出某种资产的权利。
期权的价值在很大程度上取决于标的资产价格的变动。
1.2 期权定价模型1.2.1 Black-Schole模型Black-Schole模型是一个用于计算欧式期权定价的数学模型。
它假设市场中不存在任何交易费用和税收，并且市场是完全有效的。
在这个模型中，期权的价格是由标的资产的价格、执行价格、时间、无风险利率和标的资产的波动率来决定的。
1.2.2 套利定价原则套利定价原则是一种通过构建无风险套利组合来确定期权合理价格的方法。
这个原则基于市场无套利的假设，套利定价原则的核心思想是通过一系列交易来合成与期权相同的现金流。
1.3 期权定价的实证方法1.3.1 历史模拟法历史模拟法是通过使用历史价格和波动率来估计期权的价值。
这种方法的优点是计算简单，但缺点是对未来的不确定性没有考虑。
1.3.2 蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟法是一种基于随机数和模拟的方法，用于估计期权的价值。
这种方法通过生成许多随机价格路径，并计算每个路径上期权的价值，然后取平均值作为估计结果。
2. 风险中性测度风险中性测度是金融工程学中的重要概念，它给出了无套利投资策略的概率分布。
风险中性测度可以用于定价衍生品，管理风险以及进行投资决策。
风险中性测度是指在特定的投资环境下，投资者对未来收益的偏好是中性的，即对风险和收益没有明显的倾向。
2.2 风险中性测度的性质风险中性测度有以下几个重要的性质：•风险中性测度下的资产价格过程是一个马尔可夫过程，即未来的价格只依赖于当前的价格。
•在风险中性测度下，市场是完全有效的，不存在任何的套利机会。
基于GARCH模型的股价波动预测
基于GARCH模型的股价波动预测基于GARCH模型的股价波动预测一、引言股票市场中的波动性一直是投资者关注的焦点之一。
准确预测股价波动有助于投资者制定合理的投资策略，降低风险并获得收益。
GARCH（Generalized AutoregressiveConditional Heteroscedasticity）模型是一种常用于金融市场波动预测的统计模型，本文将介绍GARCH模型的原理和应用，以及通过该模型进行股价波动预测的方法和步骤。
二、GARCH模型原理GARCH模型通过建模误差项的波动性，捕捉到股票市场的异方差性（Heteroscedasticity）。
GARCH模型基于时间序列分析的基本原理，认为过去的波动对未来波动有重要影响。
该模型通过拟合历史波动性数据，生成一个条件波动性序列，从而预测将来的波动性水平。
GARCH模型由ARCH（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）模型发展而来。
ARCH模型是通过引入滞后误差项的平方，捕捉到异方差性。
然而，ARCH模型只考虑到了平方的影响，而在金融市场中，波动性的影响可能是各种方面的。
GARCH模型在ARCH模型的基础上引入了滞后条件波动性的平方，将过去波动性的信息作为一个冗余变量，从而更好地捕捉到波动性的特征。
三、GARCH模型的应用GARCH模型广泛应用于金融市场，已成为预测股价波动性常用的统计模型。
GARCH模型的应用可以分为两个方面：条件波动性的建模和波动性预测。
1. 条件波动性建模条件波动性建模是GARCH模型的核心内容，通过拟合历史波动性数据，得到一个条件波动性序列。
条件波动性序列可以反映股票市场的波动性水平，投资者可以根据这一信息制定风险管理策略。
条件波动性建模的关键是选择适当的GARCH模型，常用的有GARCH(1,1)、GARCH(1,2)等。
2. 波动性预测GARCH模型的另一个重要应用是波动性预测。
利用garch模型求波动率的例子
利用garch模型求波动率的例子在本文中，我们将介绍如何使用GARCH模型来估计金融市场的波动率，并通过一个实际的例子来说明GARCH模型的应用。
首先，让我们对GARCH模型进行简单的介绍。
GARCH模型是由罗伯特·恩格尔（Robert F. Engle）在1982年提出的，用于描述时间序列数据的波动性。
GARCH模型结合了ARCH （自回归条件异方差）模型和ARIMA（自回归积分滑动平均）模型的特点，能够充分考虑序列数据的自回归性和波动性。
GARCH模型的基本形式为：\[ \sigma^2_t = \alpha_0 + \sum_{i=1}^{p}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2 +\sum_{j=1}^{q}\beta_j\sigma_{t-j}^2 \]其中，\(\sigma^2_t\)表示时间t的波动率，\(\varepsilon_t\)表示时间t的误差项，\(\alpha_0\)为常数项，\(\alpha_i\)和\(\beta_j\)为GARCH模型参数，p和q为模型的阶数。
通过最大似然估计或贝叶斯方法，可以估计GARCH模型的参数，并利用已有的数据来预测未来的波动率。
下面我们将通过一个具体的例子来说明如何应用GARCH模型。
假设我们有一组历史数据，包括某个金融资产的收盘价。
我们的目标是通过GARCH模型来预测未来的波动率，为投资决策提供参考。
首先，我们需要对收盘价数据进行预处理，包括计算收益率和对收益率数据进行平稳性检验。
然后，我们可以利用收益率数据来估计GARCH模型的参数。
假设我们使用R语言来进行GARCH模型的估计。
以下是一个简单的R代码示例，用于估计GARCH(1,1)模型的参数：```Rlibrary(rugarch)# 读入数据data <- read.csv("financial_data.csv")# 计算收益率returns <- diff(log(data$close))# 设置GARCH模型的阶数p <- 1q <- 1# 构建GARCH模型garch_model <- ugarchspec(variance.model = list(model = "sGARCH", garchOrder = c(p, q)), mean.model = list(armaOrder = c(0, 0), include.mean = FALSE), distribution.model = "std") # 估计GARCH模型的参数garch_fit <- ugarchfit(spec = garch_model, data = returns)# 打印模型参数print(garch_fit)```在上面的代码中，我们首先读入收盘价数据，并计算收益率。
GARCH模型介绍
GARCH模型介绍GARCH模型是一个用来描述金融时间序列数据中波动率的统计模型。
它的全称是Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Model，可以翻译为广义条件异方差模型。
Yt=μ+εtεt=σtZtσt^2=α0+α1εt-1^2+β1σt-1^2其中Yt是观测序列，εt是误差项，σt^2是条件方差（也称为误差的条件方差），μ是均值，Zt是独立同分布的标准正态随机变量。
α0、α1和β1是模型的参数，它们表示波动率的变化情况。
α1和β1分别表示过去的误差项和过去的条件方差对波动率的影响程度，α0是模型的常数项。
GARCH模型的优点是可以较好地预测金融时间序列数据的波动性，特别是对于存在波动簇（volatility clusters）的数据更加适用。
波动簇是指金融市场上波动率出现较长时间的高值或低值，而GARCH模型可以捕捉到这种特征。
另外，GARCH模型还具有良好的统计性质。
它是一个根据已观测数据进行估计和预测的参数模型，使用最大似然估计方法进行参数估计。
在理论上，GARCH模型可以利用更多的历史数据进行模型拟合，从而提高预测的准确性。
然而，GARCH模型也存在一些局限性。
首先，GARCH模型假设波动率是稳定的，但实际金融市场中的波动率常常是非稳定的，因此GARCH模型可能无法准确描述这种非平稳的情况。
其次，GARCH模型对参数的估计结果可能会受到数据样本的选择和模型设定的影响，这就需要研究人员在使用GARCH模型时进行验证和优化。
为了解决这些问题，研究人员在GARCH模型的基础上提出了各种改进和扩展模型。
比如，EGARCH模型可以克服GARCH模型对波动率非平稳性的假设，TGARCH模型可以描述对称和非对称的波动率响应，NGARCH模型可以描述波动率对不同时间尺度的变化。
总的来说，GARCH模型是一个广泛应用于金融时间序列数据分析和预测的模型。
garch模型公式及系数含义
garch模型公式及系数含义Garch模型是金融研究的一个重要的概念，它有助于研究金融市场的波动性和风险，也为投资者提供了设定投资组合投资策略的依据，因此，Garch模型一直受到金融学者和实践者的青睐。
Garch模型是根据金融市场收益率时序序列的变动特征，以及实现市场价格波动的根源机制，建立的一种定量的模型，又称为自回归条件异方差（ARCH）或自回归条件异方差指数（GARCH）模型。
Garch 模型基于一种称为自回归条件异方差（ARCH）的概念，该概念描述的是不同资产的波动率就是其过去的收益率变异的函数，而不是一个固定的值，这一概念可以追溯到1979年Robert Engle发表的论文中。
Garch模型包含两个方面：第一是ARCH模型，其假定金融市场收益率具有自回归性，也就是说，未来的收益率可以由前一个时期的收益率来预测。
第二是GARCH模型，该模型则考虑了收益率变动的条件异方差性，其主要考虑的是收益率的变化程度，它将估量未来收益率的波动性，也就是收益率的连续变动性。
尽管Garch模型的原理简单，但它的公式却很复杂，其公式为：σt2=ω +σt1 +σt-2其中，ω是Garch模型中的常量参数；α与β是Garch模型中的动态参数，也可以称为Garch模型的权重系数；σt,σt1,σt-2分别指第t个时间序列的收益率波动性、第t-1个和第t-2个时间序列收益率波动性。
Garch模型中的常量参数ω即被称为Garch模型的拉伸参数，它表示当收益率波动性在t-2时段为零时，t时段波动性的基础水平，其值的大小取决于金融市场的稳定程度，值越小收益率的变动越小，市场稳定程度也越高，值越大，收益率变动也越大，市场不稳定程度也越高。
Garch模型中的动态参数α与β也可以称为Garch模型的系数。
α表示当t时刻收益率波动性变动时，t-1时刻收益率波动性对t时刻收益率波动性的影响程度。
它与t-1时刻收益率波动性的大小有关，如果t-1时段收益率变动较大，则α应该较大以反映t-1时段的影响，反之亦然。
garch模型公式及系数含义
garch模型公式及系数含义GARCH模型，即动态条件变异率模型，是由美国经济学家Robert F. Engle于1982年提出的，旨在模拟金融市场中的资产收益率的波动。
这种随机序列的特征是波动会受到过去的波动所影响，即短期内波动会重复出现，而长期内则会稳定。
GARCH模型的公式为：$sigma_{t}^{2}=omega+alpha sigma_{t-1}^{2}+beta varepsilon_{t-1}^{2}$其中，$sigma_{t}$为t时刻的波动值（即股票收益率的平方值），$omega$, $alpha$和$beta$都是调整参数，$varepsilon_{t-1}$为t-1时刻的误差项值，即收益率与预期之间的差值。
在GARCH模型中，ω、α和β都是可调整参数。
ω是平均波动率，表示波动率均值；α表示过去收益率波动对当期波动率的影响；β表示过去收益率偏差对当期波动率的影响。
ω、α和β的取值受到许多因素的影响，但通常α的取值应该大于0，β的取值应该大于α。
如果α较大，表示过去波动率对当期波动率的拉动力很大；如果β较大，表示过去收益率偏差对当期波动率的拉动力很大。
GARCH模型公式及参数的调整，是根据股票收益率的真实数据，经过最小方差估算、最大似然估算或蒙特卡洛模拟等方法，来确定GARCH模型的参数值的。
有了GARCH模型，对股票收益率的波动和变化可以更好的模拟，可以更好的预测股票的收益率，进而更好的进行投资决策。
GARCH模型允许分析师根据市场情况来量化资产收益率的波动性，从而更好地进行投资决策。
GARCH模型可以用来估计投资者所面临的波动风险，从而更有效地控制投资风险，及时根据市场来调整投资组合。
GARCH模型可以用来估计未来收益率的波动。
经过有效调整，GARCH模型可以有效地预测资产收益率的波动，从而更好地进行投资决策，从而更有效地控制投资风险。
GARCH模型的应用可以提供对市场变化的更深入的认识，从而用于企业投资策略的拟定，可以更全面地分析市场动态，从而提高投资绩效。
波动率的估计(ARCH模型)课件
ARCH(自回归条件异方差)模型的基本思想
ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下， 某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布。该 正态分布的均值为零，方差是一个随时间变化 的量(即为条件异方差)。并且这个随时间变化 的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合 (即为自回归)。这样就构成了自回归条件异方 差模型。
等价于如下形式
ˆt2 t2 1(1)ˆt2 1
指数滑动平均
可以选择的范围是0.25~0.02之间。 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较
大的，否则选择较小的 。
指数滑动平均计算结果
140
120
100
80
60
40
20
0 1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850
数学表达： Yt = βXt＋εt (1)
其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， εt为误差项。
2 t
的特点
令 t t2Et1(t2) 即t t2 ht
重新表述ARC2
对金融资产的收益率作折线图： P14 图1.3.3
波动率的重要性
股票(期权)定价 P193,公式(5.1) 货币政策制定 证券管理 风险分析
估计波动率的几种方法
历史波动率Historical Volatility 滑动平均moving average 指数加权滑动平均Exponentially
n越大，曲线越平滑，n越小曲线越不平滑； 如果市场没有什么异常变换，n的选择对波
动率预测影响不大； n大时如果在某个时刻收益率出现异常，那
么计算的波动率就会在今后一段时间都 大，持续的时间长度是n的大小；
指数滑动平均(EWMA)
第 5 章 波动率模型
第5章波动率模型前面介绍的模型都是预测被解释变量的期望值，而ARCH，GARCH模型预测的是被解释变量的方差。
ARCH模型在分析金融时间序列中有着广泛的应用。
5.1 问题的提出以前介绍的异方差属于递增型异方差，即随机误差项方差的变化随解释变量的增大而增大。
但利率，汇率，股票收益等时间序列中存在的异方差却不属于递增型异方差。
例如，汇率，股票价格常常用随机游走过程描述，x t = x t -1 + u t(5.1)其中u t为白噪声过程。
1971M01-2004M10日元兑美元汇率时间序列及差分序列见图5.1和图5.2。
图5.1 日元兑美元汇率序列ER_sa 图5.2 日元兑美元汇率差分序列（收益）图5.3 收益绝对值序列图5.4 D(ER_sa)的平方金融时间序列具有如下的特征（1）过程的方差不仅随时间变化，而且有时变化得很激烈。
（2）按时间观察，表现出“波动集群”（volatility clustering）特征，即方差在一定时段中比较小，而在另一时段中比较大。
（3）取值的分布是“高峰厚尾”（leptokurtosis and fat-tail）特征，即均值附近与尾区的概率值比正态分布大，而其余区域的概率比正态分布小。
（4）取值的分布是“非对称”（asymmetries）特征，即在平均收益率之下和之上的分布不对称。
图5.5给出高峰厚尾分布示意图。
图5.6给出一个高峰厚尾分布实例。
显然现期方差与前期的“波动”有关系。
描述这类关系的模型称为自回归条件异方差（ARCH）模型（Engle 1982年提出）。
ARCH模型的应用价值（1）通过预测x t或u t的变化量评估股票的风险；（2）可以预测x t随时间变化的置信区间；（3）对条件异方差进行正确估计后可以使回归参数的估计量更具有有效性。
高峰厚尾分布曲线正态分布曲线图5.5 高峰厚尾分布特征示意图图5.6 日元兑美元汇率差分序列（收益）分布直方图正态分布密度峰值上限=（最大组频数 / 观测值总个数）/ 组距=0.3989。
第五章波动率的估计ARCH模型
滑动平均波动率
30，60，120，240天滑动平均 60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
H30V H60V
H120V H240V
滑动平均波动率
30天与240天 60
50
40
30
20
10
0 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
数学表达： Yt = βXt＋εt (1)
其中， Yt为被解释变量， Xt为解释变量， εt为误差项。
2 t
的特点
令 t
2 t
Et
1
(
2 t
)
即 t
2 t
ht
重新表述ARCH（1）模型：
2 t
0
1
2 t 1
t
能够证明 t 是白噪声过程，即
E(t ) 0
q
2 tq
2 t
0
1
2 t 1
.
.
.
q
2 tq
wt
wt ht (vt2 1)
建立模型
检验残差是否存在条件异方差 观察残差平方的偏自相关函数，如果q步
截尾，则阶数为q 对残差平方使用Q检验，判断是否存在自
相关 使用LM检验法
LM检验
et2 0 1et21 qe2tq t
11????ttttvvvarvvearch过程的特点?t是arch1过程tt?th???2?t11?0?th??arch1过程的无条件均值条件均值无条件方差和条件方差?arch1过程的无条件均值?无条件方差0??tttvhee?00??1?1var???t?arch1过程的条件均值?条件方差0?1??ttehh?arttt??var1?arch过程的性质该过程表明如果?t1异常的偏离他的条件期望0那么?t的条件方差要比通常情况下大所以有理由预期?t会比较大
第五章波动率的估计(其他ARCH类模型)
例3
二步预测
期权风险价值计算
线性模型
p option t
p option t 1
(
p asset t
p ) asset t 1
p p option t
option t 1
(
p asset t 1
)
p asset t
p asset t 1
p options t 1
p options t 1
p asset t 1
Var
yt
0 1 1
2
2
2 2
01
11 2 1 312
证明： E yt 0 / 11
E yt E ht E t
0 1E
2 t 1
其中，E
2 t
E
ht
E
vt2
0 1E
2 t 1
E
2 t
0 / 11
E
yt
0
01 1 1
0 / 11
0.3 VaR P0 * (0.2 2.33* 0.3) 49.9
单个股票资产的VaR
与对应的标准正态分布的分位数 1( ) 当＝0.05时，1( ) ＝－1.65 当＝0.01时， 1( ) ＝－2.33 与对应的收益率的分位数 1 ( )
S表示股票的现值
风险价值＝ S(ˆ 1( )ˆ )
2004年谁是中航油的里森？
中航油事件
中国航油(新加坡)股份有限公司，因从事石油期 货合约交易亏损5.5亿美元。这一被称为当年巴 林银行丑闻重演的事件，在当地和国际市场引起 震惊。
面对如此巨大的风险，一定要有严格的内部控制 和外部监管机制。中航油内部规定，如果每笔交 易损失超过35万美元，应该报告公司最高层，如 果每笔交易的损失达到50万美元，则应立即中止 交易，以控制风险通过杠杆效应进一步扩大。但 不知为什么这一机制最终失灵了。
Garch模型
Garch模型Garch⼩声逼逼⼀句，学长有毒吧~~让我进⾦融的东东，我懂个锤⼦⾦融时间序列⾦融资产的波动是⼀个⾮常重要的概念，它与资产的风险直接相关，因此对资产的波动模式进⾏建模是量化投资中的⼀个重要课题。
⼀般来讲，波动建模有以下量化投资⽅向的应⽤：期权定价：波动率是影响期权价值的重要因素；风险度量和管理：在VaR的计算中波动率是主要影响因素，根据波动率决定交易策略的杠杆；资产价格预测和模拟：通过Garch簇模型对资产价格的时间序列进⾏预测和模拟；调仓：盯住波动率的调仓策略，如⼀个tracing指数的策略；作为交易标的：在VIX、ETF以及远期中波动率作为标的可以直接交易。
上⾯的⼏⾏确实没明⽩，正确性有待考证许良：股票收益率中的⽅差⼀般就是表⽰风险嗯，这个check了⼀下，债券/股票等的收益率的波动性（volatility）就是风险，就是滚动风险。
⾦融时间序列分析的核⼼是找到资产收益率序列的⾃相关性，并利⽤它。
同⽅差&&异⽅差在讲Garch模型之前，我们必须对同⽅差和异⽅差的概念进⾏回顾。
在时间序列的弱平稳条件中⼆阶矩是⼀个不变的、与时间⽆关的常数。
在理想条件下，如果这个假设是成⽴的，那么⾦融时间序列的预测将会变得⾮常简单，采⽤ARIMA等线性模型就能做不错的预测。
然⽽采⽤Ariam等模型对⾦融事件序列建模效果是⾮常差的，原因就在于⾦融事件序列的异⽅差性。
这种⾮平稳性⽆法⽤简单的差分去消除，其根本原因在于其⼆阶矩随时间t变化⽽变化。
这⾥说的⽅差是回报率(收益率)简单的理解就是说对于普通的时间序列，⼀般采⽤取n差分或者取对数或者滞后，就可以使时间序列平稳，这个的前提是⽅差不随时间变化也就是同⽅差（此时⽅差是个常数，因为是不随时间变化的），这个时候可以使⽤ARIMA进⾏预测了。
但是⾦融时间序列的⽅差是随着时间变化⽽变化的,⽅差不在是⼀个常数了。
异⽅差描述的是⾦融时间序列⼤的趋势，时间跨度相对较长。
第五章波动率的估计(GARCH模型)
α 1 g (vt −1 ) + ... + α q g (vt − q )
g (vt ) = {| ν t | − E (| ν t |)} + θν t
θ>0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负 扰动要大；θ<0同等程度的正扰动引起条件方差 的变化比负扰动要小; θ=0同等程度的正扰动引 起条件方差的变化与负扰动相等。
变形有 ht = α 0 + β 1 ht −1 + L + β p ht − p + α 1ε t2−1 + L + α q ε t2− q
ε t2 = α0 + wt − β1wt −1 −L− β p wt − p
+ (β1 + α1 )ε + L+ (β p + αr )ε
2 t −1 2 t −r
GARCH(1,1)的无条件方差
练习题1：求GARCH(1,2)的向前一步和向 前两步预测公式 GARCH(1,2)模型：
ε t = ht vt
ht = α 0 + β 1 ht −1 + α 1ε t2−1 + α 2 ε t2− 2
vt 是独立同分布的白噪声过程，并且
E (vt ) = 0, Var (vt ) = 1.
= α 0 + (α1 + β1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
hT (l ) = α 0 + (α 1 + β 1 ) hT (l − 1) l >1
对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成
α 0 [1 − (α 1 + β1 ) l −1 ] hT (l ) = + (α 1 + β 1 ) l −1 hT (1) 1 − α 1 − β1 α0 → , (l → ∞) 1 − α 1 − β1
用GARCH模型预测股票指数波动率
用G A R C H模型预测股票指数波动率目录Abstract .......................................................................................................................................1.引言..........................................................................................................................................2.数据..........................................................................................................................................3.方法..........................................................................................................................................3.1．模型的条件平均 ............................................................................................................3.2. 模型的条件方差 .............................................................................................................3.3 预测方法..........................................................................................................................3.4 业绩预测评价 ..................................................................................................................4.实证结果和讨论 ......................................................................................................................5.结论.......................................................................................................................................... References...................................................................................................................................AbstractThis paper is designed to make a comparison between the daily conditional variance through seven GRACH models. Through this comparison, to test whether advanced GARCH models are outperforming the standard GARCH models in predicting the variance of stock index. The database of this paper is the statistics of 21 stock indices around the world from 1 January to 30 November 2013. By forecasting one –step-ahead conditional variance within different models, then compare the results within multiple statistical tests. Throughout the tests, it is found thatthe standard GARCH model outperforms the more advanced GARCH models, and recommends the best one-step-ahead method to forecast of the daily conditional variance. The results are to strengthen the performance evaluation criteria choices; differentiate the market condition and the data-snooping bias.This study impact the data-snooping problem by using an extensive cross-sectional data establish and the advanced predictive ability test. Furthermore, it includes a 13 years’ period sample set, which is relatively long for the unpredictabilit y forecasting studies. It is part of the earliest attempts to inspect the impact of the market condition on the forecasting performance of GARCH models. This study allows for a great choice of parameterization in the GARCH models, and it uses a broad range of performance evaluation criteria, including statistical loss function and the Mince-Zarnowitz regressions. Thus, the results are more robust and diffusely applicable as compared to the earliest studies.KEY WORDS: GARCH models; volatility, conditional variance, forecast, stock indices.1.引言波动性预测可以运用到投资组合选择，期权定价，风险管理和以波动性为基础的交易策略。
波动率于garch模型
1.1.波动率波动率是用来描述证券价格、市场指数、利率等在它们均值附近上下波动幅度的术语，是标的资产投资回报率的变化程度的度量。
股票的波动率σ是用于度量股票所提供收益的不确定性。
股票通常具有15%-50%之间的波动率。
股票价格的波动率可以被定义为按连续复利时股票在1年内所提供收益率的标准差。
当∆t 很小时，2t σ∆近似的等于在∆t 时间内股票价格变化百分比的方差。
这说明σ ∆t 近似的等于在∆t 时间内股票价格变化百分比的标准差。
由标准差来表述股票价格变化不定性的增长速度大约为时间展望期长度的平方根（至少在近似意义下）。
1.2.由历史数据来估计波动率为了以实证的方式估计价格的波动率，对股票价格的观察通常是在固定的时间区间内（如每天、每星期或每个月）。
定义n+1——观测次数；S i ——第i 个时间区间结束时变量的价格，i =0，1，…n ； τ——时间区间的长度，以年为单位。
令1ln ,0,1,,;i i i S u i n S -⎛⎫== ⎪⎝⎭1.2.1u i 的标准差s 通常估计为s = 1.2.2或s =1.2.3其中u 为i u 的均值。
由于iu 的标准差为因此，变量s 是所以σ本身可以被估计σ∧，其中σ∧=可以证明以上估计式的标准差大约为/σ∧。
在计算中选择一个合适的n 值并不很容易。
一般来讲，数据越多，估计的精确度也会越高，但σ确实随时间变化，因此过老的历史数据对于预测将来波动率可能不太相干。
一个折中的方法是采用最近90～180天内每天的收盘价数据。
另外一种约定俗成成俗的方法是将n 设定为波动率所用于的天数。
因此，如果波动率是用于计算量年期的期权，在计算中我们可以采用最近两年的日收益数据。
关于估计波动率表较复杂的方法涉及GARCH 模型与EWMA 模型，在下文中将进行详细介绍。
1.3.隐含波动率首先对于一个无股息股票上看涨期权与看跌期权，它们在时间0时价格的布莱克-斯科尔斯公式为012()()rT c S N d Ke N d -=-1.3.1201()()rT p Ke N d S N d -=---1.3.2式中21d =221d d==-函数N(x)为标准正态分布变量的累积概率分布函数。
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1
2 t 1
1ht1
0
1
2 t 1
1 ( 0
1
2 t2
1ht2 )
0
(1
1)
1
2 t 1
1
1
2 t2
12 ht 2
0 (1
1
12
)
1
2 t 1
2
2 t2
2
2 t3
是无穷阶ARCH过程
2)
过程
2 t
是一个ARMA(r,p)过程,其中
r
max(p, q)
对于GARCH(p,q),
t ht vt
GARCH性质
3）参数i , i=1,2,…,q和i , i=1,2,…,p大 于零是保证条件方差为正的充分条件,而 不是必要条件。
4)可以证明 {2t}平稳的条件是1+…+q+1+…+ p <1。
GARCH预测
考虑GARCH(1,1)模型，假定T为预测原点。对 向前一步预测，我们有，
hT 1
0
1
2 T
1hT
于是
hT
(1)
E(hT 1
|
FT
)
0
1
2 T
1hT
GARCH（1，1）的向前多步预测
对向前多步预测，我们用
2 t
ht vt2
将
GARCH(1,1)公式改写为
ht1 0 1htvt2 1ht
0 (1 1)ht 1ht (vt2 1)
利用 E(vT21 1| FT ) 0 从而得GARCH(1,1)以T为 预测原点的向前两步预测公式
金融时间序列模型
第五章：波动率的估计
金融时间序列模型
其它ARCH类模型
ARCH(q)模型
t ht t
ht
0
1
2 t 1
q
2 tq
Vt是独立白噪声过程
为反映收益率波动的异方差性， ARCH模型将条件
方差 ht 表示为滞后残差平方的线性函数
引入GARCH模型的背景：
ARCH模型虽然简单但为了充分描述波动 性聚类的特点往往需要很多参数，即要 提高ARCH模型的阶数p。但p较大时，参 数估计不再精确，由此计算出的条件方 差也不精确，存在较大误差。为克服这 一问题，Bollerslev1986提出了广义的 ARCH模型。
hT (2) E(hT 2 | FT )
E[ 0 (1 1 )hT 1 1hT 1 (vT21 1) | FT ] 0 (1 1 )hT (1)
一般地，GARCH(1,1)模型的向前预测l 步的公式
hT (l) 0 (1 1 )hT (l 1) l 1
对上式重复迭代我们得到向前l步预测能够写成
ht
2 t
0
1
(
2 t 1
ht
1
)
p
(
2 t
p
ht p )
1
2 t 1
p
2 t
p
1
2 t 1
q
2 tq
2 t
变形有
ht
0
1ht1
phtp
1
2 t 1
q
2 t q
令 wt
2 t
ht 合并同类项有
2 t
0
wt
1wt 1
p wt p
j q 时 j 0
(1
1
)
2 t 1
(
p
r
)
2 tr
l p 时 l 0
实际例子5.3
ARCH与GARCH模型一些共同的缺点
不能反应波动率的非对称特点 约束强，要求系数非负，如果要求高阶
矩存在，还有更多的约束 不能解释为什么存在异方差，只是描述
了条件异方差的行为
GJR模型
反映波动率的非对称性
t ht t
ht
k0
1ht1
phtp
1 t21
2
q tq
ARCH-M模型
yt X t g(ht ) t
g()是条件方差的函数通常是ht ，ln ht
t ht t
ht
0
1
2 t 1
p
2 t q
E(vt ) 0, Var(vt ) 1.
ARMA和GARCH过程的比较
性质
髙斯
ARMA
白噪声
GARCH ARMAGARCH
条件均值 条件方差 条件分布 边际均值 和方差 边际分布
常数 常数 正态 常数
正态
非常数 常数 正态 常数
正态
0 非常数 正态 常数
厚尾
非常数 非常数 正态 常数
厚尾
实际例子5.2
而
wt
2 t
ht 满足：
E(wt ) 0
cov(wt , wt j ) 0, j 1
但 wt 一般不是独立同分布的
GARCH(1,1)过程的峰度公式
GARCH(1,1)过程的峰度刻画波动率的厚尾性
峰度=4阶原点矩/标准差的四次方
正态分布的峰度=3意味着 E(vt4 ) 3
E(
4 t
GARCH（p,q） 广义条件异方差模型
t ht t
ht
0
1ht1
phtp
1
2 t 1
q
2 tq
相比ARCH模型：
1) GARCH (p,q)模型是ARCH模型的扩展,
即GARCH模型的条件方差不仅是滞后残差
平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线
性函数。
2) GARCH模型适合在计算量不大时,方便地描述了
高阶的ARCH过程,因而具有更大的适用性
GARCH(1,1)
t ht t
ht
0
1 ht 1
1
2 t 1
ht是条件方差，随时间变化而变化。
无条件均值 E( t ) 0
无条件方差
Var ( t
)ห้องสมุดไป่ตู้
1
0 1
1
GARCH(1,1)的性质： 1) GARCH(1,1)等价一个无穷的ARCH过程
ht
0
hT
(l)
0[1 (1 1 1
1 )l1 ] 1
(1
1 )l1 hT
(1)
0 , (l ) 1 1 1
GARCH(1,1)的无条件方差
练习题1：求GARCH(1,2)的向前一步和向
前两步预测公式
GARCH(1,2)模型：
t ht vt
ht
0
1ht1
1
2 t 1
2
2 t2
vt 是独立同分布的白噪声过程，并且
>0同等程度的正扰动引起条件方差的变化比负 扰动要大；<0同等程度的正扰动引起条件方差 的变化比负扰动要小; =0同等程度的正扰动引 起条件方差的变化与负扰动相等。
EGARCH模型
1）重要特征是引入不对称性 2）参数没有大于0的约束，因为对求对数后
的条件方差建模，，可以保证方差为对数。 3）可以假设t~广义误差分布 4）假设vt是正态分布时E(|vt|)= (2/)1/2
)
3E (ht2
)
GARCH(1,1)过程的峰度
K
E(
4 t
)
3
612
[
E
(
2 t
)]2
1 212 (1 1 )2
GARCH性质
1)当p=0时,GARCH过程成为ARCH过程,ARCH过程 是GARCH的特例，这也是该过程被称为广义 的原因。
2)和GARtC-1H,过t-程q的的函含数义。是条件方差ht是ht-1,…ht-p
S
1
2 t 1
S-1如是果虚拟t-1变0则量S，-1如取果值为t-10<。0，则S-1取值为1， 通过画出响应曲线，看到市场利空和利好
消息对波动率的不同影响
GJR模型
响应曲线 20
15
SIG2
10
5
0
-10
-5
0
5
Z
EGARCH 指数广义条件异方差模型
ln ht k0 1 ln ht1 r ln htr 1g(vt1 ) ... q g(vtq ) g(vt ) {| t | E(| t |)} t