反常积分与无穷级数的对数审敛法

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［ 作者简介］ 毛一波（ *J$* H ） ，男，四川广安人，讲师，硕士，主要从事基础数学研究E ［ 基金项目］ 重庆文理学院科研项目资助（ N"##M?+D" ） E
毛一波
（ 重庆文理学院! 数学与计算机科学系， 重庆! 永川! D#"*)# ）
［ 摘! 要］ 利用比较判别法， 给出了无穷积分和瑕积分敛散性的对数判别法； 对比无穷积分和 无穷级数， 同时给出了无穷级数的对数审敛法E ［ 关键词］ 无穷积分； 瑕积分； 无穷级数； 对数审敛法 ［ 中图分类号］ F*$"E "! ［ 文献标识码］ =! ［ 文章编号］ *)$G H I#*" （ "##$ ） #* H ##*J H #" 研究函数的定积分， 常常有两个比较重要的约束条件， 即积分区间的有界性和被积函数的有界 性E 将这两个约束条件取消， 便得到了定积分的两种形式的推广： 将函数的积分从积分区间有界扩展 到了积分区间无界的无穷积分和将被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分E 这两种积分就是通常 所说的反常积分E 但是， 反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题E 关于反常积分敛散性的判定， 在目前 — —对数审敛法， 这是现有文献 的文献中有不少介绍E 笔者就反常积分的敛散性提出一种新的判别法— 所没有讨论过的E *! 无穷积分的对数审敛法 定理 *! 设函数 （ ! "）为定义在区间 ［ * ，# K ）上的正值函数， 如果存在常数 ! $ * 及 % $ * 使得 & 1/（ ! "） 对任意的 " $ % ， 则无穷积分 )!， 1/" " $ %有 & 1/（ ! "） 则无穷积分 %* ， 1/"
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反常积分与无穷级数的对数审敛法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 毛一波， MAO Yi-bo 重庆文理学院,数学与计算机科学系,重庆,永川,402160 重庆文理学院学报（自然科学版） JOURNAL OF CHONGQING UNIVERSITY OF ARTS AND SCIENCES(NATURAL SCIENCE EDITION) 2007，26(1) 0次
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当瑕点为右端点时也有类似情形% 此外， 定理 # 也有类似于定理 " 的一般形式% ,+ 无穷级数的对数审敛法 无穷级数的敛散性与无穷积分的敛散性密切相关， 最能体现二者之间关系的当数无穷级数的积 分审敛法% 因此， 对比无穷级数和无穷积分的关系， 关于无穷级数也有类似的对数审敛法%
定理 , 可借助 ) 级数的敛散性进行证明% 例+ 对任意的实数 % ， 无穷积分 事实上，
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（ 上接第 ), 页） ［ 参考文献］
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（ ! "） >" 发散E
定理 * 有如下极限形式： 设函数 （ ! "）为定义在区间 ［ * ，# K ）上的正值函数， 且 17L （*） 当 * ( ! % # K 时， 无穷积分 （"） 当 ! ( * 时， 无穷积分 下面就极限形式给出证明E & 1/（ ! "） ! &* ’ ! 知， 对" ’ $#， 存在 % $ * ， 使得对任意 1/" " #K #K & 1/（ ! "） * * * 的 " $%， 有 $ !&"， 即（ ! "）( ! & " ’ ! #* ； 而无穷积分 从而 ) > " 当 ) $ * 时收敛， % % 1/" " " "" 证明! 当 * ( ! ( # K 时， 由 17L
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