概率论答案 - 李贤平版 - 第四章

第四章 数字特征与特征函数

1、设μ是事件A 在n 次独立试验中的出现次数，在每次试验中p A P =)(，再设随机变量η视μ取偶

数或奇数而取数值0及1，试求ηE 及ηD 。 2、袋中有k 号的球k 只，n k

,,2,1 =，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。

3、随机变量μ取非负整数值0≥n 的概率为

!/n AB p n n =，已知a E =μ，试决定A 与B 。

4、袋中有n 张卡片，记号码1,2,…,n,从中有放回地抽出k 张卡片来，求所得号码之和μ的数学期望及方差。

5、试证：若取非负整数值的随机变量ξ的数学期望存在，则∑∞

=≥=1

}{k k P E ξξ

。

6、若随机变量ξ服从拉普拉斯分布，其密度函数为,,21)(|

|∞<<∞-=--x e x p x λμλ

0>λ。试求

ξE ，ξD 。

7、若21,ξξ相互独立，均服从),(2σa N ，试证π

σξξ+

=a E ),max(21。

8、甲袋中有a 只白球b 只黑球，乙袋中装有α只白球β只黑球，现从甲袋中摸出()c c a b ≤+只球放

入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。

9、现有n 个袋子，各装有a 只白球b 只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第

二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n 个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n 次摸球中所摸得的白球总数为n S ，求

n S 。

10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体

质重量，试说明这样做的道理。 11、若ξ的密度函数是偶函数，且2

E ξ

<∞，试证ξ与ξ不相关，但它们不相互独立。

12、若,ξη的密度函数为22

221,1

(,)0,1x y p x y x y π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩

，试证：ξ与η不相关，但它们不独立。

13、若ξ与η都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。 14、若,U

aX b V cY d =+=+，试证,U V 的相关系数等于,X Y 的相关系数。

15、若123,,ξξξ是三个随机变量，试讨论（1）123,,ξξξ两两不相关；

（2）123123()D D D D ξξξξξξ++=++；（3）123123E E E E ξξξξξξ=⋅⋅之间的关系。

16、若,ξη服从二元正态分布，,1,,1E a D E b D ξ

ξηη====。证明：ξ与η的相关系数cos r q π=，

其中{()()0}q P a b ξη=--<。

17、设(,)ξη服从二元正态分布，0,1,E E D D r r ξηξ

ηξη=====，试证：max(,)E ξη

18、设ξ与η独立，具有相同分布2(,)N a σ，试求p q ξη+与u v ξη+的相关系数。

19、若ξ服从2(,)N a σ，试求||k E a ξ-。

20、若α及β分别记二进制信道的输入及输出，已知{1},{0}1,P p P p αα====-

{11}P q βα===，}{01}1,{10},P q P r βαβα===-==={00}1P r βα===-，试求

输出中含有输入的信息量。

21、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，

试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。 22、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。

23、在贝努里试验中，若试验次数v 是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要

条件，是v 服从普阿松分布。

24、设{}k ξ是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和12v ηξξξ=++ ，其中v 是

随机变量，它与{}k ξ相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明

2,()k k k E Ev E D Ev D Dv E ηξηξξ=⋅=⋅+⋅。

25、若分布函数()1(0)F x F x =--+成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的

特征函数是实的偶函数。 26、试求[0,1]均匀分布的特征函数。 27、一般柯西分布的密度函数为

2

2

1

(),0()

p x x λ

λπλμ=

⋅

>+-。证它的特征函数为

e x p {||}

i t t μπ

-，利用这个结果证明柯西分布的再生性。

28、若随机变量

ξ

服从柯西分布，

0,1μλ==，而ηξ

=，试证关于特征函数成立着

()()()f t f t f t ξηξη+=⋅，但是ξ与η并不独立。

29、试求指数分布与Γ-分布的特征函数，并证明对于具有相同λ值的Γ-分布，关于参数r 有再生性。 30、求证：对于任何实值特征函数

()f t ，以下两个不等式成立：

21(2)4(1()),1(2)2(())f t f t f t f t -≤-+≥。

31、求证：如果

()f t 是相应于分布函数()F x 的特征函数，则对于任何x 值恒成立：

1lim

()(0)(0)2T itx

T T f x e dt F x F x T --→∞=+--⎰。

32、随机变量的特征函数为()f t ，且它的n 阶矩存在，令0

1log (),k

k t d X f t k n i dt =⎡⎤=≤⎢⎥⎣⎦，称k X 为

随机变量的k 阶半不变量，试证b ηξ=+（b 是常数）的(1)k k >阶半不变量等于k X 。 33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。

34、设12,,,n ξξξ 相互独立，具有相同分布2(,)N a σ试求1n ξξξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

的分布，并写出它的数学期望及协方差阵，再求1

1n

i i n ξξ==∑的分布密度。

35、若ξ服从二元正态分布(0,)N ∑，其中4221⎛⎫

∑=

⎪⎝⎭

，试找出矩阵A ，使A ξη=，且要求η服从非退化的正态分布，并求η的密度函数。

36、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。 37、若(,)ξη的分布为

1212121212212!

(,)(1)!!()!

k k n k k i n p k k p p p p k k n k k ξη--===

---- 01i p <<

0≤≤k n i k k n 12+≤ 1,2

i =，（1）求随机变量ξ的边际分布；（2）求E (|)ηξ。 38、若,,r v ξ的取值是非负数，且()!

n

AB p n n ξ==,又8E ξ=，求?,?A B ==

39、设~(2,1),~(1,4)N N ξη且二者独立，求U =-ξη2 ,2V ξη=-的相关系数ρuv

40、某汽车站在时间t 内发车的概率为P(t)=1-e

t

-8，求某人等候发车的平均匀时间。

41、某厂生产的园盘的直径服从(,)a b 内的均匀分布，求园盘面积的数学期望。 42、搜索沉船， 在时间t 内发现沉船的概率为P t e

t

()()=->-10λλ， 求为了发现沉船所需要的平均