控制工程基础PPT课件(王积伟)第二章 数学模型
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控制工程基础第二章 控制系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数框图的简化
• 等效变换原则是：变换前后前向通道中的传递 函数的乘积应保持不变，回路中传递函数的乘 积应保持不变。即变换前后整个系统的输入输 出传递函数保持不变。
• 1、串联环节的等效变换规则 • 前一环节的输出为后一环节的输入的联接方式
称为环节的串联。当各环节之间不存在（或可 忽略）负载效应时，则串联联接后的传递函数 为：
时间 内并无输出，在 后，输出就完全等于从一开
始起的输入，且不再有其他滞后过程；即输出等于输
入，只是在时间上延迟了一段时间间隔 。
第二章 控制系统的数学模型
• 2.4 传递函数框图及其简化
• 传递函数方框图是控制系统的动态数学模型的 图解形式。可以形象直观地描述系统中各环节 间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传 递、变换过程。
数学模型动 静态 态模 模型 型
• 静态模型：一般是不含时间变量t的代数 方程，描述系统的静态特性，即平衡状 态下各变量间的对应关系。
• 动态模型：描述系统的动态特性，即在 运动过程中随时间变化的各变量间的相 互关系，数学表达式是含时间变量t的微 分方程、传递函数或频率特性。
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
• 传递函数求解示例 • 之前例1中求得机械位移系统的微分方程为
• 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：
T 2 s2 X (s ) 2T(s) X X (s ) k(s F )
• 按照定义，系统的传递函数为：
G(s)X F((ss))T2s2k2T s1
第二章 控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型
G (s)X X o i((s s))X X 1 i( (s s) )X X 1 o((s s))G 1(s)G 2(s)
控制工程基础第2章 控制系统的动态数学模型 PPT精品课件
❖ 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在 建立状态空间模型时要求），消去中间变量，建 立适当的输入输出模型或状态空间模型。
2020/2/29
8
控制工程基础
实验法－基于系统辨识的建模方法
❖ 已知知识和辨识目的
❖ 实验设计--选择实验条件
❖ 模型阶次--适合于应用的适当的阶次
❖ 参数估计--最小二乘法
当电机电枢电感较小时, 通常可忽略不计， 系统微分方程可简化为
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26
控制工程基础
➢小结
✓物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法）
✓从动态性能看，在相同形式的输入作用 下，数学模型相同而物理本质不同的系统 其输出响应相似。相似系统是控制理论中 进行实验模拟的基础
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27
控制工程基础
✓通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容等）的个数； 因为系统每增加一个独立储能元，其内部就 多一层能量（信息）的交换
✓系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
2020/2/29
10
控制工程基础
进给传动装置示意图及其等效的力学模型
2020/2/29
11
控制工程基础
组合机床动力滑台示意图 及其等效的力学模型
2020/2/29
12
控制工程基础
控制系统微分方程的列写
➢机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓质量
21
控制工程基础
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8
控制工程基础
实验法－基于系统辨识的建模方法
❖ 已知知识和辨识目的
❖ 实验设计--选择实验条件
❖ 模型阶次--适合于应用的适当的阶次
❖ 参数估计--最小二乘法
当电机电枢电感较小时, 通常可忽略不计， 系统微分方程可简化为
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控制工程基础
➢小结
✓物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法）
✓从动态性能看，在相同形式的输入作用 下，数学模型相同而物理本质不同的系统 其输出响应相似。相似系统是控制理论中 进行实验模拟的基础
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控制工程基础
✓通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容等）的个数； 因为系统每增加一个独立储能元，其内部就 多一层能量（信息）的交换
✓系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
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控制工程基础
进给传动装置示意图及其等效的力学模型
2020/2/29
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控制工程基础
组合机床动力滑台示意图 及其等效的力学模型
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控制工程基础
控制系统微分方程的列写
➢机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
✓质量
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控制工程基础
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
27
例2.1：用拉氏变换解微分方程
L ur
i
R C uc
d 2uc du LC 2 RC c uc u r dt dt L[uc (t )] U c ( s ) duc (t ) ] sU c ( s ) U c (0) dt d 2uc (t ) ' L[ ] s 2U c ( s ) sU c (0) U c (0) dt 2 s 2U c ( s ) 0.1s 0.1 L[
2）对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：
J (t ) M (t )
3）化简 4) 标准化
J
d 2 (t ) dt 2
d (t ) M (t ) M f (t ) M (t ) f dt
d 2 (t ) d (t ) J f M (t ) 2 dt dt
电气系统的微分方程
进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出 量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
拉氏(laplace)变换 • 定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分
F ( s ) f (t )e dt
st 0
2)单位斜坡函数
t
0
t
0, f t t ,
t0 t0
L f t L[t ]
0
te
st
1 dt 2 s
几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t)
eat f t
df t dt
F(s)
F s a
sF s f 0
控制工程第02章数学模型
上海交通大学机械与动力工程学院
控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
划分环节
按功能（测量、放大、执行）
由运动方程式 （一个或几个元件的独立运动方程） 根据元件的工作原理和在系 统中的作用，确定元件的输 入量和输出量(必要时还要考 虑扰动量)，并根据需要引进 一些中间变量。
School of Mechanical & Power Engineering
机械运动： 牛顿定理、能量守恒定理 电学： 欧姆定理、基尔霍夫定律 热学： 传热定理、热平衡定律
差分方程 （离散系统） y(kT ), y(kT T )
数学模型的准 确性和简化
School of Mechanical & Power Engineering
线性与非线性
分布性与集中性
参数时变性
上海交通大学机械与动力工程学院
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控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
Part 2.1 物理系统的数学模型
2.1.1 数学模型的定义 2.1.2 建立数学模型的基础
机械系统
Example 电气系统
2.1.3 提取数学模型的步骤
相似系统
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注：非线性系统的线性化 模型，称为增量方程。
注：y = f (x0)称为系统的 静态方程
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控制理论基础 (I)
第二章 物理系统的数学模型
多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
控制工程基础第2章 数学模型(2)
递的关系，可写出
X 0 s G s E s E s X i s B s B s H (s )X 0 s
消去E（s）、B(s)得：
1 G s H (s )X 0 s G s X i s
因此，得闭环传递函数
U i s U A s I1 s R1 1 I1 s I 2 s U A s C1s U A s U 0 s I 2 s R2 1 U 0 s I 2 s C2 s
3．梅森公式
1 p
式中：P—系统总传递函数： pk—第k条前向通路的传函数 Δ—流图的特征式，面且
FB (s ) BsX (s ) X 0 (s )
1 FK1 (s) FB (s) FK 2 (s) X (s ) 2 m1s
FK 2 (s ) K 2 X 0 (s )
X (s )
各方程对应的方框单元 如图2．33所示
1 Fi (s ) FB (s ) FK 1 (s ) 2 m1s FK 1 (s ) K1 X (s ) X 0 (s )
(1)节点 表示变量或信号，其值等于所有进人该节点的 信号之和。 (2)输入节点 （3）输出节点 （4）混和节点 它是只有输出的节点，也称源点。 它是只有输入的节点，也称汇点。 它是既有输入又有输出的节点。
（5）支路 定向线段称为支路。其上的箭头表明信号 的流向，各支路上还表明了增益，即支路的传递函数。
d d 转动平衡方程 : J B T T dt dt
M b
N
d 电动机的反电动势正比 于速度 : e K dt 式中：K 反电动势常数 。
b b
0
控制工程基础课件第二章
根据基尔霍夫定律和欧姆定律， 有
i1 (t ) + i2 (t ) = i(t ) u i (t ) = u o (t ) + R1i2 (t ) 1 C ∫ i1 (t )dt = R1i2 (t ) uຫໍສະໝຸດ o (t ) = R2 i(t )
(2 − 5) ( 2 − 6) ( 2 − 7) (2 − 8)
称为等效阻尼系数；
z z TLeq = 1 3 TL z z 2 4
TLeq 称为等效输出转矩。
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程
将上式改为
&& & Tm = J eqθ1 + f eqθ1 + TLeq
则图2-3a所示的传动装置可简化为图2-3b所示的等效齿轮传动
第二章 控制系统的数学模型
§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程
三、液压系统的线性化微分方
图2-7 阀控液压缸
图2-8 q L = f(x, pL)曲线
图中，x为阀芯位移输入；y为液压缸活塞位移输出；q L为负载流量；q1、 q2分别为液压缸左、右腔的输入、输出流量；pL为负载压差；pS为供油压力； m为负载质量；A为活塞工作面积；d为阀芯直径。
− m&& + ∑ Fi = 0 x
式中
(2-1)
∑F
i
&& x m − m&& x
——作用在物体上的合外力； ——物体的加速度； ——物体的质量； ——物体的惯性力。
第二章 控制系统的数学模型
− m& x ∑ F& + ∑ F
控制工程基础第2章
xo (t ) cos t xi (t )
2 3 x ( t ) x ( t ) x ( t ) 2 x ( t ) 5 x （4） o o o o i (t )
非线性
本课程涉及的数学模型形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、
差分方程、状态方程
复数域：传递函数、结构图
其中f(0)是函数f(t)在自变量t=0的值，即初始值。 可推广到n阶
d n f (t ) n n 1 n2 L s F ( s ) s f (0) s f (0) n dt f ( n1) (0)
当初始条件为0时，即 则有 L f (t ) sF (s)
小 结
物理本质不同的系统，可以有相同的数学 模型，从而可以抛开系统的物理属性，用 同一方法进行具有普遍意义的分析研究。
通常情况下，元件或系统微分方程的阶次 等于元件或系统中所包含的独立储能元的 个数。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅取 决于系统的结构及其参数。
三、拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是控制工程中的一 个基本数学方法，其优点是能将时间 函数的导数经拉氏变换后，变成复变 量s的乘积，将时间表示的微分方程， 变成以s表示的代数方程。
拉氏变换的性质
3、复数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s)，对于任 一常数a（实数或复数），有
L[e f (t )] F(s a)
at
4、微分定理
设f(t)的拉氏变换为F(s)，则
df (t ) L[ ] L[ f ' (t )] sF ( s ) f (0) dt
频率域：频率特性
二、系统微分方程的建立
建立微分方程的步骤：
《控制工程基础》课件第2章
第2章 系统的数学模型
二、建立系统微分方程的一般步骤
（1） 分析系统和组成系统的各元件（环节）的性质、
第2章 系统的数学模型
（2） 从输入端开始，按照信号的传递顺序，列写系统 各组成元件（环节）的微分方程。对于复杂的系统，不能直 接写出输入量和输出量之间的关系式时，可以引入中间变量， 依据支配系统工作的基本规律，如力学中的牛顿定律、电学 中的克希荷夫定律等，逐个列写出各元件（环节）的微分方 程。另外，在列写各元件（环节）微分方程时，应注意元件
第2章 系统的数学模型
但是，由于目前非线性系统的理论和分析方法还不很成 熟，因此对于某些非本质的非线性系统，在一定条件下可进 行线性化处理，以简化分析。线性化是指将非线性微分方程 在一定条件下近似转化为线性微分方程的过程。一般的线性 化方法是在工作点附近用切线来代替，即将非线性函数在工 作点附近展开成台劳级数，并略去高于一次的项，可得近似 的线性差分方程。上述线性化是以变量偏离预定工作点很小 的假定条件为基础的，即偏差为微量，所以有时也把上述线 性化称之为小偏差线性化。小偏差线性化的几何意义是：在 预期工作点附近，用通过该点的切线近似代替原来的曲线。
J
f
(2-18)
式中，J为等效转动惯量，f为摩擦系数。将式(2-17)、(2-18)
代入式(2-16)，得
Ua
La Ki
ddt(J
f )
Ra (J
Ki
f )
Kb
即
La J La f Ra(J f ) KbKi KiUa
(2-19)
测量环节：
第2章 系统的数学模型
U f Kn
(2-20)
第2章 系统的数学模型
线性系统满足叠加原理。叠加原理说明，两个不同的输 入同时作用于系统的响应，等于两个输入单独作用的响应之 和。因此，线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个 一个地处理，然后对响应结果进行叠加。也就是说，当有几 个输入量同时作用于系统时，可以逐个输入，求出对应的输 出，然后把各个输出进行叠加，即为系统的总输出。另外， 线性系统还有一个重要的性质，就是均匀性，即当输入量的 数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出 量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有 关，与输入量数值的大小是无关的。
《控制工程基础》第二章系统的数学模型PPT课件
n2
n
k , c
m
2 mk
c
x
例2 旋转运动的J-c-k系统
M
c
J
k
J c k M
s
1
G(s) M (s) Js2 cs kLeabharlann 例3 L-R-C电路L
a i (t)
L
u (t) i
i (t) R
R
b
c
uo(t) i (t)
C
d
G(s)
LCs 2
1 L
s 1
R
6. 延时环节
动力学方程：xo (t) xi (t )
传递函数： G(s) es
Xi (s) e s
特点：输出滞后于输入，但不失真 延时环节与惯性环节和比例环节有区别
x(t)
xi(t)
x(t)
xi(t)
x(t)
xo(t)
xo(t)
X o (s)
xi(t) xo(t)
0
t
0
t
惯性环节
比例环节
例：轧钢厂钢板厚度检测
h2 h1(t )
G(s) e s
六、系统传递函数方框图
传递函数方框图将组成系统的各个环节用传递函数方框表示， 并将相应的变量按信息流动的方向连接起来构成的图形。 传递函数方框图三要素
传递函数方框
相加点
分支点
建立传递函数方框图的步骤
(1) 列写各元件微分方程 (2) 在零初始条件下，对上述微分方程进行拉氏变换
(3) 按因果关系，绘制各环节框图
A
0
t
延时环节
h+h1 h+h2
v
B
L
典型环节传递函数小结
《控制工程基础》课件第二章数学模型
➢ 线性化：在一定条件下作某种近似或缩小系 统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微 分方程进行处理。
非线性系统数学模型的线性化 ➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
x
x0
(x
x0
)3
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：
K
df (x) dx x x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。
y0 = f (x0)称为系统的静态方程； 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线
Raia t
La
dia t
dt
em t
电磁感应定律
em t
Ke
do t
dt
LaJo (t) LaD RaJ o (t) RaD KT Ke o (t) KTei (t)
为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。 当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程 可简化为
Ra Jo (t) Ra D KT K e o (t) KT ei (t)
b0
dm dt m
xi (t) b1
d m1 dt m1
非线性系统数学模型的线性化 ➢ 泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
y
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
1 2!
d
2 f (x) dx2
x
x0
(x
x0
)2
1 3!
d
3 f (x) dx3
x
x0
(x
x0
)3
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0 ) x0
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：
K
df (x) dx x x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。
y0 = f (x0)称为系统的静态方程； 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线
Raia t
La
dia t
dt
em t
电磁感应定律
em t
Ke
do t
dt
LaJo (t) LaD RaJ o (t) RaD KT Ke o (t) KTei (t)
为电枢控制式直流电动机的控制系统的动态数学模型。 当电枢电感较小时，通常可忽略不计，系统微分方程 可简化为
Ra Jo (t) Ra D KT K e o (t) KT ei (t)
b0
dm dt m
xi (t) b1
d m1 dt m1
控制工程基础-控制系统的数学模型(1)(控制工程基础)54页PPT
自动控制理论主要研究的问题
分析：在系统的结构和参数已经确定的条件下， 对系统的性能（稳定性、稳态精度、动态性能、 鲁棒性）进行分析，并提出改善性能的途径。
综合：根据系统要实现的任务，给出稳态和动态 性能指标，要求组成一个系统，设计确定系统的 结构及适当的参数，使系统满足给定的性能指标 要求。
2020/4/17
2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
8
系统数学模型建立实例
电工系统－ R,L,C串联电路
机械系统－机械平移系统
机电系统－恒定磁场他激直流电动机
2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
9
机械平移系统示意图
由弹簧－质量－阻尼器组成的
机械平移系统，外力f（t）为 输入信号，位移y（t）为输出
信号，列写其运动方程式。
k－弹簧的弹性系数； m－运动部件的质量； －阻尼器的粘性摩擦系数。
2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
10
机械平移系统的基本关系
假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件
的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：
f1
m
d2y dt 2
设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：
第二讲 控制系统的数学模型（1）
14
相似系统（2）
相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路系 统的动态特性研究机械系统的动态特性。
由于电工电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因 此常采用电工电子电路来模拟其它实际系统，这种方法 称为电子模拟技术。
在建立系统的数学模型后，通过数字计算机求解系统的 微分方程（或状态方程）来研究实际系统的动态特性， 称为计算机仿真技术。
分析：在系统的结构和参数已经确定的条件下， 对系统的性能（稳定性、稳态精度、动态性能、 鲁棒性）进行分析，并提出改善性能的途径。
综合：根据系统要实现的任务，给出稳态和动态 性能指标，要求组成一个系统，设计确定系统的 结构及适当的参数，使系统满足给定的性能指标 要求。
2020/4/17
2020/4/17
第二讲 控制系统的数学模型（1）
8
系统数学模型建立实例
电工系统－ R,L,C串联电路
机械系统－机械平移系统
机电系统－恒定磁场他激直流电动机
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第二讲 控制系统的数学模型（1）
9
机械平移系统示意图
由弹簧－质量－阻尼器组成的
机械平移系统，外力f（t）为 输入信号，位移y（t）为输出
信号，列写其运动方程式。
k－弹簧的弹性系数； m－运动部件的质量； －阻尼器的粘性摩擦系数。
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第二讲 控制系统的数学模型（1）
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机械平移系统的基本关系
假设弹簧和阻尼器运动部分的质量忽略不计，运动部件
的质量是集中参数。则运动部件产生的惯性力为：
f1
m
d2y dt 2
设弹簧的变形在弹性范围内，则弹性力为：
第二讲 控制系统的数学模型（1）
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相似系统（2）
相似系统的动态特性也相似，因此可以通过研究电路系 统的动态特性研究机械系统的动态特性。
由于电工电子电路具有易于实现和变换结构等优点，因 此常采用电工电子电路来模拟其它实际系统，这种方法 称为电子模拟技术。
在建立系统的数学模型后，通过数字计算机求解系统的 微分方程（或状态方程）来研究实际系统的动态特性， 称为计算机仿真技术。
控制工程基础-控制系统的数学模型(2)(控制工程基础)
L
f (t)dt
f (t)dt estdt
f (t)dt 1 dest
0
0
s
f (t)dt • est s
|0
est 0 s
f (t)dt
f 1(0) F (s)
s
s
2020/2/10
第三讲 控制系统的数学模型（2）
单位斜坡函数：
0, t 0 f (t) t, t 0
f(t) 1
单位斜坡函数的拉氏变换：
0
1
t
F(s) L
f (t)
test dt
0
t dest test
0 s
s
|0
1 s
0
est dt
1 s2
斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为：
3
拉普拉斯变换
工程技术上常用傅立叶方法分析线性系 统，因为任何周期函数都可展开为含有 许多正弦分量的傅氏级数，而任何非周 期函数可表示为傅氏积分，从而可将一 个时间域的函数变换为频率域的函数－ 傅立叶变换。
工程实践中，常用的一些函数，如阶跃 函数，它们往往不能满足傅氏变换的条 件，如果对这种函数稍加处理，一般都 能进行傅氏变换，因而也就引入了拉普 拉斯变换。
控制工程基础
第三讲 控制系统的数学模型（2）
2020/2/10
清华大学机械工程系 朱志明 教授
第三讲 控制系统的数学模型（2）
1
控制系统的数学模型－内容
物理系统的动态描述－数学模型 建立系统数学模型的一般步骤 非线性数学模型的线性化 拉普拉斯变换 控制系统的传递函数 系统方块图及其变换 系统信号流图
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d2 d J 2 o (t ) C o (t ) K o (t ) K i (t ) dt dt
7/15/2013 13
第二章 数学模型
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。 电阻 i(t) R u(t)
u(t ) Ri(t )
7/15/2013 14
f 其中： K1 x1
7/15/2013
x1 x10 x2 x20
f , K2 x2
x1 x10 x2 x20
31
第二章 数学模型
滑动线性化——切线法
y=f(x)
线性化增量增量方 程为： y y' =xtg
y0 A
y
y’
x
切线法是泰勒级数 法的特例。
第二章 数学模型
第二章 数学模型
○、数学模型的基本概念
一、控制系统的运动微分方程 二、非线性数学模型的线性化 三、拉氏变换和拉氏反变换 四、传递函数
五、系统方框图和信号流图
六、控制系统传递函数推导举例 七、小结
7/15/2013 1
第二章 数学模型 ○、数学模型的基本概念
数学模型
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为 零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系 的微分方程。
7/15/2013 10
第二章 数学模型 弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t)
K C
fi (t ) fC (t ) f K (t )
d C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt
系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
11
弹簧-阻尼系统
7/15/2013
第二章 数学模型 机械旋转系统
第二章 数学模型 阻尼
v1(t) x1(t) fC(t) v2(t) x2(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C dt
7/15/2013 8
i(t)
0
o(t) 0
J
TK(t)
K
TC(t)
柔性轴
齿轮
粘性液体
C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
7/15/2013 12
第二章 数学模型
TK (t ) K i (t ) o (t ) d TC (t ) C o (t ) dt d2 J 2 o (t ) TK (t ) TC (t ) dt
小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法） 。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下， 数学模型相同而物理本质不同的系统其输出 响应相似。相似系统是控制理论中进行实验 模拟的基础；
7/15/2013 19
17
第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
R a +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
7/15/2013
du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
18
第二章 数学模型
7/15/2013 2
第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
9
第二章 数学模型
d2 d m 2 xo (t ) C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt dt
式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系 统可以由二阶常系数微分方程描述。
显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数， 而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、 弹簧）的数量。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
7/15/2013 24
第二章 数学模型
线性系统微分方程的一般形式
dn d n1 d xo (t ) a1 n1 xo (t ) an1 xo (t ) an xo (t ) dt n dt dt dm d m1 d b0 m xi (t ) b1 m1 xi (t ) bm1 xi (t ) bm xi (t ) dt dt dt
7/15/2013 29
第二章 数学模型
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移 到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统 就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点， 这时，系统所有的初始条件均为零。
对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用 泰勒级数展开获得线性化的增量方程。
7/15/2013
7/15/2013
标准化：右端输入，左端输出，导数降幂 排
5
第二章 数学模型 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量
fm(t) x (t) v (t)
m
参考点
7/15/2013
d d2 f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) dt dt
7/15/2013 21
第二章 数学模型
非线性系统
用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不 满足叠加原理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定 的工作范围内成立。 为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性 系统简化为线性系统处理。
7/15/2013
பைடு நூலகம்22
第二章 数学模型
液体系统
设液体不可压缩， 通过节流阀的液流 是湍流。
节流阀 qi(t)
dH (t ) qi (t ) qo (t ) A dt q (t ) H (t ) o
H(t)
节流阀
qo(t)
液位系统
A：箱体截面积；
7/15/2013 23
第二章 数学模型
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
0 0
7/15/2013
28
第二章 数学模型
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
df ( x) y f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x
0
df ( x ) 或：y - y0 = y = Kx， 其中： K dx x x
0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量 方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
第二章 数学模型
通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容 等）的个数；因为系统每增加一个独立储能 元，其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决 于系统的结构及其参数。
7/15/2013 20
C
fC(t)
第二章 数学模型 机械平移系统
fi(t)
m 0 xo(t) K fK(t) fC(t) m fi(t) fm(t) 0 xo(t) 静止（平衡）工作点作为 零点，以消除重力的影响
C
机械平移系统及其力学模型
7/15/2013
d2 f i (t ) f C (t ) f K (t ) m 2 xo (t ) dt f K (t ) Kxo (t ) d f C (t ) C xo (t ) dt
30
第二章 数学模型
f y f ( x10 , x20 ) x1
x1 x10 x2 x20
f ( x1 x10 ) x2
x1 x10 x2 x20
( x2 x20 )
增量方程： y y0 y K1x1 K2x2
静态方程： y0 f ( x10 , x20 )
非线性数学模型的线性化
泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
df ( x ) y f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x
0
1 d 2 f ( x) 1 d 3 f ( x) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) 3 2! dx 2 x x 3! dx 3 x x
7/15/2013 3
第二章 数学模型
数学模型的形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、 差分方程 状态方程
复数域：传递函数、结构图
频率域：频率特性
7/15/2013 4
第二章 数学模型 一、控制系统的运动微分方程 建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程；
6
第二章 数学模型 弹簧
x1(t) v1(t) fK(t) x2(t) v2(t) fK(t)
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第二章 数学模型
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。 电阻 i(t) R u(t)
u(t ) Ri(t )
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f 其中： K1 x1
7/15/2013
x1 x10 x2 x20
f , K2 x2
x1 x10 x2 x20
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第二章 数学模型
滑动线性化——切线法
y=f(x)
线性化增量增量方 程为： y y' =xtg
y0 A
y
y’
x
切线法是泰勒级数 法的特例。
第二章 数学模型
第二章 数学模型
○、数学模型的基本概念
一、控制系统的运动微分方程 二、非线性数学模型的线性化 三、拉氏变换和拉氏反变换 四、传递函数
五、系统方框图和信号流图
六、控制系统传递函数推导举例 七、小结
7/15/2013 1
第二章 数学模型 ○、数学模型的基本概念
数学模型
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为 零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系 的微分方程。
7/15/2013 10
第二章 数学模型 弹簧－阻尼系统
fi(t)
0
xo(t)
K C
fi (t ) fC (t ) f K (t )
d C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt
系统运动方程为一阶常系数 微分方程。
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弹簧-阻尼系统
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第二章 数学模型 机械旋转系统
第二章 数学模型 阻尼
v1(t) x1(t) fC(t) v2(t) x2(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C dt
7/15/2013 8
i(t)
0
o(t) 0
J
TK(t)
K
TC(t)
柔性轴
齿轮
粘性液体
C
J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数
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第二章 数学模型
TK (t ) K i (t ) o (t ) d TC (t ) C o (t ) dt d2 J 2 o (t ) TK (t ) TC (t ) dt
小结 物理本质不同的系统，可以有相同的数学模 型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一 方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方 法） 。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下， 数学模型相同而物理本质不同的系统其输出 响应相似。相似系统是控制理论中进行实验 模拟的基础；
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第二章 数学模型 有源电网络 i1(t)
R a +
i2(t)
C
ui(t)
uo(t)
ua (t ) 0 i1 (t ) i2 (t )
ui (t ) du o (t ) C R dt
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du o (t ) 即： RC ui (t ) dt
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第二章 数学模型
7/15/2013 2
第二章 数学模型 建立数学模型的方法
解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。
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第二章 数学模型
d2 d m 2 xo (t ) C xo (t ) Kxo (t ) f i (t ) dt dt
式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系 统可以由二阶常系数微分方程描述。
显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数， 而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、 弹簧）的数量。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
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第二章 数学模型
线性系统微分方程的一般形式
dn d n1 d xo (t ) a1 n1 xo (t ) an1 xo (t ) an xo (t ) dt n dt dt dm d m1 d b0 m xi (t ) b1 m1 xi (t ) bm1 xi (t ) bm xi (t ) dt dt dt
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第二章 数学模型
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移 到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统 就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点， 这时，系统所有的初始条件均为零。
对多变量系统，如：y = f (x1, x2)，同样可采用 泰勒级数展开获得线性化的增量方程。
7/15/2013
7/15/2013
标准化：右端输入，左端输出，导数降幂 排
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第二章 数学模型 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量
fm(t) x (t) v (t)
m
参考点
7/15/2013
d d2 f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) dt dt
7/15/2013 21
第二章 数学模型
非线性系统
用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不 满足叠加原理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定 的工作范围内成立。 为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性 系统简化为线性系统处理。
7/15/2013
பைடு நூலகம்22
第二章 数学模型
液体系统
设液体不可压缩， 通过节流阀的液流 是湍流。
节流阀 qi(t)
dH (t ) qi (t ) qo (t ) A dt q (t ) H (t ) o
H(t)
节流阀
qo(t)
液位系统
A：箱体截面积；
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第二章 数学模型
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
0 0
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第二章 数学模型
略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：
df ( x) y f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x
0
df ( x ) 或：y - y0 = y = Kx， 其中： K dx x x
0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量 方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
第二章 数学模型
通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容 等）的个数；因为系统每增加一个独立储能 元，其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决 于系统的结构及其参数。
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C
fC(t)
第二章 数学模型 机械平移系统
fi(t)
m 0 xo(t) K fK(t) fC(t) m fi(t) fm(t) 0 xo(t) 静止（平衡）工作点作为 零点，以消除重力的影响
C
机械平移系统及其力学模型
7/15/2013
d2 f i (t ) f C (t ) f K (t ) m 2 xo (t ) dt f K (t ) Kxo (t ) d f C (t ) C xo (t ) dt
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第二章 数学模型
f y f ( x10 , x20 ) x1
x1 x10 x2 x20
f ( x1 x10 ) x2
x1 x10 x2 x20
( x2 x20 )
增量方程： y y0 y K1x1 K2x2
静态方程： y0 f ( x10 , x20 )
非线性数学模型的线性化
泰勒级数展开法
函数y=f(x)在其平衡点（x0, y0）附近的泰勒级数 展开式为：
df ( x ) y f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x
0
1 d 2 f ( x) 1 d 3 f ( x) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) 3 2! dx 2 x x 3! dx 3 x x
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第二章 数学模型
数学模型的形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、 差分方程 状态方程
复数域：传递函数、结构图
频率域：频率特性
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第二章 数学模型 一、控制系统的运动微分方程 建立数学模型的一般步骤 分析系统工作原理和信号传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程；
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第二章 数学模型 弹簧
x1(t) v1(t) fK(t) x2(t) v2(t) fK(t)