用向量法求空间角与距离

用向量法求空间角与距离

1.1. 向量的数量积和坐标运算 b a

,是两个非零向量，它们的夹角为 ，则数 cos |||| b 叫做与的数量积（或内积），记作b a ，即.cos |||| 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：

若),,(),,,(222111z y x b z y x a ，则

①212121z z y y x x b a

；

②2

22222212121||,||z y x b z y x a ；

③212121z z y y x x b a

④2

2

2

22

22

12

12

12

12121,cos z y x z y x z z y y x x b a

1.2. 异面直线n m ,所成的角

分别在直线n m ,上取定向量,,b a

则异面直线n m ,所成的角

等于向量b a

,所成的角或其补角（如图1所示），则

.|||||

|cos b a b a

（例如2004年高考数学广东卷第18题第（2）问）

1.3. 异面直线n m 、的距离

分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的

向量，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离d 等于在

上的射影长，即|

|n d

.

图1

证明：设CD 为公垂线段，取b a

,（如图1所示），则

|

|||)( |

|||n d

设直线n m ,所成的角为 ，显然.|||||

|cos b a b a

1.4. 直线L 与平面 所成的角

在L 上取定，求平面 的法向量2所示），

再求

|

|||cos n AB

2

为所求的角.

1.5． 二面角

方法一：构造二面角 l 的两个半平面 、的法向量

21n n 、（都取向上的方向，如图3所示），则 ①

若二面角 l 是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即|

|||cos 2121n n （例如2004年高考数学广

东卷第18题第（1）问）.

② 若二面角 l 是“锐角型”的如图3乙所示，

那么其大

小等于两法向量21n n 、的夹角，

即|

|||cos 2121n n （例如

2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）.

方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面 、内求出与l 垂直的向量21n n 、（如图4所示）

，则二面角 l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即

图3乙

图3

图4

图2

|

|||cos 2121n n

1.6. 平面外一点p 到平面 的距离

先求出平面 的法向量，在平面内任取一定点A ，则点p 到平面 的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即d （例

如2004年广州一模第18题第（Ⅱ）问）.

1．7． 法向量

2.1. 基向量法

由于空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，因此在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把有关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来. 再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的. 一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量.

[例 1] 如图6，已知正三棱柱111C B A ABC 的棱长为2，底

面边长为1，M 是BC 的中点.

（1）在直线1CC 上求一点N ，使1AB MN ； （2）当1AB MN 时，求点1A 到平面AMN 的距离. （3）求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角.

分析1 （1）的 问题显然是求使异面直线MN 与1AB 所成的角为直角的点N .依据向量数量积的概念，必须由条件011 AB MN AB MN ，求出

CN 的长度，而MN 与1AB 都不是已知向量，且和CN 没有直接联系，因此必

须选择一组基向量来表示MN 与1AB .

（1）解法一：取共点于B 的三个不共面的已知向量

1BB BC BA 、、为基向量，

A B

C

M

N

1

A 1

B 1

C 图6

图

021

210

)2

1

()(2

1

,,01111111111

CN BB BC BB CN AB BC AB BB BB AB AB AB C B A ABC 及正三棱柱由00cos ||290cos 1221

90cos ||1120cos 1121 CN CN 81||0||20041 CN CN

分析 2 本小题还可以取共点于A 的三个不共面的已知向量1,,为基向量，从而得 （1）解法二：

,

111BB AB

AA AA AA AA AA AA AB 11121111)(2

1

)()()(2

1

]

)(2

1

[)(.

)(2

1

)(21)(

a a a 2002

1

410cos 290cos 1)90cos 1290cos 12160cos 11(2

1

2

.8

1

||81,020014101 CN a a AB MN ，

比较方法一与方法二，方法一比方法二运算简便. 因为用方法一选择的一组基向量表示MN 时式子较为简单. 这告诉我们可选择的基向量并不唯一，我们应选择使得运算简便的那一组向量作为基向量. 当几何体中能够找到（或构造出）三个共点且两两垂直的基向量时，我们就可以用下面的方法解决问题.

2.2. 坐标法