轮式移动机器人的运动控制

2. 已编程的运动的稳定性问题的解决方案
为了解决系统编程运动的稳定性问题，我们将发现连续函数的形式的控制规 律
（2.1）
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这里
附件 C：译文
υ> 0,andμi≥0(i=1,2)是一定的常数。基于此，我们提出了关于保持机器人 稳定性公理。
公理 2.1 假设公式（2.1）常数 μ1 和 μ2 成立，那么下列不等式成立：
无数的论文(例如,参考文献 1 - 8)一直致力于研究机器人的运动与“全向” 轮子。辊的转轴位于轮子的水平位置,附在机器人的轮子上,使其能够在任何方向 移动没有初步转动,大大提高机器人的机动性。
机器人控制的直流电机的动态模型已经在研究中。相应的仿真之前已经完成， 而且针对稳定平稳运动的问题也在被研究。特别是稳定控制机器人的运动的问题 已经研究。稳定机器人的编程运动，即确保了高收敛速度又只有小偏移的这种运 动的控制，基于计算力矩法设计了出来。自适应控制规律被提出，它的缺点是计 算调节系数算法设计的实际实现的复杂性。在没有考虑动力学因素的情况下，机 器人的运动学模型的各种控制规律被建立起来。
备注 3.1 控制（3.1）具有不连续的形式, 作为高频率波动（颤动）出现在系
统的结果,当它在实践中被构造, 由于交换系统的不完善性，扰动的影响，小延迟 的信号的传输的存在。控制的连续类似物（3.1）是在下一小节找到，它提供了一 种方法以减少此颤动。
在连续函数形式的控制律。为了解决跟踪分配的轨迹（1.3）的问题，我们将 寻求控制律（1.5）在连续函数的形式。
译文原文出处：A.S. Andreyev, O.A. Peregudova . The motion control of a wheeled mobile robot[J] . Journal of Applied Mathematics and Mechanics :79 (2015) 316–324
次连续可微的；假设有正常量
ξ ，η ，Ψ ξ ，η ，Ψ ，在 1
1
1
2
2
2
max
max
max ， max
max
max
t≥0
的情况下，有下列不等式：
我们首先申明稳定机器人程序运动问题的检验标准， 这可以实现方程式(1.1)作用下的编程控制，
（1.2） （1.3）
这里有
我们引入了程序运动的偏离方程
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该组初始扰动满足约束
（3.3）
（3.4）
证明 我们引入变量
（3.5）
根据偏差（1.4）和（3.5），在完成替换（1.6），并考虑到关系（3.1）后， 我们写出了形式系统（1.1）
我们将 Lyapunov 向量函数带入其中 并从系统（3.6）估计衍生物相对于时间：
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（3.6） （3.7）
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这一点，控制式（2.1）保证了系统（1.1）的编程运动（1.3）的稳定。
备注 2.1 控制规律的发现解决了任何初始偏差的下稳定程序运动的问题，它保
证了系统在完整偏差下零解的一致渐近稳定性。
3.跟踪机器人轨迹
中继功能形式的控制律，为了解决跟踪分配的轨迹(1.3)的问题，我们将首先 寻求控制律（1.5）的中继功能的形式。
当将系统（2.3）中的函数 ξ0 (t)，η0 (t) 和 Ψ0 (t) 替换成相应的限制函 数 ξ0* (t), η0* (t) 和 Ψ0* (t)，就得到了限制系统，定义为如下序列：
使用统一渐近稳定的定理，我们找到了系统（2.3）零解是一致渐进稳定的
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定的：h=3cv/(2r2);m,md 和 I 都是系统质量惯性参数的一部分，在表 y 单中都是已 知的。
这里的 r1 是转对轴轮的惯性半径；m0 是质量平台；m1 是轮子的质量；p0 和 p1 分别是平台和轮子的通过他们质量中心的垂直轴的惯性半径。
假设这里有三个函数 ξ0(t)，η0(t)，Ψ0(t)，都是有边界且对于 t≥0 是两
备注 3.2 定理 3.1 和 3.2 仍然有效时，车轮质量测量的误差是非零，即，当
m1 = m10+Δ m1， 其中，Δm1 为车轮质量未知组件，其定义如下
并且 Δ m10< m10 。在定理 3.1 和 3.2 的条件 3.2，3.2，3.14 和 3.15 中， 参数 md 必须由 md+ md0 的值替换。这里
证明 介绍变量（3.5），并考虑到表达式（3.10），我们得到方程组的偏差（1.4）
和（3.5），这是类似于系统（3.6），其中，符号函数被相应的饱和函数（3.11） 取代。
当不等式（3.12）成立，V1 和 V2 的值如下，
我们得到的估算
因此可以得出有某一时刻 t* = t *（γ）>0，这是使得不等式（1.7）将保持 在所有的时刻 t≥t *。
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依据系统的解决方案，考虑到 Lyapunov 矢量函数的行为满足初始条件。
（3.8）
当不等式（3.2）成立，我们得到的估算
（3.9）
根据不等式（3.9）所示，存在的某一时刻 t*>0，这是使得以下不等式将会对 所有的 t≥t*
因此，我们发现当 t→+∞，V1→0 和 V2→0。 换一种说法, 通过事先分配跟踪 误差,控制（3.1）解决了系统（1.1）跟踪轨迹（1.3）的问题。
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以下关于分配的机器人轨迹跟踪定理成立（符号定理的制定采用的 3.1 时的 使用规则）。
定 理 3.2 假 设 定 理 3.1 的 条 件 成 立 ， 此 外 还 有 一 个 数 字 γ ， 存 在
0<γ<min{δ1,δ2}，那么下面的不等式也成立：
（3.12）
控制（3.10）解决了与不超过数的跟踪误差在机器人的跟踪轨迹（1.3）的问 题 γ。同时该组初始扰动（3.3）满足约束（3.4）。
程序运动被认为是机器人的等速直线运动 V 和绕质量平台中心转动的恒定角 速度 Ω 的合运动：
从而确保这一行动的控制被发现的机器人平稳运动（4.2），但稳定的问题没 有研究。
对控制参数的μ1 和μ2 以下约束用定理 2.1 实测值：
浅析条件（4.3），我们注意到，如果机器人的重心的编程速度由不等式点 V<23/2ah/md 界定，控制参数μ1 和μ2 可以被设置等于零，和运动（4.2）的稳定将确 保任何正值ν。
这里，ν>0,μi>0(i=1,2)和 δj>0(j=1,2,3)均是常数。 我们引入几个定义:
（3.1）
以下有关轨迹跟踪的定理（1.3）成立。
定理 3.1 假设我们可以找到常数
这种情况下，下列不等式将成立
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（3.2）
控制公式（3.1）解决了一个 α 事先分配的跟踪误差替换公式（1.6）的系统 （1.1）的轨迹（1.3）的问题。从跟踪的轨迹得到的偏差渐近趋于零：xj(t) → 0 当 t → +∞ (j = 1, 2, 3)。
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指导教师评定成绩 (五级制)：
指导教师签字：
轮式移动机器人的运动控制
摘要
三滚轴轮移动机器人的轨迹跟踪和运动控制的稳定问题已经被研究。这结果 的新颖性在于施工的控制措施,根据系统的非线性和非平稳特性以及未知质量惯 性特征为各种编程机器人的运动和轨迹解决稳定与跟踪问题。
（1.1）
这里 ξ 和 η 是机器人平台的固定笛卡尔坐标系统的中心坐标；Ψ 是这个平 台 X 轴转动角的垂直测量值; u1,u2,u3 是提供给电机的控制电压；α 是平台中心 距离每个轮子中心点的距离；常数 h>0 是由反电动势转矩系数 cv 和车轮半径 r 确
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定理 3.1 和 3.2，这已被证明，使我们能够解决相当容易测试条件下进行广泛 的一类轮式机器人的非平稳轨迹跟踪问题，从而缩短了计算时间。
4.数值模拟结果
控制律（2.1）的应用。控制律（2.1）是在与机器人Hale Waihona Puke Baidu运动控制进行了数值
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模拟使用以下参数值：
这里
（3.11） （3.10）
关于切换线（当常数是足够小）的倾斜的高角的饱和函数 sat(z)是中继功能 的连续近似。因此，形态（3.10）的控制法的选择，一方面，使我们能够降低控 制法在实施时实际相对于中继法出现的波动的振幅控制规律。另一方面，它确保 在该系统参数下鲁棒性的朝向变化特性。
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并且我们假设
机器人的轨迹跟踪的问题如下：需要找到控制公式去表明对系统的参数和其 轨迹强加的约束，对于一个定值 γ>0（跟踪误差），某一时刻 t*=t*(γ)>0 能被找 到，这对于类似所有的 t≥t* 不等式都是成立的。
（1.7）
如果在某一时刻的初始态 t=t0≥0，xj(t0)和 xj(t0)在零点附近。
（1.4）
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为了解决稳定编程运动的问题，必须找到一个连续反馈控制规律，
（1.5）
这可以让这个系统的程序运动渐进稳定。 现在我们将制定在由机器人的复位操作得到其质量惯性特征不准确的情况下 的机器人的轨迹跟踪问题。
（1.6）
这里的Δm 和ΔI 是质量平台的未知部分和平台满足约束的惯性矩。
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下面的调查基于李雅普诺夫直接方法的使用及其扩展进行。在区别简单稳定 的跟踪验证条件和即使在大初始偏离编程系统的运动和不正确地认识质量惯性参 数下也适用的控制律条件，我们得到了这样的结论。
1.稳定编程运动和机器人轨迹运动跟踪的问题制定
当车轮没有下滑时，三个全向轮在直流电机水平面力矩的作用下的移动机器 人的运动控制方程
（2.2）
这样，控制公式便解决了系统的编程运动的稳定问题。
证明 通过偏差公式（2.1），我们写出系统（1.1）的其他表达形式
（2.3）
对于系统（2.3），我们取正定 Lyapunov 函数形式
（2.4）
我们凭借系统（2.3）的计算其相对于时间导数：
（2.5）
如果条件（2.2）成立。此函数将是一个含有相对变量 x1,x2,x3 负正定二次型函数， 由此不难证明集合{V=0}，对于式（2.3）除零解外，不包含限制系统的解:xj = x j = 0 (j = 1, 2, 3).