有限单元法
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CUMTB
2011-3-11
有限单元法简介
1
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析 五、结后语
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。 虽然人们能够得到它们的基本方程和边界条件，但 是能够用解析法求解的只是少数性质比较简单和边 界比较规则的问题，实际结构的形状和所受到的载 荷往往比较复杂，按解析法求解是非常困难的。
2011-3-11 有限单元法简介 7
二、有限单元法简介
随着高速计算机的发展，有限元的应用也以惊人 的速度发展，现在有限元法已经被工程师和科学家 们公认是一种完美和方便的分析工具。 40 40多年来，有限元法的应用已由弹性力学平面问题 扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展 到稳定问题、动力问题。分析的对象从弹性材料扩 展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等，从固体 力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域。
UY ROTY
方向 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
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有限单元法简介
10
节点和单元
载荷 节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 节点 空间中的坐标位置， 存在相互物理作用 物理作用。 存在相互物理作用。
单元: 单元
2011-3-11 有限单元法简介 18
三、有限单元法分析步骤
4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平 衡方程 先将各个单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵， 然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的 载荷列阵 5、由平衡方程求解未知节点位移 按照问题的边界条件修改总的平衡方程，并 进行求解。
2011-3-11 有限单元法简介 19
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有限单元法简介
8
二、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
是真实系统理想化的数学抽象。 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
2011-3-11 有限单元法简介
有限元模型
9
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。 自由度
2011-3-11 有限单元法简介 3
一、数值模拟方法概述
解决这类复杂问题主要有两种方法： 1、引入简化假设，使其达到能用解析法求解的状态， 然后求其近似解（未必可行，容易导致不正确的解 答） 2、保留问题的复杂性，利用数值模拟方法求得问题 的近似解（较多采用） 数值模拟技术（即CAE技术，Computer-aided Engineering）是人们在现代数学、力学理论的基础 上，借助于计算机技术来获得满足工程要求的数值 近似解，是现代工程仿真学发展的重要推动力之一。
2011-3-11 有限单元法简介 13
单元形函数(续)
二次曲线的线性近 (不理想结果 不理想结果) 不理想结果 DOF值二次分布 值二次分布 真实的二次曲线
.
1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果 更理想的结果) 更理想的结果
.
2
真实的二次曲线
.
节点 单元
.
接近于真实的二次近似拟合) 二次近似 (接近于真实的二次近似拟合 接近于真实的二次近似拟合 (最理想结果 最理想结果) 最理想结果
.. . . .
3
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节点 单元
.
有限单元法简介
.
单元
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节点
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单元形函数(续)
遵循: 遵循 • DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均 DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解 值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解， 值与实际情况吻合得很好。 值与实际情况吻合得很好。 • 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力，热 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的 DOFs推导出来的（ 结构应力， 梯度）。 梯度）。 • 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs DOFs， 数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。 数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。 遵循原则: 遵循原则
2011-3-11 有限单元法简介 6
二、有限单元法简介
虽然近些年才采用了有限元这个名字，有限元的 概念在几个世纪以前就已经用过了。例如：古代数 学家用多边形逼近圆的办法求出圆周长以及圆的面 积；现在人们日常生活中丈量土地的时候也是分成 一块一块进行的，这都是利用了有限元的基本思想 －化整为零。 现代有限元法第一个成功的尝试，是Tunner， clough等人于1956年将刚架位移法推广应用于弹性 力学平面问题，在分析飞机结构时得到的成果，他 们第一次给出了用三角形单元求得平面应力问题的 正确解答。
2011-3-11 有限单元法简介 17
三、有限单元法分析步骤
2、选择位移插值函数 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变 和应力，在分析连续体问题时，必须对单元 中位移的分布做出一定的假设，一般假定位 移是坐标的某种简单函数。选择适当的位移 函数是有限单元法中的关键。 3、分析单元的力学特性 利用几何方程、本构方程和变分原理得到单 元的刚度矩阵和载荷矩阵
一组节点自由度间相互作用的数值、 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 描述（称为刚度或系数矩阵 。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
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载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点 单元组成 节点连 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连 并承受一定载荷 载荷。 接，并承受一定载荷。
2011-3-11 有限单元法简介 4
一、数值模拟方法概述
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
• 当选择了某种单元类型时 ， 也就十分确定地选择并 接受 该种单 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受 接受该种单 元类型所假定的单元形函数。 元类型所假定的单元形函数。 • 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下， 时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。 足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题 时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。
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有限单元法简介
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三、有限单元法分析步骤
有限元法分析问题的基本步骤 基本步骤： 基本步骤 1、结构的离散化 离散化就是将要分析的结构分割成有限个单 元体，并在单元的指定位置设置节点，使相 邻单元的有关参数具有一定的连续性，构成 单元的集合体代替原来的结构。 结构离散化时，划分的单元大小和数目应根 据计算精度的要求和计算机的容量来决定
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有限单元法简介
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1、分析领域
几何体 载荷 物理系统
结构
热
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电磁 有限单元法简介
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2、分析目标
位移？
力？
还是其他？
温度？
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3、线性 / 非线性分析
“我的物理系统是在线性还是非线性状态下工作？线性 我的物理系统是在线性还是非线性状态下工作？ 求解能满足我的需要吗？如果不能， 求解能满足我的需要吗？如果不能，必须考虑哪种非线 性特性？ 性特性？” 许多情况和物理现象都要求进行非线性计 算。
单元形函数
•FEA（Finite element analysis）仅仅求解节点 FEA（ analysis） FEA 处的DOF DOF值 处的DOF值。 DOF值 •单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值 单元形函数是一种数学函数， 单元形函数是一种数学函数 规定了从节点DOF 到单元内所有点处DOF值的计算方法。 DOF值的计算方法 到单元内所有点处DOF值的计算方法。 •因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果 因此， 因此 形状” 的“形状”。 •单元形函数描述的是给定单元的一种 假定 的特性 单元形函数描述的是给定单元的一种假定 单元形函数描述的是给定单元的一种 假定的特性 。 •单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影 响求解精度。 响求解精度。
F
(a) 订书钉 F t0 t1 t2 t3
前处理（建模、 材料特性、单元 选择及划分） 进入求解器 进行求解（设 定分析步骤 ，输出变量） 进入后处理（变 形图、等值线 图，列表显示 等等后处理）
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有限单wk.baidu.com法简介
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四、利用有限元软件进行工程分析
利用有限元软件进行工程问题的分析，一般应 按下列步骤进行： （一）、制订分析方案 需考虑以下几个方面：
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有限单元法简介
5
一、数值模拟方法概述
数值模拟结合计算机技术形成的应用软件在工程 中得到广泛的应用，国际上著名的有限元通用软件 有： ANSYS,MCS.PATRAN,MCS.NASTRAN,MCS.MARC ,ABAQUS,ADINA,FLAC等 它们大多采用FORTRAN语言编写，不仅包含多种条 件下的有限元分析程序，而且带有强大的前处理和 后处理程序。 大多数有限元通用软件拥有良好的用户界面、使用方 便，功能强大。
有限单元法简介 11
节点和单元 (续)
变化的。 节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J 铰接) 三维杆单元 (铰接 铰接 UX, UY, UZ I L K 二维或轴对称实体单元 UX, UY I I P M L I 2011-3-11 N K J 有限单元法简介 I J O P 三维实体结构单元 UX, UY, UZ M L N K J 12 I L K J 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ O 三维实体热单元 TEMP J 三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三、有限单元法分析步骤
6、单元应变和应力的计算 根据已知结点的位移利用弹性力学方程和位 移插值函数算出单元的应变和应力。
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有限单元法简介
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四、利用有限元软件进行工程分析
所有的通用有限元软件都包括：前处 前处 求解器、后处理三个有逻辑顺序 理、求解器、后处理 的模块。在进行实际工程分析时，也 该按照以上三个模块来进行。
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有限单元法简介
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二、有限单元法简介
有限单元法的基本思想： 有限单元法的基本思想：
1、 将一个连续域离散 离散化为有限 有限个单元并通过有限个节点 节点相连接的等效集合 离散 有限 节点 体。由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不 同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。 2、 有限元法利用在每一个单元内假设的的近似函数 近似函数来分片地表示全求解域 近似函数 上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个节 点的数值和其插值函数来表达。 3、一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个节点上的数值就成为新的 未知量，从而使一个连续的无限自由度 连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度 离散的有限自由度问题。 连续的无限自由度 离散的有限自由度 4、一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数 插值函数计算出各个单元内场函数 插值函数 的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数目的增 加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精 度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近 似解最后将收敛于精确解。
CUMTB
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有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析 五、结后语
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。 虽然人们能够得到它们的基本方程和边界条件，但 是能够用解析法求解的只是少数性质比较简单和边 界比较规则的问题，实际结构的形状和所受到的载 荷往往比较复杂，按解析法求解是非常困难的。
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二、有限单元法简介
随着高速计算机的发展，有限元的应用也以惊人 的速度发展，现在有限元法已经被工程师和科学家 们公认是一种完美和方便的分析工具。 40 40多年来，有限元法的应用已由弹性力学平面问题 扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展 到稳定问题、动力问题。分析的对象从弹性材料扩 展到塑性、黏弹性、黏塑性和复合材料等，从固体 力学扩展到流体力学、传热学等连续介质力学领域。
UY ROTY
方向 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
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10
节点和单元
载荷 节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 节点 空间中的坐标位置， 存在相互物理作用 物理作用。 存在相互物理作用。
单元: 单元
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三、有限单元法分析步骤
4、集合所有单元平衡方程，得到整体结构的平 衡方程 先将各个单元刚度矩阵集合成整体刚度矩阵， 然后将各单元的等效节点力列阵集合成总的 载荷列阵 5、由平衡方程求解未知节点位移 按照问题的边界条件修改总的平衡方程，并 进行求解。
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有限单元法简介
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二、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
是真实系统理想化的数学抽象。 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
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有限元模型
9
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。 自由度
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一、数值模拟方法概述
解决这类复杂问题主要有两种方法： 1、引入简化假设，使其达到能用解析法求解的状态， 然后求其近似解（未必可行，容易导致不正确的解 答） 2、保留问题的复杂性，利用数值模拟方法求得问题 的近似解（较多采用） 数值模拟技术（即CAE技术，Computer-aided Engineering）是人们在现代数学、力学理论的基础 上，借助于计算机技术来获得满足工程要求的数值 近似解，是现代工程仿真学发展的重要推动力之一。
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单元形函数(续)
二次曲线的线性近 (不理想结果 不理想结果) 不理想结果 DOF值二次分布 值二次分布 真实的二次曲线
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1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果 更理想的结果) 更理想的结果
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2
真实的二次曲线
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节点 单元
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接近于真实的二次近似拟合) 二次近似 (接近于真实的二次近似拟合 接近于真实的二次近似拟合 (最理想结果 最理想结果) 最理想结果
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节点 单元
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有限单元法简介
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单元
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节点
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单元形函数(续)
遵循: 遵循 • DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均 DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解 值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解， 值与实际情况吻合得很好。 值与实际情况吻合得很好。 • 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力，热 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的 DOFs推导出来的（ 结构应力， 梯度）。 梯度）。 • 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs DOFs， 数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。 数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。 遵循原则: 遵循原则
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二、有限单元法简介
虽然近些年才采用了有限元这个名字，有限元的 概念在几个世纪以前就已经用过了。例如：古代数 学家用多边形逼近圆的办法求出圆周长以及圆的面 积；现在人们日常生活中丈量土地的时候也是分成 一块一块进行的，这都是利用了有限元的基本思想 －化整为零。 现代有限元法第一个成功的尝试，是Tunner， clough等人于1956年将刚架位移法推广应用于弹性 力学平面问题，在分析飞机结构时得到的成果，他 们第一次给出了用三角形单元求得平面应力问题的 正确解答。
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三、有限单元法分析步骤
2、选择位移插值函数 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变 和应力，在分析连续体问题时，必须对单元 中位移的分布做出一定的假设，一般假定位 移是坐标的某种简单函数。选择适当的位移 函数是有限单元法中的关键。 3、分析单元的力学特性 利用几何方程、本构方程和变分原理得到单 元的刚度矩阵和载荷矩阵
一组节点自由度间相互作用的数值、 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 描述（称为刚度或系数矩阵 。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
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载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点 单元组成 节点连 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连 并承受一定载荷 载荷。 接，并承受一定载荷。
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一、数值模拟方法概述
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
• 当选择了某种单元类型时 ， 也就十分确定地选择并 接受 该种单 当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受 接受该种单 元类型所假定的单元形函数。 元类型所假定的单元形函数。 • 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下，必须确保分析 在选定单元类型并随之确定了形函数的情况下， 时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。 足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题 时有足够数量的单元和节点来精确描述所要求解的问题。
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三、有限单元法分析步骤
有限元法分析问题的基本步骤 基本步骤： 基本步骤 1、结构的离散化 离散化就是将要分析的结构分割成有限个单 元体，并在单元的指定位置设置节点，使相 邻单元的有关参数具有一定的连续性，构成 单元的集合体代替原来的结构。 结构离散化时，划分的单元大小和数目应根 据计算精度的要求和计算机的容量来决定
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1、分析领域
几何体 载荷 物理系统
结构
热
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电磁 有限单元法简介
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2、分析目标
位移？
力？
还是其他？
温度？
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3、线性 / 非线性分析
“我的物理系统是在线性还是非线性状态下工作？线性 我的物理系统是在线性还是非线性状态下工作？ 求解能满足我的需要吗？如果不能， 求解能满足我的需要吗？如果不能，必须考虑哪种非线 性特性？ 性特性？” 许多情况和物理现象都要求进行非线性计 算。
单元形函数
•FEA（Finite element analysis）仅仅求解节点 FEA（ analysis） FEA 处的DOF DOF值 处的DOF值。 DOF值 •单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值 单元形函数是一种数学函数， 单元形函数是一种数学函数 规定了从节点DOF 到单元内所有点处DOF值的计算方法。 DOF值的计算方法 到单元内所有点处DOF值的计算方法。 •因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果 因此， 因此 形状” 的“形状”。 •单元形函数描述的是给定单元的一种 假定 的特性 单元形函数描述的是给定单元的一种假定 单元形函数描述的是给定单元的一种 假定的特性 。 •单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影 响求解精度。 响求解精度。
F
(a) 订书钉 F t0 t1 t2 t3
前处理（建模、 材料特性、单元 选择及划分） 进入求解器 进行求解（设 定分析步骤 ，输出变量） 进入后处理（变 形图、等值线 图，列表显示 等等后处理）
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有限单wk.baidu.com法简介
21
四、利用有限元软件进行工程分析
利用有限元软件进行工程问题的分析，一般应 按下列步骤进行： （一）、制订分析方案 需考虑以下几个方面：
2011-3-11
有限单元法简介
5
一、数值模拟方法概述
数值模拟结合计算机技术形成的应用软件在工程 中得到广泛的应用，国际上著名的有限元通用软件 有： ANSYS,MCS.PATRAN,MCS.NASTRAN,MCS.MARC ,ABAQUS,ADINA,FLAC等 它们大多采用FORTRAN语言编写，不仅包含多种条 件下的有限元分析程序，而且带有强大的前处理和 后处理程序。 大多数有限元通用软件拥有良好的用户界面、使用方 便，功能强大。
有限单元法简介 11
节点和单元 (续)
变化的。 节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J 铰接) 三维杆单元 (铰接 铰接 UX, UY, UZ I L K 二维或轴对称实体单元 UX, UY I I P M L I 2011-3-11 N K J 有限单元法简介 I J O P 三维实体结构单元 UX, UY, UZ M L N K J 12 I L K J 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ O 三维实体热单元 TEMP J 三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三、有限单元法分析步骤
6、单元应变和应力的计算 根据已知结点的位移利用弹性力学方程和位 移插值函数算出单元的应变和应力。
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四、利用有限元软件进行工程分析
所有的通用有限元软件都包括：前处 前处 求解器、后处理三个有逻辑顺序 理、求解器、后处理 的模块。在进行实际工程分析时，也 该按照以上三个模块来进行。
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有限单元法简介
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二、有限单元法简介
有限单元法的基本思想： 有限单元法的基本思想：
1、 将一个连续域离散 离散化为有限 有限个单元并通过有限个节点 节点相连接的等效集合 离散 有限 节点 体。由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不 同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。 2、 有限元法利用在每一个单元内假设的的近似函数 近似函数来分片地表示全求解域 近似函数 上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个节 点的数值和其插值函数来表达。 3、一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个节点上的数值就成为新的 未知量，从而使一个连续的无限自由度 连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度 离散的有限自由度问题。 连续的无限自由度 离散的有限自由度 4、一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数 插值函数计算出各个单元内场函数 插值函数 的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数目的增 加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精 度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近 似解最后将收敛于精确解。