2010现代设计方法作业讲解3
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T
(6)计算目标函数在点 (6)计算目标函数在点 X (1) 的梯度及梯度的模
42 19 (1) ∇f ( X ) = , − 105 19 ∇f ( X (1) ) = 5.95 > ε = 0.01
第二次迭代： 第二次迭代： （1）∇f ( X (1) ) = ）
循环迭代历次结果
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a 2.000 3.146 3.146 3.146 3.417 3.417 3.520 3.584 3.584 b 5.000 5 4.292 3.854 3.854 3.687 3.687 3.687 3.648 x1 3.146 3.854 3.584 3.417 3.584 3.520 3.584 3.623 3.608 x2 3.854 4.292 3.854 3.584 3.687 3.584 3.623 3.648 3.624 f1 -30.08 -31.69 -32.22 -31.785 -32.22 -32.12 -32.22 -32.243 -32.239 f2 -31.69 -26.764 -31.69 -32.219 -32.21 -32.22 -32.24 -32.242 -32.244
解:1） 初始区间为[a b]=[2 5],精度ε=0.05 ） 初始区间为 精度ε 精度 2） 计算内分点 ） x1=a+0.382(b-a)=2+0.382(5-2)=3.146;f1=f(x1)=-30.08 x2=a+0.618(b-a)=2+0.618(5-2)=3.854;f2=f(x2)=-31.69
42 105 ,− , 19 19
T
14 35 （ S 1） = − , 1421 1421
T
X (2) = X (1) + α (1) S (1) 将 （2） ）
函数并求极小值
14 58 35 145 = − α, + α 1421 19 1421 19
3-19
2 用梯度法求函数f ( X ) = x12 + x 2 − x1 x 2 − 10 x1 − 4 x 2 + 60 梯度法求函数 0 的极小值。 的极小值。 ε =0.01 (0) X = 0 解
∂f ∂f T ∇f ( X ) = , = （2 x1 − x2 − 10), 2 x2 − x1 − 4)} （ { (1)计算梯度： 计算梯度： 计算梯度 ∂x1 ∂x2
∂f ( X (0) + α S (0) ) 3822 4263 4263 1421 (0) （3） ） α− =0⇒ = 0⇒α = ∂α 1421 19 × 2 ×1911 19 × 1421
T
代入目标
145 14α 2 58 35α 2 145 14α 58 35α − − + + − × + 19 1421 19 1421 19 1421 19 1421 min f ( X (1) + α S (1) ) = min 145 14α 58 35α − 10 × − − 4 × 19 + + 60 1421 1421 19 1911 2 299 4263 = min( − α + α) 1421 19 19 × 1421
3）比较f1，f2， f1>f2，所以新搜索区间为 b]=[3.146 ）比较 所以新搜索区间为[a 5] 4）由于b-a=1.854>ε 需要继续迭代； ）由于 >ε,需要继续迭代 >ε 需要继续迭代； 5）第8次迭代后，新区间为 1 b]=[3.608 3.648], ） 次迭代后， 次迭代后 新区间为[x 迭代终止。 b-a =0.04 ＜ ε=0.05,迭代终止。 迭代终止
T
(2)计算函数在点 (0)的梯度及梯度的模： 计算函数在点X 的梯度及梯度的模： 计算函数在点
∇f ( X ( 0 ) ) = (− 10,−4 )
2 2
T
以单位负梯度为搜 索方向
∂f ∂f + = (−10) 2 + (−4) 2 = 2 29 ∇f ( X ( 0) ) = ∂x ∂x 1 2
*
0 ∇g 2 ( X ) = −1
*
∇f ( X * ) + λ1∇g1 ( X * ) + λ2∇g 2 ( X * ) −2 2 0 0 = + λ1 + λ2 = 0 0 −1 0
（3）
λ1 = 1, λ2 = 0
满足K-T条件，点（1，0）是约束极值点。 条件， 满足 条件 ， ）是约束极值点。
3-17
用0.618法求一元函数 0.618法求一元函数
f ( x) = 0.25 x 4 − 2 x3 / 3 − 2 x 2 − 7 x + 8
在初始区间[2，5]内 迭代精度ε 下的最优解。 在初始区间[2，5]内，迭代精度ε =0.05下的最优解。 [2 下的最优解
解： （1）起作用约束
1 x = 0
*Байду номын сангаас
g1 ( x* ) = 0,
g 2 ( x* ) = 0
（2）梯度
∂f ( X ) / ∂x1 2( x1 − 2) ∇f ( X ) = = 2x ∂f ( X ) / ∂x2 2
2 x1 2 ∇g1 ( X ) = = 2 x2 0
T
T
将 X (1) = X (0) + α (0) S (0)
5α 2α = , 代入目标函数并求其极小值 29 29
T
为单变量α的一维函数， 式中 f ( X ( 0 ) + αS ( 0 ) ) 为单变量α的一维函数，令
5α 2 2α 2 5α 2α 5α 2α (0) (0) min f ( X + α S ) = min × − 10 × − 4× + 60 + − 29 29 29 29 29 29 19 58 α) = min( α 2 + 60 − 29 29
2010现代设计方法作业讲解
3-14 对于下列模型，试用 条件判断点（ ， ） 对于下列模型，试用K-T条件判断点（1，0）是否为约束极 条件判断点 值点。 值点。
min s.t. f ( x) = ( x1 − 2) 2 + x2 2 g1 ( x) = x12 + x2 2 − 1 ≤ 0 g 2 ( x) = − x2 ≤ 0 g3 ( x) = − x1 ≤ 0
(3)因为 不满足精度指标，转入第(4 (4） (3)因为 ∇f ( X ( 0 ) ) = 2 29 > ε ，不满足精度指标，转入第(4）步； 出发， 一维搜索， (4)从 (4)从X(0)出发，沿着方向 S(0)一维搜索，
S (0)
(− 10,−4) = 5 , 2 ∇f ( X ( 0 ) ) =− =− ∇f ( X ( 0 ) ) 2 29 29 29
∂f ( X (0) + α S (0) ) 38 58 29 29 (0) =0⇒ α − = 0⇒α = ∂α 29 19 29 29 29 所以求得一维优化的最优步长 所以求得一维优化的最优步长 α (0) = 19
(5)新点 (5)新点
X (1) = X (0) + α (0 ) S (0) 145 58 = , 19 19
(6)计算目标函数在点 (6)计算目标函数在点 X (1) 的梯度及梯度的模
42 19 (1) ∇f ( X ) = , − 105 19 ∇f ( X (1) ) = 5.95 > ε = 0.01
第二次迭代： 第二次迭代： （1）∇f ( X (1) ) = ）
循环迭代历次结果
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a 2.000 3.146 3.146 3.146 3.417 3.417 3.520 3.584 3.584 b 5.000 5 4.292 3.854 3.854 3.687 3.687 3.687 3.648 x1 3.146 3.854 3.584 3.417 3.584 3.520 3.584 3.623 3.608 x2 3.854 4.292 3.854 3.584 3.687 3.584 3.623 3.648 3.624 f1 -30.08 -31.69 -32.22 -31.785 -32.22 -32.12 -32.22 -32.243 -32.239 f2 -31.69 -26.764 -31.69 -32.219 -32.21 -32.22 -32.24 -32.242 -32.244
解:1） 初始区间为[a b]=[2 5],精度ε=0.05 ） 初始区间为 精度ε 精度 2） 计算内分点 ） x1=a+0.382(b-a)=2+0.382(5-2)=3.146;f1=f(x1)=-30.08 x2=a+0.618(b-a)=2+0.618(5-2)=3.854;f2=f(x2)=-31.69
42 105 ,− , 19 19
T
14 35 （ S 1） = − , 1421 1421
T
X (2) = X (1) + α (1) S (1) 将 （2） ）
函数并求极小值
14 58 35 145 = − α, + α 1421 19 1421 19
3-19
2 用梯度法求函数f ( X ) = x12 + x 2 − x1 x 2 − 10 x1 − 4 x 2 + 60 梯度法求函数 0 的极小值。 的极小值。 ε =0.01 (0) X = 0 解
∂f ∂f T ∇f ( X ) = , = （2 x1 − x2 − 10), 2 x2 − x1 − 4)} （ { (1)计算梯度： 计算梯度： 计算梯度 ∂x1 ∂x2
∂f ( X (0) + α S (0) ) 3822 4263 4263 1421 (0) （3） ） α− =0⇒ = 0⇒α = ∂α 1421 19 × 2 ×1911 19 × 1421
T
代入目标
145 14α 2 58 35α 2 145 14α 58 35α − − + + − × + 19 1421 19 1421 19 1421 19 1421 min f ( X (1) + α S (1) ) = min 145 14α 58 35α − 10 × − − 4 × 19 + + 60 1421 1421 19 1911 2 299 4263 = min( − α + α) 1421 19 19 × 1421
3）比较f1，f2， f1>f2，所以新搜索区间为 b]=[3.146 ）比较 所以新搜索区间为[a 5] 4）由于b-a=1.854>ε 需要继续迭代； ）由于 >ε,需要继续迭代 >ε 需要继续迭代； 5）第8次迭代后，新区间为 1 b]=[3.608 3.648], ） 次迭代后， 次迭代后 新区间为[x 迭代终止。 b-a =0.04 ＜ ε=0.05,迭代终止。 迭代终止
T
(2)计算函数在点 (0)的梯度及梯度的模： 计算函数在点X 的梯度及梯度的模： 计算函数在点
∇f ( X ( 0 ) ) = (− 10,−4 )
2 2
T
以单位负梯度为搜 索方向
∂f ∂f + = (−10) 2 + (−4) 2 = 2 29 ∇f ( X ( 0) ) = ∂x ∂x 1 2
*
0 ∇g 2 ( X ) = −1
*
∇f ( X * ) + λ1∇g1 ( X * ) + λ2∇g 2 ( X * ) −2 2 0 0 = + λ1 + λ2 = 0 0 −1 0
（3）
λ1 = 1, λ2 = 0
满足K-T条件，点（1，0）是约束极值点。 条件， 满足 条件 ， ）是约束极值点。
3-17
用0.618法求一元函数 0.618法求一元函数
f ( x) = 0.25 x 4 − 2 x3 / 3 − 2 x 2 − 7 x + 8
在初始区间[2，5]内 迭代精度ε 下的最优解。 在初始区间[2，5]内，迭代精度ε =0.05下的最优解。 [2 下的最优解
解： （1）起作用约束
1 x = 0
*Байду номын сангаас
g1 ( x* ) = 0,
g 2 ( x* ) = 0
（2）梯度
∂f ( X ) / ∂x1 2( x1 − 2) ∇f ( X ) = = 2x ∂f ( X ) / ∂x2 2
2 x1 2 ∇g1 ( X ) = = 2 x2 0
T
T
将 X (1) = X (0) + α (0) S (0)
5α 2α = , 代入目标函数并求其极小值 29 29
T
为单变量α的一维函数， 式中 f ( X ( 0 ) + αS ( 0 ) ) 为单变量α的一维函数，令
5α 2 2α 2 5α 2α 5α 2α (0) (0) min f ( X + α S ) = min × − 10 × − 4× + 60 + − 29 29 29 29 29 29 19 58 α) = min( α 2 + 60 − 29 29
2010现代设计方法作业讲解
3-14 对于下列模型，试用 条件判断点（ ， ） 对于下列模型，试用K-T条件判断点（1，0）是否为约束极 条件判断点 值点。 值点。
min s.t. f ( x) = ( x1 − 2) 2 + x2 2 g1 ( x) = x12 + x2 2 − 1 ≤ 0 g 2 ( x) = − x2 ≤ 0 g3 ( x) = − x1 ≤ 0
(3)因为 不满足精度指标，转入第(4 (4） (3)因为 ∇f ( X ( 0 ) ) = 2 29 > ε ，不满足精度指标，转入第(4）步； 出发， 一维搜索， (4)从 (4)从X(0)出发，沿着方向 S(0)一维搜索，
S (0)
(− 10,−4) = 5 , 2 ∇f ( X ( 0 ) ) =− =− ∇f ( X ( 0 ) ) 2 29 29 29
∂f ( X (0) + α S (0) ) 38 58 29 29 (0) =0⇒ α − = 0⇒α = ∂α 29 19 29 29 29 所以求得一维优化的最优步长 所以求得一维优化的最优步长 α (0) = 19
(5)新点 (5)新点
X (1) = X (0) + α (0 ) S (0) 145 58 = , 19 19