一致连续偏序集的特征和浓度
【国家自然科学基金】_连续偏序集_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
推荐指数 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
科研热词 特征 浓度 模糊round理想完备化 模糊round理想 模糊domain 序同态 局部基 一致连续偏序集 一致极小集 z-连通连续偏序集 z-连通scott拓扑 z-连通lawson拓扑 l-抽象基
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2011年 科研热词 范畴 自然连续 自然偏序集 自然way-below关系 自然scott拓扑 权 有界完备的κ -domain 拟连续偏序集 拟c-偏序集 基 偏序集 κ -空间 κ -dcpo z-连通连续偏序集 z-连通scott拓扑 z-连通lawson拓扑 monadic范畴 cartesian闭性 c-偏序集 (&)*收敛 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
科研热词 基 一致连续偏序集 一致scott拓扑 z-连续偏序集 连续 范畴 群 稠密度 特征 权 拟半连续格 强半连续映射 局部基 函数空间 偏序集 余积 交半连续格 一致lawson拓扑 z-连续 z-完备偏序集 z-半连续偏序集的基 z-半连续偏序集 z-半代数偏序集 domain模型 (←)-关系
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
与偏序集相容的全序求法
摘要：本文旨在探讨如何将一个偏序集转换为与之相容的全序集。
全序集在数学和计算机科学中有着广泛的应用，而偏序集是全序集的一种特殊形式。
通过引入适当的排序规则，我们可以将偏序集中的元素进行重新排列，使其满足全序集的性质。
本文将介绍一种基于最小生成树的全序求法，并通过实例分析其有效性和实用性。
一、引言偏序集和全序集是数学中常见的概念。
偏序集（部分有序集）是指具有偏序关系的集合，即对于集合中的任意两个元素，它们之间可能存在“小于等于”的关系，但未必存在“小于”或“大于”的关系。
全序集（线性有序集）是偏序集的一种，其中任意两个元素之间都存在“小于等于”和“大于等于”的关系。
全序集在数学分析、计算机科学等领域有着广泛的应用。
将偏序集转换为与之相容的全序集，即在全序集中保持偏序集中的元素关系，是一个重要的数学问题。
本文将介绍一种基于最小生成树的全序求法，通过构建最小生成树，将偏序集中的元素重新排列，使其满足全序集的性质。
二、最小生成树的全序求法1. 定义设 \( P \) 是一个偏序集，\( P = \{a_1, a_2, ..., a_n\} \)。
我们需要找到一种排列 \( \sigma = (a_{\sigma(1)}, a_{\sigma(2)}, ..., a_{\sigma(n)}) \)，使得对于任意的 \( i, j \in \{1, 2, ..., n\} \)，若 \( a_i \leq a_j \) 在 \( P \) 中成立，则 \( \sigma(i) \leq \sigma(j) \) 在 \( \sigma \) 中也成立。
2. 最小生成树构建（1）构建 \( P \) 的边集 \( E \)，其中 \( E \) 包含所有满足 \( a_i \leq a_j \) 的边 \( (a_i, a_j) \)。
（2）在 \( E \) 中寻找最小生成树 \( T \)，使得 \( T \) 中的边数最小，并且 \( T \) 连接 \( P \) 中的所有元素。
关于函数一致连续性的研究
II
关于函数一致连续性的研究
目录
第一章 绪 论 ....................................................... 1 1.1 选题背景........................................................ 1 1.2 研究意义........................................................ 1
第四章 常见函数的一致连续性问题 .................................... 18 4.1 基本初等函数的一致连续性....................................... 18
4.1.1 幂函数.......................................................... 18 4.1.2 指数函数 ........................................................ 19 4.1.3 对数函数 ........................................................ 20 4.1.4 三角函数 ........................................................ 21 4.1.5 反三角函数 ...................................................... 22
3.8 二元函数的一致连续性问题....................................... 16
一致连续偏序集上的序同态
一致连续偏序集上的序同态<p>在数学上，一致连续偏序集上的序同态是一种建立在一致连续偏序集上的关系，它可以用来证明复合语法正确性和优先行为的正确性。
一致连续偏序集上序同态的定义是：如果两个一致连续偏序集（x，≤）和（y，≤）存在一个连续序列s，使得每个s（i）∈x中的元素和s （i）∈y中的元素之间存在弱序关系，则称序列s是x和y上的序同态（order-isomorphism）。
<p>1、什么是一致连续偏序集？<p>一致连续偏序集是一个可以用偏序关系≤来定义的空间，记作（X，≤），其中X是数量有限的集合，而≤是关系“小于等于”的一般化。
它的连续性要求，当X中的元素x满足有(x_1≤x_2≤…≤x_n)时，那么x_1和x_n之间应该也存在小于等于的关系。
<p>2、序同态的定义<p>序同态的定义是：一致连续偏序集（x，≤）和（y，≤）存在一个连续序列s，使得每个s（i）∈x中的元素和s（i）∈y中的元素之间存在弱序关系，则称序列s是x和y上的序同态。
<p>3、序同态的特点<p>序同态的特点就是可以把一个序列建立在一致连续偏序集的环境中，并利用序同态来证明该序列有效。
此外，序同态还支持证明复合语法正确性和优先行为的正确性，因为这两项都是由序同态定义出来的。
<p>4、序同态的用途<p>1）序同态可以用来验证数据结构、算法、过程等的一致性。
例如，序同态可以用来检查数据结构是否在两个序列上具有一致性。
<p>2）序同态可以应用于推理和证明，帮助程序员更好地理解和排查问题，提高代码的质量。
<p>3）序同态可以用来比较两个相关系统的动作，确定它们的相互联系和能力，以及它们协作的可能性和水平。
<p>4）序同态可以用来检验复杂系统的状态和缺陷，从而消除系统的故障，改善系统性能。
【集合论】03-序集和序数
【集合论】03-序集和序数1. 势 在上⼀篇我提过⾃然数“量”和“序”的双重性质，如果再仔细斟酌，“量”其实是由“序”产⽣和决定的，把有限的元素按某个顺序排列起来，正是我们确定其数量的过程。
那么对于⽆穷集，“量”和“序”还有这样的关系吗？⽆穷集的“量”和“序”⼜该如何定义呢？既然它们产⽣于⾃然数，那么答案⾃然就在⾃然数的扩展中。
对于有限集的量n，可以看作是有限集的元素与n的元素的⼀⼀对应。
这个直观的⽅法同样适⽤于⽆穷集，如果能找到⼀个标尺，将⽆穷集的元素和标尺的元素⼀⼀对应，那就能得到⽆穷集的“量”。
暂且不管这个标尺是什么，我们需要先检验这个⽅法的合理性，⾄少“相等”是可以被定义的。
直觉上我们往往采⽤⼤⼩或包含关系来推导集合是否⼀样⼤，但这样的直觉却是不可靠的，也不是⼀种良性的定义，数学上需要“好”的定义。
对于存在⼀⼀映射的两个集合A、B称其为等势（equinumerous），记做A≈B，容易证明，等势可以作为“量相等”的定义。
有时可以找到⼀些函数，使得局部和整体能⼀⼀映射，⽐如2n映射了⾃然数和偶数，cotπx映射了(0,1)和实数R，所以它们也是“⼀样⼤”的。
“⼤于”、“⼩于”也可以⽤类似的⽅法定义：如果从集合A到集合B存在单射，则称A受制于B，记作A≼。
如果A、B不等势，称A严格受限于B，记作A \prec B。
受制的良性需要保证，这就是如下的SB定理（Schröder-Bernstein）。
证明中假设分别有单射f:A\to B和g:B\to A，需要构造A、B的分割，使得f(A_1)=B_1、g(B_2)=A_2。
对X\in A，记X^*=A-g(B-f(X))，从A开始逐渐缩⼩X，并保证X^*\subseteq X，最⼩的那个（满⾜条件的X的交）便是A_1。
SB定理是判断集合等势的有⼒武器，⽤它可以轻松证明任何区间都与实数集\Bbb R等势。
有受制关系的集合称为可较的，它是⽐较集合⼤⼩的“好”定义，但问题是所有集合都可较吗？这个问题需要暂且搁置，后⾯再提。
超Sober空间与k-有界Sober空间的性质
超Sober空间与k-有界Fra bibliotekober空间的性质
唐 友, 杨金波
(江西师范大学 数学与信息科学学院, 江西南昌 330022)
摘 要: 讨论了超Sober空间与k-有界Sober空间的一些性质, 厘清相关拓扑之间的关 系. 特别地证明了一个空间是超Sober空间当且仅当其Smyth上幂空间为超Sober空间; 任意一族k-有界Sober空间的积空间为k-有界Sober空间. 关键词: 超Sober空间; k-有界Sober 空间; 上幂空间 中图分类号: O153; O189 文献标识码: A 文章编号: 1000-4424(2020)03-0367-07
收稿日期: 2019-12-01 修回日期: 2020-04-07 基金项目: 国家自然科学基金(11361028; 11761034); 江西省教育厅科技项目(GJJ150344)
368
高校应用数学学报
第35卷第3期
从另一角度来看, 由于Sober空间在非Hausdroff拓扑与Domain理论中的重要地位, 比Sober 空间更强的超Sober空间以及作为Sober空间推广的k-有界Sober空间本身就具有研究的价值. 本文将进一步研究超Sober空间与k-有界Sober空间的性质, 厘清超Sober拓扑, k-有界Sober拓 扑与T2, T1, T0拓扑以及Sober拓扑之间的关系. 下文将讨论它们的乘积空间, 子空间的性质, 超Sober空间, k-有界Sober空间在连续映射下的保持性以及对Smyth上幂空间构造的封闭性. 特别地证明了一个空间为超Sober空间当且仅当其Smyth上幂空间为超Sober空间; 若拓扑空 间X的Smyth上幂空间为k-有界Sober空间, 则空间X为k-有界Sober空间; 一族k-有界Sober空间 的积空间仍为k-有界Sober空间.
Z-连续偏序集的特征与稠密度
人在文 ［］ ２ 中提出了更为一般的概念 ， ｚ 连续偏序集的概念． 即 ＿ 许多人对此进行 了研究 ， 并将 Ｄ ｍ ｉ理论 中 ｏａ ｎ 许 多结果 推广至 了 ｚ 连 续偏序集 上 ． ＿ 在文 ［］ ， 彬和刘 妮讨论 了连续 ｄｍ ｉ的特 征 与浓 度 ． 文将 其推 ３中 赵 ｏ ａｎ 本
摘要： 该文引入了 二 连续偏序集的局部基和稠密子集的概念 ， 基于此定义了 连续偏序集的特征和稠
密度 ； 出了局部基的刻画 ， 给 并讨论 了 连续偏序集 的特征和稠密度与 连续偏序集上 Ｚ Ｓｏ 拓扑和 ＿ｃｔ ｔ Ｚ Ｌｗ ｏ 拓扑的特征 、 － ａ ｓｒ ｌ 稠密度之间的关 系； 明了 连续偏序集上 Ｚ Ｓｏｔ 证 －ｃｔ拓扑的特征小于或 等于 Ｚ 连 ＿
维普资讯
第 ３ 卷第 ３ ２ 期
江西 师范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＵＲ ＡＬＯＦＪＡ Ｘ Ｒ Ｌ Ｈ『 ０ Ｎ Ｉ ＮＧ ＩＮＯ ＭＡ Ｉ、 ⅣＥＲ ｒ１（ ＡＴ ＲＡ ＣＥ Ｅ ｓ Ｉ Ｎ Ｕ Ｌ Ｓ ＩＮＣ Ｙ
定 义 ７ 设 Ｐ为 Ｚ 完 备 偏 序 集 ， ｏ （ ． 令 ． Ｐ）＝ ｛ Ｕ ＝ 十 且 ＶＳＥ Ｚ（ ，ｕ ｓＥ ＝ ５ ｎ ｚ Ｕ ｃ Ｐ： Ｐ）ｓｐ ＝ ＞ Ｕ ≠ ｝ 以 （ 为 开子 基生成 的拓扑称 为 Ｐ上 的 Ｚ Ｓ ｏ 拓 扑 ， ， Ｐ） － ｃｔ ｔ 记为 ｚ Ｐ） （ （ ． Ｐ）＝ Ｏ （ ｚ ＂ Ｐ）Ｖ ｃ（ 称 Ｚ Ｕ Ｐ）
广至 ｚ 连续偏 序集 情形 ， ＿ 得到 了一系 列相应 的结果 ．
１ 预备知识
在本 文 中 ，ｏｅ表 示所有 以偏序 集为对 象 ， 序映射 为态射 的范 畴 ；ｅ表示 集合 范畴 ． Ｐ ｓｔ 保 Ｓｔ
9.6偏序关系
9.6偏序关系9.6偏序关系(Partial Order)偏序(Partial Order)定义:偏序(Partial order)：定义在A上的集合R是偏序关系iff(当且仅当)其具有以下性质:1. ⾃反性(reflexive)2. 反对称性(antisymmetric)3. 传递性(transtive)NOTE: R记作≼，注意这⾥的≼不必是指⼀般意义上的“⼩于或等于”,若有x≼y，我们也说x排在y前⾯（x precedes y).偏序集(Partially ordered set)/(或简写为poset): 集合A及定义在其上的偏序关系R⼀起称为偏序集，记作(A, R)，A中的元素也称为偏序集中的元素.线序/全序(Linear Order)如果(A, ≤)是⼀个偏序集(poset)，那么对于其中的元素a和b,1. a≤b 或者 b≤a,那么称为可⽐的(Comparable)2. 即不存在a≤b，也不存在b≤a,那么称为不可⽐的(Imcomparable)如果偏序集A中每对元素(every pair of elements)都是可⽐的，那么我们就称A是线序集合(linearly ordered set)或全序集合(totally ordered set),称偏序关系R为线序或全序关系(linear order). 我们也称A为链(chain).良序集(Well-ordered set)定义:设集合(S,≤)为⼀全序集，≤是其全序关系，若对任意的S的⾮空⼦集，在其序下都有最⼩元素，则称≤为良序关系，(S,≤)为良序集。
拟序(Quasiorder)定义:定义在A上的关系R是拟序关系iff其具有以下关系1. 反⾃反性(irreflexive)2. 传递性(transitive)NOTE:满⾜反对称性的拟序关系就称为偏序关系乘积偏序(Product Partial Order)如果(A, ≤)和(B, ≤)都是偏序集，那么他们的笛卡尔积也是个偏序集，其偏序关系≤被定义为:如果在A中有a ≤ a'，在B中有b ≤ b'，那么(a, b) ≤ (a', b')词典顺序(Lexicographic Order)对于⼀个乘积偏序，(a, b) ＜ (a', b')在a ＜ a'(或a == a'并且b ＜ b')时成⽴那么我们称其为词典顺序(Lexicographic Order)或字典序(“dictionary” order)哈斯图(Hasse Diagram)哈斯图是有限集A上的偏序图，并且:删除了所有的⾃环(self-cycles)消除了由传递性⽣成的边⾃底向上的制图设(S, ≤)是⼀个poset. 若x＜y且不存在元素z∈S，使得x＜z＜y，则称y∈S覆盖x∈S.⽽y覆盖x的有序对(x, y)的集合也称为(S, ≤)的覆盖关系.可以看出，(S, ≤)的哈斯图的边与其覆盖关系是⼀⼀对应的.同构(Isomorphism)对应原理(Principle of Correspondence)两个有限同构偏序集必定具有相同的Hasse图.拓扑排序(Topological Sorting)极⼤元(maximal element)和极⼩元(minimal element)定义:偏序集中的⼀个元素称为极⼤(⼩)元，当它不⼩(⼤)于这个偏序集中的任何其他元素, 利⽤哈斯图很容易判别它们就是图中的"顶"("底")元素极⼤(⼩)元⼀定存在，且可能是不唯⼀的最⼤元(greatest element)和最⼩元(least element)定义:如果在偏序集中存在⼀个元素⼤(⼩)于任何其他的元素，那么称这样的元素为最⼤(⼩)元最⼤(⼩)元可能不存在，若存在则唯⼀最⼩上界(least upper bound)和最⼤上界(greatest lower bound)定义:如果存在⼀个元素u(l)∈S，使得对于偏序集(S, ≤)的⼦集A中的所有元素a，有a≼u(l≼a)，那么称u(l)为A的⼀个上(下)界，如果u(l)是所有上(下)界中最⼩(⼤)的，就叫最⼩上界(LUB)(最⼤下界(GLB))上界的最⼩元就叫最⼩上界；下界的最⼤元叫最⼤下界(Topological Sorting)定义:对⼀个有向⽆环图DAG(Directed Acyclic Graph)G进⾏拓扑排序，是将G中所有顶点排成⼀个线性序列，使得图中任意⼀对顶点u 和v，若边<u,v>∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。
连续SOM聚类的一致性分类算法
连续SOM聚类的一致性分类算法第22卷第3期2009年7月烟台大学(自然科学与工程版)JournalofYantaiUniversity(NaturalScienceandEngineeringEdition)V o1.22No.3Ju1.2009文章编号:1004-8820(2009)03-0193-05连续SOM聚类的一致性分类算法吕威(北京师范大学珠海分校信息技术学院,广东珠海519085)摘要:数据集的质量会极大地影响分类算法的精度,针对一类隐式互斥的数值型数据提出了一致性分类方法.借鉴连续函数的思想,提出了数值型连续数据的分类一致性定义;改进了SOM算法的计算过程,使其满足文中提出的分类一致性最优条件.通过改进的SOM方法得到一个新的聚类数据集,减少了原始数据集中容易出现的隐式分类不一致性问题,从而有效地提高了分类方法的效率和分类精度.通过在一个实际的数据集上的比较,表明提出的算法的预测精度明显优于其他算法.进而还从VC维的角度分析了提出算法的优点.关键词:连续;聚类;SOM方法;一致性分类;VC维中图分类号:TP181文献标识码:A数据质量0正在获得越来越多的关注,数据质量一般可用数据的一致性(consistency),正确性(correctness),完整性(completeness)和最小性(minimality)来衡量J.文献[4]对数据质量的研究进行了总结,文献[5]对数据质量中数据清洗的研究进行了综述.数据的一致性是数据质量中非常重要的一个衡量标准,在一般定义中,数据的一致性是指同一个数据在同一时刻只有一个值,实际数据库应用中存在着大量的不一致性数据,如多数据源数据],重复数据,矛盾互斥数据等.已提出了很多对不一致数据进行处理的方法,如文献[9]对不一致数据的处理从数据模型的角度给出了一条新思路,但都集中在对明显的不一致性互斥数据进行研究.针对数据集内部隐含的不一致性的处理方法,即将数据不一致性和分类算法放在一起研究,还很少看到类似文献.分类问题一直是人工智能领域的重点研究对象¨,也是目前机器学习和模式识别的研究热点.最简单的是2类分类问题:假设样本数据集(,Y.),…,(f,Yf)∈X×{±1},这里是d维向量,来自一个非空的域,也称为输入值,而Y称为目标值或者分类值.分类问题就是根据这些给定的样本找到一个函数依赖:一±1.从经典的最小二乘法到复杂的神经网络方法,以至目前国内外的研究热点支持向量机SVM(Support V ectorMachine)方法¨¨,核(Kerne1)方法[12,都在分类问题上有着不同的应用.但不论这些方法如何精确,如果数据集内部隐含存在分类不一致性,则得到分类结果不会准确.本文尝试对数值型分类问题中的一致性分类进行定义,特别对关于SOM(Self-OrganizingMap)方法¨的分类一致性进行详尽地定义和分析.用连续SOM算法聚类后得到的类中心点构成新的数据集,新数据集可以提高本文定义的分类一致性,在原始数据集和聚类数据集上进行BP神经网络分类算法的训练.通过对比发现,分类精度跟本文提出的分类一致性定义之间的联系是一条有收稿日期:2009-03-20基金项目:国家自然科学基金资助项目(10531040).作者简介:吕威(1978一),男,湖南邵阳人,讲师,博士,主要研究数据分析和机器学习l94烟台大学(自然科学与工程版)第22卷规律的曲线,可以根据规律选择适当的分类一致性,从而得到最优的分类精度.1分类一致性定义1.1数据集分类一致性定义分类一致性还没有一个统一的定义,鲁棒性和容忍度都是和分类一致性有密切关联的概念.本文初步给出一个数据集分类一致性的定义.为简单起见,这里用2类问题作为例子.定义称样本空间XX{±1}关于度量是P一致的,是指V(Xf,Yf),(X2,Y2)∈X×{±1},Vs>0,]6(),满足:女口果PI(Xl,X2)≤(),贝0po(Yl,Y)≤s.这里,p,p.分别是输入,输出的距离度量,一般取同样的度量,如欧氏距离,马氏距离等.1.2SOM的分类一致性定义自组织映射学习算法SOMll纠是一种无监督(unsupervised)的学习算法,它拥有一定数量的神经元格点(cells).网络的格点通过无监督学习将分别倾向于不同的类.一个新的输人样本将刺激相应的一个格点或者一群格点,使得格点的排列趋向于有序,网络中处于不同位置的格点将对应于不同的类.换句话说,学习的结果将使网络中格点的分布与样本数据分布相吻合,每个格点都是聚好的类的中心点,可以代表一组相似的样本数据.由于SOM产生了一组原型向量(格点)来代表数据集,而且执行了一个从高维输入空间到更低维网格空间的保持原型向量拓扑结构的映射,使其特别适合数据考察.为了适合SOM算法的特点,定义下面的△,并用来近似度量用SOM聚类以后得到的数据集的分类一致性.假设为一个类c的中心点(原型向量),S(i=1,2,…,k)是c类中的样本.记M=(Mf;m),其中:M=(ml,m2,…,md).S=(S,;,,),i:1,2,…,JI}其中:S.f=([1'…,),i=1,2,…,.m和Y是输出值,而SOM算法只在和Sc上运行,不涉及,i,t到输出值.基于距离度量P.,P.,有:△=po(mY)/vI(S.),=1,2,…,k.(木)由这个公式可知,在聚类过程中,每一类中样本数据和原型向量(类中心点)输入值聚合的越好越紧密,即P.(Mcl,S".)越小,则上述△值越大.根据后面的实验观察,随着△增大,预测的精度有一个变化规律,证明我们定义的△较好刻画了数据集的分类一致性程度.2连续SOM聚类的一致性分类方法先对数据集使用SOM方法进行聚类,得到的原型向量(类中心点)构成了一个新的聚类数据集,使用新的数据集作为训练数据集来训练学习算法,使用的分类算法是反向传播BP(Back.Prop—agation)算法.结合SOM方法和BP方法,得到了连续SOM聚类的一致性分类算法.假设样本数据为一个d 维向量,样本集合为{Xf=[…,]If.∈,l,≤≤2}.用SOM学习后输出个节点,每个节点都是一个原型向量(权重向量):Wj=[.,,…,],,=1,2,…,第t(t=0,1,2,…)步的原型向量记为(t).在用SOM聚类后的新数据集作训练数据集时,原始数据集的数据只会使用到一部分,用< TrainingSamplesUsed>来记训练过程中用到原始数据集中的样本百分比.算法1连续SOM聚类的一致性分类算法.反复执行(1)～(7)步,求出△<TrainingSamplesUsed>取最大值时的SOM最优原型向量:(1)随机初始化原型向量(权重向量).(2)从样本集中随机挑出一个样本X=[,,…,]作为输入.(3)在第t步,根据X从原型向量集中找出最优匹配点BMU(BestMatchingUnit),即在某种距离度量下,原型向量中与最相似的点.(4)计算BMU的邻域Ⅳ(c,t),这里c是BMU在原型向量中的索引.(5)用下式更新原型(权重)向量:,wj(t)+aj(c,t)[X—wj(t)],【￡+1){∈N(c,t),(t),其他.第3期吕威:连续SOM聚类的一致性分类算法195 (6)如果基于更新阈值的终止条件满足或者达到最大训练步数,则转(7),否则￡一f+1,转(2).(7)根据()式计算得到的△"值,计算△<TrainingSamplesUsed>值.接着进行分类学习:(8)用(6)得到的那组最优原型向量W(=1,2,…,M)作为BP算法的输入,对BP网络进行学习,用梯度下降法修正网络中输入节点,隐层节点和输出节点之间的相互联系权值,最后得到一个学好的神经网络.(9)对新来待预测的数据,就将其输入到BP网络进行运算,预测出Y值.这里aj(c,t)=Ot(t)exp[一llr,一rc【l/6(t)]称为邻域函数,Ot(t)∈(0,1)是一个学习率函数,随着循环次数t的增加而单调递减.r和是原型向量.6(t)对应领域函数的宽度,也是随t而单调递减.这些都是可调参数.3问题定义和试验结果的对比分析利用UCIAbalone数据集中的数据来验证模型,这个数据集由4177条样本数据组成,每条记录由8个物理度量(特征属性)和1个年龄属性(目标属性)构成.一条记录的例子如表1所示.这条记录表明此鲍鱼体处于Rings为15的年龄段罩.表1鲍鱼数据例子Tab.1Abalonedatasetsample在这个数据集上的预测任务就是根据鲍鱼体的一些身体特征因素来判断它处于生命周期的哪个年龄段(1—29).按与其他方法相同的方式来划分数据集,即最后1044个样本作为测试集,前3133个样本作为训练集.另外,为了使用BP方法,还要做一些数据预处理,如将连续值映射到(0,1)范围上;将名词性的属性值用数值代替,用0,1和2分别代替雄性,雌性和幼鱼.3.1任务一:29类的预测问题即1～29每一年算一年龄段.已有的各种方法预测精度如下:24.86%Cascade一相关方法(没有隐藏节点) 26.25%Cascade一相关方法(5个隐藏节点)21.5%C4.5方法0.0%线性区别分析方法3.57%k=5最近邻法结合SOM无监督聚类的一致性分类算法的结果如表2所示.<ConsistencyRate>是用△衡量的一致性度量(参见公式()),也跟这个具体数据集数据分布有关,它随着SOM算法的参数的选择变化而变化.在SOM聚类算法中适当选择参数,使<ConsistencyRate>一直保持增长,即让聚类后数据集的分类一致性越来越好.<TrainingSam一表229类分类问题算法结果Tab.2Resultof29categoricclassificationproblem ConsistencyTrainingSamplesTrainingTestAccuracy RateUsed/%Depth/%/%plesUsed>是训练过程中用到训练集中的样本百分比.<TrainingDepth>表明当神经网络通过训练集学习达到稳定后,再用训练集来做测试时所能达到的精度,这也可以反映出神经网络的训练程度.<TestAccuracy>是用测试集(样本集最后1044样本)做测试时所能达到的精度.从上面可以看出,结合SOM无监督聚类的一致性分类算法的预测精度比其他方法有了明显的提高.而对这个模型本身来说,随着定义的分类一致性的增加,<TrainingDepth>一直保持增196烟台大学(自然科学与工程版)第22卷长,而<TestAccuracy>总体上高于原来一些方法,开始时保持上升,在某一数值达到最大值以后,又有所下降.这说明最初通过聚类改善了数据集的一致性,预测精度提高,后来由于聚类力度过大,原型向量的数目减少,可以给BP网络训练的样本数太少,变成小样本的学习问题,预测精度开始下降.这表明只要适当控制SOM算法中的参数,则结合SOM无监督聚类的一致性分类算法是有效的,SOM方法在"光滑"数据集中的"坏"数据起到较好的作用,提高了BP方法的预测精度.3.2任务二:3类问题预测按1～8年龄段,9和10年龄段,11以上年龄段将鲍鱼分成3类.已有的各种方法结果如下:64%BP方法55%Dystal方法61.40%Cascade一相关方法(无隐藏节点)65.61%Cascade一相关方法(5个隐藏节点)59.2%C4.5方法32.57%线性区别分析方法62.46%k=5最近邻法结合SOM无监督聚类的一致性分类算法的实验结果见表3.表33类分类问题算法结果Tab.3Resultof3categoryclassificationproblem ConsistencyTrainingSamplesTrainingTest RateUsed/%Depth/%Accuracy/%同样,可以看到结合SOM无监督聚类的一致性分类算法的预测精度更好.另外,比较表2和表3,可以发现表3中的<TrainingDepth>和<TestAccuracy>明显高于表2.这是因为2个表处理的任务不同,第1个任务要分29类预测,而第2个任务只要考虑3类问题,显然简单了,而2个问题用的是同一数据集,所以表3的结果要比表2好.4一致性分类方法的分析可从数据预处理¨和SLT(StatisticLearning Theory)¨两方面来分析模型.模型中SOM的聚类其实是对数据集的一个预处理过程.根据输入样本完成原型向量的自组织和自适应的训练后,SOM对原始数据完成了聚类,每一个原型向量都是一个类中心,周围是一些相似的样本数据.原型向量的分布模拟逼近了原始数据的分布,但其元素个数要少得多,成为我们感兴趣的研究对象.这表明,可以通过原型向量来代替原始数据集,并"光滑"化相互分类不一致的"坏"数据,使数据集的容量和数据集的分类不一致性同时得到减少,以利于提高预测和分类的精度.在SLT理论中,实际风险尺和经验风险R…的关系满足下式:Rz(Olf)≤R.(OL)+(1/h),其中:,对应给定Z个样本之后,取得最小经验风险的函数下标.h是用来衡量学习机器的复杂程度的VC维,(IT/,)随m单调减小.分类问题需要最小化R(),并使R…()充分逼近R(BP的模型是在固定z和h的情况下最小化R…(),现在利用SOM来平滑样本数据集中的分类不一致性,可以减少样本数据集的复杂度,使h比f更快地减少_】,从而使得尺…(Ot)可以更好地逼近R(OL),即有更小的实际风险,因此提出的结合SOM无监督聚类的一致性分类算法有更好的推广性,从而有更好的分类精度,这从上面的试验结果中得到了体现.5结论和展望本文对数值型分类问题提出了分类一致性定义,特别对关于SOM方法的分类一致性进行了定义.基于SOM的聚类特征,提出可用SOM对数据集进行聚类,以提高数据集的分类一致性和减少数据集的容量.我们发现数据集的分类一致性的提高有效地增加了神经网络的训练程度和预测精度.也就是说,利用SOM的聚类"帮助"了BP的算法.结合SOM无监督聚类的一致性分类算第3期吕威:连续SOM聚类的一致性分类算法197 法的预测效果要好于单纯的BP模型.本文认为原型向量集是"好"的数据源,但没有得到证明,需继续深入探讨.SOM算法中的参数选择与聚类后数据集的分类一致性的关系还需从理论上进一步得到定义和阐明,文中对分类一致性概念的定义也很初等,怎样给出一个完善的定义以解决一系列后继问题,这些都还有待研究.另外,使用其他聚类算法如一均值法等的结果会如何,也是值得注意的方向.参考文献:[1]WinklerWE.Methodsforevaluatingandcreatingda—taquality[J].InformationSystem,2004,29:531-550. 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ConsistentClassificationAlgorithmBasedonContinuousSOMClusteringLVWei(SchoolofInformationTechnology,BeijingNormalUniversityZhuhaiCampus,Zhuhai519 085,China)Abstract:Dataqualitygreatlyaffectstheprecisionofclassificationmethods.Inthispaper,we presentaneffi—cientc. onsistentclassificationalgorithmbasedoncontinuousSOMclusteringforinherentconflicti ngnumericaldata.WeproposeanimprovedSOMalgorithminordertosatisfytheconsistentclassificationo ptimizationcon—dition.TheresultingclustereddatasetfromtheimprovedSOMalgorithmalleviatesinherenti nconsistencyino—riginaldatasets.Thepresentedmethodimprovestheperformanceoftheclassificationinboth efficiencyandprecision.Theexperimentalresultsonareal—worlddatasetshowthattheproposedapproachgoesmoreeffee—tivelythanthebaselinealgorithmsinprecision.Inaddition,themethodisanalyzedusingVCdi mension.Keywords:continuousclustering;SOMmethod;consistentclassification;VCdimension (责任编辑苏晓东)。
半连续格及相容连续偏序集研究
符号说明符号在本文中的含义页码↑a a的上集 (7)↓a a的下集.......................................... (7)Dcpo 定向完备偏序集....................................... . (7)max (P) 偏序集P中的极大点集 (7)∨↑D 定向集D的上确界 (7)Id(P) 偏序集P中的全体理想 (7)σ(P) 偏序集P上的Scott拓扑 (8)σ*(P) 偏序集P的全体Scott闭集 (8)λ(P) 偏序集P上的Lawson拓扑 (8)ω(P) 偏序集P上的下拓扑 (8)Γ(X) 拓扑空间X的所有闭子集 (9)x<<y x双小于y或x逼近于y (9)⇓x 双小于x的元的集合 (9)K(P) 偏序集P的紧元集 (9)Rd(L) 格L中的半素理想集 (10)x⇐y x半双小于y (10)⇓b x 半双小于x的元的集合 (10)σs(L) 格L上的半Scott拓扑 (11)λs(L) 完备格L上的半Lawson拓扑 (11)x<<w y x弱双小于y (21)⇓w x 弱双小于x的元的集合 (21)第一章引言连续格理论及更广的Domain理论来源于两种完全不同的背景．1971年, 著名逻辑学家D.Scott因理论计算机的语义问题提出了连续格的概念[1]．在纯数学的研究方面, 七十年代中期, J．D．Lawson, K．H．Hoffman等人在关于紧半格的结构理论研究中, 也发现了连续格和代数格的结构．这样, 两种完全不同的背景导致了同一对象的发现, 刺激了该领域的研究．后来, 人们推广了连续格的概念, 将其中最关键的way below关系移植到偏序集上得到了连续偏序集的概念(参见文献[2-6]).1979年, Lawson给出了连续偏序集的谱理论, 指出任意连续偏序集上的Scott拓扑都是完全分配格[2], 从而将连续偏序集、连续格及完全分配格的研究有机地结合起来．理论计算机中广泛研究的各种domain则是特殊的连续偏序集, 它们一般具有良好的局部性质, 如主理想是连续格或代数格等．从上世纪八十年代开始, 连续domain即连续dcpo逐渐成为domain理论的主要研究对象. 作为这种趋势的一个标志，1994年S.Abramsky和A.Jung在文[7]中以连续domain为主要对象系统地阐述了经典domain的数学理论.2003年出版的由G．Gierz等六位作者合著的文献[8]更是domain理论研究的著名专著．随着连续domain在计算机科学和经典数学领域逐渐得到应用，人们对连续domain的研究也不断深入, 目前已经取得了许多深刻而且影响深远的结果(见文献[9]-[15]) .其中, 文[10]-[14]研究了完备格(偏序集)理论中的重要概念——基和局部基, 并且利用它们成功地刻画了完备格(偏序集)的连续性; 文[15]给出了dcpo的子dcpo、子空间等概念, 并研究了连续domain的遗传性及不变性.在domain理论中, 拓扑、序、逼近（计算）及逻辑的概念和思想可以互相转化，其中拓扑是非常重要的研究工具, 因而domain理论也吸引了众多格上拓扑学方面的学者的参与.拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变性质的一门学科, 它的起源可以追溯到18世纪欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究. 1847年，高斯的学生J. B. Listing发表了《拓扑学初步》，首先引用了拓扑学这一术语. 1852年，F.Guthrie提出的关于四色问题的猜想，对拓扑学的发展起到了进一步的推动作用. 1851年，黎曼在论文《几何基础假设》中引进了流行的概念，成功解决了可定向闭曲面上的同胚分类问题. 此后，有关拓扑学方面的研究成果逐渐出现.拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支．一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑, 另一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学．目前, 点集拓扑学的方法和结果渗透到几乎所有数学分支中，文献[16-18]等都是点集拓扑学方面的重要文献.上世纪五十年代末, C．Ehresmann提出了一种新的观点, 他认为具有某种分配性的格(如完备Heyting代数, 直觉逻辑学者也称之为完备Brouwer格)本身就可作为一种广义拓扑来研究, 而不论其是否可以表示为某一拓扑空间的开集格. 后来的研究表明这种融拓扑结构与序结构于一体的探讨是有特色的, 因其研究方法一般不涉及点的概念, 从而形成了无点化拓扑理论, 也称Locale理论或Frame理论. P.T.Johnstone的专著[19]和郑崇友等的专著[20]是这一领域研究工作的总结.连续格理论以及更广的连续偏序集理论集序结构、代数结构、拓扑结构的研究于一体, 取得了丰硕的成果, 并对计算机应用产生了重要影响.但是, 狭义的Domain理论必须建立在定向完备偏序集的基础上, 因此正如徐罗山教授在文献[21]中指出的：最基本且结构最丰富的实数集R , 自然数集N 不能作为连续偏序集, 更谈不上连续格. 这在很大程度上限制了连续偏序集理论的实用范围. 所以近年来许多作者试图从不同的角度推广连续格理论．这方面工作可参见文献[21-36]．为了推广连续格, Y. Ray首先提出格中半素理想的概念, 并研究了它的一些基本性质[24] . D.Zhao利用半素理想, 给出了一种新的关系 , 并由此定义了一种新的格——半连续格, 且把连续格中的一些性质移植到了半连续格中[15] .目前关于半连续格的研究已经出现较多研究成果(见文献[26]-[30]), 其中文[26]在完备格上引入半Scott拓扑和半Lawson 拓扑, 并讨论了半连续格上的半Scott拓扑和半Lawson拓扑的一些基本性质; 文[27]利用半Scott拓扑给出了半连续格的等价刻画, 并研究了半连续格上的半连续映射; 文[28]-[30]将众多连续格的性质移植推广到半连续格上, 逐步扩充了半连续格理论.在上述研究基础之上, 本文将更为深入地研究半连续格．我们的研究表明半连续格中若干半素理想的定向并仍为半素理想；半连续格中任一主理想都是半Scott闭集, 且若半连续格中的子集可以表示成某一主理想的补集形式, 则该子集为半Scott拓扑的素元．我们还要在完备格中引入半基和局部半基的概念, 研究其基本性质并给出若干等价刻画, 利用半基和局部半基给出半连续格的刻画．此外, 本文还定义了半连续格的权和特征, 探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系，并回答了赵彬教授等在这方面提出的一个公开问题．相容连续偏序集是连续domain概念的微小推广, 它是由徐罗山教授针对R,N不能作为Domain看待这样一种情况, 结合R, N 的序结构特点引入的[21]．于是得到不仅R是相容连续偏序集, N是相容代数偏序集, 而且任一相容连续偏序集都紧密联系一个连续偏序集, 即它的定向完备化, 从而有许多良好的性质. 从范畴方面看, 相容连续偏序集范畴还以连续偏序集范畴作为满的反射子范畴.本文针对相容连续偏序集及其定向完备化将展开更深入的研究．我们得到的主要结论是：(1)对连续domain P上极大点集max(P)的某真子集A, 有P\A是相容连续偏序集；(2)当连续domain P上极大点集max(P)的某子集A的Scott内部是空集时, P\A的定向完备化同构于P．作为对连续偏序集概念的推广, Mashburn还引入了exact偏序集的概念[31], 并讨论了一些基本性质. 文[32]主要讨论了exact偏序集的乘积和映射性质, 引入了exact偏序集的基的概念, 并研究了exact偏序集的基的性质.本文也将进一步研究exact偏序集的相关性质,证明每个连续偏序集都是exact偏序集, 每个exact domain对于Scott开集是可遗传的；讨论弱domain和连续domain的关系,给出弱domain成为连续domain的判别条件．总之, 本文进一步研究了半连续格、相容连续偏序集和exact偏序集上的一些重要问题, 得到了一些重要研究成果, 这充实了连续格与广义domain理论的内容.下面说明本文的结构安排．第一章引言．主要介绍了本文的研究背景, 并简要介绍了本文研究的主要内容．第二章预备知识．主要介绍了后面各章要用的主要定义、定理.第三章半连续格上的半基和局部半基．主要讨论了半连续格上进一步的性质, 并在完备格上引入了半基和局部半基的概念, 研究其基本性质并给出若干等价刻画, 利用半基和局部半基给出半连续格的刻画．此外还定义了半连续格的权和特征, 探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系.第四章相容连续偏序集和弱domain．主要针对相容连续偏序集及其定向完备化和exact偏序集做了更进一步研究．第二章预备知识为了后面的引用, 下面给出拓扑空间和Domain理论方面的基本概念和结果, 其他用到而未明确指明的概念请参见文献[8]、[17]、[21] 、[25] 、[32]．2. 1 格、偏序集及其理想定义2. 1. 1. [8]设(L, ≤ )为偏序集, 其对偶偏序集(L, ≥)记为L OP．L的非空子集D称为定向的, 若对任意a, b∈D, 存在c∈D使得a, b ≤ c.定义2. 1. 2. [8]设P为偏序集, 对任意a∈P, A ⊆ P, 记↑a = {b∈ P: a ≤ b}, ↓a = {b∈ P: b≤a}, ↑A = ∪a∈A↑a和↓A = ∪a∈A↓a. 若A = ↑A (A = ↓A), 则称A为上(下)集.定义2. 1. 3. [8]设P为偏序集, P的任一定向的下集称为P的一个理想, P的全体理想记为Id(P)．对偶地, P OP的理想称为P的一个滤子, P的全体滤子记为Filt(P)．命题2. 1. 4.设P为偏序集, D为P中定向集, U为P中的上集且D∩U≠∅, 则D∩U为P中的定向集.证明:设a, b∈D∩U, 只需证存在d∈D∩U使得a, b ≤ d即可.因为a, b∈D∩U, 所以a, b∈D且a, b∈U. 因为D为P中定向集, 故存在d∈D使得a, b ≤ d. 又U为上集, 故d∈U. 即存在d∈D∩U使得a, b ≤ d．原命题得证．定义2. 1. 5. [8]设P为一个偏序集, B⊆P, y∈B．若对任意x∈B有x ≤ y, 则称y是B 的极大元．记max(P)为P的极大点集．类似地可定义极小元．定义2. 1. 6. [8]设P为偏序集,a∈P，则↓a和↑a分别是P的理想和滤子，称为由a决定的主理想和主滤子.定义2. 1. 7. [8]设P为偏序集, X ⊆ P, 若对任意x∈X, 存在a∈P使x ≤ a, 且当x ≤ b(b∈L)时有a ≤ b, 则称a为X的最小上界或上确界, 记作supX或∨X．类似的可定义最大下界或下确界, 记作infX或∧X．当P中定向集D 的上确界存在时, 记之为supD 或∨↑D．对于x, y∈P, 记x∨y = sup{x, y}, x∧y = inf{x, y}．定义2. 1. 8. [8]设P为偏序集, 称P为定向完备偏序集(dcpo), 若P中任意非空定向集在P中有上确界．定义2. 1. 9. [8] 设(P, ≤ )是一个偏序集, A是P的一个非空子集．若A中任两元在关系≤下可比, 则称A是全序集或链．引理2. 1. 10. (Zorn引理) [8]设P是一个偏序集．如果P中每一个链都有上界, 则P中必有极大元．命题2. 1. 11. 设P为dcpo, 则P的极大点集max(P)不为空集．证明:作为dcpo, P中任一定向集都有上确界, 故P中任一链有上界．由引理2.1.10 (Zorn引理) 得P有极大元, 从而max(P)不为空集．定义2. 1. 12. [8]若偏序集L 中任意非空有限集都有交, 则称L 为交半格, 简称半格．若L 的任意非空有限集都有并, 则称L 为并半格; 若L 既是交半格又是并半格, 则称L 为格；若L 的任意子集都有并和交, 则称L 为完备格．定义2. 1. 13.[8]一个交半格S称为分配的, 如果由ab ≤ x可得存在元c, d使a ≤ c, b ≤ d 且x = cd．定义2. 1. 14. [8]设P为偏序集，p∈P，称p为素元，若p = 1或P\↓p是一个滤子．偏序集P的素元全体之集记作PRIME P．定义2. 1. 15. [8]设P为偏序集，p∈ P，称p为一个既约元，如果p是极大元或↑p\{p}是一个滤子．偏序集P的既约元全体之集记作IRR P．引理2. 1. 16. [8]在分配交半格L中, p∈ L, p≠1, 则p是素元当且仅当p是既约元．定义2. 1. 17. [8]设P，L为偏序集，f：P → L为映射．如果任意x，y∈L，x ≤ y时有f(x) ≤ f(y)，则称f为保序映射．如果f：P → L，f-1：L → P存在（f即单又满），且f，f-1都保序，则称L与P序同构．2. 2 内蕴拓扑定义2. 2. 1. [8]设P是一个偏序集, U⊂ P．如果U满足条件：(1)U = ↑U = {x∈P：存在u∈U, u ≤ x}, 即U是一个上集；(2)对P的任一定向集D, 当supD存在且supD∈U时, 有d∈D使d∈U, 即U∩D≠∅．则称U为P上的Scott开集．P上的Scott开集全体是P上的一个拓扑, 记为σ(P), 称为Scott拓扑．Scott开集的余集称为Scott闭集, P的全体Scott闭集用σ*(P)表示．易知, F ⊆P为Scott闭集当且仅当F是P的下集且对定向并关闭．定义2. 2. 2.[8]设P为偏序集，形如P\↑x (∀x∈P)的子集作为开子基元生成的拓扑称为P的下拓扑，记为ω(P)．Scott拓扑和下拓扑的最小上界拓扑称为P上的Lawson拓扑，记为λ(P)．定义2. 2. 3. [8]设X为拓扑空间, A ⊂ X, 若A≠∅, 且对任两个闭集B, C ∈Г(X), A ⊆ B ∪C有A ⊆ B或A ⊆ C, 则称A为既约集．特别地, 若A为非空闭集, 且满足上述条件, 则称A为既约闭集．偏序集P的既约Scott闭集是指拓扑空间（P，σ(P)）中的既约闭集．引理2. 2. 4. [8]若P为dcpo, 则显然有对任意x∈P, ↓x是P中既约Scott闭集．引理2. 2. 5. [17]设X是一个基础集, A, B ⊆ X, 则A∩B = ∅当且仅当A ⊆ X-B．2. 3 连续偏序集定义2. 3. 1. [8]设P为偏序集，a, b∈P, 称a way below b,记为a<< b, 若对P中任一定向集D, 如果supD存在且supD ≥ b, 则D∩↑a ≠∅. 对P中任一元x, 记⇓x = {u∈P: u << x}, ⇑x = {v∈P: x << v}．定义2. 3. 2.[8]设P为偏序集, 对任意x∈P，若x<<x，则称x为P的紧元，P的全体紧元记为K(P)．命题2. 3. 3. [8]设P为偏序集, 对任意x, y, z, u∈P有：(1)若x<< y, 则x ≤ y；(2)若u ≤ x<< y ≤ z, 则u<< z；(3)若x<< z且y<< z, 则只需x∨y存在就有x∨y<< z；(4)若P有最小元0, 则对任意x∈P有0<< x．易见, <<具有传递性．定义2. 3. 4. [8]设P为偏序集, 如果对任意x∈P有⇓x (↓x∩ K (P) ) 是定向集且x =sup ⇓x (x = sup (↓x∩ K (P) ) )，则称P是连续(代数)偏序集，连续的dcpo称为Domain，代数的dcpo称为代数Domain，连续(代数)的完备格称为连续(代数)格．命题2. 3. 5.[8]设P为偏序集, 对任意x∈P, 若存在D⊆⇓x, 使supD = x, 则P为连续偏序集．引理2. 3. 6. [8]设P是连续偏序集, x, z∈L且x<< z．D⊆P定向且supD ≥ z, 则存在d∈D 使x<< d．引理2. 3. 7. [8]在连续偏序集P中, 双小于关系满足下述插入性质：x<< z ⇒ (∃y)x<< y<< z．引理2. 3. 8. [8]设L为连续偏序集, 则对任意x∈L, ⇑x 为Scott开集．第三章半连续格的半基和局部半基本章在完备格中引入半基和局部半基的概念, 利用它们成功刻画了完备格的半连续性, 还研究了半基和局部半基的一些基本性质并给出了若干等价刻画．此外还定义了半连续格的权和特征, 探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系.3. 1 半连续格与半Scott拓扑定义3. 1. 1. [25]设L 是格, I ⊆ L 是理想．若对任意x, y, z ∈L, 当x∧y ∈I, x∧z∈I 时有x∧(y∨z)∈I, 则称I 是格L的半素理想．用Rd(L)表示L 的全体半素理想之集．定义3. 1. 2. [25]设L是完备格, x，y∈L. 若对任意I∈Rd(L), 当y ≤ supI 时, 有x∈I, 则称x ⇐ y．当x ⇐ x时, 称x为半紧元．记L的全体半紧元为K b(L)．记⇓x=｛y∈L：y ⇐ x｝，bx = {y∈L：x ⇐ y}．⇑bx, 则称L 为半连续格．若定义3. 1. 3. [25]设L 是完备格．若对任意x∈L, 有x ≤ sup⇓b对任意x∈L, 有x = sup⇓x, 则称L为强连续格．b注3. 1. 4. [25]设L 是完备格, <<为L 上的way-below 关系则(1) <<⊆⇐(2) 对任意a, b, c, d∈L.若a ≤ b ⇐ c ≤ d, 则a ⇐ d．(3) L 是强连续格当且仅当L 是连续格且在L 中⇐= <<当且仅当L 是半连续格且在L 中⇐ = << .引理3. 1. 5. [25]设L是半连续格．对任意x, y∈L, 若x ⇐ y, 则存在z∈L使x ⇐ z ⇐ y．命题3. 1. 6.L是半连续格，对任意x，y∈L，P∈Rd(L)，当x ⇐y时，若y ≤ supP，则存在z∈P 使x ⇐z.证明：由x ⇐ y以及引理3.1.5可知存在z使得x ⇐ z ⇐ y.若P∈Rd(L) 且y ≤ supP，则由定义3.1.2可知z∈P.命题得证.命题3. 1. 7.设L为半连续格，如果L中的一个理想I可以写成若干个半素理想的定向并，则I为半素理想.证明：设Iα(α∈Г )是半素理想，I是L中的理想且I = ∪α∈ГIα．对于任意的x，y，z∈L，x∧y∈I且x∧z∈I，则存在α1，α2∈Г，使x∧y∈Iα1∈I，x∧z∈Iα2∈I. 由{Iα}α∈Г定向知存在β∈Г使Iα1, Iα2⊆ Iβ∈I，故x∧y∈Iβ，x∧z∈Iβ. 因为Iβ是半素理想，故x∧(y∨z)∈Iβ⊆ I，故I是半素理想.命题3. 1. 8. L是一个完备格，若对任意x∈L，都存在半素理想P ⊆⇓x且supP ≥ x，b则L是半连续格.证明：对任意x∈L，sup(⇓x) ≥ supP ≥ x，由定义3.1.3知L为半连续格.b定义3. 1. 9. [26]设L 是完备格, U ⊆ L．称U 是半Scott 开集, 若U 满足：(1) U = ↑U;(2) 对任意I∈Rd(L), 当supI∈U 时, 有I ∩U≠∅．半Scott 开集的补称为半Scott 闭集.注3. 1. 10. [26]一个集是半Scott闭的⇔它是下集且对半素理想并封闭．命题3. 1. 11.设L是半连续格，对任意x∈L，↓ x是半Scott闭集．证明：显然↓x是一个下集，且↓x是包含x的最小下集，且对定向并封闭．由于半素理想是理想，故也是定向集，故↓x对半素理想并封闭.由注3.1.10知↓x是一个半Scott 闭集.定义3. 1. 12. [26]L 中全体半Scott 开集构成一拓扑, 称为半Scott 拓扑, 记为σs(L)．称σs(L)∨ω(L) 为L的半Lawson 拓扑, 记为λs(L).注3. 1. 13. [26]设L 是完备格, 则υ(L) ⊆σ(L) ⊆σs(L) 且ω(L)⊆λ(L)⊆λs(L)．命题3. 1. 14.设L是半连续格，如果U=L\↓a（a∈L），则U是σs(L)的素元．证明：因为↓a是Гs(L)中的并既约元，故为(L,σs(L))中的既约闭集，则U = L \ ↓a为(L, σs(L))中的既约开集，由引理2.1.16知U为σs(L)中的素元.3. 2 半连续格的半基定义3. 2. 1.设L为完备格，B⊆L，若任意x∈L有如下两条成立：x∩B)是L的半素理想；（1）↓ (⇓b（2）x ≤ sup(⇓b x∩B)． 则称B 为L 的一个半基．注3. 2. 2. 设L 是半代数格(文[27]定义1.7)，则半紧元集K b (L)是L 的一个半基． 命题3. 2. 3. 设L 是完备格．若B 是L 的半基，且B ⊆B *，则B *也是L 的半基． 证明：只需证对任意x ∈L ，↓ (⇓b x∩B) = ↓ (⇓b x∩B *)一方面，因为B ⊆B *，故⇓b x∩B ⊆ ⇓b x∩B *，则 ↓(⇓b x∩B) ⊆ ↓ (⇓b x∩B *)． 另一方面，对任意y ∈ ↓(⇓b x∩B *)， 有y ⇐ x 且sup ↓L (⇓b x∩B) = sup(⇓b x∩B) ≥ x. 因为B 是L 的半基， 故↓(⇓b x∩B)为L 的半素理想， 则由定义3.1.2可知y ∈↓(⇓b x∩B)． 故↓(⇓b x∩B *) ⊆ ↓(⇓b x∩B)．综上所述：↓ (⇓b x∩B)=↓ (⇓b x∩B *)．原命题得证．引理3. 2. 4. 设L 是完备格, x ∈L, 则⇓b x 是L 的一个半素理想．证明: 对x ∈L, 易见⇓b x 为下集．对任意a, b ∈⇓b x 由定义3.1.2知对任意半素理想I, 若x ≤ supI, 则a ∈I 且b ∈I ．由L 为完备格且I 为半素理想知a ∨b ∈I, 从而a ∨b ⇐ x, 于是⇓b x 为理想．再证⇓b x 为半素理想．对任意r, s, t ∈L, 若r ∧s ∈⇓b x 且r ∧t ∈⇓b x , 则对任意半素理想I, 当x ≤ supI 时, 有r ∧s ∈I 且r ∧t ∈I ．由于I 为半素理想, 于是r ∧(s ∨t) ∈I ．由定义3.1.2知r ∧(s ∨t)⇐ x, 即r ∧(s ∨t)∈⇓ b x ．命题3. 2. 5. 设L 是完备格, 则L 是半连续格当且仅当L 存在半基．证明: ⇒： 对任意x ∈L, 有⇓b x = ↓(⇓b x∩L)． 故由L 是半连续格知x ≤ sup ↓ (⇓b x∩L).由引理3.2.4知↓ (⇓b x∩L)是L 的半素理想．再由定义3.2.1知L 为其自身的半基．⇐：设B 是L 的一个半基．则对任意x ∈L, 有x ≤ sup(⇓b x∩B)．由于⇓b x∩B ⊆⇓b x, 所以x ≤ sup(⇓b x∩B) ≤ sup ⇓b x, 由定义3.1.3得L 为半连续格．命题3. 2. 6. 设 L 是完备格, B ⊆L ．则B 是L 的半基当且仅当对任意x ∈L 有↓ (⇓b x∩B) ∈Rd(L) 且对任意x, y ∈L, 若y ≤x, 则存在b ∈B,使得b ≤x, b ⇐y ．证明: ⇒：若B 是L 的半基, 则由定义3.2.1可知对任意a ∈L 有a ≤ sup(⇓b a∩B)．对任意x, y ∈L, 若y ≤x, 则sup(⇓b y∩B)≤x, 从而存在 b ∈⇓b y∩B 使得b ≤x ．⇐：只需证明对任意x ∈L 有x ≤ sup(⇓b x∩B)．假设存在a ∈L, 使得a ≤sup(⇓b a∩B), 则由条件可知存在 b ∈⇓b a∩B 使得 b ≤sup(⇓b a∩B), 矛盾．命题3. 2. 7. 设L 是半连续格, B ⊆L, 对于下列条件:(1) B 是L 的一个半基;(2) 任意x, y ∈L, 当y ⇐x 时, 存在b ∈B 使y ≤ b ⇐ x; (3)任意x, y ∈L, 当y ⇐x 时, 存在b ∈B 使y ⇐ b ⇐ x ．有(1) ⇔ (2) ⇒ (3)．若L 还满足条件 ⇐ ⊆ ≤, 则上述三条件等价．证明: (1) ⇒ (2): 由于L 是半连续格, 所以对任意x, y ∈L, 若y ⇐ x, 则由B 是L 的一个半基知 ↓ (⇓b x∩B)∈Rd(L)且 x ≤ sup(⇓b x∩B)．由定义3.1.2知 y ∈↓ (⇓b x∩B), 从而存在 b ∈⇓b x∩B 使得y ≤ b, 即存在 b ∈B 使得 y ≤ b ⇐ x ．(2) ⇒ (1): 只需证明任意x ∈L, 有 ↓(⇓b x∩B)∈Rd(L) 且x ≤ sup ↓ (⇓b x∩B)．一方面, 对任意 m, n ∈↓(⇓b x∩B), 由↓(⇓b x∩B) ⊆ ⇓b x 知 m, n ∈⇓b x ．由引理3.2.4知存在 c ∈⇓b x 使得 m, n ≤ c ．再由条件(2)知存在 b ∈B 使得 c ≤ b ⇐ x ．注意这里 b ∈↓(⇓b x∩B), 于是 ↓(⇓b x∩B) 是理想．对任意r, s, t ∈L, 若r ∧s ∈ ↓(⇓b x∩B) 且 r ∧t ∈ ↓(⇓b x∩B), 则由 ↓(⇓b x∩B) ⊆ ⇓b x 及⇓b x 是半素理想得r ∧(s ∨t)∈⇓ b x , 从而 r ∧(s ∨t) ⇐ x ．由条件(2)知存在 b '∈B 使得 r ∧(s ∨t) ≤ b '⇐x, 从而 r ∧(s ∨t) ≤ b '∈ ↓(⇓b x∩B), 于是↓(⇓b x∩B)为半素理想．另一方面, 对任意y ∈⇓b x, 由条件(2)知存在b y ∈B 使得y ≤ b y ⇐ x ．于是sup ⇓b x ≤ sup{b y : y ∈⇓b x} ≤ sup(⇓b x∩B) ≤ sup ↓(⇓b x∩B)．注意到L 是半连续格, 所以x ≤ sup ⇓b x, 从而x ≤ sup ↓(⇓b x∩B)． 综合可知B 为半连续格L 的一个半基．(2) ⇒ (3)：由于L 是半连续格, 所以对任意 x, y ∈L, 如果y ⇐ x, 则存在z ∈L, 使得y ⇐ z ⇐ x ．由条件(2)知存在 b ∈B 使得z ≤ b ⇐ x, 所以y ⇐ b ⇐ x ．若L 还满足条件 ⇐ ⊆ ≤, 则(3) ⇒ (2)的证明是平凡的．于是(1) ⇔ (2) ⇔ (3)． 推论3. 2. 8. 设L 是强连续格, B ⊆ L ．则B 是半基当且仅当B 是基． 证明: 由注3.1.4(3), 文[10]的定理 2 以及上面的命题立即得证．由半Scott 拓扑的定义和性质(见文[27]的定义2.1和定理2.5)容易证明下结论成立． 定理3. 2. 9. 设L 是半连续格, B 是L 的一个半基, 则U ⊆ L 是半Scott 开集当且仅当U = ↑U 且U ⊆ {⇑b b: b ∈ (U∩B)}．3. 3 半连续格的局部半基定义3. 3. 1. 设L 是完备格, x ∈ L, B ⊆ ⇓b x. 有如下两条成立: (1) ↓B ∈ Rd(L), (2)x ≤ supB,则称B 为x 的一个局部半基．由定义3.3.1和定义3.1.3立即可得如下结论．定理3. 3. 2. 设L 是完备格, 则L 是半连续格当且仅当对任意x ∈ L, x 都有局部半基． 命题3. 3. 3. 设L 是完备格, a ∈ L, 则(1) 若 a 有局部半基, 则 ⇓b a 是 a 的最大局部半基; (2) 若 a ⇐ a 且 B 是 a 的局部半基, 则a ∈ ↓B, 从而↓B = ⇓b a; (3) 若 a ⇐ a, 则 ⇓b a 是 a 的局部半基;(4) 若 b ≤ a 且 B a , B b 分别是 a, b 的局部半基, 则B b ⊆ ↓B a ．证明: (1) 设B 是a 的一个局部半基, 则B ⊆ ⇓b a 且a ≤ supB ≤ sup ⇓b a ．再由引理3.2.4知⇓b a 是半素理想, 从而⇓b a 是a 的一个局部半基, 且是最大的局部半基．(2) 由B 是a 的局部半基知↓B ∈Rd(L)且a ≤ supB ．于是由a ⇐a 得a ∈↓B, 从而⇓b a ⊆ ↓B ⊆ ⇓b a, 于是↓B = ↓a ．(3)由引理3.2.4知⇓b a = ↓(⇓b a)∈Rd(L)．又由a ⇐ a 知↓a ⊆ ⇓b a, 从而a = sup ↓a ≤ sup ⇓b a ．因此 ⇓b a 是a 的一个局部半基．(4) 由B a 是 a 的局部半基知 ↓B a ∈Rd(L) 且a ≤ supB a , 再由B b 是b 的局部半基对任意 x ∈B b , 有x ⇐b ．因为b ≤ a, 所以x ⇐ a, 从而x ∈↓B a ．因此B b ⊆ ↓B a ．命题3. 3. 4 设L 是半连续格, a ∈L 且B ⊆ ⇓b a, 则 B 是 a 的局部半基当且仅当对任意 c ∈⇓b a, 存在 b ∈B 使得 c ≤ b ．证明: ⇒: 由B 是a 的局部半基知↓B ∈Rd(L)且a ≤ supB ．于是对任意 c ∈⇓b a, 有c ∈↓B, 即存在 b ∈B 使得 c ≤ b ．⇐: 若对任意c ∈⇓b a, 存在 b ∈B 使得c ≤ b, 则sup ⇓b a ≤ supB ．又L 是半连续格, 故a ≤ sup ⇓b a ≤ supB ．再证↓B ∈Rd(L)．由B ⊆⇓b a 且⇓b a ∈Rd(L)知对任意b 1, b 2∈↓B 存在 c ∈⇓b a 使得 b 1 ≤ c 且b 2 ≤ c ．由条件知存在 b ∈B 使得c ≤ b, 于是↓B 是理想．再设r, s, t ∈L, 由⇓b a ∈Rd(L)且↓B ⊆ ⇓b a 知若 r ∧s ∈↓B 且 r ∧t ∈↓B, 则r ∧(s ∨t)∈⇓ b a ．再由条件知r ∧(s ∨t)∈↓B ．因此↓B 是L 的半素理想．推论3. 3. 5. 设L 是强连续格, x ∈ L, B ⊆ ⇓b x ．则B 是点x 处的局部半基当且仅当B 是x 的局部基．证明: 由注3.1.4(3), 文[12]的定理 2.3 以及上面的命题立即得证．命题3. 3. 6. 设L 是半连续格, a ∈L 且B ⊆⇓b a, 则B 是a 的局部半基当且仅当↓B ∈Rd(L)且对任意x ∈L, 若a ≤x, 则存在b ∈B 使得b ≤x.证明: ⇐: 只需证a ≤ supB ．若a ≤supB, 则存在 b ∈B 使得 b ≤supB ,矛盾!⇒: 若B 是a 的局部半基, 则由定义3.3.1知 ↓B ∈Rd(L)且a ≤ supB ．对任意x ∈L, 若a ≤x, 则supB ≤x, 从而存在 b ∈B 使得 b ≤x ．3. 4 半连续格的权和特征定义3. 4. 1. 设L 是半连续格．定义W s (L)=min{cardB: B 是L 的半基}, 则称W s (L)是半连续格L 的权．例3. 4. 2. (见[25]) 设L 为图1所示的完备格．其中L=[0, 1]∪{a, b}, [0, 1]是单位区间, a, b 是[0, 1]外的两个不同元．定义偏序关系为：{(0, a), (a , 1), (0, b), (b , 1)}∪{(x , y)|x , y ∈[0, 1]且x 小于或者等于y}．则有下列结论成立:(1) L 是一个半连续格但不是连续格．(2) L 中半素理想有且只有{0}和L, 且对任意x ∈L, 有⇓b x = {0},x 0,,x .=⎧⎨≠⎩当时L 当0时(3) W s (L) < W(L, σs (L))．事实上B={0,1}是L 的半基, 且W s (L)=2．再由σ(L) ⊆ σs (L) 知W(L, σs (L)) ≥ ω0 (其中ω0为可数无穷基数), 从而W s (L) < W(L, σs (L))．问题1：对任意半连续格L, 是否都有W s(L) ≤ W(L, σs(L))．定义3. 4. 3.设L是半连续格．对任意x∈L, 定义χs(x,L) = min{cardB x: B x是x在L中的局部半基}, 则称χs(x,L)是半连续格L中点x的特征．定义χs(L)=sup{χs(x,L): x∈L}, 则称χs(L)是半连续格L的特征．例3. 4. 4.设L是图2所示的完备格, 其中L = {0,1,2,⋯n, ⋯}∪{⊥}, 偏序关系为: ⊥≤⋯≤ n⋯≤ 2 ≤ 1 ≤ 0．则有下列结论成立:(1)L是强连续格, 从而<<= ⇐．(2)σ(L) = σs(L), λ (L) = λs(L)．(3) χs(L) <χ(L, λs(L))．事实上, 对任意a∈L, 有{a}为a的局部半基, 于是χs(L) = χ(L) =1. 但是(L, λs(L)) = (L, λ(L)) 同构于[0,1]的子空间{1/n: n∈N*}∪{0}．于是⊥关于λ (L)的局部基含有无穷多个元, 从而χ(L, λs(L)) = ω0．通过本例可知, 存在连续Domain L, 使得χ(L) ≠χ(L, λ(L))．这就回答了文[12]中所提出的问题2.1．问题2：对任意半连续格L, 是否都有χs(L) ≤χ(L, λs(L))．第四章 相容连续偏序集与弱Domain本章深入地研究相容连续偏序集的定向完备化, 证明了对连续domain P 上极大点集max(P)的某子集A, 当P\A 不为空集时有P\A 是相容连续偏序集；证明了当连续domain P 上极大点集max(P)的某子集A 的Scott 内部是空集时, P\A 的定向完备化同构于P ．本章还探讨exact 偏序集的相关性质,证明每个连续偏序集都是exact 偏序集，每个domain 均为弱domain ；证明exact domain 对于Scott 开集是可遗传的；证明弱domain 为domain 的一个充要条件是其中任一元的弱双上集为上集.4. 1相容连续偏序集先了解相容连续偏序集的相关定义．定义4. 1. 1. [21] 设P 为偏序集, ∅ ≠ D ⊆ P, 如果 (1) D 是定向的;(2) 存在p ∈P 使得D ⊆↓p = {x ∈P: x ≤ p}, 则称D 为P 中的相容定向集．定义4. 1. 2. [21] 设P 是偏序集, P 称为相容定向完备偏序集, 如果对于P 中每一个相容定向集D, D 在P 中的最小上界(即上确界)supD 存在．定义4. 1. 3. [21] 设P 是一个相容定向完备偏序集. 如果P 是一个连续偏序集, 则称P 是一个相容连续偏序集．引理4. 1. 4. [21] 若P 是相容定向完备偏序集, 且对任意x ∈P, ↓x 都是连续偏序集(相应地: 代数偏序集), 则P 是相容连续偏序集(相应地: 相容代数偏序集)．定理4. 1. 5. 设P 为连续domain, max(P)为P 的极大点集．若A ⊆ max(P)使P\A 不为空集, 则P\A 是相容连续偏序集．证明: 设相容定向集B ⊆P\A, 则存在p ∈P\A 使得B ⊆↓p ．由P 为dcpo 得在P 中supB 存在且supB ≤ p ．而A ⊆max(P), 所以supB ∉A, 从而supB ∈P\A, 故supB 为B 在P\A 中的上确界, 因此P\A 是相容定向完备偏序集． 设x ∈P\A, 下证↓P\A x 是连续偏序集．设y ∈↓P\A x, 令U = ↓P\A x, 则⇓y ⊆ ⇓P\A y ⊆ ⇓U y ⊆ U. 由P 为domain 得⇓y 为定向集且y=sup⇓y, 从而⇓y为⇓U y中的定向集且y = sup⇓y = supU⇓y．由命题2.3.5即得↓P\Ax是连续偏序集．综上所述, 由引理4.1.4, 即得P\A是相容连续偏序集．引理4. 1. 6.[21]设P是相容定向完备偏序集, σ*(P)是P的Scott闭集格．又设D是P 中既约Scott闭集的定向集, 则D在σ*(P)中的上确界sup D= D⋃仍是P中既约Scott闭集, 其中“—”是取闭包之意．定义4. 1. 7. [21]设P是相容定向完备偏序集．令C(P)(⊆σ*(P))为P的既约Scott闭集之集, 则C(P)依集合包含序形成一个定向完备偏序集, 称为P的定向完备化．定义4. 1. 8. [21]设P是相容连续偏序集, A⊆C(P)为P的既约Scott闭集．定义μA = {y∈A：∃x∈A, y<< x}, 集合μA称为A的迹．引理4. 1. 9. [21]设P是相容连续偏序集, A为P的既约Scott闭集, 则μA为P的定向下集, 且A = sup{↓y：y∈μA} =Aμ, 由此得对任意A, B∈C(P), A ⊆ B ⇔μA⊆μB．定理4. 1. 10. 设P为连续domain, max(P)为P的极大点集．若A⊆ max(P)的Scott内部是空集, 则P\A的定向完备化同构于P．证明: 我们分如下步骤来完成证明：步骤1由条件我们先证明σ(P)|P\A ⊆σ(P\A)．设U∈σ(P), 则U是P中的上集, 从而U∩(P\A)是P\A中的上集．若D是P\A的相容定向子集且supP\AD∈U∩(P\A), 则D是P的定向子集且存在x∈P\A使D ⊆↓x, 则supD ≤x．断言supD∉A．否则, 若supD = y∈A, 则y是极大元．由y ≤ x可得x = y∈A．矛盾!故supD = supP\AD∈U．由U∈σ(P)得存在d∈U∩D, 从而d∈D∩(U∩(P\A))．因此U∩(P\A)∈σ(P\A)．故σ(P)|P\A ⊆σ(P\A)．步骤2 证明对任意x∈A, x<< x不成立．事实上, 若x<<x成立, 那么由引理2.3.8得⇑x ∈σ(P)．因此注意到A是上集, 可得x∈⇑x ⊆intσA ≠∅, 矛盾! 故x<< x不成立．步骤3 对任意x∈P, ⇓x ⊆ P\A．事实上, 当x∉A时, 显然有⇓x∩A = ∅．当x∈A时, 由(1)知x∉⇓x．对任意y∈⇓x有y<< x≠y, 由命题2.3.3(1)知y ≤ x, 从而y < x ∈A⊆ max(P), 因此y∉A．由y∈⇓x的任意性得⇓x∩A = ∅．由引理2.2.5得⇓x ⊆ P\A．步骤4证明clP\A⇓x为P\A中既约Scott闭集．事实上，因P是连续domain, 故对任意x∈P, ⇓x为定向集．由定理4.1.5知P\A是相容连续偏序集．由引理2.2.4得对任意y∈⇓x, ↓y是P\A的既约Scott闭集．又clP\A⇓x = {y: y x}⋃↓, 由步骤3中结论和引理4.1.6得cl P\A⇓x为P\A中既约Scott闭集．步骤5 定义映射f：P → C(P\A)使对任意x∈P, f(x) = clP\A⇓x∈C(P\A)；定义映射g：C(P\A)→ P使对任意F∈C(P\A), g(F) = supμF , 其中μF = {y∈F：存在x∈F, y<<P\Ax}为F的迹．则由步骤4中结论易见f是有意义的且是保序的，由引理4.1.9知μF是F的定向下集, supμF存在，从而g有意义．又对任意F1, F2∈C(P\A), 若F1 ⊆ F2, 则由引理4.1.9知μF1 ⊆μF2, 从而g(F1) = supμF1≤ supμF2= g(F2), 故g也是保序的．步骤6 证明对任意x∈P, μf(x) = ⇓x．事实上，对任意y∈⇓x有y<< x．由引理2.3.7得存在d使y<< d<< x , 则d∈⇓x ⊆ clP\A⇓x = f(x), 由迹的定义可知y∈μf(x), 因此⇓x ⊆μf(x)．反过来, 对任意y∈μf(x), 存在t∈f(x) = clP\A⇓x使y<< t．由引理2.3.7得存在d使得y<< d<< t, 由引理2.3.8知⇑d∈σ(P), 从而由引理4.1.6得t∈⇑d∩(P\A) ∈σ(P)|P\A ⊆σ(P\A)．又由t∈ clP\A⇓x知存在s∈⇓x∩⇑d≠∅, 即有y<< d<< s<< x成立, 由命题2.3.3得y<< x, 即y∈⇓x, 因此μf(x)⊆⇓x．步骤7 证明任意F∈C(P\A), 有⇓g(F) = μF．事实上, 显然有μF ⊆⇓g(F)= ⇓supμF．反过来，对于任意y∈⇓g(F)有y<< sup μF．由引理2.3.6知存在t∈μF使得y<< t, 从而y ≤ t．又μF为下集, 故y∈μF, 于是⇓g(F)⊆μF．综上得⇓g(F) = μF．步骤8 最后证明f和g是互逆的序同构．事实上由步骤6中结论先得任意x∈P, g f (x) = supμf(x) = sup⇓x = x成立．又由步骤6得⇓g(F) = μf(g(F)), 从而由步骤7得μf(g(F)) = μF．再由引理4.1.9得f(g(F)) = F．综上所述f：P → C(P\A)是序同构, 从而P ≅ C(P\A)．命题得证．例4. 1. 11. 令P为如下所示的偏序集1 2 nP = ··……·……·。
一致模糊偏序集及其应用
1) ∧ e ( x, y ) = ∧ e ( x, y ) ∧ ∨ I ( z ) = ∨ ∧ e ( x, y ) ∧ I ( z ) ≤ ∨ ( e ( x, z ) ∧ I ( z ) ) ≤ I ( x ) 。
y∈X z∈X z∈X y∈X z∈X
(
) (
)
(
)
2) ⇓UF y ( x ) =
x∈X
z∈X
DOI: 10.12677/pm.2018.86091
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理论数学
李辉，陈璐
则称 D 为模糊定向集。如果模糊定向集 D ∈ LX 还是一个下集，则称 D 为模糊理想。 ( X , e ) 上的全体 模糊定向子集记为 D ( X ) 。 定义 2.6 [3]：设 ( X , e ) 是模糊偏序集，如果 ∀A ∈ D ( X ) ， A 存在，则称 ( X , e ) 是模糊 Dcpo。 果 ∀x ∈ X , y ∈ Y , eY ( f ( x ) , y ) = eX ( x, g ( y ) ) ，则称 ( f , g ) 为 X 和 Y 之间的一个模糊 Galois 伴随。f 称为 g 的左伴随，g 称为 f 的右伴随。 定义 2.7 [7]：设 ( X , eX ) 、 ( X , eY ) 是模糊偏序集， f : X → Y , g : Y → X 是两个保模糊序的映射。如
∀y ∈ X ， ↓ A ( x ) = ∨ A ( y ) ∧ e ( x, y ) ( ↑ A ( x ) = ∨ A ( y ) ∧ e ( y, x ) ).
y∈X y∈X
对于 A ⊆ X ， χ A ∈ LX (称为 A 的特征函数)定义为 χ A ( x ) = 1 ，若 x ∈ A ；否则为 0.0，1 分别为 L 的最 小元和最大元。 定义 2.5 [3]：设 ( X , e ) 是模糊偏序集， ∀D ∈ LX ，如果 D 满足： 1 ；2) ∀x, y ∈ X ， D ( x ) ∧ D ( y ) ≤ ∨ D ( z ) ∧ e ( x, z ) ∧ e ( y, z ) ， 1) ∨ D ( x ) =
关于一致连续偏序集的若干性质
是 程序 展开 理论 的基 础 ． 文 主 要 研 究 了一 致 连 续 本
《 ｊ ≤ Ｙ （ ） ） ， 。 ２ Ｍ≤ 《 ≤ Ｙ ｊ
使
， 因
Ｐ的一 致 紧元 。 的全 体一 致 紧元 之 集 用 Ｋ Ｐ）表 Ｐ （
示。 记
注（ ） １
《 。
且 Ｖ Ｂ ＝ ， 以 ∈ 所
而 ］ｂ∈ Ｂ使 Ｍ≤ ｂ《 ， 因此 《 Ｙ ｂ《 。 定义 １４ 设 Ｐ为一 致完 备偏 序集 ， ． Ｐ。 若
入性质 ， 给出 了一致连续偏 序集 在映射下 的一些性 质 。
关键词 ： 一致连续偏序集 ； ； 基 一致 Ｓｏ 拓扑 ｃｔ ｔ
中 图分 类 号 ： ５ ． ０１３ １ 文献标识码 ： Ａ
２ ０世 纪 ７ ０年 代 初 ， 名 数 学 家 和 理 论 计 算 机 著 科 学家 Ｓｏ ＿ 创立 了连续 格 理论 ， 确定 性 程 序 的 ｃｔ ｌ ｔ 为
中成立 。 证 明 设 《 ， Ｓ ＝ ｛ ： ∈ Ｐ， Ｙ令 ｂ］ ｂ《 《 ， Ｊ 空 ； 证 ． 一 致 集 。 ，：∈ Ｓ 则 Ｙ｝则 ｓ非 先 ｓ为 Ｖｓ ｓ 。 ， ］ Ｉ ２∈Ｐ使 ｓ《 Ｉ ）ｓ《 《 ， ， Ｉ 《 ， ， ２ Ｚ Ｙ 因此 ｓ， ≤ ２ Ｉｓ ２ Ｙ 所 以 ．为一 致集 。 次证 ＶＳ ＝） 显 然有 ＶＳ≤ ， ｓ 其 ， ， Ｙ 下 证 Ｙ≤ ＶＳ 若 Ｙ《 ＶＳ 由于 Ｐ是 一致 连续偏 序 ， 。 ， 集 ， 以 ｙ ：Ｖ Ｊ Ｙ 因而 ］ 《 使 《 Ｖ Ｓ 又 所 ｌ ， Ｙ ，
偏序集上一致连续性的等价刻画与性质
收稿日期: 2018-02-27 修回日期: 2018-07-04 基金项目: 国家自然科学基金(11671008; 11101212; 11701500); 江苏省自然科学基金(BK20170483); 江苏高校品 牌专业建设工程(PPZY2015B109)
§1 引 言
Domain理论[1]的建立旨在为计算机高级程序设计语言的指称语义提供数学模型, 受到计 算机科学和数学领域诸多学者的关注, 且不断向信息科学, 逻辑学, 分析学及各种应用学科渗 透. 通常偏序集的连续性是通过双小于关系及定向逼近性来定义的, 其研究体现了序与拓扑 的相互结合, 其中一个基本而重要的结果是: 一个偏序集是连续的当且仅当它上面的Scott拓 扑是完全分配格[2-3]. 后来人们又提出了偏序集的多种形式的连续性. 作为完全分配格的一 种推广, Zhao和Zhou在偏序集上借助于完全双小于关系引入S-超连续(supercontinuity)的概念, 并探讨了S-超连续偏序集的序结构性质[4]. 文献[5]则研究了偏序集上的S-超连续性与超连续 性(Hypercontinuity), C-连续性等广义连续性间的关系. 文献[6]则进一步在偏序集上引入Scott S-集, S-基, 弱逼近元等概念, 得到了S-超连续偏序集的若干新的刻画.
§2 预备知识
下面是一些预备知识, 大多采自文献[1, 4, 8]. 设(P , )是偏序集. 对x, y ∈ P , x y, 称集合[x, y] = {z ∈ P : x z y} 为P 中由x, y决 定的闭区间, 分别称集合↓ x = {z ∈ P : z x}和↑ x = {z ∈ P : x z}为P 中的由x决定的主理 想和主滤子. 对A ⊆ P , 记↓ A = {y ∈ P : ∃ x ∈ A, y x}, ↑ A = {y ∈ P : ∃ x ∈ A, x y}, 并 称z ∈ P 为A的一个上界(下界), 若A ⊆↓ z (A ⊆↑ z). 若子集A在P 中有上界, 则称A为P 的相容集. 用supP A或 P A表示A在P 中的上确界, 可简 记为sup A或 A. 设(P , )是偏序集, D为P 的非空子集. 若对任意a, b ∈ D, 存在c ∈ D使a c, b c, 则 称D为P 的定向集. 若P 的任意定向集D都存在上确界, 则称P 是定向完备偏序集, 简称dcpo. 若P 中任意非空有限子集都有上确界(下确界), 则称P 是并半格(交半格). 既是并半格又是交 半格称为格. 若P 中任意相容集都有上确界, 则称P 是有界完备偏序集, 简称bc-poset. 容易验 证P 是bc-poset当且仅当P 的任意非空子集都有下确界, 从而任一bc-poset均是交半格. 有界完备 的dcpo简称为bc-dcpo. 若P 中任意子集都有上确界和下确界, 则称P 是完备格. 设P 是偏序集, x, y ∈ P . 若对任意定向集D ⊆ P , 当sup D存在且y sup D时有d ∈ D使x d, 则称x逼近于(或双小于)y, 记作x y. 对任意x ∈ P , 记⇓ x = {y ∈ P : y x}. 若 对任意x ∈ P , 有⇓ x是定向集且sup ⇓ x = x, 则称P 是连续偏序集. 定义2.1(见[7-9]) 设P 是偏序集, S ⊆ P . 若对任意a, b ∈ S, 存在c ∈ P 使a c, b c, 则 称S为P 的一致集. 若P 的任意一致集都存在上确界, 则称P 是一致完备偏序集. 注2.2 显然空集, 定向集和相容集均为一致集, 从而一致完备偏序集都是bc-dcpo. 有最大元 的偏序集中任一集均为一致集. 例2.3 有界完备的dcpo不一定是一致完备的. 例如, 设X = {a, b, c}, 且P(X)为X的幂集格. 令L = P(X)\{X}. 易见L为bc-dcpo. 但L中的一致集{{a}, {b}, {c}}无上确界, 从而L不是一致 完备的. 定义2.4 (见[8-9]) 设P , Q是偏序集, f : P → Q是保序映射. 若对P 的任意存在上确界的 一致集S, 有f ( P S) = Q f (P ), 则称f 是保一致并的, 或称f 是一致连续的. 定 义2.5 (一 致 完 备 情 形 见[8-9]) 设P 是 一 致 完 备 偏 序 集, x, y ∈ P . 若 对 任 意 一 致 集S ⊆ P , 当y sup S时有s ∈ S使x s, 则称x 一致小于y, 记作x v y. 对任意x ∈ P , 记⇓v x = {y ∈ P : y v x}. 若对任意x ∈ P , 有sup ⇓v x = x, 则称P 为一致连续的. 定义2.6 (见[4-6]) 设P 是偏序集, x, y ∈ P . 若对任意子集A ⊆ P , 当∨A存在且y ∨A时 有z ∈ A使x z, 则称x 完全双小于y, 记作x y. 对任意x ∈ P , 记⇓ x = {y ∈ P : y x}, ⇑ x = {y ∈ P : x y}. 偏序集P 称为S-超连续偏序集, 若对任意x ∈ P , 有x = ⇓ x. 下一引理说明S-超连续偏序集上的 关系具有插值性质.
偏序集中的特殊元素
偏序集中的特殊元素偏序是有顺序特点的关系。
偏序集中的特殊元素有极⼤元、极⼩元、最⼤元、最⼩元，以及上界、下界、上确界和下确界⼋种。
定义如下:设偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈B1. 若∀x(x∈B → y≤x)，则y为B的最⼩元2. 若∀x(x∈B → x≤y)，则y为B的最⼤元3. 若∀x（x∈B ∧ x≤y → y=x），则y为B的极⼩元4. 若∀x（x∈B ∧ y≤x → y=x），则y为B的极⼤元设偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈A1. 若∀x（x∈B → x≤y），则y为B的上界2. 若∀x（x∈B → y≤x），则y为B的下界3. 令C={y|y是B的上界}，则C中最⼩元就是B上确界4. 令C={y|y是B的上界}，则C中最⼩元就是B上确界［理解］最⼤元:∀x(x∈B → x≤y)由定义知道，x必须是B中的任何的⼀个元素，也同时y必须和x有关系，也就是说y必须和B内的任何⼀个元素有关系，如果都有x≤y，那么说明y是在排在最后的。
上⾯的题⽬第⼀个B中，关键是（2和3）还有（24和36）之间没有关系，⽽12，6⼜不是最⼤元最⼩元，所以没有最⼤元和最⼩元。
注意！哈斯图中没有相连的两个元素不⼀定就没有关系！根据哈斯图的定义，只有覆盖的才相连。
所以上⾯那⼀幅图中，2和6，12，24，36是有关系的，3也和他们（除了2）有关系，因为2≤6，6≤12，12≤24，12≤36，根据偏序的传递性，2和6，12，24，36都有关系，⽽且都在他们前⾯，同理3也是和他们有关，同理6除了和2，3，12有关，也和24，36有关。
也就是说除了2和3以及24和36两组没有任何关系，其他都有关。
必须和任何元素有关系，才能突出“最”。
同理，最⼩元也是。
极⼤元: ∀x（x∈B ∧ y≤x → y=x）由定义知道，x∈B ∧ y≤x这是极⼤元的两个条件，也就是说x必须属于B，⽽且y和x必须有关系（这⾥说明了并不需要和任何元素都有关系，和特定元素有关系即可，因为如果没有关系，那么就是前假后必真，也属于极⼤元），如果y≤x，那么就是极⼤元，为什么？因为如果y≤x，则y=x的话，说明如果y≠x的时候，y不可能⼩于x，只能⼤于x，故为极⼤元。
一致连续偏序集上的序同态
了它的一些等价刻划 。 关键词 ： 一致极小集 ； 一致连续偏序集 ； 序 同态 中 图分 类 号 ： Ｏ１ ５ ３ ． １ 文献标志码 ： Ａ
Ｏｒ ｄ ｅ ｒ － ｈｏ ｍｏ ｍｏ ｒ ｐｈ ｉ ｓ ｍ ｏ ｆ ｕ ｎ ｉ ｆ ｏ ｒ ｍ ｃ ｏ ｎｔ ｉ ｎｕ ｏ ｕ ｓ ｐｏ ｓ ｅ ｔ ｓ
ＲＵＡＮ Ｘｉ ａ ｏ ｊ ｕ ｎ
（ Ｄｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｉ ｃ ｓ ， Ｎａ ｎ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ， Ｎａ ｎ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ ３ ３ ０ ０ ３ １ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ｓ ｃ ｏ ｔ ｔ 拓 扑 的性 质 以及 一 致 连 续偏 序 集 在 映 射 下 的
一
定义 １ ． ２ 设 Ｐ 为一致 完 备偏 序集 ， 定 义 Ｐ上 的 Ｗａ ｙ — ｂ ｅ ｌ ｏ ｗ《 关系 如 下 ： Ｖ ｚ， Ｙ Ｅ Ｐ， 若 对 于任 意一 致集 ｓ ， 当 Ｙ≤ Ｖ Ｓ时 ， ｊ Ｓ Ｅ Ｓ使得 ｚ≤ Ｓ ， 则称
关系 ， 最后 引入 了一 致连 续偏 序集 上 的序 同态 ， 给出 了它 的一些 等价 刻划 。
ｚ≤ Ｙ。 （ ２ ） Ｕ≤ ｚ 《 Ｙ≤
定义 １ ． ３ ［ ５ 设 Ｐ 为一 致 完 备 偏 序 集 ， Ｐ满 足 如下两 个 条件 ：
（ １ ） Ｖ Ｅ Ｐ， ｚ是 Ｐ 中 的一 致集 ；
第３ ７ 卷第 ２ 期
２ ０ １ ３年 ４月
南 昌大 学 学 报 （ 理科 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｎａ ｎ ｃ ｈ ａ ｎ ｇ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
连续型特征的特征选取方法
连续型特征的特征选取方法在机器学习和数据分析中，连续型特征是指可以采用实数值进行度量的特征。
特征选取是一个关键的步骤，它的目标是从给定的特征集合中选择出对于预测模型有用的特征。
对于连续型特征的选取方法主要包括以下几种：统计方法、过滤方法、包装方法和嵌入方法。
1.统计方法：统计方法主要通过分析特征与目标变量之间的相关性来进行特征选取。
常用的统计方法有相关系数和方差分析。
-相关系数：用于衡量两个变量之间的线性相关性。
常见的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
根据相关系数的大小，可以选取与目标变量高度相关的特征。
-方差分析：也称为方差齐性检验，主要用于比较两个或多个样本的均值是否相等。
该方法可以检验连续型特征与目标变量之间的差异性，从而选择与目标变量有显著差异的特征。
2.过滤方法：过滤方法是一种基于特征本身的度量指标来进行特征选取的方法。
常用的过滤方法包括方差选择和互信息选择。
-方差选择：通过计算特征的方差，选择方差大于其中一阈值的特征。
方差小的特征往往包含的信息较少，对于预测模型的影响有限。
-互信息选择：互信息是一种度量两个随机变量之间依赖关系的指标。
通过计算特征和目标变量之间的互信息，选择与目标变量关联度高的特征。
3.包装方法：包装方法是一种基于模型的特征选取方法，它通过将特征选择问题转化为一个问题，并使用预测模型来评估不同的特征子集。
常用的包装方法有递归特征消除和遗传算法。
-递归特征消除：递归特征消除是一种逐步减少特征子集的方法。
该方法通过反复拟合模型，并且每次迭代后删除最弱的特征，直到达到预设的特征个数。
-遗传算法：遗传算法基于生物学上的遗传机制，通过不断进化的方式最优特征子集。
遗传算法通过交叉、变异和选择等操作，从初始种群中获得最优特征子集。
4. 嵌入方法：嵌入方法将特征选取问题融入到模型的训练过程中，通过正则化项或优化目标来选择特征。
常用的嵌入方法有Lasso回归和弹性网。
- Lasso回归：Lasso回归是一种线性回归的变种，它通过对回归系数添加L1正则项，使得部分系数变为零，从而实现特征的选择。
数学中的代数拓扑与格上拓扑
数学中的代数拓扑与格上拓扑在数学领域中，拓扑学是一门研究空间性质和结构的学科，而代数拓扑与格上拓扑则是拓扑学的两个重要分支。
本文将对这两个概念进行介绍和解释，并探讨它们在数学研究中的应用。
一、代数拓扑代数拓扑结合了代数学和拓扑学的方法和工具，研究的对象是代数结构在拓扑空间上的运算和变换。
它主要关注拓扑空间及其映射的代数性质和结构。
1.1 拓扑群和拓扑环拓扑群是指一个既是群又是拓扑空间的结构。
在拓扑群中，群运算与拓扑空间的连续性相一致。
代数拓扑中的一个重要研究对象就是拓扑群及其性质，如紧群和Lie群等。
拓扑环则是一种同时具有环结构和拓扑结构的代数结构。
拓扑环的构建使得代数运算和拓扑性质能够相互影响和补充，例如在代数方程中引入拓扑环的概念，能够更好地描述方程的解集的性质。
1.2 同伦论同伦论是代数拓扑的一个重要分支，它研究的是拓扑空间下的连续映射和同伦等价的性质。
同伦论通过代数方法研究了拓扑空间的形变，揭示了不同拓扑空间之间的联系。
1.3 代数拓扑在几何学中的应用代数拓扑在几何学中有着广泛的应用。
通过代数拓扑的方法，可以研究几何结构的性质，如流形的特征类、拓扑不变量等。
此外，代数拓扑还与流形的概念和性质、奇点理论等课题密切相关。
二、格上拓扑格上拓扑是指定义在格上的拓扑结构，其中格是一种偏序集合。
格上拓扑结合了格论和拓扑学的方法与概念，研究的对象是格上的拓扑性质和结构。
2.1 点集拓扑与格上拓扑的联系点集拓扑是拓扑学中最基础的一部分，而格上拓扑则是点集拓扑的一种推广。
格上拓扑结构能够保留点集拓扑中的一些重要性质，如开集、闭集等概念。
2.2 格上拓扑的应用格上拓扑在离散数学和最优化等领域具有广泛的应用。
在离散数学中，格上拓扑可用于描述格的结构和等价关系；在最优化问题中，格上拓扑可用于描述边界约束条件和最优解集合等。
三、代数拓扑与格上拓扑之间的联系代数拓扑和格上拓扑之间存在着许多联系。
例如，代数拓扑中的同伦等价关系可以通过格上拓扑的概念进行描述和研究；拓扑群结构也可以通过格的结构来刻画。
关于一致连续偏序集的权的一些性质
关于一致连续偏序集的权的一些性质
阮小军;肖水明
【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(032)004
【摘要】引入了一致连续偏序集的基的概念,给出了其一些等价刻画,讨论了一致连续偏序集的权与相应一致Scott拓扑空间的权之间的关系,并且进一步讨论其与相应的一致Lawson拓扑空间的权之间的关系.最后给出了在一致连续偏序集中,有w(/Λ(P))=w(P)=w(∑(P)).
【总页数】3页(P8-10)
【作者】阮小军;肖水明
【作者单位】南昌大学,数学系,江西,南昌,330031;南昌大学,数学系,江西,南
昌,330031
【正文语种】中文
【中图分类】O153
【相关文献】
1.一致连续函数的一些性质 [J], 高英;辛玉东
2.在偏序集上单调函数的一些性质 [J], 王礼萍;潘亚滨;曹辉;李艳
3.Z-连通连续偏序集的权的一些性质 [J], 阮小军;廖川荣
4.关于一致连续偏序集的若干性质 [J], 阮小军;张小芝
5.偏序集上一致连续性的等价刻画与性质 [J], 毛徐新; 徐罗山
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一致连续和柯西准则的区别
一致连续和柯西准则的区别
一致连续差分（CCD）和柯西准则是一种用于计算任意给定函数所对应函数值和梯度的数值算法，它们都是采用了迭代差分法来计算这些量。
然而，二者还是有一定的差异。
首先，CCD和柯西准则在处理方式上有所不同。
CCD主要是通过建立一个初始的多项式拟合来计算梯度，而柯西准则是通过多次求导来计算梯度。
其次，CCD和柯西准则对微分计算有着不同的要求。
CCD 要求输入的函数可以连续并处于平面区域，而柯西准则则要求输入的函数可以任意抽象，函数的限定条件不需要求出连续性，因此柯西准则更加灵活，可以用来求解复杂和非连续的函数。
此外，在计算效率上，CCD和柯西准则也有一定的区别：在计算相同的数据中，CCD的计算时间较短，但是它的计算精度差一些；而柯西准则的计算时间较长，但是它的计算精度更高。
总得来说，CCD和柯西准则在应用范围、处理方式、计算效率、计算精度等方面有着明显的差别，因此，在实际应用中，我们应根据实际需要，灵活选择合适的方法，以获得更好的效果。
另外，CCD和柯西准则有一个非常重要的优点就是这两种算法都是可以正确处理浮点数精度的，因此，它们在处理浮点数的运算的时候，极大地简化了计算过程，解决了传统的数值分析积分方法存在的精度问题。
最后，它们还可以通过相互结合来改善计算效率，叠加CCD和柯西准则可以提高计算准确度，而在一些算法中又可以利用CCD和柯西
准则的特性来降低计算量。
总之，CCD和柯西准则都是一种实用的数值算法，它们在各自的领域都具有非常重要的应用价值，可以帮助我们更加准确和方便地计算任意的函数值和梯度。
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定义 ３ 设 Ｐ为一致完备偏序集 ， Ｐ满足条件 （） Ｅ Ｐ， （ （ ）Ｎ 若 １Ｖ Ｐ ） Ｐ中的一致集 ； 是 （） ＥＰ， ＝ＶＵ （ ＝Ｖ Ｋ（ ｎ ２Ｖ ， Ｐ） ）则称 Ｐ是一致连续（ ， 代数） 偏序集．
致连续偏序集带上 Ｓｏ 拓扑时的拓 扑空 间的特征 和浓度相 等 ， 们分别小 于一致 连续偏序 集带上 Ｌｗ ｃｔ ｔ 它 ａ．
ｓ 拓扑时拓扑空间的特征和浓度． ｏ ｎ 关键 词 ： 一致连续偏序集； 特征； 浓度； 一致 Ｓ ｔ ｃｔ ｏ 拓扑； Ｌｗｏ 拓扑 一致 ａ ｓ ｎ 中 图分类 号 ： ３１ ０１ ． ５ 文献标 识码 ： Ａ
ｃ Ｂ使 是 Ｐ的一致集 ， ｃＪ ， 且 ｌ
定 义 ５ 设 Ｐ为一 致完 备偏 序集 ， 若 满 足 （） ＝ 十Ｕ；２ 对 于任 意一 致 集 ｜， ． Ｕ ｃ Ｐ， １Ｕ （） ｓ开集． ｃｔ ｔ 令 （ ） ： 是Ｐ的一致 Ｓｏ 开集 ｝称 （ ） Ｐ Ｐ ＝｛ ｃｔ ｔ ， Ｐ 为 上的一致 Ｓｏ ｃｔ ｔ
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［上 ． ６ ｊ 近年来 ， 由于程序展开理论［８ ７］ － 的研究 ， 在偏序集 中提 出了一致集的概念 ， 它是定 向集 的自然推
广， 并且有 关一 致集 的格论 研究 是程序 展 开理论 的基础 ． 献 Ｅ］ 出 了一 致连 续偏 序集 的若 干性质 ， 文 ９给 沿用 文
献［０ 的思想 ， １］ 本文继续探讨一致连续偏序集的特征与浓度， 并且得到了一致连续偏序集的特征和浓度与一 致连续偏序集带上 Ｓ ｔ ｃｔ ｏ 拓扑时的拓扑空间的特征和浓度相等 ， 它们分别小于一致连续偏序集带上 Ｌｗｏ 拓 ａｓ ｎ
第 ３ 卷第 １ ４ 期
２１ 年 １ ００ 月
江西 师范大学学报 （ 自然科 学版） Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ａ Ｇ ＩＮ Ｒ ＬＩ盯Ｖ Ｒ ｒＴ（ Ｊ『Ａ ．ＣＥ Ｃ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦⅡ Ｎ Ｘ Ｏ ＭＡ Ⅱ Ｅ ＳＩ ＮＡ＇ ＩＳ ＩＮ Ｅ Ｙ ＩＲ Ｉ
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１ ４
江西师范大学学报 （ 自然科学版 ）
２ １ 年 ００
拓扑 ． 记空间 （ （ ） Ｐ， Ｐ） 为 （ ． Ｐ）
定理 ２ 设 Ｐ是一致连续偏序集 ，（ ） Ｐ上的一致 Ｓｏ 拓扑 ， 盯Ｐ 为 ｃｔ ｔ 则下列性质成立 ：１ Ｖ （） Ｅ Ｐ，
一
是
致 Ｓｏ 开集；２ Ｕｃ Ｐ是一致 Ｓｏ 开集 铮 ＝ 十 且ｙＥ ｃ ｊ ∈ Ｕ使 《札；３ ｛ ： Ｅ Ｐ ｅｔ ｔ （） ｃｔ ｔ ， ｙ （） Ｉ ｝ ｔ 是拓扑空间（ （ ） 的一个基 ；４ ｛『 ： Ｐ， Ｐ ） （） ｆ 《∥｝ ｙ的一个邻域基；５ｘ《∥ 十 是 ｙ的一个邻域 ； 是 （） 铮
收 稿 日期 ：Ｏ ８１－ ２Ｏ ．２２ ０
基 金项 目 ： 自然科学 基金（ ３１１）江西省 自 国家 １ ３０Ｏ ， ０ 然科学基 金（４１２）江西省 教育 厅青 年科 学基 金（ 】 ∞８） ｏｌ ５ ， ０ Ｇｊ ６ 和南 昌 １
大学校基 金（ ６ ８资助项 目． 拗 ８） 作者简介 ： 阮小 军（９６）男 ， １７－ ， 江西武 宁人 ， 讲师 ， 硕士 ， 主要从事格上拓扑学 的研 究 ．
１ 引言及预备知识
２ 世纪 ７ 年代初 ， ０ ０ 著名数学家和理论计算机科学家 Ｓｏ 创立了连续格理论… ， ｃｔ ｔ １ 为确定性程序的指称语
义奠 定 了基 础 ． 随着 连 续格 理论 的发 展 ， 们 把重 点 又 放 在 了更 广 泛 的对 象 —— 连续 Ｄ ｍ ｉ［５和 拟 连续 人 ｏ ａｎ２］ －
定理 １ 设 Ｐ是一致连续偏序集 ， ， Ｐ， 《 ， ｊ Ｖ Ｙ∈ 则 ∈ Ｐ使 《 《∥， 即插人性质在 Ｐ中成立． 命题 １ 设 Ｐ是一致连续偏序集 ， ， Ｖ Ｙ∈ Ｐ 若 Ｙ 则 了ｚ ， ， 《 使 Ｙ ．
Ｖ
定义 ４ 设 Ｐ为一致完备偏序集 ， ｃ Ｐ 若 Ｖ Ｅ Ｐ ， ， ＝ ， 称 是 Ｐ 的一个基 ． 则
（） ２ 对偏序集 Ｐ中任意一致集都存在最小上界， 则称 Ｐ为一致完备的． 显然 ， 向集 为一 致集 ． 定 定义 ２ 设 Ｐ为一致连续偏序集 ， 定义 Ｐ上的 Ｗａ— ｌ 《 ｙ ｅ ｗ 关系如下： ， 若对于任意一致集 ｂｏ Ｖ ＹＥ Ｐ， ｓ 当 Ｙ≤Ｖ Ｓ ， ｓ ｓ ， 时 ∈ 使得 ≤ ｓ则称 一致小于Ｙ 记为 《 ， ， ， 如果 《 成立 ， 则称 为Ｐ的一致 紧元 ． Ｐ的全体一致紧元之集用 Ｋ （ ） ｖＰ 表示． ｆ ＝ ｛ ： 《 ｝ Ｉ ＝ ｛ ： 《 ｝ 记 『 “ ，ｌ “Ⅱ ．
扑 时拓扑 空间 的特征 和浓 度 ．
设 Ｐ为偏序集 ， 记
＝ ｛ Ｐ Ｙ≤ ｝ Ａ ＝ Ｕ ４口对偶地定义 十 十 ． Ｙ∈ ： ， ， ； ， Ａ
定 义 １ （） Ｐ为偏 序集 ， 若 Ｖ ， ， 在 ｚ∈ Ｐ使 ≤ ： Ｙ≤ 。则称 Ｊ Ｐ的一 致集 ； １设 ５ｃ Ｐ， ＹＥ Ｓ 存 ， ， ｓ为
Ｊｎ．０ ０ ａ ２ １
文章编号 ：００５６ （０００ ． １．４ １０－８２ ２ １）１ ０ ３０ ０
一
致连 续 偏序 集 的特 征 和 浓 度
阮小军 ， 徐 刚 ， 赵 洋
（ 南昌大学 数学系 ， 江西 南昌 ３０ ３ ） ３０ １
摘要 ： 利用连续格理论讨论了一致连续偏序集的特征和浓度， 证明了一致连续偏序集的特征和浓度与一