线性系统理论课程报告

线性系统的坐标变换及其相关特性

坐标变换的概念：

系统坐标变换的几何意义就是换基，即把状态空间的坐标系由一个基底换为另一个基底。

坐标变换的代数表征：

对系统的坐标变换代数上等同于对其状态空间的基矩阵的一个线性非奇异变换。

线性时不变系统的坐标变换的一个状态空间描述：

对（1）式表征的线性时不变系统的状态空间描述，引入坐标变换即线性非奇异变换 ，则变换后的系统系统状态空间描述为：

推导过程如下：

此时，原系统的状态空间描述与变换后的系统的状态空间描述之间的系数矩阵有如下关系：

对线性时不变系统的（1），引入同样的线性非奇异变: x Ax Bu y Cx Du =+=+∑&（1）1x p x -=: x Ax Bu y Cx Du

=+=+∑&（2）11x p x x p x --=⇒=&&1111()x p x p Ax Bu p Apx p Bu

----==+=+&&y Cx Du Cpx Du =+=+11,,,A p Ap B p B C Cp D D --====

换 ，则变换前后的系统的传递函数不变，即成立 。

进而得

基于上述讨论可得出在线性时不变系统变换下系统具有一些特性：

（1）对线性时不变系统，不管是系统矩阵还是传递函数矩阵，其特征多项式在坐标变换下保持不变。

（2）对线性时不变系统，系统矩阵A 的特征值在坐标变换下保持不变，而特征向量在坐标变换下具有相同的变换关系，即对 的线性非奇异变换有： 线性时变系统的坐标变换的一个状态空间描述：

对线性时变的状态空间描述（3），引入坐标变换即线性非奇异变换

（4）， 为可逆且连续可微，则变换后的状态空间描述为：

推导过程如下：

对 （4） 式两边关于 t 求导得：

1x p x -=()()G s G s =1111111()() [()] ()()

G s Cp sI p Ap p B D C p sI p Ap p B D C sI A B D G s -------=-+=-+=-+=1x p x -=1,1,2,3i i v p v i -==

L : ()() ()()x A t x B t u y C t x D t u

=+=+∑&（3）()x p t x =()p t ()() ()()x A t x B t u y C t x D t u

=+=+&（5）()() x p t x p t x =+&&&（6）

对（4）式两边关于 求导得：

（7）

以及由（4）式变换得到：

（8）

将上述（6）、（7）、（8）式代入（3）可得：

（5） 经过变换之后，时变参数之间的关系如下：

若在上述线性时变系统中添加以下条件：

对 为周期性矩阵既满足 的线性时变系统（3）

式 ，引入 维变换矩阵 ， 和 在 [),t ∞上为连续和有界 ，并存在有限实常数η使成立：

则上述 到 的变换为李亚普诺夫变换。李亚普诺夫变换不改变系统的稳定性，但是一般

等价变换并不能保证这一点。

x ()x p t =&1

()x p t x -=()()()()x A t x B t u

y C t x D t u =+=+&111()()()()()()()()()()()()()()

A t p t A t p t p t p t

B t p t B t

C t C t p t

D t D t ---=+===&()A t ()()0A t A t T -+=n ()p t ()p t ()p t &det ()0,p t η>>∀≥0

所有t t {}(),(),(),()A t B t C t D t {}(),(),(),()A t B

t C t D t