一个常见三角不等式的推广
一组优美三角不等式在多边形中的推广
由琴 生不等 式 知
ｓ １＋ ｓ ｎ’ ． ． ｎ＿ ＋ ‘ ‘ ．ｓ ｎ ＿ ‘＋
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２ １ 年 第 ４期 ０ １
福 建 中学数 学
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绝对值三角不等式的变形和推广
绝对值三角不等式的变形和推广绝对值三角不等式是一类常见的数学不等式，其形式通常为|f(x)| ≤ g(x)，其中 f(x) 和 g(x) 是定义在某个区间上的实值函数。
在解决不等式问题时，我们经常需要对绝对值三角不等式进行变形和推广，以便更方便地求解和应用。
一种常见的变形是绝对值三角不等式的加减法变形。
具体来说，若知道|f(x)| ≤ a 和|g(x)| ≤ b，其中 a 和 b 是非负数，我们可以通过将这两个不等式相加或相减得到新的不等式，即|f(x) ± g(x)| ≤ a ± b。
这种变形使得我们在解决实际问题时更加灵活和方便。
另一种常见的变形是绝对值三角不等式的乘法变形。
假设我们已知|f(x)| ≤ a 和|g(x)| ≤ b，其中 a 和 b 是非负数。
如果我们想要知道两个函数的乘积是否满足某个限制，我们可以将以上两个不等式相乘，得到|f(x)g(x)| ≤ ab。
这个乘法变形可以帮助我们简化复杂的表达式，从而更容易确定函数乘积的范围。
除了变形，我们还可以推广绝对值三角不等式的应用。
一个常见的推广是将不等式从实数区间推广到复数区域。
具体来说，我们可以将 |f(x)| ≤ a 推广为|f(z)| ≤ a，其中 z 是复数。
这个推广帮助我们处理包含复数的数学问题，拓宽了不等式的应用范围。
在解决实际问题时，我们可以根据具体情况灵活运用绝对值三角不等式的变形和推广。
通过适当的变形和推广，我们可以更加简化和直观地解决不等式问题，提高问题的求解效率。
综上所述，绝对值三角不等式的变形和推广是解决不等式问题的常见策略。
我们可以通过加减法变形、乘法变形以及推广到复数区域等方式，灵活应用绝对值三角不等式，提高问题解决的效率和准确性。
(字数：226)。
一个三角不等式及其应用
一个三角不等式及其应用
谈三角不等式及其应用
三角不等式是数学的一个重要概念，它指的是一个三角形中的边比另一边的长度或短度限制。
三角不等式的形式如下：
边a ≤ 边b + 边c
边a ≥ 边b - 边c
这里的a，b，c指的是三角形的三条边。
可以看到，三角不等式主要是指三角形中最长边不可以超过最短边两倍。
三角不等式有很多应用，其中比较常用的估算距离的方法。
这里给大家介绍一种测量物体距离的方法，也就是所谓的重要三角不等式，即“三个指向原点的边两两相等，则任意边等于原点到外点的距离”。
该方法由法国数学家哈代有关，可以用它来测量多个相异物体之间的距离，如另一个物体的距离、另一个位置的距离等。
正是由于三角不等式，我们才能应用它来测量距离。
例如，一个建筑师给客户出了一份设计图，其中有一处地面的尺寸，要求精确到1厘米，当客户去实际检查时，发现原尺寸有变。
因此建筑师
通过三角不等式来准确测量尺寸，他利用三角不等式通过既定三点，利用斜坡平移，计算出实际尺寸，再按照客户要求进行施工。
此外，三角不等式也可以用来检测三角形的型态，通过不同的边的长度，能够确定它是正三角形、等腰三角形，还是锐角三角形。
此外，三角不等式也可以应用到物理中，比如在声音传播方面，得出公式后就可以求出声音传播的距离等。
综上所述，三角不等式是数学中的一个重要概念，它有着多种应用，比如，测量距离、检测三角形型态、在物理中的应用等。
因此，三角不等式也称为“数学之父”，它也在各个领域中发挥着重要的作用。
三角形中的恒等式和不等式
三角恒等式及三角不等式一、在△ABC 中有如下恒等式：2sin 2sin 2sin 41cos cos cos C B A C B A +=++；sC Bc A C B A 0cos cos 412cos 2cos 2cos --=++;23sin23sin 23sin 413cos 3cos 3cos CB AC B A -=++；C B A C B A 2cos 2cos 2cos 414cos 4cos 4cos +-=++; 猜想：?cos cos cos =++nC nB nA2sin2sin 2sin 2sin 41cos cos cos nCnB nA n nC nB nA π+=++；(n 为奇数） 2cos2cos 2cos 2cos 41cos cos cos nCnB nA n nC nB nA π+-=++;(n 为偶数) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++2sin 2sin 2sin 122cos 2cos 2cos 222C B A C B A ； 2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++;2sin2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =-+； )cos cos cos 22sin sin sin 222C B A C B A +=++； C B A C B A cos cos cos 21cos cos cos 222-=++2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++；(可以推广到πn C B A =++)nC nB nA nC nB nA tan tan tan tan tan tan =++；n 为正整数12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A ;12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++nA nC nC nB nB nA ；n 为正整数2cos2cos 2cos 2sin 4sin sin sin nCnB nA n nC nB nA π=++；（n 为奇数） 2sin2sin 2sin 2cos 4sin sin sin nCnB nA n nC nB nA π-=++；（n 为偶数）二、三角恒等式；zy x z y x z y x z y x z y x sin sin sin sin cos cos cos sin cos cos cos sin )sin(-++=++z y x z y x z y x z y x z y x cos sin sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos )cos(---=++ C B A C B A cos cos cos 1cos sin sin +=∑x x x 3sin 4sin 33sin -= x x x cos 3cos 43cos 3-=x z z y y x zy x z y x z y x tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan tan tan )tan(----++=++x xx x 23tan 31tan tan 33tan --=x x x x 3sin 41)60sin()60sin(sin 00=+-； xx x x 3cos 41)60cos()60cos(cos 00=+-;x x x x 3tan )60tan()60tan(tan 00=+-;三、在△ABC 中有如下不等式： (1）2333sin3sin sin sin =++≤++C B A C B A ;(2）8333sin sin sin sin sin sin 3≤⎪⎭⎫⎝⎛++≤C B A C B A ; （3）233sin 32sin 2sin 2sin =++≤++C B A C B A ; (4）8132sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 3≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤C B A C B A ；（５）232sin 2sin 2sin 41cos cos cos ≤+=++C B A C B A ; (6)在锐角三角形ABC 中,813cos cos cos cos cos cos 3≤⎪⎭⎫⎝⎛++≤C B A C B A ; （７）在锐角三角形ABC 中，333tan 3tan tan tan =++≥++CB AC B A ;(8)33cot 3cot cot cot =++≥++CB AC B A ；（９）833)sin (sin sin 21sin sin sin 22≤+≤C B A C B A 833)cos (cos sin 21cos cos sin 22≤+≤C B A C B A 四、s r R -- 面积公式：pr c p b p a p p R abc C ab ah S ABC =---====∆))()((4sin 2121半角公式:bc c p b p A))((2sin--=,bca p p A)(2cos -=(1) RrC B A 42sin 2sin 2sin=; 12sin 2sin 2sin 41cos +=+=∑R rC B A A r R 2≥⇒在直角三角形中，21cos ≤+=∑RrA ；(2）RsR c b a C B A A =++==∑22cos 2cos 2cos 4sin ;(3）因为ca bc ab s c s b s a s s s abc s r Rr s ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---++=++2222))()((4，所以 22244sin sin R r Rr s B A ++=∑,224r Rr s ab ++=∑;(4)2332848sin sin sin R rsR rs R R abc C B A =⋅==，Rrs abc 4=; (５) 222244cos cos R r R s B A +-=∑；(6） 2224)2(cos cos cos Rr R s C B A +-=; (7)RrR A 222sin2-=∑ 32234)36(sin Rr Rr s s A --=∑； 33233443)2(cos RR rs r R A --+=∑ (8) 22)2(2tan tan tan tan r R s rsC B A A +-==∑;rs r Rr s A 24cot 22--=∑；(9) 2222)2(4tan tan r R s r Rr s B A +---=∑; (10) R sRr R rs C B A C B A C B A 4822sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2cos 2cos 2cos 2===； （１1）2222516344r Rr s r Rr R Gerretsen -≥≥++不等式：ker Wal ：222382r Rr R s ++≥Bludon ：233)433(2Rs r R s ≤⇒-+≤ 另外:2222344516r Rr R s r Rr ++≤≤-（12）Hadwiger Finsler -不等式：∑∑-+≥22)(34b a S a （13）2sin 2sin 2sin 822tan 2tan 2tan 222CB AC B A Bankoff Garfunkel -≥++-不等式： （１4）196７年,Ｚ．Mitrov ｉc ：2arccos,2021)cos (cos cos 2λλλλ==<<+≤++C B iff C B A(15)k Weitzenboc 不等式：S c b a 34222≥++。
不等式与绝对值不等式的证明与推广
不等式与绝对值不等式的证明与推广一、不等式的基本概念在数学中，不等式是一个用不等号连接的数学表达式。
不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
二、不等式的证明方法不等式的证明方法主要有以下几种：1. 直接证明法：根据不等式的条件，逐步推导出结论。
2. 反证法：假设不等式不成立，通过推理得出矛盾结论，从而证明不等式的正确性。
3. 数学归纳法：通过证明基本情况成立，并假设对于任意正整数n不等式成立，推导出n+1情况也成立。
4. 变量代换法：将不等式中的变量用新的符号表示，通过代换变换，将问题转化为更简单的形式。
5. 极值法：通过证明不等式的导数或极限存在和性质，来推导出不等式的成立。
三、绝对值不等式的证明绝对值不等式是一种特殊的不等式形式，其一般形式为|a|≥b，其中a和b是实数。
绝对值不等式的证明方法也有一些特殊的技巧。
1. 分情况讨论法：根据绝对值的定义，将不等式分为正数和负数两种情况，分别讨论并证明成立。
2. 平方法：利用平方的性质，将绝对值平方后，得到一个普通的不等式，进而证明原绝对值不等式的成立。
3. 三角不等式法：利用三角不等式的性质，将绝对值拆分为两个变量之和的形式，再利用其他不等式证明方式进行推导。
四、不等式的推广不等式的推广是指从一个已知的不等式出发，通过引入新的参数或条件，得到一类类似的不等式。
1. Cauchy-Schwarz不等式的推广：不等式的基本形式为∑(ai*bi)≤√(∑(ai^2))*√(∑(bi^2))，其中ai和bi 为实数。
通过引入新的参数或条件，可以推广为更多变形的不等式，如对于n个实数的情况，不等式形式为∑(ai*bi)≤(∑(ai^2))^k*(∑(bi^2))^(1-k)，其中k为实数。
2. AM-GM不等式的推广：AM-GM不等式的基本形式为(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1*a2*...*an)，其中ai为正实数。
通过引入新的参数或条件，可以推广为更多变形的不等式，如对于n个实数的情况，不等式形式为(a1+a2+...+an)/n ≥((a1^k+a2^k+...+an^k)/n)^(1/k)，其中k为实数。
三角形惯性极矩不等式的推广
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当且 仅 当 外 心
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与带 权 质 心
a
g 重台时
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一
。
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凡
:
一
几
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时式 (
9
) 等 号成 立
,
据 正 弦 定理
常见三角不等式
常见三角不等式
（1）若 x (0, (2) 若 x (0,
2
) ，则 sin x x tan x .
47.和角与差角公式
sin( ) sin cos cos sin ; cos( ) cos cos sin sin ; tan tan tan( ) . 1 tan tan sin( )sin( ) sin 2 sin 2 (平方正弦公式);
(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)
n (1) 2 sin , n sin( ) n 1 2 (1) 2 co s ,
n 2 s n ( 1 ) co , co s ( ) n 1 2 ( 1 )2 s i n ,
49. 三倍角公式
sin 3 3sin 4sin 3 4sin sin( ) sin( ) . 3 3 cos 3 4 cos3 3cos 4 cos cos( ) cos( ) 3 3
.
tan 3
3tan tan 3 tan tan( ) tan( ) . 2 1 3tan 3 3
) ，则 1 sin x cos x 2 . 2 (3) | sin x | | cos x | 1 .
45.同角三角函数的基本关系式
sin 2 cos 2 1 ， tan =
三角不等式推广到n证明
三角不等式推广到n证明
三角不等式是我们学习初中数学时接触到的一个基本不等式，它的形式为：对于任意三个实数 a、b、c，有 |a+b|≤|a|+|b|，|a-b|≤|a|+|b|。
这个不等式的作用非常广泛，可以应用到数学、物理、化学等多个领域，在不等式证明、优化问题、极值问题等方面都有重要的应用。
但是，在实际问题中，我们往往需要处理更多个数之间的关系，因此需要将三角不等式推广到更多个数之间的情况。
具体来说，我们可以将三角不等式推广到 n 个数之间的情况，得到如下的不等式：
对于任意 n 个实数 a1、a2、...、an，有
|a1+a2+...+an|≤|a1|+|a2|+...+|an|
这个不等式被称为“ n 个实数的绝对值和不等式”，它是三角不等式在 n 个数之间的推广。
这个不等式的证明可以通过数学归纳法来完成，具体证明过程可以参考高中数学教材和其他相关资料。
- 1 -。
绝对值三角不等式-讲义+题目+答案-适合高一下册学生的初次学习
知识点 绝对值三角不等式3.11定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当 ab ≥0 时，等号成立. 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .当a 与b 不共线时，有|a ＋b |＜|a |＋|b |，其几何意义为三角形的两边之和大于第三边； 若a ，b 共线，当a 与b 同向 时， |a ＋b |=|a |＋|b | ；由于定理1.定理1ab 同号取等，左边ab 同号取等）证明：把-b 代回到第一个式子的b 里面来证明第二个定理2（当且仅当 (a －b )(b －c )≥0 时，几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | = |a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：(1)点B 在A 或C 上时，|a －c | = |a －b |＋|b －c |；(2)点B 不在A ，C 上时，|a －c | ＜ |a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值.题型一 含绝对值不等式的证明例1 设函数f (x )＝x 2－2x ，实数a 满足|x －a |＜1. 求证：|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.证明 ∵f (x )＝x 2－2x ，且|x －a |＜1， ∴|f (x )－f (a )|＝|x 2－2x －a 2＋2a | ＝|(x ＋a )(x －a )－2(x －a )|＝|(x －a )(x ＋a －2)|＝|x －a |·|x ＋a －2| ＜|x ＋a －2|＝|(x －a )＋(2a －2)| x 并运用绝对值三角不等式 ≤|x －a |＋|2a －2|＜1＋|2a -2|≤1＋|2a|+|-2|=2|a|＋3，∴|f (x )－f (a )|＜2|a |＋3.题型二 利用绝对值三角不等式求最值例2 (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值；答||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，▲定理1推论左边∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.例3 设函数f (x )＝＋|x －a |(a ＞0)， (1)证明：f (x )≥2；证明 由a ＞0，可得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥|x+1a -（x-a ）|正负以消元为目的＝1a ＋a ≥2，。
绝对值三角不等式的变形和推广
绝对值三角不等式的变形和推广
绝对值三角不等式是解决数学问题中经常用到的一种不等式形式。
它的一般形式如下：
$$
|a + b| \leq |a| + |b|
$$
其中，a和b是实数。
绝对值三角不等式有许多重要的性质和
应用，可以通过变形和推广得到更多有用的结果。
变形
通过变形，可以得到绝对值三角不等式的其他等价形式，例如：
1. $|a - b| \leq |a| + |b|$：通过将b改为-b，得到绝对值的差形式。
2. $||a| - |b|| \leq |a - b|$：通过将a和b的绝对值分别改为其差的
绝对值和绝对值的差的绝对值，得到绝对值的绝对值形式。
这些变形形式可以根据具体问题的需要灵活运用，帮助解决各种实际问题。
推广
除了变形，绝对值三角不等式还可以推广到更多元素和更复杂的情况。
例如：
1. 绝对值三角不等式在多个变量之间的应用：当不等式中涉及多个变量时，可以利用绝对值三角不等式的性质进行推导和求解。
2. 绝对值三角不等式在向量和矩阵中的应用：绝对值三角不等式可以推广到向量和矩阵中，帮助解决各种线性代数问题。
3. 绝对值三角不等式在概率和统计中的应用：绝对值三角不等式可以应用于概率和统计领域，帮助分析和推导随机变量的性质和概率分布。
通过推广绝对值三角不等式，我们可以扩展其适用范围，从而更好地解决各种数学和实际问题。
综上所述，绝对值三角不等式的变形和推广可以帮助我们更好地应用绝对值三角不等式解决各种数学问题。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选用适合的变形形式或推广方法，提高问题的求解效率和准确性。
一个常见三角不等式的推广
＋
ｃ ＋２ ２ ＋ ｃ０ ０ ２ － ４
ｌ 张奠宙 、 张广祥 ． 中学代数研究 ． 北京 ： 高等教育出版社 ，
２ ６， ９ ００ １ ７
证 明： 为 ａ 因 ＋ ０ ６＋ ｂ ３ ｂ 所 以 ≥ ａ ，
０ ｍ ＋２
（ 南 省大 理 州漾 濞 一 中 范 花妹 云
．
在△ Ａ Ｃ中 ， 不等式 ｃｓＡ＋ｃｓ ＋ Ｂ 有 ０２ ｏ２
ｃｓＣ …等号成立 当且仅当△ ｃ为正 。 ≥３ ２
三 角形 ．
再将 ｃｓＸ＝１ ｉ Ｘ ：Ａ， ｃ） ｏ２ 一ｓ Ｘ（ ｎ Ｂ， ，
代人（） ， １式 整理 ， 得 推论 ２ ￣ ｄＡ Ｂ 中 ， Ａ Ｃ 对 ≥ １有
）４ ． （）
＋
１
＋
（。 ｃ一 ） ≥１ ｃｓ —１
．
当且 仅 当 Ａ ＝ 且
显 然 ， 等 式 （） 不 ４ 推广 了常见 的三角 不等 式 ｉ ＋ ｎ ＋ ｃ≤ ｎ ｉ ｉ …
．
Ｃ＝ａｃｏ Ａ 时 ， 号成立 ． 而定 理获 证 ． ｒ ｓ ｃ 等 从
１ ４
，
＋
；
＋
≥
３
。
。
Ｃ
Ｃ ＯＳ
…
＋
≤
从 指数 方面推 广 ， 以得 到 ： 可 问题 ４ 设 ａ， ， ｂ Ｃ为正 实 数 ， 为正 整 ｍ
（ ＋ ） ．
＾
数 ，求 证 ：
参 考 文 献
ｃ
＋
ａ ＋ ａｂ ４ －ｂ。
ｃｍ
４ －ｂｃ ４ － ６。 ｃ
将其 推广 ， 笔者 获得 如下结 论 ：
定理 在锐 角 △ ｃ中 ， 对 ≥ １ 不 有
一个三角形不等式的最佳形式
一个三角形不等式的最佳形式三角形的不等式是几何学中的一个重要定理，它描述了三角形中三个边的关系。
三角形的不等式有许多种形式，但其中最常见和最重要的形式是三角形的边长不等式。
三角形的边长不等式可以用来判断一个三角形是否存在，以及判断一个三组边能否构成一个三角形。
根据三角形的边长不等式，一个三角形的任意两边之和必须大于第三边，否则这三条边无法构成一个三角形。
这个不等式的形式可以表示为：a+b>c，b+c>a，以及a+c>b，其中a，b，c分别代表三角形的三条边的长度。
三角形的边长不等式还可以用来判断一个三角形的性质。
根据边长不等式，如果一个三角形的三条边中有一条边的长度超过另外两条边的长度之和，那么这个三角形就是一个钝角三角形。
如果一个三角形的三条边中有一条边的长度等于另外两条边的长度之和，那么这个三角形就是一个直角三角形。
另外，如果一个三角形的三条边中有一条边的长度小于另外两条边的长度之和，那么这个三角形就是一个锐角三角形。
另外，三角形的边长不等式还可以用来帮助解决一些几何问题。
例如，考虑一个三角形的两个内角和为90度，那么这个三角形一定是一个直角三角形。
根据边长不等式，我们可以进一步推断这个直角三角形的三个边长的关系。
这样，三角形的边长不等式可以帮助我们更加深入地理解三角形的性质和特点。
总的来说，三角形的边长不等式是几何学中一个重要的定理，它描述了三角形的边长之间的关系。
通过研究三角形的边长不等式，我们可以更好地理解三角形的性质和特点，解决一些几何问题，并且推断出三角形的形状和类型。
三角形的边长不等式在几何学中有着广泛的应用，对于深入研究三角形和其他几何形状都具有重要的意义。
三角不等式n维
三角不等式n维n维三角不等式是数学中的一个重要概念，它在几何学、线性代数、优化等领域有着广泛的应用。
本文将介绍n维三角不等式的定义和性质，并探讨其在实际问题中的应用。
我们来看一下n维三角不等式的定义。
对于任意n维向量x和y，n 维三角不等式可以表示为：||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||其中，||x||表示向量x的范数，也就是向量x的长度。
n维三角不等式表明，两个向量的和的长度不大于这两个向量长度的和。
这个不等式可以推广到任意维数的向量空间中。
接下来，我们来探讨一下n维三角不等式的性质。
首先，根据三角不等式的定义，我们可以得到以下结论：1. 当且仅当向量x和y线性相关时，等号成立。
2. 对于任意的n维向量a和b，有||a - b|| ≥ ||a|| - ||b||。
这些性质对于我们理解和应用n维三角不等式非常重要。
n维三角不等式在几何学中有着广泛的应用。
在n维空间中，我们可以用向量表示点，利用n维三角不等式可以证明一些关于点的几何性质。
例如，在n维空间中，我们可以证明对于任意三个点A、B 和C，有AB + BC ≥ AC。
这个结论在平面几何中对应着三角形的三角不等式。
n维三角不等式在线性代数中也有着重要的应用。
在向量空间中，我们可以用n维三角不等式证明向量的范数满足一些性质。
例如，对于任意n维向量x和y，我们有||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||，这个不等式说明向量范数是满足三角不等式的。
n维三角不等式还在优化问题中起着重要的作用。
在最优化理论中，我们经常需要求解一个函数的最小值或最大值。
利用n维三角不等式，我们可以得到一些关于函数最小值和最大值的性质。
例如，对于任意向量x和y，我们有f(x + y) ≤ f(x) + f(y)，这个不等式可以用来证明一些优化算法的收敛性。
n维三角不等式是数学中一个非常重要的概念，它在几何学、线性代数、优化等领域有着广泛的应用。
通过研究n维三角不等式的定义和性质，我们可以更好地理解和应用这个概念。
三角基本不等式公式(一)
三角基本不等式公式(一)三角基本不等式公式1. 三角不等式三角不等式是指对于任意三个角度 A、B 和 C，其满足以下不等式：| sin(A) | + | sin(B) | + | sin(C) | ≥ 2解释说明：对于任意三角形，其三个角度的正弦值的绝对值之和至少大于等于 2。
例如，考虑一个直角三角形，其中一个角度为90°，即 A = 90°。
由于正弦函数的定义域为 -1 到 1，因此sin(90°) = 1。
代入三角不等式：| sin(90°) | + | sin(B) | + | sin(C) | ≥ 2化简得：1 + | sin(B) | + | sin(C) | ≥ 2由于正弦函数的值都在 -1 到 1 之间，因此上式始终成立。
这说明三角不等式是成立的。
2. 三角锐角不等式三角锐角不等式是指对于任意锐角 A，其满足以下不等式：sin(A) ≤ A ≤ tan(A)解释说明：对于任意锐角 A，其正弦值小于等于自身、角度小于等于自身、正切值大于等于自身。
例如，考虑一个锐角A = 30°。
代入三角锐角不等式：sin(30°) ≤ 30° ≤ tan(30°)化简得：≤ 30° ≤上式是成立的，因为sin(30°) = 、tan(30°) ≈ 。
3. 三角余弦不等式三角余弦不等式是指对于任意锐角 A，其满足以下不等式：cos(A) ≤ sin(A) ≤ 1解释说明：对于任意锐角 A，其余弦值小于等于正弦值，正弦值小于等于 1。
例如，考虑一个锐角A = 45°。
代入三角余弦不等式：cos(45°) ≤ sin(45°) ≤ 1化简得：≤ ≤ 1上式是成立的，因为cos(45°) ≈ 。
4. 三角正切不等式三角正切不等式是指对于任意锐角 A，其满足以下不等式：sin(A) ≤ tan(A) ≤ sec(A)解释说明：对于任意锐角 A，其正弦值小于等于正切值、正切值小于等于正割值。
一个三角不等式的最佳形式
一个三角不等式的最佳形式
董林
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1999(000)004
【摘要】记△ABC的三边长为a、b、c,面积为△，半周长为p,R、r分别为其外接圆与内
【总页数】1页(P22-22)
【作者】董林
【作者单位】山东省高青三中 256304
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.三角不等式的一种推广形式及其应用 [J], 卢春燕
2.一个三角形不等式的最佳形式 [J], 董林
3.一个几何不等式的最佳形式 [J], 丁遵标
4.一个不等式的最佳形式 [J], 孔令恩;张连成
5.一个三角不等式的证明——兼有奖解题擂台(135)解答 [J], 褚小光;令标
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一条三角不等式链的指数推广
2020年第7期中学数学研究• 35 •则A + 1=14,求/ + y + z 的最小值.解:设入＞ 0,则 2x 3 + y 3 + 普/ + 3xyz W 2%34- y 3 4-孕兰 + Xx 3 + 么歹3 + -—z 二（A + 2）%3 + （色6 入 h 入+ 1 ）y 3 + （— + 学）z 3.令入 + 2 二牛+ 1 = — + 孕,/z o A /z o入 2，于是 14 W 4 （护 + y 3 + z 3）,故先3 + y 3 + z 3〃 =6,工 即 12先3 = 18y 3 = /时，（/+/+ ?）min =例4 已知实数x,y,z,w e R +,满足戏+y 3 +，4- w 3 二 1,求于 + 3xyz 4- 3yzw 的最大值.解:设 A〉0,则 y 3 + 3xyz + 3yzw W 閱 +（入%§ + 中閱 * J_^3 ） + （直于 ** _l_w 3）-入%3 *+ 1 ）y 3 + （丄 + *）, + ｝巾3.令入 二中 +"入二 2,"二 1,k =得阴+ 3矽z +3yzw 2,即 4护=y 3 = 2z 3 = 4w 3 时，有（/ + 3%yz + 3y^w ）max 二 2.例5 设z e R ，求3 汚二7+ 圧二丁的最大值.解:设＞ 0,则3 汚二7 W 入+牛+A4 入I ）2_丄（5 - z ） , ^/3z - 1 W 斗魏 + £ + +（3z -1）],于 “ 5 k I 是 3 ^/5 - z + ?3z - 1 W 入 + 牛 + ~^~k 4- zy + -入 3 5k /jl当+ （+—丄）釜令+二丄，由入=牛=丄（5 —2）,51 I /JL I （JL 入"k 二 + 二+（3z —1）,解得入二1T] 2T - = （F20 菸=+ 圧二T ）"° = 41I)3-文中通过引入正参数A ，“得到了推广结论Aa 3 + 弊 +g M3abc,至于负参数入，“又会有怎样得结论呢？请读者继续探讨.参考文献[1 ]刘成龙，唐俊，王检利.基本不等式的推广及应用[J ].中 学数学研究(江西),2012(2) ：18-19,[2]杨小兵，胡丹，刘成龙.再谈基本不等式的推广及应用 [J].中学数学研究(江西),2019(7)=20-21.条三角不等式链的指数推广福建省福清第三中学（350315）何灯在 AABC 中,a ,b ,c ；r a ,r b ,r c -h a ,h b ,h c ；w a ,w b ,叭；叭,叫，叫 分别表示三边长、旁切圆半径、高线 长、内角平分线长、中线长・R,r,S,s 分别为ZUBC 的外接圆半径、内切圆半径、面积及半周长.在文[1] 中笔者建立了涉及上述长度元素的不等式链：本文将上述不等式链进行指数推广.首先介绍 两个引理.引理2在 AABC 中有 N r b r c N w a .设心1,在44BC 中有2+厶+厶G r b r c引理2⑶1定理1在AABC 中有Y 写写Wm aW aY 乎 W4（¥_l ）2._ 1 1 亠77 + 77 + 77-叽 h c定理2 设m 〉0,e M 1,在AABC 中有h ：• 36 •中学数学研究2020年第7期£ (皿)"V y (皿)"V' '(石厂一 V (厂亿)"w L /・2-i- ~ w叭y （皿）"证明：由引理1及不等式人w 叫0叫,可得(r rha Ww° w a /v T W 显然有 X b : WW m a Y 仝rwY 冲wY 作L ，则只需（皿） 叭 亿（皿）"v y （r/。
三角不等式的数学知识点
三角不等式的数学知识点
关于三角不等式的数学知识点
数学，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
下面是店铺收集整理的关于三角不等式的数学知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。
三角不等式要领：在三角形中，必然有两边之和大于第三边，即为三角不等式。
三角不等式
三角不等式还有以下推论：两条相交线段AB、CD，必有AC+BD 小于AB+CD。
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| (定理)，也称为三角不等式。
加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的'三角不等式(其中a，b分别为向量a和向量b)
将三角函数的性质融入不等式.
如:当X在(0,90*)时,有sinx
等式成立的条件：
|a|-|b| = |a+b| = |a|+|b|
左边等式成立的条件：ab≤0且|a|≥|b| 右边等式成立的条件：ab≥0
|a|-|b| = |a-b| = |a|+|b|
左边等式成立的条件：ab≥0且|a|≥|b| 右边等式成立的条件：ab≤0
和差化积
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
知识总结：三角不等式虽然简单，但却是平面几何不等式里最为基础的结论，包括广义托勒密定理、欧拉定理及欧拉不等式最后都会
用这一不等式导出不等关系。
施瓦茨不等式_闵可夫斯基不等式证明_概述说明以及解释
施瓦茨不等式闵可夫斯基不等式证明概述说明以及解释1. 引言1.1 概述：施瓦茨不等式和闵可夫斯基不等式是数学中重要的两个不等式，它们在分析、几何、概率论等领域有广泛的应用。
施瓦茨不等式是一个关于内积和向量长度之间的不等关系，而闵可夫斯基不等式则描述了欧氏空间中向量的加法与标量倍乘运算后长度之间的关系。
本文将对这两个不等式进行证明，并探讨它们在数学领域以及其他相关领域的应用。
1.2 目的：本文旨在通过对施瓦茨不等式和闵可夫斯基不等式的证明过程进行详细解释，加深读者对这两个重要数学定理的理解。
同时，本文也将探讨这两个不等式在几何学、分析学以及其他可能领域中的应用，并指出未来研究方向和可能性。
1.3 文章结构：本文将分为四个主要部分。
第一部分是引言，在该部分中我们将概述文章内容涉及到的两个定理，同时介绍文章目的以及结构安排。
第二部分是施瓦茨不等式证明，我们将分别对施瓦茨不等式的概述、应用以及证明方法进行阐述。
第三部分是闵可夫斯基不等式证明，我们将介绍闵可夫斯基不等式的概述、在几何中的应用以及证明思路。
最后一部分是结论与总结，我们将总结两个不等式的关联和重要性，并进一步讨论可能扩展到其他领域的可能性，提出未来研究方向和建议。
通过这样的结构安排，读者可以更全面地了解这两个定理的概念、应用和证明过程，并对未来研究有所启示。
2. 施瓦茨不等式证明:2.1 施瓦茨不等式概述:施瓦茨不等式是数学中一种基本且重要的不等式，它描述了内积空间中向量之间的关系。
施瓦茨不等式有多种形式，其中最常见的形式为：对于实数内积空间或复数内积空间中的任意两个向量x和y，有：|<x, y>| ≤\|x\| ∙\|y\|其中，<x, y>表示x和y的内积，而∥∙∥表示向量的模（或长度）。
2.2 施瓦茨不等式的应用:施瓦茨不等式在各个领域都有广泛的应用。
在线性代数中，施瓦茨不等式可以用来证明向量之间的正交性、垂直性以及判断向量是否共线。
一个三角不等式链的指数推广
一
至此 ， 不等 式链 获证．
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即 当 愚一 ２ ｎ＋ １ ，１ 式也 成立． 时 （） 综 ① 和 ② 由归纳法 原理知 ，１ 式 当 忌为奇 （）
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２１ ０ ０年 第 ６期
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个 三角 不等 式链 的指 数 推 广
黄兆麟 （ 邮编 ：０ ４ ６ ３ ０５ ）
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一个三角不等式的演变
一个三角不等式的演变黄开云（福建省仙游第一中学，福建仙游351200）我们知道，在锐角△ABC中，有cos A+cos B+cos C≤32；又若△ABC为直角三角形，不妨设C为直角，则cos A+cos B+cos C=cos A+sin A=槡2sin（A+45ʎ）≤槡2＜32．综上，我们有如下三角不等式：在锐角或直角△ABC中，有cos A+cos B+cos C≤32．对于这个三角不等式，我们不禁联想到：x、y、z应满足什么条件，x+y+z≤32成立？在△ABC中，cos2A+cos2B+cos2C+2cos A cos B cos C =cos2A+1+cos2B2+1+cos2C2+2cos A cos B cos C=cos2（B+C）+1+12·2cos（B+C）cos（B－C）+2cos A cos B cos C当且仅当向量（a1，a2，…，a n）与（b1，b2，…，bn）线性相关时等号成立．证明：若存在a k=0（1≤k≤n），（a21+…+a2n）（b21+…+b2n）=（a21+…+a2n）（b21+…b2k－1+b2k+1+…+b2n）+（a21+…+a2n）b2k≥（a21+…+a2k－1+a2k+1…+a2n）（b21+…b2k－1+b2k+1 +…+b2n）．当a i≠0时，由M2≥M1可得（b21+b22+…+b2n）=a21b1a1()2+a22b2a2()2+…+a2n b n a n()2[]≥a21b1a1+a22b2a2+…+a2nbnana21+a22+…+a2n2·（a21+a22+…+a2n）=（|a1b1|+|a2b2|+…+|anbn|）2a21+a22+…+a2n≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2a21+a22+…+a2n（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2．综上，可得（a21+a22+a23+…+a2n）（b21+b22+b23+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn）2．4小结多元条件最值问题是考试选拔和数学竞赛中的一个热点问题．因为多元的关系，所以变形方向不定、技巧性强，对学生来讲是一个难点问题．怎样把灵活多变的演算技巧上升为一般的数学法则或定理，这是我们数学研究或数学教学所追求的．本文命题1、2不等式链源于课本，高于课本，揭示了正数幂平均之间的联系．条件不等式借助待定系数法，通过命题寻求部分齐次多元函数的最值，不失其一般性．［3］参考文献［1］王凤春．用降幂不等式求多元函数的极值［J］．高等数学研究，2015，18（4）：80-82．［2］邵宏宏．从一道高考题看“重心”［J］．数学教学，2018（6）：27-29．［3］邵宏宏．高考怎样考核心素养［J］．数学通报，2018，57（11）：47-49．=cos（B+C）［cos（B+C）+cos（B－C）］+1+2cos A cos B cos C=－cos A·2cos B cos C+1+2cos A cos B cos C =1．反之，若cos2A+cos2B+cos2C+2cos A cos B cos C=1（其中A、B、C为锐角或直角），即（cos2A+cos2B－1）+cos2C+2（cos A cos B）cos C =0．又由C为锐角或直角，可得cos C=－2cos A cos B+4（cos A cos B）2－4（cos2A+cos2B－1槡）2=－cos A cos B+cos2A（cos2B－1）+（1－cos2B槡）=－cos A cos B+（1－cos2B）（1－cos2A槡）=－cos A cos B+sin A sin B=－cos（A+B）=cos（π－A－B），则C=π－A－B，即A+B+C=π，故A、B、C 为锐角或直角三角形的三个内角．综上，可得“△ABC为锐角或直角三角形”等价于“A、B、C为锐角或直角且cos2A+cos2B+cos2C+ 2cos A cos B cos C=1．”这样，上述三角不等式即：若锐角或直角A、B、C满足cos2A+cos2B+ cos2C+2cos A cos B cos C=1，则cos A+cos B+cos C≤32．于是，我们可以得到与上述三角不等式等价的条件不等式：若x、y、z≥0，且x2+y2+z2+2xyz=1，则x+y+z≤32．（﹡）……………………由此条件不等式可以得到如下推论：推论1若x、y、z≥0，且x2+y2+z2+2xyz=1，则xyz≤18，当且仅当x=y=z=12时等号成立．证明：由x、y、z≥0及条件不等式（﹡），得32≥x+y+z≥33槡xyz，则xyz≤18，当且仅当x=y=z=12时等号成立．推论2若x、y、z≥0，且x2+y2+z2+2xyz=1，则xy+yz+zx≤12（x+y+z），当且仅当x=y=z=12时等号成立．证明：由x、y、z≥0及条件不等式（﹡），得32·（x+y+z）≥（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+zx）≥xy+yz+zx+2（xy+yz+zx）=3（xy+yz+zx），由此得xy+yz+zx≤12（x+y+z），当且仅当x=y=z=12时等号成立．以上由一个三角不等式演变得到了条件不等式（﹡）及其推论，由此继续演变，可以得到一系列的竞赛试题和数学问题．例1由条件不等式（﹡），立得2011年摩洛哥数学奥林匹克试题：设x、y、z∈Ｒ+，且x2+y2+z2+2xyz=1，则2（x+y+z）≤3．例2若对条件不等式（﹡）作变换（x，y，z）为x2，y2，z2()，则有x2()2+y2()2+z2()2+2·x2·y2·z2=1，可得x2+y2+z2≤32，即x2+y2+z2+xyz=4，x+y+z≤3．这就得到并证明了2002年伊朗数学奥林匹克试题：设x、y、z∈Ｒ+，且x2+y2+z2+xyz=4．证明：x+y+z≤3．例3若对条件不等式（﹡）作变换（x，y，z）为x4，y4，z4()，则有x4()2+y4()2+z4()2+2·x4·y4·z4=1，x4+y4+z4≤32，即2x2+2y2+2z2+xyz=32，x+y+z≤6．这就得到并证明了《数学通报》数学问题2161：设x、y、z∈Ｒ+，且2x2+2y2+2z2+xyz=32．求证：x+y+z≤6．例4若对条件不等式（﹡）作变换（x，y，z）为（槡xy，槡yz，槡zx），则有（槡xy）2+（槡yz）2+（槡zx）2+2（槡xy）（槡yz）（槡zx）=1，槡xy +槡yz +槡zx ≤32，即xy +yz +zx +2xyz =1，槡xy +槡yz +槡zx ≤32．这就得到并证明了2005年罗马尼亚数学奥林匹克试题：设x 、y 、z 是正实数，且xy +yz +zx +2xyz =1．求证：槡xy +槡yz +槡zx ≤32．例5若对条件不等式（﹡）及推论1作变换（x ，y ，z ）为槡x 4，槡y 4，槡z4()，则有槡x 4()2+槡y 4()2+槡z 4()2+2槡x 4()槡y 4()槡z 4()=1，槡x 4+槡y 4+槡z 4≤32且槡x 4()槡y 4()槡z 4()≤18，即x +y +z +12槡xyz =16，槡x +槡y +槡z ≤6且槡xyz ≤8，所以槡x +槡y +槡z +18槡xyz ≤6+18·8=7．这就得到并证明了2004年全国高中数学联赛河南省预选题：已知正实数x 、y 、z 满足x +y +z +12槡xyz =16．求证：槡x +槡y +槡z +18槡xyz ≤7．例6若对条件不等式（﹡）作变换（x ，y ，z ）为a －14，b +14，c 4()，则有a －14()2+b +14()2+c 4()2+2a －14()b +14()c 4()=1，a －14+b +14+c 4≤32(当且仅当a －14=b +14=c 4=12时等号成立)，即（a －1）2+（b +1）2+c 2+12（a －1）（b +1）c =16，a +b +c ≤6（当且仅当a =3，b =1，c =2时等号成立），亦即abc +2a 2+2b 2+2c 2+ca －cb －4a +4b －c =28，可得a +b +c 的最大值是6．这就得到并解决了2011年全国高中数学联赛加试B 卷试题：设a 、b 、c ≥1，且满足abc +2a 2+2b 2+2c 2+ca －cb －4a +4b －c =28，求a +b +c 的最大值．例7若对条件不等式（﹡）作变换（x ，y ，z ）为（xy ，yz ，zx ），则有（xy ）2+（yz ）2+（zx ）2+2（xy ）（yz ）（zx ）=1，xy +yz +zx ≤32．由于（xy ）2+（yz ）2+（zx ）2+2（xy ）（yz ）（zx ）=1等价于x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2x 2y 2z 2=1，等价于2（x 2y 2z 2+x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+x 2+y 2+z 2）=x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2+2（x 2+y 2+z 2）+1，等价于2（x 2+1）（y 2+1）（z 2+1）=（y 2+1）（z 2+1）+（x 2+1）（z 2+1）+（x 2+1）（y 2+1），即1x 2+1+1y 2+1+1z 2+1=2，则有1x 2+1+1y 2+1+1z 2+1=2，得xy +yz +zx ≤32．这就得到并证明了2005年伊朗数学奥林匹克、2007年美国国家集训队试题：设x 、y 、z ∈Ｒ+，且1x 2+1+1y 2+1+1z 2+1=2．证明：xy +yz +zx ≤32．例8若对不等式（﹡）作变换（x ，y ，z ）为(x （x +y ）（z +x 槡），y（x +y ）（y +z 槡），z（y +z ）（z +x 槡）)，则由x 2（x +y ）（z +x ）+y 2（x +y ）（y +z ）+z 2（y +z ）（z +x ）+2xyz （x +y ）（y +z ）（z +x ）=1，①………………………………………可推得x（x +y ）（z +x 槡）+y（y +z ）（x +y 槡）+z（z +x ）（y +z 槡）≤32，②………即x y +槡z +y z +槡x +z x +槡y ≤32（x +y ）（y +z ）（z +x 槡）．由于（x +y ）（y +z ）（z +x ）=（x +y ）（yz +xy +xz +z 2）=z 2（x +y ）+（x +y ）（yz +xy +xz ）=z 2（x +y ）+x （yz +xy +xz ）+y （yz +xy +xz ）=z 2（x +y ）+x 2（y +z ）+y 2（z +x ）+2xyz ，由此可得式①左边=1，故①式为恒等式，这一条件可去除．这就得到并证明了《数学通报》数学问题1513：已知x 、y 、z ＞0，求证：x y +槡z +y z +槡x +z x +槡y≤32（x +y ）（y +z ）（z +x 槡）．例9由于例8中式②等价于xx （x +y +z ）+槡yz +yy （x +y +z ）+槡zx +z z （x +y +z ）+槡xy ≤32，如果增设条件x +y +z =1，那么得x x +槡yz +y y +槡zx +zz +槡xy ≤32，这就得到并证明了2008年德国数学竞赛试题：已知x 、y 、z ＞0，且x +y +z =1．求证：x x +槡yz +y y +槡zx +z z +槡xy ≤32．例10若对条件不等式（﹡）作变换（x ，y ，z ）为(xy（y +z ）（z +x ）槡，yz（x +y ）（z +x ）槡，zx（x +y ）（y +z ）槡)，则xy （y +z ）（z +x ）+yz（x +y ）（z +x ）+zx （x +y ）（y +z ）+2xyz（x +y ）（y +z ）（z +x ）=1，③…………………………………………可推得xy（y +z ）（z +x ）槡+yz（x +y ）（z +x ）槡+zx （x +y ）（y +z ）槡）≤32，④………………即xy （x +y 槡）+yz （y +z 槡）+zx （z +x 槡）≤32（x +y ）（y +z ）（z +x 槡）．由于（x +y ）（y +z ）（z +x ）=（x +y ）（yz +xy +xz +z 2）=xy （x +y ）+（x +y ）（yz +xz +z 2）xy （x +y ）+xyz +x （xz +z 2）+y （yz +z 2）+xyz=xy （x +y ）+yz （y +z ）+zx （z +x ）+2xyz ，由此可得式③左边=1，故③式为恒等式，这一条件可去除．这就得到并证明了《数学通报》数学问题1183：设x 、y 、z 均为正实数，证明：xy （x +y 槡）+yz （y +z 槡）+zx （z +x 槡）≤32（x +y ）（y +z ）（z +x 槡）．例11由于例10中式④等价于xyz （x +y +z ）+xy槡+yzx （x +y +z ）+yz槡+zx y （x +y +z ）+zx 槡≤32，如果增设条件x +y +z =1，那么xyz +xy槡+yzx +yz槡+zxy +zx槡≤32，这就得到并证明了2010年吉尔吉斯斯坦数学奥林匹克试题：设x 、y 、z ＞0，且x +y +z =1．求证：xyz +xy槡+yzx +yz槡+zxy +zx槡≤32．例12由于例10中式④等价于1（y +z ）（z +x ）xy 槡+1（z +x ）（x +y ）yz槡+（下转第1-26页）3．6灵活性板书的灵活性是计划性基础上的高级要求，是教师教学机智的显现．首先，板书的行进路线不必严格对应教学顺序，而需根据知识间的并列、交叉、包含等关系作适当调整，如以横向、纵向或其他易于从结构上反映知识间关系的形式来书写．其次，教师若对主干内容的排版布局与变式条件的清晰呈现予以用心设计，数学变式教学的板书常可实现一题多用、一图多用，从而在提高板书效率的同时助益教学内容的架构与粘合．第三，灵活性的重要体现还在于板书是最易呈现课堂教学生成内容的载体．所以教师可巧用留白艺术，为学生的质疑、联想、创造，也为自己的释疑、校正、评价，预留合适的板书空间．简而言之，板书在灵活性上应做到“瞻前顾后，留有余地”．4结束语不容乐观的是，数学教学论书籍中历来鲜见相关篇章，教研活动中也甚少关注板书运用，板书技能在数学教师教育中已失落良久．但又欣慰的是，《教育部教师工作司2018年工作要点》在谈及“提升教师教育质量”时明确提出：“提倡教师磨炼‘三字一话’，强化教学基本功训练”［6］，这为我们重视板书，重拾板书提供了国家层面的政策性支持．板书技能的提升与板书文化的回归非一朝一夕之功，观念形塑、经验总结、理论建构等等，都有待教师和教师教育工作者们去努力．参考文献［1］颜林忠．数学教学：板书不能下岗［J ］．内蒙古教育，2018（3）：53-56．［2］张永红．数学课堂板书问题的校正取向［J ］．教育科学论坛，2013（4）：44-45．［3］裴宁宁．副板书是课堂生成的一面“镜子”［J ］．内蒙古教育，2013（6）：63-64．［4］人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书，数学1（必修）（A 版）［M ］．北京：人民教育出版社，2004．［5］单墫．数学是思维的科学［J ］．数学通报，2001，40（6）：0-2．［6］中华人民共和国教育部．教育部教师工作司2018年工作要点［EB /OL ］．（2018-01-22）［2018-01-29］．http ：//www．moe．edu．cn /s78/A10/A10_gggs /A10_ssjhj /201801/t20180124_325390．html．（上接第1-33页）1（x +y ）（y +z ）zx槡≤32，等价于1z （y +z ）（z +x ）xyz2槡+1x（z +x ）（x +y ）x 2yz 槡+1y（x +y ）（y +z ）y 2zx槡≤32，等价于1x 1xy +1yz +1zx +1x 2槡+1y1xy +1yz +1zx +1y2槡+1z 1xy +1yz +1zx +1z2槡≤32，如果增设条件1xy +1yz +1zx =1即x +y +z =xyz ，那么1x 1+1x2槡+1y1+1y 2槡+1z1+1z 2槡≤32，即11+x 槡2+11+y 槡2+11+z 槡2≤32．这就得到并证明了1998年韩国数学奥林匹克试题：设正数x 、y 、z 满足x +y +z =xyz．证明：11+x 槡2+11+y 槡2+11+z 槡2≤32．。