西南交通大学振动力学_第 2 章(II) 单自由度系统的强迫振动
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自由度系统的强迫振动
建立振动方程
根据牛顿第二定律和系统运动学关系，建立系统 的振动方程，描述系统的振动行为。
考虑外部激励
考虑系统受到的外部激励，如力、力矩或位移等， 并将其作为已知条件或输入。
自由度系统强迫振动的求解方法
01
解析法
对于简单系统，可以使用解析法 求解振动方程，得到系统的振动 响应。
数值法
02
03
实验法
对于复杂系统，可以使用数值法 求解振动方程，如有限元法、有 限差分法等。
相位
阻尼
强迫振动的相位与外界激励源的相位有关 ，可以通过调整激励源的相位来控制结构 的振动相位。
结构在强迫振动过程中会受到阻尼力的作 用，阻尼力的大小与结构本身的阻尼系数 和外界激励频率有关。
04 自由度系统的强迫振动分 析
自由度系统强迫振动的模型建立
确定系统自由度数
根据系统动力学特性，确定系统的自由度数，以 便建立准确的振动模型。
通过实验测试系统的振动响应， 并利用测试数据进行分析和求解。
自由度系统强迫振动的特性分析
频率响应分析
01
分析系统在不同频率下的振动响应，了解系统的频率特性和共
振现象。
稳定性分析
02
分析系统的稳定性，判断系统是否处于稳定状态或发生失稳。
能耗分析
03
分析系统的能量耗散特性，了解系统能量损失的原因和程度。
研究相对较少。
在实际工程中，系统通常具有 非线性特性，而目前的研究主
要集中在线性系统。
未来的研究可以进一步探讨多 自由度系统的强迫振动行为， 以及非线性系统中的复杂动力 学行为。
同时，可以结合实验研究，对 理论分析和数值模拟的结果进 行验证和修正，以更好地应用 于实际工程中。
根据牛顿第二定律和系统运动学关系，建立系统 的振动方程，描述系统的振动行为。
考虑外部激励
考虑系统受到的外部激励，如力、力矩或位移等， 并将其作为已知条件或输入。
自由度系统强迫振动的求解方法
01
解析法
对于简单系统，可以使用解析法 求解振动方程，得到系统的振动 响应。
数值法
02
03
实验法
对于复杂系统，可以使用数值法 求解振动方程，如有限元法、有 限差分法等。
相位
阻尼
强迫振动的相位与外界激励源的相位有关 ，可以通过调整激励源的相位来控制结构 的振动相位。
结构在强迫振动过程中会受到阻尼力的作 用，阻尼力的大小与结构本身的阻尼系数 和外界激励频率有关。
04 自由度系统的强迫振动分 析
自由度系统强迫振动的模型建立
确定系统自由度数
根据系统动力学特性，确定系统的自由度数，以 便建立准确的振动模型。
通过实验测试系统的振动响应， 并利用测试数据进行分析和求解。
自由度系统强迫振动的特性分析
频率响应分析
01
分析系统在不同频率下的振动响应，了解系统的频率特性和共
振现象。
稳定性分析
02
分析系统的稳定性，判断系统是否处于稳定状态或发生失稳。
能耗分析
03
分析系统的能量耗散特性，了解系统能量损失的原因和程度。
研究相对较少。
在实际工程中，系统通常具有 非线性特性，而目前的研究主
要集中在线性系统。
未来的研究可以进一步探讨多 自由度系统的强迫振动行为， 以及非线性系统中的复杂动力 学行为。
同时，可以结合实验研究，对 理论分析和数值模拟的结果进 行验证和修正，以更好地应用 于实际工程中。
实验一 单自由度系统强迫振动实验
单自由度系统强迫振动实验一、实验目的1、 了解学习振动系统和测振系统的组成及原理，掌握测振的一般方法。
2、 观察简支梁振动系统在共振前、共振时、共振后以及快速通过共振区的振幅变化情况。
3、 观察简支梁振动系统在共振前、共振时、共振后干扰力与系统位移的相位关系。
4、 测定简支梁振动系统的固有频率及幅频特性曲线。
二、实验装置 1、 实验装置简图测振仪（11）示波器（12）闪光测速仪（9）闪光灯（8）电动机（3）变压器（2）传感器（10）简支梁（1）偏心轮（4）振标（7）标记线（5）图一2、实验装置上各附件的作用 （1） 简支梁简支梁是由一块截面为矩形的弹性钢板通过轴承支撑在两个刚性很强的固定支架上，它在系统中主要起弹簧作用。
（2） 固定架固定架是用来固定偏心轮、标记盘等部件的，其质量同简支梁质量的一半组成系统的质量（根据能量原理而得）。
故此系统可简化为（图二）所示的弹簧质量系统。
图二图中：M ------系统的质量 m -------偏心质量 0F -------离心惯性力k --------简支梁的弹簧刚度 r --------阻尼系数 （3） 自耦变压器自耦变压器用来启动电机和调节电机转速的设备。
当通过变压器手轮改变变压器输出电压时，即可改变电机的转速，借以达到调速之目的。
（4） 电动机电动机是用来驱动偏心轮旋转的动力源。
在本实验中借助改变电机的转速来实现干扰力频率的变化。
（5） 偏心轮偏心轮在系统中是产生干扰力的元件。
当转轴带动偏心轮以转速N 旋转时，偏心质量m 就以2(1/)60Ns πω=作等速圆周运动，同时产生了一个离心惯性力20F me ω=。
该力通过轴和轴承座传给梁。
这个旋转的离心惯性力在铅直方向的分量就构成了对梁沿铅直方向的简谐干扰力，即20sin sin F F t me t ωωω==。
此干扰力使系统产生强迫振动。
以坐标x 表示偏心轮轴心离开静平衡位置的铅垂位移，如图二，则系统振动的微分方程为：2sin Mx rx kx me t ωω++= （1）设 2r n M = , 2k p M =，2me q Mω=上式可以写成22sin xnx p x q t ω++= （2） 这个微分方程的全解为12()()()x t x t x t =+其中 221()sin()nt x t Ae p n t ϕ-=-+是个衰减振动，在振动开始的一定时间后就完全消失了。
单自由度强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和 激振下的强迫振动
所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。
设激励为 F(t)=F0sinwt ，这 里 w为激振频率，利用牛顿定 律并引入阻尼比x 可得到
F0 x 2wnx x w x sin wt m
2 n
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
xwnt
上述解的第一部分代表由初始条件引
起的自由振动;
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
7
第二部分
X 0e
xwnt
xwn sin w cos sin wd t sin cos wd t wd
代表由干扰力引起的自由振动。 这两部分都是衰减振动，随时间的推移而消
失，称为瞬态响应或暂态响应；
最后只剩下第三部分
X 0 sin(w t ) ，代表
与激振力同形式的等幅的强迫振动，称为稳态响 应，这才是我们最关心的。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
8
若为余弦激励, 则响应（解）为：
x0 xwn x0 xe sin wd t x0 cos wd t wd xw t xwn cos w sin X 0e sin wd t cos cos wd t wd
第3章 单自由度系 统强迫振动
第3章 单自由度系统强迫振动
1
系统在外部激励作用下的振动称为受
迫振动或强迫振动。
自由振动只是系统对初始扰动 ( 初始
条件)的响应。由于阻尼的存在,振动现象
很快就会消失。
第二章3-单自由度系统强迫振动
积分常数的确定
x x Acosnt ， 代入微分方程：
2 n 2 n
2Bn sin nt cos cosnt sin Acosnt
2 n
从而：
cos 0
2
2 n A cos nt n A B 2n cos nt 2
方程解可以写成：
A x x0 cos nt sin nt cos t cos nt 2 n 1 x0
解的讨论
从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起 的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有 频率 n 。
A cos t 2 1
表示系统在简谐激励下的强迫振动，与
激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关。
A cos nt 2 1
表示激扰力引起的自由振动。
对扰力引起自由振动的讨论
令初始条件：x 0, x 0 ，微分方程的解简化为： 0 0
A x cos t cos nt 2 1
可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自 由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个
齐次解的讨论
当 1 时，由前面的单自由度阻尼自由振 动可得： x1 e t B1 cos d t B2 sin d t
n
，
2 1 n 其中：d
，称为衰减振动的圆频率。
特解的讨论
由于激励为简谐的，根据微分方程的理论， x2 X cos t 上述微分方程有如下形式的特解： x2 X2 cos t x2 X sin t ， 将 x2 X cos t ， 2 2 代入 x 2n x n x n Acos t 可得：
203单自由度体系强迫振动(力学)
d y (t ) = v0 (τ )
ω
FP (τ ) d τ sin ω ( t − τ ) = sin ω ( t − τ ) mω
（3）将时刻 t 之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加 ） 1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) d τ mω
1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) dτ mω
动位移、 ※动位移、动内力幅值计算
计算步骤: 计算步骤: 1. 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 2. 计算动力系数； 计算动力系数； 3. 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 动内力幅值。 动内力幅值。
y (t ) = − F θ F sin ω t + sin θ t 2 2 2 2 m (ω − θ ) ω m (ω − θ )
伴生自由振动
稳态受迫振动
（2）※稳态受迫振动分析 ） 稳态受迫振动分析
y ( t ) = A sin θ t
y (t ) = µy st sin θt
动位移一定比 静位移大吗？ 静位移大吗？
F =µ sin θt 2 mω = µδ 11 F sin θt F =µ sin θt k11
F F y st = = = Fδ 11 2 k11 mω
动力系数 µ 的讨论
重要的特性： 重要的特性：
1 θ µ= , β = 2 ω 1− β
1. 当θ/ω→0时, µ →1，荷载变化 时 ， 如何减小 得很慢，可当作静荷载处理。 得很慢，可当作静荷载处理。 3 振幅？ 振幅？ 2. 当0< θ/ω <1时, µ >1，并且随 时 ， 2 θ/ω的增大而增大。 的增大而增大。 的增大而增大 。 3. 当θ/ω →1时, µ →∞。即当荷载 时 1 θ 频率接近于自振频率时， 频率接近于自振频率时，振幅会 ω 无限增大。称为“共振” 无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 称为共振区。 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 称为共振区 4. 当θ/ω >1时, µ 的绝对值随 时 的绝对值随θ/ω 的增大而减小。 很大时， 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 很大时 荷载变化很快，结构来不及反应。
ω
FP (τ ) d τ sin ω ( t − τ ) = sin ω ( t − τ ) mω
（3）将时刻 t 之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加 ） 1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) d τ mω
1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) dτ mω
动位移、 ※动位移、动内力幅值计算
计算步骤: 计算步骤: 1. 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 2. 计算动力系数； 计算动力系数； 3. 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 动内力幅值。 动内力幅值。
y (t ) = − F θ F sin ω t + sin θ t 2 2 2 2 m (ω − θ ) ω m (ω − θ )
伴生自由振动
稳态受迫振动
（2）※稳态受迫振动分析 ） 稳态受迫振动分析
y ( t ) = A sin θ t
y (t ) = µy st sin θt
动位移一定比 静位移大吗？ 静位移大吗？
F =µ sin θt 2 mω = µδ 11 F sin θt F =µ sin θt k11
F F y st = = = Fδ 11 2 k11 mω
动力系数 µ 的讨论
重要的特性： 重要的特性：
1 θ µ= , β = 2 ω 1− β
1. 当θ/ω→0时, µ →1，荷载变化 时 ， 如何减小 得很慢，可当作静荷载处理。 得很慢，可当作静荷载处理。 3 振幅？ 振幅？ 2. 当0< θ/ω <1时, µ >1，并且随 时 ， 2 θ/ω的增大而增大。 的增大而增大。 的增大而增大 。 3. 当θ/ω →1时, µ →∞。即当荷载 时 1 θ 频率接近于自振频率时， 频率接近于自振频率时，振幅会 ω 无限增大。称为“共振” 无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 称为共振区。 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 称为共振区 4. 当θ/ω >1时, µ 的绝对值随 时 的绝对值随θ/ω 的增大而减小。 很大时， 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 很大时 荷载变化很快，结构来不及反应。
结构动力学-单自由度系统的振动
Fi= -my
F(t)
2 1 F1=1
2 F2=1 1
δ11 δ12
2021/6/24
Δ1F=δ11Fi
Δ1F=δ12F(t)
17
（2）按叠加原理建立运动方程： 位移协调
y 11Fi( t ) 12F( t ) 11( my ) 12F( t )
变换得：y 2 y 12 F( t ) 0.6875 F( t )
0.00265 0.00511 0.00776m
M max M stw M stf
Wl
4
Fl 4
2021/6/24
20 4 3.866 10 4 58.66kN m
15
4
4
❖ 例2：
图示跨中带有一质体的无重简支梁，动力荷
载 F(t) F sint 作用在距离左端l/4处，若
令： yst
p
m 2
p k
p
1 12 / 2
yst 为最大静位移，表示将荷载最大值P当作 静荷载作用时结构所产生的位移；
为动力放大系数或动力系数，表示最大动 位移[ y(t)]max与最大静位移 yst 的比值。
则有： 2021/6/24 y( t ) yst sint
9
动力系数 与频率比值的关系： 动力系数 是频率比值 / 的函数，变化规 律如图所示，其中横坐标为 /，纵坐标为 的绝对值。
因此：在研究共振时的动力响应，阻尼的影 响不容忽视。
2021/6/24
30
（3）在阻尼体系中，共振时的动力系数虽然
接近于最大的动力系数 max，但并不等于这个
最大值。
求最大响应时的 值：
可求 对 / 的导数并令其等于零。对于阻 尼比 1 2的实际结构，响应峰值频率为：
西南交通大学振动力学_第 2 章(II) 单自由度系统的强迫振动
《振动力学》
图 2-30
14
单自由度系统的振动 （2）系统初始阶段的响应 a) 响应特征 在简谐激振力作用下系统的总响应为
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) (2 46) Ae t sin( ' t ) B sin(0 t )
由两种不同频率和振幅的简谐运动叠 加而成的比较复杂的运动。
振动之和。 《振动力学》
17
单自由度系统的振动
c)一般初值响应
x 0 如果初始条件是t=0, x x0 , x
，由式（2-46），在简谐
激振力作用下系统初始阶段的响应为
x Aet sin( ' t ) B sin(0t )
其中
0 x 0 B sin B cos 2 x 0 B sin ) 2 ) (x ' '( x0 B sin ) 2016 arctan (2 49) 年1月10日 x0 x0 B sin B0 cos A (
F0 sin 0t x(t ) A sin(t ) k 1 2 (2 47)
0 ,代入初始条件得 设t=0时，x 0, x
F0 0 A , 0 k (1 2 )
图 2-31
《振动力学》
16
单自由度系统的振动
代入（2-47）得
x(t )
0 0
F0 F0 2 F0 B = = 2 2 k 0 k 2 m0
《振动力学》
图 2-28
9
单自由度系统的振动 振幅大小主要决定于系统惯性，这一区 域称为‚惯性控制区‛。 对启动次数不多的高速旋转机械， 在通过共振区后就有抑制振幅的预防措 施，在越过共振区到达高速旋转时，振 幅反而很小，旋转更趋平衡。 ③. λ≈1 时，即 0接近 ，振幅大小 与阻尼情况极为密切。在ζ 较小的情况下 ，振幅B可以很大，在ζ→0 的情况下，振 幅B趋向无穷大。 2 2 因为 0 , 故 m0 B m B kB 可见惯性力和弹性力基本平衡，从而 有激振力与阻尼力相平衡， 即有 Bc0=F 0 ，B=F0/c 0 ,因此阻尼对系统 响应有着决定性影响，振幅B大小随阻尼 c而定，这一区域称为‚阻尼控制区‛。
图 2-30
14
单自由度系统的振动 （2）系统初始阶段的响应 a) 响应特征 在简谐激振力作用下系统的总响应为
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) (2 46) Ae t sin( ' t ) B sin(0 t )
由两种不同频率和振幅的简谐运动叠 加而成的比较复杂的运动。
振动之和。 《振动力学》
17
单自由度系统的振动
c)一般初值响应
x 0 如果初始条件是t=0, x x0 , x
，由式（2-46），在简谐
激振力作用下系统初始阶段的响应为
x Aet sin( ' t ) B sin(0t )
其中
0 x 0 B sin B cos 2 x 0 B sin ) 2 ) (x ' '( x0 B sin ) 2016 arctan (2 49) 年1月10日 x0 x0 B sin B0 cos A (
F0 sin 0t x(t ) A sin(t ) k 1 2 (2 47)
0 ,代入初始条件得 设t=0时，x 0, x
F0 0 A , 0 k (1 2 )
图 2-31
《振动力学》
16
单自由度系统的振动
代入（2-47）得
x(t )
0 0
F0 F0 2 F0 B = = 2 2 k 0 k 2 m0
《振动力学》
图 2-28
9
单自由度系统的振动 振幅大小主要决定于系统惯性，这一区 域称为‚惯性控制区‛。 对启动次数不多的高速旋转机械， 在通过共振区后就有抑制振幅的预防措 施，在越过共振区到达高速旋转时，振 幅反而很小，旋转更趋平衡。 ③. λ≈1 时，即 0接近 ，振幅大小 与阻尼情况极为密切。在ζ 较小的情况下 ，振幅B可以很大，在ζ→0 的情况下，振 幅B趋向无穷大。 2 2 因为 0 , 故 m0 B m B kB 可见惯性力和弹性力基本平衡，从而 有激振力与阻尼力相平衡， 即有 Bc0=F 0 ，B=F0/c 0 ,因此阻尼对系统 响应有着决定性影响，振幅B大小随阻尼 c而定，这一区域称为‚阻尼控制区‛。
单自由度系统强迫振动
静力偏移
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
单自由度系统强迫振动2A
X (ω ) 1 1 H (ω ) = = ⋅ F (ω ) k (1 − s 2 + i 2ξs )
§2.1 线性系统的受迫振动
幅频特性与相频特性
β=
1 (1 − s 2 ) 2 + 4ξ 2 s 2
2ξ s 1− s2
θ ( s ) = arctan
§2.1 线性系统的受迫振动
受迫振动过渡阶段—无阻尼情况 受迫振动过渡阶段 无阻尼情况
ɺ mɺɺ1 + cx1 + kx1 = −ω 2 mBeiω t x
§2.1 线性系统的受迫振动
基础振动引起的振动
基础振动引起的振动—相对运动分析 基础振动引起的振动 相对运动分析
ɺ ɺ m( ɺɺ − ɺɺf ) + c( x − x f ) + k ( x − x f ) = −mɺɺf x x x
x1 = x − x f 质量m相对于基座的相对位移 质量m
ɺɺf (t ) = −ω 2 Beiω t x
在系统受到激励开始振动的初始阶段， 在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时产生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加。 振动同时产生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加。 忽略阻尼， 忽略阻尼，设系统的动力学方程和初始条件分别为
2 2 ɺɺ + ω 0 x = Bω 0 sin ω t x
k
齐次方程的通解和非齐次方程的特解 x(t ) = x1 (t ) + x 2 (t )
x1 = e
− δt
(C1 cos ω d t + C2 sin ω d t )
A= B
ωd = ω0 1 − ζ 2
x2 = A sin(ω t − θ )
§2.1 线性系统的受迫振动
幅频特性与相频特性
β=
1 (1 − s 2 ) 2 + 4ξ 2 s 2
2ξ s 1− s2
θ ( s ) = arctan
§2.1 线性系统的受迫振动
受迫振动过渡阶段—无阻尼情况 受迫振动过渡阶段 无阻尼情况
ɺ mɺɺ1 + cx1 + kx1 = −ω 2 mBeiω t x
§2.1 线性系统的受迫振动
基础振动引起的振动
基础振动引起的振动—相对运动分析 基础振动引起的振动 相对运动分析
ɺ ɺ m( ɺɺ − ɺɺf ) + c( x − x f ) + k ( x − x f ) = −mɺɺf x x x
x1 = x − x f 质量m相对于基座的相对位移 质量m
ɺɺf (t ) = −ω 2 Beiω t x
在系统受到激励开始振动的初始阶段， 在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时产生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加。 振动同时产生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加。 忽略阻尼， 忽略阻尼，设系统的动力学方程和初始条件分别为
2 2 ɺɺ + ω 0 x = Bω 0 sin ω t x
k
齐次方程的通解和非齐次方程的特解 x(t ) = x1 (t ) + x 2 (t )
x1 = e
− δt
(C1 cos ω d t + C2 sin ω d t )
A= B
ωd = ω0 1 − ζ 2
x2 = A sin(ω t − θ )
机械振动第2章-单自由度系统强迫振动
画出相位差随激振力频率的变化曲线（相频曲线）
tan
2 1 2
相频曲线
tan
2 1 2
0.1
0
0.2
0.5
1.0
4.0 2.0
4.0 1.0 0.5 0.2
0.1
相频曲线可看到：相位差总是在0°至180°区间变化，是一单 调上升的曲线。共振时：ω=ωn ε=90 °，阻尼值不同的曲线都 交于这一点。越过共振区之后，随着频率ω的增加，相位差 趋近180°，这时激振力与位移反相。
2 n
h sin(t
)
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 Asin(nt )
设特解为： x2 bsin(t ) b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
b
2
sin(t
)
b
2 n
s
in(t
)
h
s
in(t
)
解得：
b h
2 n
2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解：
b 2 sin(t ) 2nb cos(t ) n2b sin(t ) h sint
将右端改写为：
kc
Fk
Fc
m
F
x
hsint hsin[t ) ]
hcos sin(t ) hsin cos(t )
可整理为：
[b(
2 n
2)
h cos ]sin(t
)
[2nb
mx kx kesint
x s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
03第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
自振周期和频率
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
自振周期和频率
k 1 w2 m md
(2)利用机械能守恒 (2) 利用机械能守恒
注意到
W mg Dst Wd
w2
g g Wd D st
EI EI
m
l
=1
d 11
l
T (t ) U (t ) 常数
Tmax U max
U (t ) 1 2 1 ky (t ) kA2 sin 2 (wt ) 2 2
计算频率和周期的几种形式
w
k 1 g m md Wd
g D st
T 2
m D st 2 k g
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
频率和周期的计算方法
(1)利用计算公式 (1) 利用计算公式
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题 例.求图示体系的自振频率和周期.
单自由度体系对简谐荷载作用下的反应是结构动力学中的一个经典内容。 自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
第三讲：单自由度系统的自由振动和强迫振动
一、无阻尼自由振动问题
1、 刚度法：研究作用于被隔离质量上的受力状 态，建立(动)平衡方程。 静平衡位置
2
cv kv 0 mv
特征方程：
2
c s sw2 0 m
当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然， 应有cc/2m=w，即：
cc 2m w
2
∵
c 0则：
s
c c w 2 2m 2m
这时，对应的s 值为 ：
第2章_单自由度系统-2.4简谐强迫振动
显含时间 t 非齐次微分方程
非齐次微分方程 通解
＝
齐次微分方程 通解
阻尼自由振动 逐渐衰减
＋
非齐次微分方程 特解
持续等幅振动
稳态响应
本节内容
暂态响应
4
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
齐次方程的通解上一节已经给出。
其通解为对应的阻尼自由振动的解。
设其特解为:
xp X sin(t )
9
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
系统的复频率响应为
H () H () ei ( )
( ) 为复频率响应 H ( ) 的幅角
( ) arctan
2 / n 1 ( / n ) 2
因此，系统在简谐激励下的稳态响应，可写为
x A H () cos(t )
Q与 有关系 ： Q
n
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： n 1
外部作用力规律：
F (t ) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
0
5 4 3 2 1
H ()
0
0 .1
22 ) ] (2 )2 n n
（3）在以上两个领域
0.25 0.375 0 .5 1
1, 1 n n
s
0 1 2 3
0
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
13
率与激励频率相同;激励与稳态响应之间有一个相位
单自由度体系的强迫振动
β与θ/ω的函数关系
注意
2
k 1 m m
2 1 2
F m 2
则
A
1 1
2
2
F y st
1
A y st
2 1 2 ---动力系数
对于结构内力也存在与结构位移相似的情况
计入阻尼时纯强迫振动分析
y(t )
y(t ) A sin(t )
2 ( )
2 2 4 2 2 (1 2 ) 2
F y st m 2
βmax并不出现在θ/ω=1处。
动力系数
1
2 4 2 2 (1 2 ) 2
1 时
1 2
其它与无阻尼类似
y(t ) A sin(t )
1 F F A y st A 2 2 2 2 m 4 ( 2 2 ) 2 4 2 2 2 m (1 2 ) 2 2
2
算例2：图示简支梁，跨中有一质点m，右端作用一动力偶， M (t ) Msint 荷载频率与体系自由频率之比， 0.7
不考虑梁的质量和阻尼，试求质点动位移和支座截面转动角的幅值
解:
l3 11 48EI
12 21
1 1
22
l 3EI
M (t ) Msint m
短时荷载是指短时间内 停留在体系上的常量荷载， 如图所示
FP(t) FP0
FP(t)=FP0
解：
0tu
y(t ) yst (1 cost )
tu
1 y (t ) m
0
u
t
u
0
u (t u ) cost ] yst 2 sin sin (t ) 2 2 u u u 2 sin 2 sin y max y st 2 sin 2 T 2
第2章-单自由度系统振动
1
1
2
2
当摇杆摆至最大角移位处时，速度为零，此时系统动能为零而势能最大。它包括以下两
个部分：
1) 弹簧变形后储存的弹性势能
1 2·
2 2) 质量块 m 的重心下降后的重力势能
因摆角很小，
1
cos
1
⁄2
故，
因，
所以，
2
得，
.. . .
0.77
例 4：如图 2.10 为一齿轮传动机构。小齿轮齿数为 ，大齿轮齿数为 ，传动比i 小齿轮和大齿轮对各自轴线的转动惯量分别为 和 轴 1 和轴 2 的扭转刚度分别为 求该机构的固有频率。
单自由度无阻尼系统的动力模型如图 2.4 所示，称为质量一弹簧系统，或 m-k 系统。设 质量块的质量 ，它所受到的重力为 。弹簧的刚度为 ，它表示弹簧每伸长或压缩—个单 位长度所需施加的力。弹簧未受力时的原长为 ，如图 2.4(a)中虚线所示。当质量块挂到弹簧 上以后，弹簧在质量块的重力作用下产生静伸长为 此时系统处于新的静平衡状态，其平衡 位置为O O，由平衡条件得
⁄， 和
图 2.10 齿轮传动 解：该机构为单自由度，选取轴 2 的转角如为广义坐标，系统的动能为
1
1
1
2
2
2
则，
系统的势能为
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
故，
所以，系统的固有频率为
4．瑞利法 (Rayleigh Method)
前面所讨论的振动系统，都是假设弹性元件只有弹性没有质量，这是理想化的模型。而
(2.6)
由欧拉公式，
单自由度体系强迫振动.ppt
1
2 2
yst
1
2 2
,
于是有:
C2 0
于是有:
y(t)
yst
1
1
2 2
(sint sin t)
10 12
yst (sint sin t)
强迫振动的过程可分为两个组成部分,第一部分按荷载 频率作纯强迫振动,第二部分按自振频率作自由振动。 振动开始时两种振动并存，称为“过渡阶段”或“瞬 态”，由于实际振动中存在阻尼力，故经过一段时间后， 将只剩下第一部分仍在振动，第二部分则“衰减”掉了， 这一
§10-3 单自由度体系的强迫振动
强迫振动---动荷载引起的振动,又称受迫振动。
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)
一.运动方程及其解
Fp(t) Fp sint
my(t) k11 y(t) Fp sint FP(t) m
y(t)
或
y(t)
2
y(t)
Fp
s in t 10
11
l
EI
m
3.1 简谐荷载作用下的受迫振动(不计阻尼)
=1
FP
运动方程
振幅
y(t) 12FP sint 11(my)
my(t) 1 y(t) 12 FP sin t
11
11
令
Fp
12 11
FP
A
Fp
m 2
Fp11
12 11
FP11
12FP
yst
my(t
稳态解
)
1
11
y (t )
y(t) Fp
Fp
m 2
sin t s in t
仍是位移动力系数 是内力动力系数吗?
振动与冲击理论基础—单自由度系统支座激励系统的受迫振动
为（x－y），包装件与基座的相对速度 为 (x y)。
系统的微分方程为
mx mg F R k(x y) c(x y) 或mx cx kx ky cy
y a sin t, y a cost代入上式 :
mx kx cx a k 2 (c)2 sin(t )
tan1 c
j1 k (1 j2 )2 (2 j j )2
同理，对于非简谐激振位移，
n
xs (t) (a j cos jt bj sin jt) j 1
响应为：
n
x(t)=
j=1
(1
1＋(2 j j )2 j2 )2 (2 j j
)2
Aj
sin(
j1t
j
j
)
单自由度线性系统的强迫振动
1、简谐激励力的强迫振动
f
(t)
a0 2
n
(a j
j 1
cos
jt
bj
sin
jt)
将此式代入微分方程可得：
式中1＝
2 T
是系统的基频，T是基频对应的振动周期。根据傅立叶级数理论，各系数为：
a0
2 T
T
F (t )dt
0
aj
2 T
T
0 F(t)sin j1tdt
bj
2 T
T
0 F(t)cos j1tdt
令Aj
Tr
1
(1 2 )2 (2)2
幅频特性曲线：
以ζ为参变量，可得出不同ζ的一系列Tr -λ曲线，称为幅频特性曲线
或共振曲线。曲线分析如下：
1）当λ《1时，即ω《ωn 的低频段情况，各条曲线 的Tr值接近于1，即强迫振 动的振幅X接近于静力偏移 A，即缓慢变化的干扰力的 动力作用接近于其静力作 用。
系统的微分方程为
mx mg F R k(x y) c(x y) 或mx cx kx ky cy
y a sin t, y a cost代入上式 :
mx kx cx a k 2 (c)2 sin(t )
tan1 c
j1 k (1 j2 )2 (2 j j )2
同理，对于非简谐激振位移，
n
xs (t) (a j cos jt bj sin jt) j 1
响应为：
n
x(t)=
j=1
(1
1＋(2 j j )2 j2 )2 (2 j j
)2
Aj
sin(
j1t
j
j
)
单自由度线性系统的强迫振动
1、简谐激励力的强迫振动
f
(t)
a0 2
n
(a j
j 1
cos
jt
bj
sin
jt)
将此式代入微分方程可得：
式中1＝
2 T
是系统的基频，T是基频对应的振动周期。根据傅立叶级数理论，各系数为：
a0
2 T
T
F (t )dt
0
aj
2 T
T
0 F(t)sin j1tdt
bj
2 T
T
0 F(t)cos j1tdt
令Aj
Tr
1
(1 2 )2 (2)2
幅频特性曲线：
以ζ为参变量，可得出不同ζ的一系列Tr -λ曲线，称为幅频特性曲线
或共振曲线。曲线分析如下：
1）当λ《1时，即ω《ωn 的低频段情况，各条曲线 的Tr值接近于1，即强迫振 动的振幅X接近于静力偏移 A，即缓慢变化的干扰力的 动力作用接近于其静力作 用。
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F0 0 (sin t sin t ) 0 2 k (1 )
(2 48)
可见：1）强迫振动即使在初位移和初速度均为零，在
激振力作用下仍存在着瞬态响应，即上式等号右端括号
中的第二项，在有阻尼的情况下，此项数值将逐渐趋向 于零。 2 ）当系统的固有频率比较低时，瞬态振动振幅 就可能比较大，而且在较长时间内不易衰减下去。 3 ）因此实验中测定强迫振动振幅时，应该在经 过一段时间稳定以后再测量，否则可能测到的是两部分
《振动力学》
自由振动
B
F0 / k
(1 2 ) 2 (2 ) 2
0 x 0 2 x 0 2 ) x 18 ' ' x0 arctan 0 x0 x A (
单自由度系统的振动 d) 激振力频率0等于或接近于自由振动频率情形 引入ω –ω0 =2ε 考虑式（2-48），当 ε 很小时，则 F sin t x 0 cos t (2 50) 2 m 式（2-50）中ε很小，sinεt变化缓慢，周期2π/ε很大。式（2-50） 可看成周期为 2π/、可变振幅等于 ( F0 / 2 m )sin t 的振动。这种现 象称为拍，按图2-32中规律变化。拍的周期为π/ ε。
F0 sin 0t x(t ) A sin(t ) k 1 2 (2 47)
0 ,代入初始条件得 设t=0时，x 0, x
F0 0 A , 0 k (1 2 )
图 2-31
《振动力学》
16
单自由度系统的振动
代入（2-47）得
x(t )
当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平缓，振幅较小；反之， 阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以品质因子 反映了系统阻尼强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统中，为了过共 振时比较平稳，希望 Q值小些。式（2-45）提供了由试验估算系统阻尼比 的方法。 半功率点q1和q2 处的相位角由式（2-40） 估算如下： 21 2 (1 ) tan 1 1 2 2 1 1 1 (1 )
为求B和将x 2(t) 代入式（2-35）整理得
B F0 (k m ) (c0 )
2 2 0 2
(2 37)
令0/ =, 称为频率比，则 则（2-37）为 系统稳态响应
2 m0 02 c 2 2 , 0 2 0 2 k k
B
F0 / k (1 ) (2 )
2 2 2
(2 38)
x2 (t )
F0 / k (1 ) (2 )
2 2 2
sin(0t )
(2 39)
相位角
《振动力学》
arctan(
c0 2 ) arctan( ) 2 2 k m 1
(2 40)
7
单自由度系统的振动 系统的阻尼的存在，使系统的稳态响应在相位上比激振力之后角。 若没有阻尼，即 ζ=0，则=0，此时激振力与响应同相位。 强迫振动性质： 1）简谐激励下，稳态响应为简谐运动，其频率与激振频率 0 相 同。 2）稳态响应振幅B和相位差只决定于系统本身的物理性质和激振力 的振幅大小与频率，与初始条件无关； 3) 初始条件只影响系统的瞬态响应; 记B0=F0/k ，则
x(t ) x1 (t ) x2 (t )
《振动力学》
图 2-27
5
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
cx kx 振动微分方程：mx
F0 sin 0t
显含时间 t 非齐次微分方程
非齐次微分方程 通解
＝
齐次微分方程 通解
＋
非齐次微分方程 特解
持续等幅振动
（阻尼）自由振动 逐渐衰减
相对阻尼系数 ζ 对振幅的影响，从 幅频响应曲线可以看出阻尼在共振附近一
定范围内，对减小振幅有显著作用，增加
阻尼，振幅可以明显下降。
《振动力学》 11
单自由度系统的振动 在共振时，=1，振幅由式（2-41）知
Bmax B0 F 0 2 c
在离开共振稍远的范围，阻尼对减小振幅的 作用是不大的，尤其当0 >>时，阻尼对振 幅几乎没有什么作用。 ④.共振时的动力放大系数称为‚品质因子‛ 用符号Q表示。由式（2-42），当=1时 1 Q (2 44) 2 在频率比为=1的虚线两侧，曲线可以近似 地认为是对称的，作 Q / 2 的一条水平线与响应 图 2-29 曲线交于q1和q2两点，称为半功率点，其对应的频率比为 1和 2。对于半功 率点q1和q2 ，由式(2-42)与式（2-44）得
B B0 (1 ) (2 )
2 2 2
(2 41)
4) 影响稳态响应幅值因素有3个：B0、λ、ζ B0反映了激振力的影响，因此改变振幅方法之一是改变激振幅值。 反映激励频率的影响。 ζ反映阻尼的影响。 式（2-41）写为
《振动力学》 8
单自由度系统的振动
B 1 = B0 (1 2 )2 (2 )2 (2 42)
稳态响应
本节内容
瞬态响应
2016年1月10日 <<振动力学>>
6
单自由度系统的振动 其中x 1(t)为齐次方程通解，称为瞬态响应，在弱阻尼情况下
x1 (t ) et ( D1 cos ' t D2 sin ' t )
x 2(t)为特解，称为稳态响应，令其形式为 x2 (t ) B sin(0t ) (2 36)
《振动力学》 10
单自由度系统的振动 激振力频率 0 与系统固有频率 相等 时，称为共振。实际上当有阻尼作用时， 振幅最大不在0 = 处
= 0 = 1-2 2 <1
(2-43)
可见，响应的峰值出现在 0 比 略 小的地方。实际上，阻尼往往比较小，所
以一般以0 = 作为共振频率。
振动之和。 《振动力学》
17
单自由度系统的振动
c)一般初值响应
x 0 如果初始条件是t=0, x x0 , x
，由式（2-46），在简谐
激振力作用下系统初始阶段的响应为
x Aet sin( ' t ) B sin(0t )
其中
0 x 0 B sin B cos 2 x 0 B sin ) 2 ) (x ' '( x0 B sin ) 2016 arctan (2 49) 年1月10日 x0 x0 B sin B0 cos A (
《振动力学》
图 2-30
14
单自由度系统的振动 （2）系统初始阶段的响应 a) 响应特征 在简谐激振力作用下系统的总响应为
x(t ) x1 (t ) x2 (t ) (2 46) Ae t sin( ' t ) B sin(0 t )
由两种不同频率和振幅的简谐运动叠 加而成的比较复杂的运动。
图 2-32
《振动力学》
19
单自由度系统的振动 当0接近时
实线表示某种情况下两种运动叠加的 结果。 虚线表示等幅运动。 经过一段时间后，实线逐渐与虚线相 重合而成为单纯的稳态振动。
2016年1月10日 《振动力学》
15
单自由度系统的振动
b) 积分常数特征
1 ）式（ 2-46 ）中的积分常数 A 、 虽 然仍由初始条件定，但在此情况下不能按 自由振动得到的积分常数直接代入； 2）强迫振动情况下，即使初位移和初 速度均为零，在响应中仍包含瞬态部分， 积分常数必须与稳态解一起考虑。 如无阻尼，将式（2-46）改写为
任意激振的响应
4
单自由度系统的振动
2-4 单自由度系统的强迫振动
• • • 简谐激励所引起的系统响应 周期激励所引起的系统响应 任意激励所引起的系统响应
F=F0 sin0 t
1.简谐激振力引起的强迫振动 （1）运动微分方程及求解 图2-27为单自由度系统受简谐激振力 的力学模型。简谐力F=F0 sin0 t,0为激振 频率，则系统运动微分方程为 cx kx F0 sin 0t mx (2 35) 上式坐标原点在静平衡位置。方程（2-35） 的解可表示为
第2章 单自由度系统的振动
李映辉
西交通大学
2015.09
声 明
• 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。 • 不可用于任何商业目的。
• 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和
太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教 授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利 益，作者在此致歉。 • 本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国
称为动力放大系数，是评估机械系统动态工作环境的重要指标之一。为了 分析系统的特性，以频率比为横坐标，为纵坐标、以阻尼比ζ 为参数画 出一组曲线，称为幅频响应曲线。 可见： ①.<<1时，即激振力频率0远小于 系统固有频率，无论阻尼的大小如 F B 何，动力放大系数 B 1，B k ，振幅 近似等于F0作用下的静位移，该区域振 幅 B 主要由弹簧常数k控制，故称为 ‚弹簧控制区‛。 ②.>>1时，即0 远大于时，无论 0 ，此时 阻尼大小如何，
铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。
2016年 年1 1 月 10 日 2016 月 10 日 《振动力学》 中国力学学会学术大会‘ 2005’ 22
单自由度系统振动
教学内容
运动方程建立 等效质量、等效刚度与等效阻尼 单自由度系统的自由振动 无阻尼自由振动
能量法
瑞利法
Q
《振动力学》
2
1 2 2
1 (1 2 ) (2 ) 2