高三一模考试数学(理)试题含答案试卷分析详解

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2024届高三第一次模拟数学(理科)试卷答案

银川一中2024届高三第一次模拟数学(理科)参考答案1．【答案】C 由2230x x --≤,解得13x -≤≤，又因为x N ∈，所以{}0,1,2,3A =，又由2023log 0x ≤，可得20232023log log 1x ≤，解得01x <≤，所以{R |01}B x x =∈<≤，所以A B =I {1}，2．由z 1+i =1−1i =1+i ，得z =(1+i)2=2i ，则z =−2i ，所以|z |=2.故选：C.3．A4．【答案】C 【解析】由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×（10×30－20×45）255×50×30×75≈6.109>5.024，因此有97.5%的把握认为“成绩与班级有关系”． 5.【答案】B【解析】对于A ，若a b r r∥，则有142t ⨯=-⨯，所以8t =-，A 错误；对于B ，若a b ⊥r r，则有420t -+=，所以2t =，B 正确；对于C ，(3,2)a b t +=-+r r ，所以||5a b +==r r，解得2t =或6t =-，C 错误；若a r 与b r 的夹角为钝角，则420a b t ⋅=-+<r r ，即2t <，且a r 与b r不能共线且反向，由A 选项可知，当8t =-时，4b a =-r r ，此时a r 与b r共线且反向，所以若a r 与b r的夹角为钝角，则2t <且8t ≠-，D 错误，故选:B.6．【答案】A【详解】由点P 在单位圆上，则22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得45y =±，由锐角π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即ππ3π,444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则45y =，故π3π4cos ,sin 4545αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin cos444444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3455=-=.故选A.7.【答案】C【分析】利用基本不等式可求得2≤，知A 错误；由()2,0x ∈-时，0y =<可知B 错误；根据y =、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C 正确；根据函数定义域可知D【详解】对于A ，2=≤=Q （当且仅当224x x =-，即x∴在()2,2-上的最大值为2，与图象不符，A 错误；对于B ，当()2,0x ∈-时，0y =<，与图象不符，B 错误；对于C ，y =Q ∴当1x =±时，max 1y =；又y =()()()2,0,2,0,0,0-；由220x x -+≥得：()20x x -≤，解得：22x -≤≤，即函数定义域为[]22-,；y ∴=[]22-,上的偶函数，图象关于y 轴对称；当[]0,2x ∈时，y =，则函数在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减；综上所述：y=C正确；对于D，由220x x-+≥得：02x≤≤，y∴=不存在()2,0x∈-部分的图象，D错误.故选：C.8.【答案】B【详解】由题意，点()()2,0,2,0A B-且满足2PA PB-=，根据双曲线的定义，可得点P的轨迹表示以,A B为焦点的双曲线C的右支，其中22,24a c==，可得1,2a c==，则b==可得双曲线C的渐近线方程为by xa=±=，又因为点P满足方程0(0,0)nx my m n±=>>，即ny xm=±，结合双曲线的几何性质，可得0nm<<nm的取值范围是.故选：B.9.【答案】A解：“m∀，*n∈N，m n m na a a+=”，取1m=，则11n na a+=-，{}na∴为等比数列．反之不成立，{}n a为等比数列，设公比为q()0q≠，则1m nm na q+-+=-，()()112nnmmm na a q q q--+-=-⨯-=，只有1q=-时才能成立满足m n m na a a+=．∴数列{}na满足11a=-，则“m∀，*n∈N，m n m na a a+=”是“{}na为等比数列”的充分不必要条件．10.【答案】D设切点()00,lnP x x．因为lny x=，所以1yx'=，所以点P处的切线方程为()001lny x x xx-=-，又因为切线经过点(),a b，所以()001lnb x a xx-=-，即1lnab xx+=+.令()ln(0)af x x xx=+>，则1y b=+与()ln(0)af x x xx=+>有且仅有1个交点，()221a x af xx x x'-=-=，当0a≤时，()0f x¢>恒成立，所以()f x单调递增，显然x→+∞时，()f x→+∞，于是符合题意；当0a>时，当0x a<<时，()0f x'<，()f x递减，当x a>时，()0f x¢>，()f x递增，所以()min()ln1f x f a a==+，则1ln1b a+=+，即lnb a=．综上，0a≤或lnb a=．故选：D11. 【答案】B12.【答案】C对A选项结合勒洛三角形得到其截面图，利用扇形面积和三角形面积公式即可得到答案，而A选项的截面积为C选项的最大截面积，对B选项四面体的能够容纳的最大球的半径，即可判断D选项.【详解】对于A()2221π322322π23ABC ABCABCS S S S⎛⎫=-⋅+=⨯⨯⨯=-⎪⎪⎝⎭V V截扇形故A错误，截面示意图如下：对于B，由对称性知,勒洛四面体ABCD内切球球心是正四面体ABCD的内切球、外接球球心O,如图：正BCD △外接圆半径122cos303O B =⋅⋅=o 正四面体ABCD 的高1AO==令正四面体ABCD 的外接球半径为R ,在1Rt BOO V 中,222R R⎫=-+⎪⎪⎭，解得R =,此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示：图中取正四面体ABCD 中心为O ,连接BO交平面ACD 于点E ，交»AD于点F ，其中»AD 与ABD△共面，其中BO 即为正四面体外接球半径R =，设勒洛四面体内切球半径为r ，则由图得2r OF BF BO ==-=，故B 错误；对于C 某三个顶点的截面，由对A 的分析知()max 2S π=-截C 正确；对于D ，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切,,所以勒洛四面体ABCD 能够容纳的最大球的半径为2D 错误.故选：C ．13.π314.54由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有33A 种，由分步乘法计数原理可知共有3333A 54⨯⨯=种，故答案为：54.15. 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则1201202,2.x x x y y y +=⎧⎨+=⎩又2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减得121212()()4()y y y y x x +-=-121212042y y k x x y y y -===-+.设圆心为C （5，0），则kOM =005y x -，因为直线l 与圆相切，所以000215y y x ⋅=--，解得03x =，代入22(5)9x y -+=得002y k y ====16．先对函数化简变形，然后由题意可得6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求得b =，再由()085f x a =可得04sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为()()sin cosf x a x b x x ϕ=+=+，0ab ≠其中sin ϕ=，cos ϕ=，由于函数的图象关于6xπ=对称，所以6fπ⎛⎫=⎪⎝⎭，即12a+，化简得b=，所以()00008sin cos2sin35f x a x x a x aπ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，即4sin35xπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以20000227sin2sin2cos22sin16323325 x x x xπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：C.17. （1）()11n nna n a-=+，11n na an n-∴=+，且112a=，∴数列1nan⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以每一项均为1的常数列，则11nan=+，即()*1na n n N=+∈；（2）由（1）得1na n=+，()()2222211221na n n n nn∴=<=-+++，11111111113113243522122nTn n n n∴<-+-+-++-=+--<+++L.18.（1）证明：菱形ABCD中，AC BD⊥，设AC，BD交于点O，连接EO，FO，则EO BD⊥，FO BD⊥，又EO FO O=I，EO⊂平面EOF，FO⊂平面EOF，所以BD⊥平面EOF；又EF⊂平面EOF，所以BD EF⊥；（2）因为菱形ABCD边长为1，AC=，所以12OE OF OA OC AC=====，则1BD==，又32EF=，所以2221cos22OE OF EFEOFOE OF+-∠==-⋅，则120EOF∠=o，所以1sin1202OEFS OE OF=⋅⋅=oVDEFV中，1DE DF==，32EF=，则2221cos28ED DF EFEDFDE DF∠+-==-⋅，所以sin EDF∠=，所以1sin2DEFS DE DF EDF∠=⋅⋅=V；设点B到平面DEF的距离为h，由题意，B DEF B OEF D OEFV V V---=+即11113333DEF OEF OEF OEFS h S OB S OD S BD⋅=⋅+⋅=⋅V V V V，则1OEFDEFS BDhS⋅===VV.19.【详解】（1）设每件产品的销售利润为ξ元，则ξ的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，由直方图可得，A ，B ，C 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，所以，()1.50.15P ξ==，()3.50.45P ξ==，()5.50.4P ξ==，所以随机变量ξ的分布列为：ξ1.5 3.5 5.5P0.150.450.4所以， 1.50.15 3.50.45 5.50.44E ξ=⨯+⨯+⨯=，故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a x a b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.61ii i i i uu bu uυυ==--===-∑∑，则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=，所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即14.1594ˆln 4.1590.25ln ln y x e x ⎛⎫=+=⋅ ⎪⎝⎭，因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =，故所求的回归方程为1464y x =；（ii ）设年收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-，设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增，当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，所以，当4t =，即256x=时，z 有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.20.【小问1详解】因为2x =的焦点坐标为(，所以(F ，所以22,b MN OF c a ===．因为MN OF =2=，化简可得2b a =，又2222a b c -==，解得223,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2213y x +=．【小问2详解】由（1）可知()2,0P ，可知过点P 的直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为()2y k x =-，由()22213y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()222234430k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212243k x x k +=+，2122433k x x k -=+，由()()()2222Δ443430k k k =--+->，解得201k <<．根据弦长公式可得2AP BP x⋅=()()()22121212122142k x x k x x x x=+-⋅-=+-++()()()()22222224384391133k k k kkk k+-+-+=+⋅=++．因为APEV的面积为1,S BPE△的面积为2S，设点E到直线l的距离为d，根据点到直线的距离公式可得d=所以1211,22S AP d S BP d=⋅=⋅，因此()22221222291118181314434343k kS S AP BP dk k k+⎛⎫⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=-⎪+++⎝⎭，因为201k<<，所以2334k<+<，则281381014316k⎛⎫<-<⎪+⎝⎭，从而94<<，的取值范围是90,4⎛⎫⎪⎝⎭．21．【解析】（1）由()f x有两个零点，得方程13e xxa=有两个解，设()3e xxr x=，则()()31e xxr x-'=，由()0r x'>，可得1x<，()r x单调递增，由()0r x'<，可得1x>，()r x单调递减，所以()r x的最大值为()31er=，当x→+∞时()0r x→，当x→-∞时，()r x→-∞，所以可得函数()r x的大致图象，所以13ea<<，解得3ea>，所以，()f x有两个零点时，a的取值范围是e,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭；（2）设()()()12sing x f x a x=--，（3）即()()1e312sinxg x x a xa=---，则()0g x≥恒成立，由()100g aa=-≥，π6π1πe3066ga=-⨯⎫⎪⎝⎭≥⎛，可得01a<≤，下面证明当01a<≤时，()()1e312sin0*x x a xa---≥，即证213e2sin10x x xa a-+-≥，令1b a=，则证2e 32sin 10x b bx x -+-≥，[)1,b ∈+∞，令()2e 32sin 1xh b b bx x =-+-为开口向上的二次函数，对称轴为32e xxb =，由（1）可知3312e 2e x x b =≤<，故()h b 在[)1,b ∈+∞时单调递增，则()()1e 32sin 1xh b h x x ≥=-+-，下面只需证明e 32sin 10x x x -+-≥即可，即证32sin 110e xx x -+-≤，令()32sin 11e x x x F x -+=-，则()232sin 2cos exx x xF x -+-'=，令()232sin 2cos q x x x x =-+-，则()π32cos 2sin 304q x x x x ⎛⎫'=-++=+-< ⎪⎝⎭，所以函数()q x 单调递减，且()00q =，所以当0x <时，()0F x '>，当0x >时，()0F x '<，所以函数()F x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，故()()00F x F ≤=，即32sin 110exx x -+-≤，从而不等式()*得证，综上，a 的取值范围是(]0,1．22.【答案】解：(1)依题意，曲线C 1:(x−2)2+y 2=4，即x 2+y 2−4x =0,故ρ2−4ρcos θ=0，即ρ=4cos θ,因为ρ2=41+3sin 2α，故ρ2+3ρ2sin 2α=4.即x 2+4y 2=4，即x 24+y 2=1.将θ=θ0代入ρ2=41+3sin 2α得，ρ2Q =41+3sin 2θ0.将θ=θ0代入ρ=4cos θ得，ρP =4cos θ0.由|OQ|=|PQ|，得ρP =2ρQ ，即(4cos θ0)2=161+3sin 2θ0.解得sin 2θ0=23，则cos 2θ0=13又0<θ0<π2，故ρQ =41+3sin 2θ0=233，ρP =4cos θ0=433故△PMQ 的面积S △PMQ =S △OMP −S △OMQ =12⋅|OM|⋅(ρP −ρQ )⋅sin θ0=12⋅233⋅63=23.23. 【详解】（1）,,0a b c >Q ，()()494949f x x a x b c x a x b c a b c ∴=-+++≥--++=++，当且仅当()()490x a x b -+≤时取等号，494a b c ∴++=，要证9ab bc ca abc ++≥，只要证1119a b c++≥，由柯西不等式得()2211149(231)36a b c a b c ⎛⎛⎫++++≥=++= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当2233a b c ===时取等号，1119,9ab bc ca abc a b c∴++≥∴++≥．（2）由基本不等式得494a b b c c a +≥+≥+≥以上三式当且仅当4493a b c ===时同时取等号，将以上三式相加得49948a b b c c a ≤+++++=，即4≤．。

高考数学一模试卷(理科)含解析试卷分析

天津市部分区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．23．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4B．6C．8D．104．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3B．2C．4D．125．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=17．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=．10．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是．（用数字填写答案）11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅰ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：班级高三（1）高三（2）高三（3）人数334（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅰ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n 项和T n．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅰ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．天津市部分区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，从而得到C R A，由此能求出集合A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≤﹣3或x≥3}，∴C R A={x|﹣3＜x＜3}，集合A∩（∁R B）={1，2}．故选：A．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z．由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0．故选：B．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4B．6C．8D．10【考点】程序框图．【分析】利用循环结构可知道需要循环4次，根据条件求出i的值即可．【解答】解：第一次循环，s=﹣2＜5，s=﹣1，i=2，第二次循环，s=﹣1＜7，s=1，i=4，第三次循环，s=1＜9，s=5，i=6，第四次循环，s=5＜11，s=13，i=8，第五次循环，s=13≥13，此时输出i=8，故选：C．4．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3B．2C．4D．12【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得：c=，进而利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：∵sinA﹣2sinC=0，∴由正弦定理可得：c=，∵B=，b=6，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：62=a2+（a）2﹣2a，整理可得：a=4，或﹣4（舍去）．故选：C．5．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式，求出关于p的x的范围，根据函数的性质求出关于q的x的范围，根据集合的包含关系判断充分必要条件即可．【解答】解：由x2﹣4x+3≤0，解得：1≤x≤3，故命题p：1≤x≤3；f（x）==x+，x＞0时，f（x）有最小值2，x＜0时，f（x）有最大值﹣2，故命题q：x≠0，故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1B．=1C．=1D．=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴=4，即b=4，∵c=5，∴a=3，∴双曲线方程为：=1．故选：D．7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，判断x≤0，与x＞0交点的情况，列出关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：g（x）=f（x）+2x﹣a=，函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a﹣1，最多两个零点，如上图，要满足题意，函数y=2x+2x是增函数，x≤0一定与x相交，过（0，1），g（x）=2x+2x﹣a，与x轴相交，1﹣a≥0，可得a≤1．还需保证x＞0时，抛物线与x轴由两个交点，可得：﹣a﹣1＞0，△=4（a+1）2﹣4（1﹣a）＞0，解得a＜﹣3，综合可得a＜﹣3，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，再根据两个复数相等的充要条件求得a、b的值，可得a+b的值．【解答】解：=ai，则===ai，∴2﹣b=0，2+b=2a，∴b=2，a=2，∴a+b=4，故答案为：410．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是﹣280．（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣1，求出r的值，即可求得x﹣1的系数．=•（﹣2）r•，令【解答】解：∵（﹣）7的展开式的通项公式为T r+1=﹣1，求得r=3，可得x﹣1的系数为•（﹣8）=﹣280，故答案为：﹣280．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，求出它的体积．【解答】解：根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，计算三棱锥的体积为V=××2×2×3=2．故答案为：2．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为1．【考点】定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】1解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0，曲线y=4x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫01（4x﹣4x3）dx，而∫01（4x﹣4x3）dx=（2x2﹣x4）|01=2×1﹣1=1∴曲边梯形的面积是1，故答案为：1．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为x+y﹣4=0．【考点】直线的参数方程．【分析】普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1），当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，∵k CP==1，k AB=﹣1∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0，故答案为：x+y﹣4=0．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f （|log2|x+1||）＜f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），即|log2|x+1||＜1∴﹣1＜log2|x+1|＜1，解得x的取值范围是．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅰ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用和与差公式打开，根据二倍角公式和辅助角公式化解为y=Asin （ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅰ）当x∈[，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴函数f（x）的最小正周期．（Ⅰ）由（Ⅰ）知，∵，∴，∴，故当时，函数f（x）的最大值为．当时，函数f（x）的最小值为．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：班级高三（1）高三（2）高三（3）人数334（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生不属于同一班级的概率；（Ⅰ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为，由此能求出这2名学生不属于同一班级的概率．（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为…设2名学生不属于同一班级的事件为A所以．…（Ⅰ）X可能的取值为0，1，2，3，，，，．…所以X的分布列为X0123P所以．…17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅰ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，CF，证明BE∥CF即可；（Ⅰ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（Ⅰ）建系同（II）利用向量求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PD的中点F，连接EF，CF∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD且；…∵，BC∥AD，∴EF∥BC且EF=BC；∴BE∥CF．…又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．…（Ⅰ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，，．…设平面PAB的一个法向量为n=（x，y，z），则从而令x=2，得n=（2，0，﹣1）．…同理可求平面ABD的一个法向量为．…．平面ABD和平面ABC为同一个平面，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，C（0，0，1），B （1，0，1），，…设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），则，，令，得x=z=1，即．…易求平面ABC的一个法向量为．…．所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（Ⅰ）（方法一）建系同（II）（方法一），设Q（0，x，0），由（II）知平面ABCD的一个法向量为，；…若BQ与平面ABCD所成的角为，则==sin解得，所以Q（0，，0），，．…（方法二）建系同（II）（方法二），设，则，，由（II）知平面ABCD的一个法向量为．…若BQ与平面ABCD所成的角为，则．解得，则，从而…18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，可得{a n}为等差数列．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1），lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1），作差可得b n=，（n≥2）．c n==，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅰ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，得，然后求解离心率即可．（Ⅰ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．求出椭圆方程，直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理求出AB的中点，推出﹣，且m≠0，利用弦长公式以及三角形的面积，推出结果即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得，…则，结合b2=a2﹣c2，得，即2c2﹣3ac+a2=0，…亦即2e2﹣3e+1=0，结合0＜e＜1，解得．所以椭圆C的离心率为．…（Ⅰ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．所以椭圆方程为．…易得直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，所以△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…由，得AB的中点，因为N在直线上，所以，解得k=﹣．…所以△=48（12﹣m2）＞0，得﹣，且m≠0，|AB|=|x2﹣x1|= = =．又原点O到直线l的距离d=，…所以．当且仅当12﹣m2=m2，m=时等号成立，符合﹣，且m≠0．所以△OAB面积的最大值为：．…20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可；（Ⅰ）根据函数的极值的个数求出a的范围，求出4f（x1）﹣2f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x2+x﹣lnx，f′（x）=﹣x+1﹣，则f（1）=，f'（1）=﹣1，所以所求切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0．（Ⅰ）由f（x）=﹣x2+ax﹣lnx，得f′（x）=﹣x+a﹣=﹣．令g（x）=x2﹣ax+1，则f′（x）=﹣，①当△=a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2时，g（x）＞0恒成立，则f′（x）＜0，所以f）x）在（0，+∞）上是减函数．②当△=0，即a=±2时，g（x）=x2±2x+1=（x±1）2≥0，则f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．③当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2．（i）当a＜﹣2时，g（x）=x2﹣ax+1是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＜﹣1），则g（x）＞0恒成立，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．（ii）当a＞2时，g（x）是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＞1），则函数g（x）有两个零点：，列表如下：x（0，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）减函数极小值增函数极大值减函数综上，当a≤2时，f（x）的减区间是（0，+∞）；当a＞2时，f（x）的增区间是，减区间是，．（Ⅰ）证明：根据（Ⅰ），当a＞2时，f（x）有两个极值点x1，x2，（x1＜x2），则x1，x2是方程g（x）=0的两个根，从而．由韦达定理，得x1x2=1，x1+x2=a．又a﹣2＞0，所以0＜x1＜1＜x2====．令，h（t）=﹣t+3lnt+2，（t＞1），则．当1＜t＜2时，h'（t）＞0；当t＞2时，h′（t）＜0，则h（t）在（1，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数，从而h（t）max=h（2）=3ln2+1，于是4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．4月10日。

2022届宁夏银川一中高三一模数学(理)试题(解析版)

2022届宁夏银川一中高三一模数学（理）试题一、单选题1．设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为（） A ．[)0,1 B ．0,1 C ．0,1D ．(]1,0-【答案】A【详解】试题分析：由于不等式20x x -≤等价于()10x x -≤，解得01x ≤≤，故集合{}01M x x =≤≤函数()()ln 1f x x =-的定义域为N ，满足10x ->，故集合{}|1N x x =<，因此通过集合的交集的运算可知，{|01}M N x x =≤<故选：A.2．设复数z 满足2iz i =-，则z =（） A ．12i -- B ．12i - C ．12i + D ．12i -+【答案】A【详解】因为复数z 满足zi=2-i,z=-1-2i.选A3．已知向量()3,2a =-，(),1b m =，若a b ⊥，则3a b -=（） A ．()0,5 B ．()5,1 C ．()1,5- D ．15,52⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据两向量垂直计算出参数m 的值，再根据向量的计算规则求解即可得出结果. 【详解】因为a b ⊥，所以320m -=，解得23m =，所以()()233,23,11,53a b ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭．故选：C.4．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π 【答案】A【分析】根据()f x 的图象求得T π=，求得2ω=，再根据5()212f π=，求得2,3k k Z πϕπ=-+∈，求得ϕ的值，即可求解.【详解】根据函数()f x 的图象，可得353()41234T πππ=--=，可得T π=，所以22Tπω==，又由5()212f π=，可得5sin(2)112πϕ⨯+=，即52,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈，因为22ππϕ-<<，所以3πϕ=-.故选：A.5．下列双曲线中，焦点在y 轴上，且渐近线互相垂直的是（） A ．224x y -=- B ．2213x y -=C ．2213y x -=D ．221x y -=【答案】A【分析】求出渐近线垂直的条件后可得正确的选项．【详解】设双曲线的方程为：()222210,0y x a b a b-=>>，则其渐近线为a y x b =±，因为渐近线互相垂直，故1a a b b ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭即a b =，故双曲线的方程为222y x a -=，故选：A ．6．若函数f （x ）满足f （1－ln x ）＝1x，则f （2）＝（）A ．12B ．eC ．1eD ．－1【答案】B【分析】根据题意，令1ln 2x -=，解可得1e x =，进而在1(1ln )f x x -=中，令1ex =，变形计算即可得答案．【详解】由1－ln x ＝2，得1ex =，11e1e x ==，即f （2）＝e.故选：B7．已知互不重合的直线,m n ，互不重合的平面,αβ，下列命题正确的是（） A ．若,n m α⊂∥n ，则m ∥α B ．若,n m n α⊂⊥，则m α⊥ C ．若α∥,m β∥α，则m ∥β D ．若,m m βα⊥⊂，则αβ⊥ 【答案】D【分析】根据空间直线和平面的位置关系逐个进行判断，注意线面关系的判定方法. 【详解】对于A ，如果直线m 在平面内，则无法得出m ∥α，故不正确；对于B ，直线m 只和平面内的一条直线垂直，无法得出线面垂直，故不正确；对于C ，α∥,m β∥α，直线m 有可能在平面β内，无法得出m ∥β，故不正确；对于D ，符合平面和平面垂直的判定定理，所以正确. 故选：D.8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（）A ．5n ≤B ．6n ≤C ．7n ≤D ．8n ≤【答案】B【分析】执行程序框图，列方程计算【详解】由图可知输出1024222126k k S +=++++=-=，得6k =故7n =时退出循环，条件为6n ≤ 故选：B9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是（） ①()25P B =；②()1511P B A =；③事件B 与事件1A 相互独立；④1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件. A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．①④【答案】A【解析】根据条件概率的计算，结合题意，即可容易判断. 【详解】由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件， ()151102P A ==，()221105P A ==，()3310P A =；()11552111112P B A ⨯==，由此知，②正确； ()2411P B A =，()3411P B A =；而()()()()123P B P A B P A B P A B =++()()()()()()112233P A P B A P A P B A P A P B A =++ 1514349211511101122=⨯+⨯+⨯=. 由此知①③不正确；1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，由此知④正确；对照四个命题知②④正确；故选：A.【点睛】本题考查互斥事件的判断，以及条件概率的求解，属基础题.10．已知锐角△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积25S ab =，且3cos cos 12bc A ac B c +=+，则S 的最大值为（）A ．6B ．4C ．2D ．1【答案】C【分析】由三角形的面积公式求得4sin 5C =，再由余弦定理求得2c =，根据基本不等式可求得答案.【详解】解：由21sin 52S ab ab C ==得4sin 5C =，又△ABC 是锐角三角形，所以3cos 5C =，由余弦定理及3cos cos 12bc A ac B c +=+得22222231222b c a a c b c +-+-+=+，整理得22320c c --=，所以2c =(负值舍去)，所以222266442cos 2555a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+--=≥，所以5≤ab ，225S ab =≤，当a b =时取等号，故选：C ．11．1654年，法国贵族德•梅雷骑士偶遇数学家布莱兹•帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（） A ．肖恩 B ．尤瑟纳尔C ．酒吧伙计D ．酒吧老板【答案】B【分析】由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X ，在七局四胜制中，求出X 取4，5，6，7的概率，即可判断出结果. 【详解】由题意，肖恩每局获胜的概率为20120403=+，尤瑟纳尔每局获胜的概率为40220403=+，先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X ，于是得：4444441217(4)C ()C ()3381P X ==+=，343444122172(5)C ()C ()3333243P X ==⨯+⨯=， 342342*********(6)C ()()C ()()3333729P X ==⨯+⨯=，333612160(7)C ()()33729P X ==⨯=，显然有171602007281729729243<<<，即(4)(7)(6)(5)P X P X P X P X =<=<=<=，所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔. 故选：B12．已知函数()3e e 21x xf x x x -=--+-，下列说法中正确的个数是（）①函数()f x 的图象关于点()0,1-对称； ②函数()f x 有三个零点； ③0x =是函数()f x 的极值点；④不等式()()222f m f m -+>-的解集是()2,1-.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①，对函数()f x 变形得到()31e e 2x x f x x x -+=--+，根据奇偶性得到()f x 的对称中心，②③，在①的基础上，求导研究其单调性，确定其零点和极值点情况；④选项，利用前面研究出的奇偶性和单调性解不等式，求出解集.【详解】()31e e 2x x f x x x -+=--+，令()3e e 2x x g x x x -=--+，则()()3e e 2x x g x x x g x --=-+-=-，所以函数()3e e 2x x g x x x -=--+是奇函数，所以()g x 的图象关于原点对称，所以()f x 的图象关于点()0,1-对称，故①正确：又因为()22221e e 32e 2322330e x x x x g x x x x x -⎛⎫'=---+=-++-≤-+-=-≤ ⎪⎝⎭，所以()g x 在R 上单调递减，所以()f x 在R 上单调递减，所以()f x 只有一个零点且无极值点，故②③错误；由()()222f m f m -+>得()()22110f m f m -+++>，所以()()220g m g m-+>，所以()()22g m g m ->-，所以()()22g m g m ->-，所以22m m -<-，所以220m m +-<，所以()()210m m +-<，所以21m -<<，故④正确：综上所述，正确的个数是2个. 故选：B二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件1230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最大值是 _________.【答案】723.5 【分析】画出可行域，通过平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得2x y +的最大值.【详解】3223012x x y x y y ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y +=到点31,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时，2x y +取得最大值为3172222⨯+=.故答案为：7214．已知tan 2α=，则1cos 2sin 22αα-=______．【答案】－1【分析】利用三角恒等变换公式和齐次式弦化切即可计算.【详解】221cos 2sin 2cos sin sin cos 2αααααα-=--22222222cos sin sin cos 1tan tan 1221cos sin 1tan 12αααααθααα------====-+++. 故答案为：－1.15．抛物线24y x =的准线与轴相交于点P ，过点P 作斜率(0)k k >的直线交抛物线于,A B 两点，F 为抛物线的焦点，若||3||FA FB =，则直线AB 的斜率k ＝_______.【答案】32132 【分析】联立直线AB 方程和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式，可解得A 或B 的坐标，根据过两点的斜率计算公式即可求k . 【详解】由题可知()1,0P -，设()11,A x y ，()22,B x y ，由已知3FA FB =得，()12131x x +=+，即1232x x =+①，AB 的方程：y kx k =+，与24y x =联立得：()2222240k x k x k +-+=，则121=x x ②，由①②解得213x =，13x =，将13x =代入24y x =，由k ＞0知10y >，解得()3,23A ，()2303312k -∴==--.故答案为：32. 16．如图，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H 分别为DE ，AF 的中点，将ABC 沿DE ，EF ，DF 折成正四面体P DEF -，则在此正四面体中，下列说法正确的是______．①异面直线PG 与DH 所成的角的余弦值为23；DF PE ⊥②；GH ③与PD 所成的角为45； PG ④与EF 所成角为60【答案】①②③【分析】可证明DE ⊥平面PGE ,可得①正确；连接FG ,取中点M ,异面直线PG 与DH 所成的角为DHM ∠，由余弦定理可证明②正确；取DF 中点N ，连接GN,NH ，异面GH 与PD 所成的角为GHN ∠，由余弦定理可得③不对；异面PG 与EF 所成角的为GPN ∠，由余弦定理可得④不对，从而可得结果.【详解】ABC的边长为4，折成正四面体P DEF-后，如图D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，DH FP∴⊥，DE GP⊥；连接FG，取中点M，可得//HM GP，∴异面直线PG与DH所成的角的平角为DHM∠；3 GP=3 HM∴=连接MD，可得7 DM=．3DH=在DMH中，余弦定理：2cos3DHM∠=；∴①对；DF PE⊥②对；取DF中点N，连接GN，NH，可得//NH DP异面GH与PD所成的角的平面角为GHN∠，由余弦定理，GH与PD所成的角是45；③对；异面PG与EF所成角的平面角为GPN∠，由余弦定理，可得PG与EF所成角不是60.④不对．故答案为①②③．【点睛】本题考查两条异面直线所成角的求法以及空间想象能力，是中档题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.三、解答题17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12,AC CB AA ==＝22，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点．(1)求证：1//BC 平面1A CE ； (2)求二面角1A CE A --的余弦值．【答案】(1)证明见解析 5【分析】（1）通过构造中位线的方法来证得1//BC 平面1A CE .（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角1A CE A --的余弦值. 【详解】(1)连接1AC 与1A C 交于点O ，连接OE ，由,O E 分别为1,AC AB 的中点，所以1//OE BC ，又OE ⊂平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ，所以1//BC 平面1A CE .(2)由AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，故1CC ⊥底面ABC ，建立如图所示空间直角坐标系：则(()()()1112,0,22,0,0,0,(0,0,22),1,1,0,0,2,0,(0,2,22)A C C E B B ，所以()(11,1,0,2,0,22CE CA ==，设平面1A CE 的一个法向量为：(),,m x y z =，则100CE m CA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即02220x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，则21,2y z =-=-，则2(1,1,)2m =--，因为1CC ⊥底面ABC ，所以1(0,0,22)CC =为平面CEA 一个法向量，所以1115cos ,5||||CC m CC m CC m ⋅<>==-⋅，由图可知，二面角1A CE A --为锐角，所以二面角1A CE A --的余弦值为55.18．“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：男生女生总计 90分钟以上 80 x 180 90分钟以下y z 220 总计160240400(1)求x ，y ，z 的值，并根据题中的列联表，判断是否有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】(1)100,80,140x y z ===，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关 (2)1742【解析】(1)由80180x +=可得：100x =；由80160y +=可得：80y =；由80220z +=可得：140z =；所以22⨯列联表如下：()224008014010080 2.694 3.841180220160240K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以根据表格数据可判断，没有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关．(2)抽取的9人中，需要抽取男生：9804180⨯=人，女生：91005180⨯=人，男生人数大于女生人数的情况分为：①男生2人，女生1人；②男生3人，女生0人；所以所求概率21345433995117142142C C C P C C ⋅=+=+= 19．已知数列{}n a 满足122n n2222n a a a n +++=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对任意的正整数n ，令,2,n n n a a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列n b 的前2n 项的和2n S .【答案】(1)*2,N n a n n =-∈(2)2141234n n n n ---++⋅【分析】（1）根据数列的第n 项和数列前n 项和的关系即可得出答案；（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前n 项和的公式即可得出答案.【详解】(1)解：由题可知，1222222n n na a a n ++=①，所以11221112222n n n a a a n ----++=，2n ≥②， ①-②得222n n n a n-=，所以2n a n =-（），又因为1122a =，所以11a =，符合（）式，所以*2,N n a n n =-∈；(2)由（1）知，22,2,n n n n b n --⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以2122n n S b b b =+++()()135212462=n n b b b b b b b b -+++++++++()11122141214n n n -+--⎡⎤⎣⎦=+- 2141234n n n n --=-++⋅. 20．已知函数2()ln 3f x x ax x =+-．(1)若函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为2y =-，求函数()f x 的极小值； (2)若1a =，对于任意[]12,1,2x x ∈，当12x x <时，不等式()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2- (2)(],6∞--【分析】（1）利用()'10f =求得a ，然后结合()f x 的单调性求得()f x 的极小值.（2）将不等式()()()211212m x x f x f x x x -->转化为1212()()m m f x f x x x ->-，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.【详解】(1)因为2()ln 3f x x ax x =+-的定义域为()0,∞+，所以()'123f x ax x=+-．由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2，得()'11230f a =+-=，解得a ＝1．此时()'1(21)(1)23x x f x x x x--=+-=．当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()1,+∞时，()'0f x >；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <．所以函数f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值()1ln1132f =+-=-．(2)由a ＝1得()2ln 3f x x x x =+-．因为对于任意[]12,1,2x x ∈，当12x x <时，()()()211212m x x f x f x x x -->恒成立，所以对于任意[]12,1,2x x ∈，当12x x <时，1212()()m mf x f x x x ->-恒成立，所以函数()my f x x=-在[]1,2上单调递减．令2()()ln 3m mh x f x x x x x x=-=+--，[]1,2x ∈，所以()'21230mh x x x x=+-+≤在[1，2]上恒成立，则3223m x x x ≤-+-在[1，2]上恒成立．设()()322312F x x x x x =-+-≤≤，则()2'211661622F x x x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭．当[]1,2x ∈时，()'0F x <，所以函数F (x )在[]1,2上单调递减，所以()()26F x F ≥=-，所以6m ≤-，故实数m 的取值范围为(],6∞--．【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.21．已知O 为坐标原点，1F 、2F 为椭圆C 的左、右焦点，122F F =，B 为椭圆C 的上顶点，以B 为圆心且过1F 、2F的圆与直线x =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知椭圆C 上两点M 、N （,M N 点与B 点不重合），若直线BM 和BN 的斜率之和为-2，过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，试求D 点的轨迹方程. 【答案】(1)2212x y +=(2)2215()24x y -+=（0x <，或0x >且15y >）【分析】（1）根据已知条件求得,,c a b ，由此求得椭圆C 的标准方程.（2）当直线MN 斜率存在是，设出直线MN 的方程并与椭圆C 的方程联立，化简写出根与系数关系，根据2BM BN k k +=-求得直线MN 过定点()1,1P -，设(),D x y ，由0BD PD ⋅=求得D 点的轨迹方程，并排除不符合题意的点.【详解】(1)依题意，()11,0F -，()21,0F ，1c =，12PF PF =由椭圆定义知：椭圆长轴长122a PF PF =+=所以a =1b ==，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=．(2)直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得222(12)4220k x kmx m +++-=，需满足()()()22222216412228210k m k m m k ∆=-+-=--->①，21212224221212km m x x x x k k --+==++，，由2BM BN k k +=-得1212112y y x x --+=-，整理得1212(22)(1)()0k x x m x x ++-+=，222224(22)(1)01212m kmk m k k --++-=++，化简得1m k =--，此时()()()22228218121820m k k k k k ⎡⎤∆=---=-----=->⎣⎦，0k <或2k >. 所以直线MN 的方程可化为1y kx k =--，所以直线MN 过点()1,1P -，若直线MN 的方程为1x =，此时直线MN 与椭圆C的交点为,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，满足2BM BN k k +=-，因为BD MN ⊥，所以BD PD ⊥，所以0BD PD ⋅=，()()0,1,1,1B P -，设(),D x y ，则()(),11,10x y x y -⋅-+=，22221510,24x y x x y ⎛⎫+--=-+= ⎪⎝⎭由上述分析可知：0k <或2k >.当2k =时，直线:23MN y x =-与221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭交于()811,1,,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；当 0k =时，直线:1MN y =-与221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭交于(0,1),(1,1)--，依题意可知，动点D 的轨迹方程为2215()24x y -+=（0x <，或0x >且15y >）.22．已知动点,P Q 都在曲线2cos :{2sin x tC y t==（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【答案】（1）cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+,(α为参数,02απ<<)（2）过坐标原点【详解】（1）由题意有，()()2cos ,2sin ,2cos2,2sin 2P Q αααα，因此()cos cos2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2{sin sin 2x y αααα=+=+（α为参数，02απ<<）．（2）M 点到坐标原点的距离为)02d απ==<<，当a π=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．23．已知x y ，为正实数，4x+y =.(1)要使不等式1121a a x y+≥+--恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求证：223223x y +≥，并指出等号成立的条件. 【答案】(1)(],0-∞(2)证明见解析，当83x =，43y =时等号成立【分析】（1）先求得11x y+的最小值，然后利用零点分段法来求得a 的取值范围.（2）结合二次函数的性质来证得不等式成立.【详解】(1)()1111111221444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当,2y xx y x y===时等号成立. 所以211a a +--≤恒成立，令()3,22121,213,1a g a a a a a a -≤-⎧⎪=+--=+-<<⎨⎪≥⎩，由()1g a ≤解得0a ≤，所以a 的取值范围是(],0-∞.(2)依题意,x y 为正实数，4x y +=，所以()404y x x =-<<，所以()22222283232224316323333x y x x x x x ⎛⎫+=+-=-+=-+≥⎪⎝⎭，当84,33x y ==时等号成立.。

高考第一次模拟考试数学(理)试题含答案试卷分析详解

德州市高三第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3A =，集合{}3,4,5B =，则集合()U A C B ⋂=（）A ．{}1,2,3,6B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,3,4,52.设i 为虚数单位，a R ∈，若()()11i ai --为纯虚数，则复数1ai -的模是（） A 2 B ．2 C ．1 D ．03.已知命题():0,,sin p x x x ∀∈+∞>，命题121:,log 2xq x R x ⎛⎫∃∈= ⎪⎝⎭，则下列命题中的真命题为（）A ．q ⌝B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∨⌝4.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一个焦点在抛物线216y x =的准线上，且双曲线的—条渐近线过点)3,3，则双曲线的方程为（）A ．221420x y -= B ．221124x y -= C ．221412x y -= D ．221204x y -= 5.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，设向量()()sin sin ,3,sin ,m B A a c n C a b =-+=+，且//m n ，则B 的大小是（）A ．6πB ．56π C ．3π D ．23π6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．162π+ B．164π++ C．164π+ D．162π++ 7.设()1,1XN ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷100000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）注：若()2,XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，()220.9544P X μσμσ-<<+≈A. 60380B.65870C.70280D.753908.已知不等式组210y x y kx y ≤-+⎧⎪≤+⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为面积等于94的三角形，则实数k 的值为（）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．29-9.函数()ln cos f x x x =+（22x ππ-≤≤且0x ≠）的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10.已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则363S S =（） A ．134 B ．1312 C ．94 D ．111211.已知函数()(](]111,1,012,0,1x x x f x x -⎧-∈-⎪+=⎨⎪∈⎩，且()()2g x f x mx m =-+在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A ．11,4⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．(]1,1,4⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．()1,1,4⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭12．若关于x 的方程10x x x x e m e x e +++=+有三个不等的实数解123,,x x x ，且1230x x x <<<，其中, 2.71828m R e ∈=为自然对数的底数，则1232312111x x x xx x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．2eB ．eC ．1m -D ．1m +第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.5名同学去参加2个不同的社团组织，每名同学只能参加其中一个社团组织，且甲乙两位同学不参加同一个社团组织，则共有种可能（结果用数字表示）.14.在《九章算术》中记载着一道关于“持金出关”的题目，大意是：“在古代出关要交税.一天，某人拿钱若干出关，第1关交所拿钱数的12，第2关交所剩钱数的13，第3关交所剩钱数的14， ”.现以这则故事中蕴含的数学思想，设计如图所示程序框图，则运行此程序，输出n 的值为．15.若圆22440x y x y +--=上至少有三个不同的点到直线:l y kx =，则直线l 的斜率的取值范围是．16.如图所示，坐标纸上的每个单位格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{}()*n a n N ∈的前12项，其中横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项，按如此规律，则2016201720182019a a a a +++= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()22sin cos f x x x x =-（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若11,324x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且锐角ABC ∆的两边长分别是函数()f x 的最大值和最小值，ABC∆，求ABC ∆的面积.18.某数学小组从医院和气象局获得今年1月至6月份每月20日的昼夜温差（,3x C x ︒≥）和患感冒人数（y 人）的数据，画出折线图.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于x 的回归方程（精确到0.01)，预测昼夜温差为4C ︒时患感冒的人数(精确到整数).参考数据：6154.9i i x ==∑，()()6194i i i x x y y =--=∑6= 2.646≈.参考公式:相关系数:nxx y yr --=，回归直线方程是y a bx =+，()()()121,nii i nii xx y yb a y b x xx==--==-⋅-∑∑19. 如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//,25AB CD AB CD ==，，过A B 、分别作,AE CD BF CD ⊥⊥，垂足分别为E F 、.已知1DE =，将D C 、沿AE BF 、折向同侧，得空间几何体ADE BCF -，如图2.（1）若AF BD⊥ ，求证:DE BE ⊥；（2）若//,DE CF CD =，线段AB 的中点是P ，求CP 与平面ACD 所成角的正弦值.20.已知椭圆()2222:10xy C a b a b +=>>，点⎛ ⎝在椭圆上，,A B 分别为椭圆的右顶点与上顶点，过点,A B 引椭圆C 的两条弦AE BF 、交椭圆于点,E F .（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线,AE BF 的斜率互为相反数， ①求出直线EF 的斜率；②若O 为直角坐标原点，求OEF ∆面积的最大值.21.已知函数()()ln 0f x ax x a =>在点()(),e f e 处的切线和直线210x y ++=垂直. （1）求a 的值；（2）对于任意的0x >，证明：()32f x x e -≥--；（3）若()f x b =有两个实根()1212,x x x x ≠，求证：12331122x x b e-<++.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同.直线l cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数），设直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程，并求线段AB 的长；（2）已知点P 在曲线C 上运动，求点P 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3f x x a x =++-.（1）若()f x 的最小值为5，求实数a 的值；（2）当10x -≤≤时，不等式()4f x x ≤-恒成立，求实数a 的取值范围.。

2022年陕西省、甘肃省、宁夏高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年陕西省、甘肃省、宁夏高考数学一模试卷（理科）1. 已知R是实数集，集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数的实部与虚部的和为12，则( )A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.4. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，⋯，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则( )A. 189B. 252C. 324D. 4055. 已知M为抛物线C：上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则( )A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知，则( )A. B. C. D.7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 18B. 36C. 54D. 1088. 某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额单位：万元和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是( )A. 2020年第四季度的销售额为380万元B. 2020年上半年的总销售额为500万元C. 2020年2月份的销售额为60万元D. 2020年12个月的月销售额的众数为60万元9. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为( )A. 12B. 14C. 16D. 1810. 在四边形ABCD中如图1所示，，，，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体如图2所示，使得，则四面体外接球的表面积为( )A. B. C. D.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( )A. 双曲线C的离心率为B. 若，且，则C. 以线段，为直径的两个圆外切D. 若点到C的一条渐近线的距离为，则C的实轴长为412. 已知，数列1，1，2，1，1，2，4，2，1，1，2，4，8，4，2，1， (1)2，4，…，，，…，2，1，…的前n项和为，若，则n的最小值为( )A. 81B. 90C. 100D. 202113. 已知是奇函数，且当时，若，则__________.14. 若x，y满足约束条件，则的最大值为______.15. 函数的图象在点处的切线的斜率为____________。

陕西省咸阳市2024届高三上学期一模考试数学(理)试卷(含解析)

陕西省咸阳市2024届高三上学期一模考试数学（理）试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若集合，，则集合( )A. B. C. D.，则复数在复平面上对应的点在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．已知向量，，若，则( )A. B. C.1 D.4．已知数列的前n 项和为，且等比数列满足，若，则( )A.6B.5C.4D.35．著名的本福特定律:以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数,也称为“第一位数定律”或者“首位数现象”.意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中,一个数的首位数字是的概率为.以此判断,一个数的首位数字是1的概率与首位数字是9的概率之比约为多少?（参考数据:,）( )A.2.9B.3.8C.4.5D.6.56．直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是( )A.B.C.D.7．某同学寒假期间想到咸阳市的9个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3个景点进行旅游，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是( )8．将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得到一多面体，则这{}2230A x x x =--<{}2B x x =∈<Z A B = ()1,2-{}0,1{}1,0,1-()1,22i()a =+∈R 2i z a =+()1,1a =- (),2b m = ()20a b a =⋅- a b ⋅= 8-16-20-{}n c n S {}n a 2log n n c a =2364a a =9S =()1,2,3,,9d d =⋅⋅⋅1lg 1d ⎛⎫+ ⎪⎝⎭lg 20.301≈lg 30.477≈0x y b ++=22:(1)(1)5C x y ++-=b ⎡∈⎣(b ∈[]4,4b ∈-(4,4)b ∈-个多面体的外接球的体积为( )A.9．等差数列中的，是函数的极值点，则( )C.3D.10．已知的展开式中的常数项为0，则( )A.3 B. C.2 D.11．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们一个公共点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，则( )12．设，A. B. C. D.二、填空题13．已知角，为锐角，且______.该圆锥的表面积为______.15．设x ，y 满足约束条件，设16．已知函数，若，，且三、解答题17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知该三角形的面积8π{}n a 2a 2024a 32()642024f x x x x =-+-81013log a =313-()5322ax x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭a =3-2-1F 2F 1e e 2234e =12F PF ∠=ln 2a =b ==c b a<<a c b <<c a b <<a b c<<αβsin α=)αβ-==233032301x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+>⎩z =()20242024x x f x -=-0m >1n >122(sin(2024π))f f f m n ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ABC △.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值，并求当面积取得最大值时对应的周长.18．为庆祝元旦，某商场回馈消费者，准备举办一次有奖促销活动，如果顾客一次消费达到500元，可参加抽奖活动，规则如下；抽奖盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，活动结束.否则记为失败，随即获得纪念品1份，当然，如果顾客愿意可在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽奖，如此不断继续下去，直至成功.（Ⅰ）某顾客进行该抽奖试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽奖，记其进行抽奖试验的轮次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t 表示成功时抽奖试验的轮次数，y 表示对应的人数，部分统计数据如下表：附：经验回归方程系数：参考数据：（其中19．如图所示，在三棱锥中，，，点O 、D 分别是、的中点，底面.2221()sin 2S b c a A =+-4a =ABC △ABC △ˆb =ˆy =-521i i x ==∑=0.212=i x =P ABC -AB BC ⊥AB BC kPA ==AC PC OP ⊥ABC（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当k 取何值时，二面角20．已知椭圆面积为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过直线上一点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，求证直线过定点.21．已知函数，.（Ⅰ）若恒成立，求a 的取值集合；（Ⅱ）证明.22．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，直线l 的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线C 和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，若23．已知函数（Ⅰ）画出函数的图象；（Ⅱ）设函数的最大值为m ，若正实数a ，b ，c 满足，求的最小值.//OD PAB A PC --2222:1(x y C a b a b +=>>4x =MN 1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭0a >()0f x ≥111sin sin sin ln 2()122n n n n++++<∈++N xOy 2sin 4cos ρθθ=cos 13ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭PA PB +=()222f x x x =--+()f x ()f x 34a b c m ++=222254a ab b c +++参考答案1．答案：B 解析：根据题意，集合，则.故选：B.2．答案：D且，解可得，则，其在复平面上对应的点为，在第四象限.故选：D.3．答案：C解析：由题意得，由，得，解得，所以，所以..故选C4．答案：A解析：设等比数列的公比为q ，则，所以，故选A.5．答案：D解析：根据题意,首位数字是1的概率,首位数字是9的概率,.故选:D.6．答案：B{}2|230(1,3)A x x x =--<=-{}|2{1,0,1}B x x =∈<=-Z {0,1}A B = (3i)(1i)33(1i)(1i)22a a a ++-+==+-+2i(a =+∈R 2=312a +=1a =-2i 2i z a =+=-(2,1)-2(12,5)ab m -=-- (2)0a b a -⋅= 1250m -+=3m =(3,2)b = 13(1)21a b ⋅=⨯+-⨯= {}n a ()2235365524a a a a q a q===912892122log log S c c c c a a =++++=+++()93282921289252log log log log log 46a a a a a a a +==== ()1lg 11lg 2P =+=2110lg 1lg 12lg 399P ⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭lg 212lg 3=-≈0.3010.301120.4770.046=-⨯≈6.5解析：直线与圆有公共点的充要条件满足：整理得故直线与圆有公共点的一个充分不必要条件是：.故选：B.7．答案：C解析：某同学寒假期间想到咸阳市的9个旅游景点乾陵、茂陵、汉阳陵、袁家村、郑国渠、昭陵、旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班中的3个景点进行旅游，基本事件总数，其中旬邑马栏革命旧址、长武亭口活动旧址、泾阳安吴青训班三个景点为红色旅游景点，则他所去的景点中至少包含一个红色旅游景点的概率是：.故选：C.8．答案：D解析：根据题意知所得多面体是棱长为 2 的正八面体，则正八面体的外接球直径为，所以半径为故选：D.0x y b ++=22:(1)(1)5C x y ++-=b ≤≤0x y b ++=22:(1)(1)5C x y ++-=(b ∈39C 84n ==3639C 161C 21P =-=2R EG ===R =3343R =π⨯=9．答案：A 解析：由题意可得，因为，是函数的极值点，所以，是的两个不等实数根，所以，又因为数列为等差数列，所以，所以故选：A.10．答案：C 解析：二项式定理的展开式的通项公式为，令，得；，令，得.因为的展开式中的常数项为0，所以，解得，故选C.11．答案：C解析：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：2()3124f x x x '=-+2a 2024a 32()642024f x x x x =-+-2a 2024a 231240x x -+=220244a a +={}n a ()101322024114222a a a =+=⨯=28101382log 2log log 2log 8a ===52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭55235282155552C (2)C (2)C (2)C kkk k k k k k k k k k k T x x ax x a x x ----+⎛⎫=-=-⋅⋅-=- ⎪⎝⎭820k -=4k =5262552(2)C 2(2)C k k k k k k x x x--⋅-=-620k -=3k =()3522ax x x x ⎛+⎫ ⎪⎝⎭-443355(2)C 2(2)C 0a -+⨯-=2a =1a 2a，，在中由余弦定理得，，化简得，代入可得故选：C.12．答案：B解析：，，令时，，该函数单调递增，，故选：B.12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩1a a +12a a -22F c =12PF F △()()()()222121212121242cos c a a a a a a a a F PF =++--+-⋅∠223e =22234a c ⨯=2221234a a c +=12cos F PF ∠=120F PF <∠<π12F PF ∴∠= ln 2a =b =c =c -===((323272550>=>=⇒>⇒>⇒>()g x =()g x '=e x <<()0g x '>ln 2(2)ln 22g g ∴<⇔<⇔<=c <a c b ∴<<）解析：角，为锐角，且，，解得，角是锐角，角.14．答案：解析：根据题意，设该圆雉的底面半径为r ，母线为l ，高为h ，，变形可得，则该圆雉的高，解可得，则，故该圆雉的表面积.故答案为：.15．答案：解析：根据题意，作出不等式组对应的平面区域︒ αβsin α=tan()αβ-=tan 2α=tan 0β>tan tan 2tan tan()1tan tan 12tan αββαβαββ---===++tan 1β= β∴π4β=4π2l r =π3l r =h ====1r =33l r ==234S r rl =π+π=π+π=π4π4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭23303230 1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+>⎩为图中的及其内部，但不包含边，其中，，连线的斜率，设，则，，则，又由，即z 的取值范围为.故答案为：.16．答案：解析：因为，所以，即为奇函数，，又在R上单调递增，若，，且所以，，ABC △AB (0,1)A (1,0)B 312122x y x y z y y +++++===++==1,2)--(1,2)M --12301MA k +==+02111MB k +==+1t <<11t<<1112x z t y +=+=++2z <<4,23⎛⎫⎪⎝⎭4,23⎛⎫⎪⎝⎭()20242024x x f x -=-()20242024()x x f x f x --=-=-()f x (0)0f =()f x 0m >1n >122(sin(2024))(0)0f f f f m n ⎛⎫⎛⎫-+=π== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222f ff m n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2-=22n+=所以，则当且仅当故答案为：17．答案：（Ⅰ）（Ⅱ）的面积：的周长：12.解析：（Ⅰ）由，得.由余弦定理得：（Ⅱ）方法一：因为，由余弦定理得，当且仅当时取等，，所以的面积：此时的周长为：12.方法二：，，的面积，22n m mn +=2m =13243243412(2)11nm nn m n n mn m n n +-+==+-=+---++-13(1)1n n =-+≥=-33n -=1=+A =ABC △ABC 22211sin ()sin 22S bc A b c a A ==+-222b c a bc +-=222cos 2b c a A bc +-==A =A =4=2222cos a b c bc A =+-2216b c bc =+-162bc bc bc∴≥-=b c =max ()16bc =ABC △11sin 1622S b A =≤=ABC △π3A =4a =∴sin sin b c B C ====ABC ∴△1sin 2S bc A=1sin 2B C A =sin B C =2πsin 3B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又，，当此时的周长为：12.18．答案：（Ⅰ）分布列见解析，（Ⅱ）；465解析：（Ⅰ）X 的取值可能为1，2，3，所以X 的分布列为：（Ⅱ）令，由题意可知，，所以.所以，.故所求的回归方程为所以估计时，；估计时，；π26S B ⎛⎫=-+⎪⎝⎭2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ππ7π2,666B ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭∴π26B -=B =C =ABC ()E x =270ˆ34.2yt=-2121(1)C P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭22112311(2)1C C X ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22112311(3)11C C P X ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥==--= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦i x =ˆˆˆy bx a =+51315i i i x y ==∑90y =515221531550.4690108ˆ2701.4650.2120.45i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑ˆ902700.4634.2a=-⨯=-ˆ27034.2y x =-270ˆ34.2yt=-6t =11y ≈7t =4y ≈估计时，；预测成功的人的总数为.19．答案：（Ⅰ）证明见解析；解析：（Ⅰ）证明：在中，点O 、D 分别是、的中点，，平面，平面，平面.（Ⅱ）O 为中点，连接，，则，平面，平面，，以O 为坐标原点，所在的直线为x 轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.设，则，，在中，，，，，则，，，8t ≥0y ＜450114465++=APC △AC PC//OD AP ∴AP ⊂≠PAB OD ⊂≠PAB //OD ∴PAB AC BO AB BC =BO AC ⊥PO ⊥ABC AC ⊂≠ABC PO AC ∴⊥OB AC OP O xyz -2AB BC kAP a ===AP=PO AO ⊥ 12AO BO OC AC ====Rt APO △2222222a PO AP AO a k ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭PO ==(),0A ∴),0,0B ()0,,0C P ⎛ ⎝),0,0OB =,0,PB =⎝ ),0CB =平面，平面，，又且，平面，是平面的一个法向量.设平面的一个法向量，则即，令，得，设为二面角的平面角.则方法二：作，又，，平面，平面，，又，是二面角的平面角.设，由题意可知，，即为等腰三角形.在中，作，则，且，在中，，则在中，根据余弦定理，PO ⊥ ABC BO ⊂≠ABC PO BO ∴⊥BO AC ⊥PO AC O = BO ∴⊥PAC OB ∴PAC PBC (),,n x y z =00n PB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 0,0x y =⎪+=⎩1x =1y =-z =θA PC B --cos n OB n OB θ⋅====⋅=OG PC ⊥PC OB ⊥OG OB O = PC ∴⊥OGB BG ⊂≠ OGB PC BG ∴⊥PC OG ⊥OGB ∴∠A PC B --2AB BC a ==OP =2a PB PC k ===PBC △PBC △PE BC ⊥PE BC BG PC ⋅=⋅PE ==PE BC BG PC ⋅==POC △OP OC OG PC ⋅=⋅OP OCOG PC⋅==OGB △2221cos 23OG BG OB OGB OG BG +-∠==⋅解得；（Ⅱ）证明见解析.又，即由①②可得，.（Ⅱ）设，，，由题知，直线上一点P 作椭圆C 的两条切线斜率存在，设过点且与椭圆相切的直线方程为：，联立方程得，，整理得，即，在椭圆上，，即，即，，解得k =213y +=====2ab =ab =2a =b =213y +=(4,)P t 11(,)M x y 22(,)N x y 4x =11(,)M x y 11()y y k x x -=-∴1122(),1,43y y k x x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩()()()22211113484120k x k y kx x y kx ++-+--=∴()()()22221111644344120k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦()()2211340y kx k --+=()()22211113240y kx y k x --+-=11(,)M x y 2112143x y ∴+=123y -=214x -=2221111342043x y kx y k ∴---⋅=222211111192416(34)0x kx k y y x ky ++=+=11340x ky ∴+=k =（此处也可以尝试采用复合函数求导进而可得斜率）过点且与椭圆相切的直线方程为：，，即，，，（上述切线方程也可以尝试采用“构造缩放法”证明二级结论：过椭圆上点），整理化简得，且，点，均在直线上，直线的方程为，直线过定点.21．答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析解析：（Ⅰ）由题可知函数的定义域为，，令，得，由x ，，列表如下只需证明，.令，，得，∴11(,)M x y 11113()4x y y x x y -=-2211143x y += 22113412x y +=113y y+=213y y +=2222:1(0)x y C a b a b +=>>11(,M x y 121y yb+=13y t =213ty=11330x y t +-=22330x y t +-=∴11(,)M x y 22(,)N x y 330x ty +-=∴MN 330x ty +-=MN ()21,0F {}1()f x {}0x x >221()a x af x x x x-'=-= ()0f x '=x a =()f x ()f x 'ln 10a a -+≥(0,)a ∈+∞()ln 1g x x x =-+11()10xg x x x-'=-==1x =由x ，，列表如下又，，，，，故a 的取值集合为.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当时，，即，时，“”成立），令，，由累加法可知累加可得即，，()g x ()g x '()0,1a ∈ ()ln 1(1)0g a a a g =-+<=(1,)a ∈+∞()ln 1(1)0g a a a g =-+<=1a ∴={}11a =()0f x ≥1ln 10x x +-≥1ln 1x x ≥-=ln(1)x ∴+≥0==1()x n n+=∈N 11ln 111n n n⎛⎫+>= ⎪⎝⎭+111n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭()ln 1ln n n +->()()()()()()()1ln 1ln 11ln 2ln 121ln 3ln 231ln 2ln 212n n n n n n n n n n n n ⎫+->⎪+⎪⎪+-+>⎪+⎪⎪+-+>⎬+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪⎪-->⎪⎪⎭111ln(2)ln 123n n n n n ->+++⋅⋅⋅+++111ln 2123n n n >++++++ ()sin x x x =-(0,)x ∈+∞恒成立，在是递减的，，，22．答案：（Ⅰ）；；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）曲线，即，即.，即，即.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不妨设m 的方程为，由得，设，，则，.，即，即，即，.另解：设直线m 的方程为（t 为参数），代入，得，即，，，从而直线m 的斜率为.23．答案：（Ⅰ）答案见解析；()cos 10h x x '=-≤ ()h x ∴(0,)x ∈+∞()(0)0h x h ∴<=sin x x ∴<1111111sin sin sin 1232123n n n n n n n ∴++++>++++++++++ 1111ln 2sinsin sin sin ()1232n n n n n+∴>++++∈+++N 2:4C y x =:20l x -=1±2:sin 4cos C ρθθ=22sin 4cos ρθρθ=24y x =1:cos 12l ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭cos sin 20ρθθ+-=20x +-=(2,0)P 2x ny =+22,4,x ny y x =+⎧⎨=⎩2480y ny --=11(,)A x y 22(,)B x y 124y y n +=128y y =-AB ∴===42340n n ∴+-=22(4)(1)0n n +-=21n =1n =±1=±2cos ,sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩24y x =22sin 84cos t t θθ=+22sin 4cos 80t t θθ--=12t t ∴+=12t =1212P B t t t A P t ∴+=+=-===426sin sin 10θθ∴--=22(3sin 1)(2sin 1)0θθ+-=2sin θ∴=θ=tan 1θ∴=±1±解析：（Ⅰ），由此作图如下：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，于是，由柯西不等式得，()4,1,4,11,4,1,x f x x x x ≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩4m =344a b c ∴++=244a b b c +++=()()()()()2222222221122416a b b c a b b c ⎡⎤+++++⎡⎤⎣⎦≥+++=⎣⎦()()22216246a b b c ++≥=∴+b ===22254a ab b c ∴+++。

高考一模考试数学试题(理)含解析试卷分析

延庆区—一模统一考试高三数学（理科） 3月本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则AB = （）A.{|01}x x ≤≤B.{|0x x >或1}x <-C. {|12}x x <≤D.{|02}x x <≤2.复数21ii =+（） A.1i + B ．1i - C. 1i -+ D ．1i --3.已知两条直线,a b 和平面α，若,a b b α⊥⊄，则“a α⊥”是“//b α”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为（） A ．2B.3C.2D.55.执行如图所示的程序框图,若输出的a 的值为15，则判断框应填写（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．51 1112 正（主）视图侧（左）视图俯视图（4题图）否是开始2013201420151季度2季度3季度4季度1季度2季度3季度4季度1季度2013年2014年2015年年份增长率/%6.已知等比数列{}n a的公比1q≠，则下面说法中不正确．．．的是（）A.2{}n na a++是等比数列 B.对于k*∈N，1k>，112k k ka a a-++≠C．对于n*∈N，都有2n na a+> D．若21a a>，则对于任意n*∈N，都有1n na a+>7.如图是近三年某市生产总值增速（累计，%）的折线统计图，据该市统计局初步核算，一季度全市生产总值为1552.38亿元，与去年同一时期相比增长12.9%（如图，折线图中其它数据类同）．根据统计图得出正确判断是（）A．近三年该市生产总值为负增长B. 近三年该市生产总值为正增长C．该市生产总值到为负增长，到为正增长D.以上A、B、C的判断都不正确8.已知偶函数()f x，奇函数()g x的图像分别如图（1）、图（2）所示，方程(())0f g x=，(())0g f x=的实根的个数分别为,a b，则a b+=（）A．3B．7C．10D．14第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某校高一学雷锋志愿小组共有8人，其中一班、二班、三班、四班各2人，现在从中任选3人，要求每班至多选1人，不同的选取方法的种数为.10. 冬奥会高山滑雪项目将在延庆小海坨山举行。

高三(普通班)第一次大检测数学试题(理)含答案试卷分析详解

高三普通班第一次质量大检测理科数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数1iz i=-的实部为（）A ．12B ．2iC ．－12D ．－2i 2.集合,则P Q =（）A. (12]，B. [12]，C. ),1()3,(+∞⋃--∞D. [12)， 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，546S S S ≥≥，则公差d 的取值范围是（）A.81,9⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B.41,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C.84,95⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.[]1,0-4.已知“x a x b ≥⇒>”，且“x a x c <⇒≤”，则“x c ≤”是“x b ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若的展开式中的系数为，则（）A ．B ．C ．D ． 6.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）2101()()x a x x-+6x 30a =12-2-122A ．B ．C ．D ． 7.已知，则（） A ． B ． C ． D ． 8.函数的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．9.已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前10项和为A.B. C. D. 10. 已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为A ．B ．C ．D ．11.已知，两直角边，是内一点，且，设，则316381418tan()4πα-=sin 2α=79-7919-19()ln(1)f x x x =-+{}n a n n S 912162a a =+24a =1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1112101191089()f x (1,)-+∞(2)y f x =-1x ={}n a 5051()()f a f a ={}n a 200-100-050-Rt ABC 1,2AB AC ==D ABC ∆60DAB ∠=(,)AD AB AC R λμλμ=+∈λμ=A.C. D. 12.已知函数的定义域为，若对于分别为某个三角形的边长，则称为“三角形函数”.给出下列四个函数：①； ②；③；④.其中为“三角形函数”的个数是 A.B.C. D.第 Ⅱ 卷二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）（13）若，且，则的最小值是__________ （14）若，则 +−+…+的值为（15）已知、、是球的球面上三点，，，，且棱锥的表面积为___________ （16）已知外接圆的半径为1，且.若，则的最大值为__________三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分 17．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*4(1),3n n S a n N =-∈．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）令n n a b 2log =，记数列1(1)(1)n n b b ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和为n T ．证明：1132n T ≤<．18．（本小题满分12分）33()f x D ,,,(),(),()a b c D f a f b f c ∀∈()f x 23()ln ()f x x e x e =≤≤()4cos f x x =-12()(14)f x x x =<<()1xx e f x e =+12340,0a b >>()ln 0a b +=11a b+()2018220180122018(12)x a a x a x a x x R +=++++∈12a -222a 332a 201820182a A B C O 2AB =AC =60ABC ∠=O ABC -O ABC ∆O BO BA BC λμ=+60ABC ∠=λμ+据统计，国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（Ⅰ）求,a b的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（Ⅰ）若导游的奖金y（单位：万元），与其一年内旅游总收入x（单位：百万元）之间的关系为12022040340xy xx<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，求甲公司导游的年平均奖金；（Ⅰ）从甲、乙两家公司旅游收入在[)50,60的总人数中，随机的抽取3人进行表彰，设来自乙公司的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19. 如图，四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.20. 已知圆经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，，是椭圆上的两点，它们在轴两侧，且的平分线在轴上，.分组频数b1849245[)20,30[)10,20[)30,40[)50,60[)40,50（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）证明：直线过定点.21.（本题满分12分）设函数f (x )=ax 2+b ，其中a ,b 是实数.(Ⅰ)若ab >0，且函数f [f (x )]的最小值为2，求b 的取值范围；(Ⅰ)求实数a , b 满足的条件，使得对任意满足xy =1的实数x , y ，都有f (x )+f (y )≥f (x )f (y )成立.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线.（1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；（2）若直线：（为参数）与，相交于，两点，且，求的值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数.（1）若的最小值不小于，求的最大值；（2）若的最小值为，求的值.xOy 1C cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩θ[0,]θπ∈1C ''x xy =⎧⎪⎨=⎪⎩2C x 2C l cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩t 1C 2C AB 1AB =α()1()f x x a a R =--∈()f x 3a ()()2g x f x x a a =+++3a参考答案CAAB DCBA BBAC13. 4 14. -1 15.48 16.17.解：（I ）当1=n 时，有1114(1)3a S a ==-，解得41=a . 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 1144(1)(1)33n n n n n a S S a a --=-=---整理得：41=-n na a ∴ 数列}{n a 是以4q =为公比，以41=a 为首项的等比数列．∴ 1*444(n n n a n N -=⨯=∈）即数列}{n a 的通项公式为：*4(n n a n N =∈）． ……………………………6分（II ）由（I ）有22log log 42nn n b a n ===，则11111=(1)(1)(21)(21)22121n n b b n n n n ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭∴ n T )12)(12(1751531311-++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n )]121121()7151()5131()3111[(21+--+⋅⋅⋅+-+-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列{}n T 为递增数列∴ 112n T T ≤<，即2131<≤n T . ………………………………………12分 18.解：（I ）由直方图知：()0.010.0250.0350.01101a ++++⨯=，有0.02a =，由频数分布表知：1849245100b ++++=，有4b =．∴ 甲公司的导游优秀率为：()0.020.0110100%30%+⨯⨯=；乙公司的导游优秀率为：245100%29%100+⨯=；由于30%29%>，所以甲公司的影响度高． ………………………4分π（II ）甲公司年旅游总收入[)10,20的人数为0.011010010⨯⨯=人；年旅游总收入[)20,40的人数为()0.0250.0351010060+⨯⨯=人；年旅游总收入[)40,60的人数为()0.020.011010030+⨯⨯=人；故甲公司导游的年平均奖金1106023032.2100y ⨯+⨯+⨯==（万元）． ……8分（III ）由已知得，年旅游总收入在[)50,60的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故ξ的可能取值为0,1,2,3，易知：()31031524091C p C ξ===； ()2110531545191C C p C ξ===； ()1210531520291C C p C ξ===； ()353152391C p C ξ===.∴ ξ的分布列为：∴ ξ的数学期望为：2445202()0123191919191E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分 19.【答案】证明见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点为，连接，，结合条件可证得平面，于是，又，故可得．（Ⅱ）由题意可证得，，两两垂直，建立空间直角坐标系，通过求出平面和平面的法向量可求解本题．试题解析：证明：（Ⅰ）取的中点为，连接，，∵为等边三角形，∴.在底面中，可得四边形为矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.又，∴.（Ⅱ）∵平面面，，∴平面，由此可得，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．∵直线与平面所成角为，即，由，知，得.则，，，，，，，设平面的一个法向量为.由，得．令，则．设平面的一个法向量为，由，得．令，则，∴，由图形知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为.20.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直线过定点.【解析】【试题分析】(I)根据圆的半径和已知,故,由此求得椭圆方程.(II)设出直线的方程,联立直线方程与椭圆方程,写出韦达定理,写出的斜率并相加,由此求得直线过定点.【试题解析】（Ⅰ）圆与轴交点即为椭圆的焦点，圆与轴交点即为椭圆的上下两顶点，所以，.从而，因此椭圆的方程为：.（Ⅱ）设直线的方程为.由，消去得.设，，则，.直线的斜率；直线的斜率..由的平分线在轴上，得.又因为，所以，所以.因此，直线过定点.21.解：(1)由题， f [f (x )]=a 3x 4+2a 2bx 2+ab 2+b ，记t =x 2当ab >0时，二次函数b ab bt a t a y +++=22232的对称轴abt -=<0, 显然当0<a 时，不符合题意，所以0,0>>b a ，所以当0=t 时，f [f (x )]取到最小值，即有22=+b ab从而 02>-=bbab ，解得20<<b ； (2)∵ 1xy =，即1y x=，且()()()()f x f y f x f y +≥，∴ ()()11f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，即22222211()2()a x b ab x a b x x +++++≥.令221[2,)t x x=+∈+∞，则22(1)2a b t a b b -+-≥要恒成立，需要(1)0a b -≥，此时(1)y a b t =-在[2,)+∞上是增函数，所以222(1)2a b a b b -+-≥，即2()2()0a b a b +-+≤，⇒02a b +≤≤ 所以实数a ,b 满足的条件为(1)002a b a b -⎧⎨+⎩≥≤≤22.解：（1）的普通方程为，把，代入上述方程得，， ∴的方程为. 令，，所以的极坐标方程为. （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，由得，由得1C 221(0)x y y +=≥'x x ='y y =22''1('0)3y x y +=≥2C 221(0)3y x y +=≥cos x ρθ=sin y ρθ=2C 22233cos sin ρθθ=+232cos 1θ=+([0,])θπ∈l ()R θαρ=∈1ρθα=⎧⎨=⎩1A ρ=2232cos 1ρθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩ρ=第11页共11页，∴. 而，∴或. 23.解：（1）因为，所以，解得，即. （2）.当时，，，所以不符合题意.当时，，即，所以，解得.当时，同法可知，解得.综上，或.11=1cos 2α=±[0,]απ∈3πα=23πmin ()(1)f x f a ==-3a -≥3a ≤-max 3a =-()()2g x f x x a a =+++12x x a =-++1a =-()310g x x =-≥03≠1a =-1a <-(1)2(),()(1)2(),1(1)2(),1x x a x a g x x x a x a x x a x -++≥-⎧⎪=--+≤<-⎨⎪---+<⎩312,()12,1312,1x a x a g x x a x a x a x -+≥-⎧⎪=---≤<-⎨⎪-+-<⎩min ()()13g x g a a =-=--=4a =-1a >-min ()()13g x g a a =-=+=2a =2a =4-。

高三数学下学期一模考试试题理含解析试题

2021-2021学年度第二学期高三年级一模考试数学〔理科〕试卷第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题〔每一小题5分，一共60分.以下每一小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上〕1.全集为R ，集合{1,0,1,5}A =-，{}2|20B x x x =--≥，那么RA B =〔〕A. {1,1}-B. {0,1}C. {0,1,5}D.}1,0,1{-【答案】B 【解析】【分析】先化简集合B,再求RAB 得解.【详解】由题得B={x|x ≥2或者x ≤1-}, 所以{|12}R C B x x =-<<，所以{0,1}RA B =.应选：B【点睛】此题主要考察集合的交集和补集运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.2.假设复数z 满足(1i)|1|z +=+，那么在复平面内z 的一共轭复数对应的点位于〔〕A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先求出复数z和z,再求出在复平面内z的一共轭复数对应的点的位置得解.【详解】由题得22(1)1(1)(1)(1i)iz ii i-===-++-，所以1z i=+，所以在复平面内z的一共轭复数对应的点为〔1,1〕，在第一象限.应选：A【点睛】此题主要考察复数的模和复数的除法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.3. 某单位一共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，那么青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为〔〕A. 25B.35C.2536D.1136【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组一共有人,这六人中抽取两人的根本领件一共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，根本领件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，应选B ．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2021年第一季度五GDP 情况图，那么以下陈述中不正确的选项是〔〕A. 2021年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是.B. 与去年同期相比，2021年第一季度的GDP 总量实现了增长.C. 去年同期的GDP 总量不超过4000亿元.D. 2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的只有1个. 【答案】D 【解析】分析：解决此题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，根据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A 、B 正确；()4067.41 6.6%38154000÷+≈<，故C 正确；2021年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的有均第一；均第四，一共2个.故D 错误. 应选D.点睛：此题考察条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.P 是双曲线22:12x C y -=右支上一点, 直线l 是双曲线C 的一条渐近线.P 在l 上的射影为Q ,1F 是双曲线C 的左焦点, 那么||||1PQ PF +的最小值为( )A. 1B. 25+C. 45+D.122+【答案】D 【解析】设双曲线C 的右焦点为2F ，连接2PF ，那么12PF PQ PF PQ +=+d ≥〔d 为点2F 到渐近线0x =的间隔1=〕，即1PF PQ +的最小值为122+；应选D.点睛：此题考察双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或者双曲线的点到两焦点的间隔问题时，往往利用椭圆或者双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的间隔合理转化到另一个焦点间的间隔 .6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成〔锐〕二面角为6π，当1B M 最小时，=∠AMB 〔〕A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】B 【解析】【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，那么(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1=z ，得(n b =-，a -，1)，平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成〔锐)二面角为6π， 22||cos6||||1m n m n a b π∴==++，解得22331a b +=，∴当|1|B M 最小时，0b =，3BM a ==，1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．应选：B ．【点睛】此题考察角的大小的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．7.函数sin()()xx f x a ωϕπ+=(0,0,)a R ωϕπ><<∈，在[]3,3-的大致图象如下图，那么aω可取〔〕A. 2π B. πC. 2πD. 4π【答案】B分析：从图像可以看出()f x 为偶函数，结合()f x 的形式可判断出()sin y x ωϕ=+为偶函数，故得ϕ的值，最后通过()10f =得到ω的值．详解：()f x 为[]3,3-上的偶函数，而xy a π=为[]3,3-上的偶函数，故()()sin g x x ωϕ=+为[]3,3-上的偶函数，所以,2k k Z πϕπ=+∈．因为0ϕπ<<，故2πϕ=，()()sin cos 2x xx x f x a a πωωππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==．因()10f =，故cos 0ω=，所以2k πωπ=+，k ∈N ．因()02f =，故0cos 012a aπ==，所以21=a ．综上()21k aωπ=+，k ∈N ，应选B ．点睛：此题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的才能，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或者取值范围．8.?九章算术?中描绘的“羡除〞是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，那么该羡除的体积为〔〕A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B 【解析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积. 【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：,4,2,6EF BC AD BC EF AD ===，三个梯形均为等腰梯形且平面FADE ⊥平面ABCDF 到底面ABCD 的间隔为4d =，,AD BC 间的间隔为3.如以下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中,F AGHB E IDCJ --为体积相等的四棱锥，且2AG GI ID ===，1,2BH JC HJ ===，那么棱柱FGH EIJ -为直棱柱，EIJ ∆为直角三角形.又()114123632F AGHB E IDCJ V V --==⨯⨯⨯+⨯=； 1243122FGH EIJ V -=⨯⨯⨯=，故五面体的体积为121224+=.应选A.【点睛】此题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规那么几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规那么的几何体.9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,且BC 边上的高为a 63,那么c b b c +的最大值是〔〕A. 8B. 6C. D. 4【答案】D 【解析】22b c b c c b bc ++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A 2222b c a bc+-=，①而条件中的“高〞容易联想到面积，11262a a ⨯=bc sin A ，即a 2＝23bc sin A ，② 将②代入①得：b 2＋c 2＝2bc (cos A ＋3sin A )， ∴b c c b+＝2(cos A ＋3sin A )＝4sin(A ＋6π)，当A ＝3π时获得最大值4，应选D ．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合条件灵敏转化边和角之间的关系，利用根本不等式或者函数方法求最值. 在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.10.函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设12>0x x ，且()()120f x f x +=，那么12x x +的最小值为〔〕A.6π B.3π C. 2πD.23π 【答案】D 【解析】【分析】先分析得到12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得12+x x 等于函数的零点的2倍，所以12x x +的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令()sin =03f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以,3x k k Z ππ-=∈,所以=+,3x k k Z ππ∈，所以绝对值最小的零点为3π，故12x x +的最小值为23π. 应选：D【点睛】此题主要考察正弦型函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.11.过抛物线24y x =的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线1x =-上，那么ABC ∆的边长是〔〕 A. 8 B. 10C. 12D. 14【答案】C 【解析】设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN 垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，求出31sin =θ，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设AB 的中点为M ，过A 、B 、M 分别作1AA 、1BB 、MN垂直于直线1x =-于1A 、1B 、N ，设AFx θ∠=，由抛物线定义知：1111||(||||)||22MN AA BB AB =+=，3||||2MC AB =，1||||3MN MC ∴=， 90CMN θ∠=︒-，∴||1cos cos(90)||3MN CMN MC θ∠=︒-==，即31sin =θ，所以直线AB 的斜率k=2tan 2θ=, 所以直线AB 的方程为2(1)2y x =-，联立直线AB 方程和抛物线方程得21010x x -=+，所以1212+=10||10212x x AB x x p ∴=++=+=，. 应选：C ．【点睛】此题考察抛物线的方程与性质，考察抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是12.设函数()(1x g x e x a =+--〔a R ∈，e 为自然对数的底数〕,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．假设存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，那么实数a 的取值范围为〔〕A. ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B. )+∞C. )+∞D.⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】先构造函数()()212T x f x x =-，由题意判断出函数()T x 的奇偶性，再对函数()T x 求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数()()212T x f x x =-，因为()()2f x f x x -+=，所以()()()()()()()22211022T x T x f x x f x x f x f x x +-=-+---=+--=，所以()T x 为奇函数，当0x ≤时，()()''0T x f x x =-<，所以()T x 在(],0-∞上单调递减，所以()T x 在R 上单调递减. 因为存在()()0112x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，所以()()000112f x f x x +≥-+，所以()()()220000011111222T x x T x x x ++≥-+-+，化简得()()001T x T x ≥-，所以001x x ≤-，即012x ≤令()()12xh x g x x e a x ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，因为0x 为函数()y g x x =-的一个零点，所以()h x 在12x ≤时有一个零点因为当12x ≤时，()12'0x h x e e =≤=，所以函数()h x 在12x ≤时单调递减，由选项知0a >，102<<，又因为0h ea e⎛=-=> ⎝，所以要使()h x 在12x ≤时有一个零点，只需使102h a ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，解得a ≥ 所以a的取值范围为2⎫+∞⎪⎪⎣⎭，应选D. 【点睛】此题主要考察函数与方程的综合问题，难度较大.第二卷〔一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.假设实数x ，y 满足约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，那么3z x y =+的最小值为__________.【答案】2 【解析】【分析】先画出可行域，利用目的函数的几何意义求z 的最小值．【详解】作出约束条件1330.y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，，，表示的平面区域〔如图示：阴影局部〕：由10y x x y =⎧⎨+-=⎩得A 〔12,1 2〕，由z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ，平移y ＝﹣3x ，易知过点A 时直线在y 上截距最小，所以3z x y =+的最小值为32+122=．故答案为：2．【点睛】此题考察了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目的函数的几何意义．110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，那么2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是___________．【答案】0 【解析】试题分析：由110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，解得tan 3α=，又2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭22222sin 2cos 22cos 2sin cos 22cos 222αααααα=++=+-2222sin cos 22cos 2sin cos 2ααααα+=-+22tan 2220tan 12αα+=-=+．考点：三角函数的化简求值．()f x 图像上不同两点),(11y x A ，),(22y x B 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，AB 为A B 、两点间间隔，定义(,)A B k k A B ABϕ-=为曲线()f x 在点A 与点B 之间的“曲率〞，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率〞为常数；②函数32()1f x x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，那么 “曲率〞(,)3A B ϕ>；③函数2()(0,)f x ax b a b R =+>∈图像上任意两点A B 、之间的“曲率〞(,)2A B a ϕ≤；④设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线()xf x e =上不同两点，且121x x -=，假设·(,)1t A B ϕ<恒成立，那么实数t 的取值范围是(,1)-∞。

高三数学一模考试试题理含解析试题

延庆区2021—2021学年度一模考试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高三数学〔理科〕2021年3月本套试卷一共4页，满分是150分，考试时间是是120分钟第一卷〔选择题〕一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1. 集合，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】此题选择B选项.2. 等差数列中，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】此题选择A选项.3. 是互相垂直的两个单位向量，，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】此题选择B选项.4. 右图是一个算法的程序框图，假如输入，，那么输出的结果为A. B. C. D.【答案】C【解析】模拟程序框图运行过程，如下；当i=1时,，满足循环条件，此时i=2；当i=2时,，满足循环条件，此时i=3；当i=3时,，满足循环条件，此时i=4；当i=4时,，不满足循环条件，此时此题选择C选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序构造、条件构造和循环构造．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．5. 某宣传部门网站为弘扬HY思想文化，开展了以HY为主题的系列宣传活动，并以“HYHY〞作为关键词便于网民搜索. 此后，该网站的点击量每月都比上月增长，那么个月后，该网站的点击量和原来相比，增长为原来的A. 倍以上，但不超过倍B. 倍以上，但不超过倍C. 倍以上，但不超过倍D. 倍以上，但不超过倍【答案】D【解析】设第一个月的点击量为1.那么4个月后点击量 .该网站的点击量和原来相比，增长为原来的5倍以上，但不超过6倍。

此题选择D选项.6. 角的终边经过的一点的坐标是，那么“〞的充要条件是A. B. C. D.【答案】B【解析】,“|a|=1”的充要条件是 .此题选择B选项.7. 设，，，那么间的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴c>b>a.此题选择A选项.点睛：实数比拟大小：对于指数幂的大小的比拟，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或者指数不一样，不能直接利用函数的单调性进展比拟．这就必须掌握一些特殊方法．在进展指数幂的大小比拟时，假设底数不同，那么首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进展判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比拟，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不一样时，选取适当的“媒介〞数〔通常以“0”或者“1”为媒介〕，分别与要比拟的数比拟，从而可间接地比拟出要比拟的数的大小．8. 某翻译公司为提升员工业务才能，为员工开设了英语、法语、西班牙语和德语四个语种的培训过程，要求每名员工参加且只参加其中两种。

2022年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 已知复数z 的共轭复数为，若，为虚数单位，则( )A.B. C.D.3. 设“a ，，”是“”的.( )A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 直线与圆的位置关系是( )A. 相离B. 相交C. 相切D. 不确定5. 函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.6. 已知角的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点，则( )A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线AB 的距离为( )A.B.C. D.8. 下列说法正确的有( )A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0B. 若X 是随机变量，则，C. 已知随机变量，若，则D. 设随机变量表示发生概率为p 的事件在一次随机实验中发生的次数，则9. 已知函数的定义域为R ，为奇函数，为偶函数，则( )A.B.C.D.10. 已知F是椭圆的右焦点，点在C上，直线AF与y轴交于点B，点P为椭圆C上的动点，则的最小值为( )A. B. C. D.11. 在平面四边形ABCD中，已知的面积是的面积的2倍．若存在正实数x ，y使得成立，则的最小值为.( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是( )A. B. C. D.13. ______.14. 展开式中的常数项是______.15. 关于函数与有下面四个结论：①函数的图像可由的图像平移得到；②函数与函数在上均单调递减；③若直线与这两个函数的图像分别交于A，B两点，则；④函数的图像关于直线对称；其中正确结论的序号为______请写出所有正确结论的序号16. 已知，函数在有极值，设，其中为不大于x的最大整数，记数列的前n项和为，则______.17. 在中，已知，D是AB的中点．求角C的大小；若，，求的面积．18. 已知数列中，，，，，，，成等差数列．求k的值和的通项公式；设，，求数列的前n项和为19. 如图，已知圆O的直径AB长为4，点C是圆弧上一点，，点P是劣弧上的动点，D点是另一半圆弧的中点，沿直径AB，将圆面折成直二面角，连接OP、DP、若面PCD时，求PC的长；当三棱锥体积最大时，求二面角正切值．20. 如图，点A、B、C是周长为3cm圆形导轨上的三个等分点，在点A处放一颗珠子，规定：珠子只能沿导轨顺时针滚动．现投郑一枚质地均匀的股子，当掷出的点数是3的倍数时，珠子滚动2cm，当掷出的点数不是3的倍数时，珠子滚动1cm，反复操作．求珠子在A点停留时恰好滚动一周的概率；求珠子第一次在A点停留时恰好滚动两周的概率．21. 已知双曲线过点，离心率为，直线l：交x轴于点A，过点A作直线交双曲线于M，N两点．求双曲线的标准方程；若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，直线PM与QN的交点是否在一条直线上？请说明你的理由．22. 设函数，为函数的导函数．讨论函数的单调性并写出单调区间；若存在a，使得函数不存在零点，求b的取值范围；若函数有两个不同的零点，，求证：答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．【解答】解：设，则，则，解得，，解得，故故选3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：当，且a，时，则，故充分性成立；若令，，满足，但，故必要性不成立；故“a，，”是“”的充分不必要条件．故选4.【答案】B【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为4，圆心到直线的距离为，直线与圆相交，故选：求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．【解答】解：函数的定义域为，，则是奇函数，排除B，D，当时，，，则，排除A，故选：6.【答案】D【解析】解：根据三角函数的定义可得：，故选：根据三角函数的定义可得，然后根据正余弦的倍角公式，同角关系化简即可求解．本题考查了三角函数的定义，涉及到正余弦的倍角公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：，，，，则点到直线AB的距离为：故选：求出，，利用向量法能求出点到直线AB的距离．本题考查点到直线的距离的求法，考查向量法求点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】D【解析】解：对于A，根据相关系数的定义，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误，对于B，若X是随机变量，则，，故B错误，对于C，随机变量，，，故C错误，对于D，随机变量的可能取值为0，1，故，，，，当且仅当，即时，等号成立，故D正确．故选：对于A，结合相关系数的定义，即可求解，对于B，结合方差与期望的线性公式，即可求解，对于C，结合正态分布的对称性，即可求解，对于D，结合期望与方差公式，即可求解．本题主要考查统计的知识，考查转化能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：是偶函数，，即，即函数关于对称，则，是奇函数，，则，即，则，即函数的周期是4，当时，由，得，得，，故选：根据函数的奇偶性，推出函数的周期是4，利用周期性进行转化求解即可本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性，推出函数的周期性，利用周期性进行求解是解决本题的关键，是中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意得，，椭圆方程为，，直线AF的方程为，，又，设，则，，，，又，当时，的最小值为故选：由题可得椭圆方程为，进而可得，利用向量数量积的坐标表示可得，再结合条件及二次函数的性质可求的最小值．本题考查椭圆的几何性质，以及向量数量积的最小值问题，属中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平面向量基本定理的应用，利用条件建立等量关系，利用基本不等式结合1的代换进行转化求解是解决本题的关键，属于中档题．根据三角形的面积关系，结合三角形的相似性质，得到，然后利用平面向量的基本定理建立方程关系，利用基本不等式进行转化求解即可．【解答】解：根据题意，如图，连接AC、BD，设AC与BD交于点O，过点B作与点E，过点D作与点F，若面积是面积的2倍，即，易知，可知，，，设，，，，即，，即，，当且仅当时取等号，的最小值为故选12.【答案】D【解析】解：三个小球的球心、、构成边长为的正三角形，则其外接圆半径为设半球的球心为O，小球与半球底面切于点如图，经过点O、、A作半球的截面，半圆的半径，于点则在中，由故选：根据条件求出以三个小球的球心、、构成的三角形的外接圆半径，再通过勾股定理求解即可．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．13.【答案】10 【解析】解：原式故答案为：进行对数和指数的运算即可．本题考查了指数和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：要得到中的常数项，需有3个因式取2x ，其余的3个因式取，故展开式的常数项为，故答案为：由题意，根据乘方的意义，利用排列组合的知识，求得结果．本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于中档题．15.【答案】①②④ 【解析】解：向右平移个单位长度得到，①正确；由正弦函数的图象可知在上单调递减，由余弦函数的图象可知在上单调递减，②正确；，则，③错误；，当时，，故函数的图像关于直线对称，④正确．故答案为：①②④．①向右平移个单位长度即可；②由正弦和余弦函数的图象可以判断出来；③通过辅助角公式得到；④通过代入即可判断．本题考查了命题真假的判断及三角函数的性质，属于基础题．16.【答案】615【解析】解：，，，函数在上有极值，，，，，时，，；同理可得：，3，4时，；，6，7，8，9时，…；，11，…，16时，…；，18，…，25时，…；，27，…，36时，…；，38，…，49时，…；，51，…，64时，…；，66，…，81时，…；，83，…，100时，…数列的前100项和故答案为：，可得，根据，函数在上有极值，可得，，由，通过对n分类讨论，即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论方法、数列求和，考查了计算能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，所以，可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，所以因为，，，因为，所以，①又，两边平方，可得，所以，②由②-①可得，所以【解析】先用正弦定理，再利用余弦定理即可求解的值，结合C的范围即可求出C的值．利用第一问求出的C的值，利用余弦定理，向量有关计算及面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：因为，，成等差数列，所以，即，又，所以，，所以，整理得，因为，所以，而，所以，所以当n为奇数时，数列是首项为1，公比为3的等比数列，，当n为偶数时，数列是首项为3，公比为3的等比数列，，综上，的通项公式为，所以…，…，两式相减得，…，所以【解析】结合与等差中项的性质，推出，再由，求得k的值，然后分n为奇数和偶数两种情况，根据等比数列的通项公式，得解；，再根据错位相减法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差中项的性质，等比数列的通项公式，以及错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：平面PCD，平面OPC，平面平面，，又，，所以为等腰直角三角形．二面角为直二面角，且，平面ABD，平面OPC，，当时等号成立．此时OP，OC，OD两两垂直，且长度相等，则，取PD的中点E，连接OEEC，则，，，为二面角的平面角，直角三角形CEO中，，二面角的正切值为【解析】依据线面平行性质定理可得，在中求PC的长即可；做出二面角的平面角即可解决．本题主要考查线面平行的相关计算，二面角的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：设掷出3的倍数为事件M，掷出不是3的倍数记为事件N，则，，珠子恰好转一周回到A点包含的事件为，，且这三种情况互斥，故所求概率为；珠子滚两周回到A点，则必须经历以下三个步骤：①②③，①A至C：此时概率为，②C至B：掷出的必须是3的倍数，此时的概率为，③B至A：此时概率为，又以上三个步骤相互独立，故所求概率为【解析】利用古典概型的概率公式以及互斥事件的概率公式求解即可；利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可．本题考查了概率问题的求解，主要考查了古典概型的概率公式、互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式的理解与应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．21.【答案】解：由题意得：解得，，所以双曲线的标准方程为设，则，依题意有，解得，，所以直线MN的方程为或设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：，设，，，，由根与系数的关系，得，，联立两方程，可得：，解得，所以直线PM与QN的交点在定直线上．【解析】根据题意，列出方程组，结合，求得a，b的值，得出双曲线的标准方程，设，则，联立方程组，求得M，N的坐标，即可求得直线MN的方程；设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立求得，，再由直线PM和QN的方程，求得交点的横坐标，即可求解．本题考查了双曲线的标准方程，直线与双曲线的关系，属于难题．22.【答案】，当时，，函数的单调递增区间是，当时，令，得，令，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间是；当时，由知，的单调增区间是，易知，又，故可得，又，且函数的图像连续，所以存在一个零点，不满足题意．当时，因为，函数的图像不间断，若存在，使函数不存在零点，则对任意恒成立．由知，能成立，即能成立，令，则，，，则，令，得，当时，，单调递减；时，，单调递增，所以，所以，综上，b的取值范围是；因为函数有两个不同的零点，，则由知，且，，消去a得，设，则，可解得，设，，则，所以在上单调递增，所以，故，所以，所以又因为，设，，则，所以在上单调递增，所以，所以，综上，【解析】先求导，分和两种情况讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；转化为求函数的值域，結合函数的值域来求出b的范围；通过构造新函数，研究新函数的单调性得到证明．本题考查了导数的综合运用、转化思想，多次构造函数，利用导数判断原函数的单调性及最值，属于难题．。

河北省石家庄市高考一模考试数学（理）试题（A）含解析

石家庄市高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选3. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．4. 点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】故选5. ，满足约束条件：，则的最大值为（）A. -3B.C. 3D. 4【答案】C【解析】依题意可画出可行域如下：联立，可得交点(2,-1)，如图所示，当经过点(2,-1)时，z最大为3.故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里【答案】C【解析】由题意可得：代入：则该三角形田面积为平方里故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知，几何体为半圆柱挖去半球体几何体的表面积为故选9. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选10. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.11. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】如图：设，则：，取中点，分别作垂直于直线，连接则有，相减可得：即故设则，解得故，解得故选12. 设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故可化为方程表示为椭圆化简得：代入方程得：，，，故故选点睛：本题主要考查了三角函数的计算问题，以平面直角坐标系为载体，新定义坐标系，建立两坐标之间的关系，代入化简，由题意中的椭圆求出的值，再次代入求出结果，计算量比较大，有一定的难度。

高考一模理科数学试题含答案试卷分析解析

高考一模理科数学试题含答案试卷分析解析门头沟区高三综合练习（一）数学（理） .4一、选择题（本大题共8个小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 设全集U = {}0,1,2,3,4,5，集合{1,3},{3,5}A B ==，则U ()C AB =A ．｛0，4｝B ．｛1，5｝C ．｛2，0，4｝D ．｛2，0，5｝2. 复数z 满足23zi i=-，复数z 对应的点在复平面的A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限 D. 第四象限3.对于函数()sin (,,)f x a x bx c a b R c Z =++∈∈,计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和24. 抛物线28y x =焦点F 到双曲线22:13y C x -=的一条渐近线的距离是 A ．1 B ．2 C ．3 D 35. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为 A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里//,90AB CD DAB ∠=，且6.在直角梯形ABCD 中，222,AB CD AD P ===是BC 的中点，则PD PA ?为A ．94 B ．3 C ．2 D ．52DCP7. 已知函数)sin()(?ω+=x A x f )||,0,0(π?ω<>>A 的部分图像如图所示，则“2m ≥”是“函数()f x m ≤对[0,8]x ∈恒成立”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8.某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。

高考一模数学试卷(理)含答案试卷分析解析

太原五中-第二学期阶段性检测高三数学（理）出题人、校对人：刘晓瑜、郭舒平、董亚萍、刘锦屏、凌河、闫晓婷（.4.2）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知{}{}2ln(1),2,xP x y x Q y y x P ==-==∈,则=PQ （）.A (0,1) .B 1(,1)2 .C 1(0,)2.D (1,2)2、已知复数(2a iz i i+=-为虚数单位)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是（）.A 1(2,)2- .B 1(,2)2- .C (,2)-∞- .D 1(+)2∞， 3、在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若直线cos cos 0bx y A B ++=与cos cos 0ax y B A ++=平行，则ABC ∆一定是（）.A 锐角三角形 .B 等腰三角形 .C 直角三角形 .D 等腰或直角三角形4、在区间[1,5]随机地取一个数m ，则方程22241x m y +=表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是（）.A 15 .B 14 .C 35 .D 345、若2012(21)n n n x a a x a x a x +=++++的展开式中的二项式系数和为32，则12+n a a a ++=（）.A 241 .B 242 .C 243 .D 2446、《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的m 的值为0，则输入的a 的值为（）.A 218 .B 4516 .C 9332.D 189647、已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（）.A 若30a >，则20150a < .B 若40a >，则20140a < .C 若30a >，则20150S > .D 若40a >，则20140S >8、已知k R ∈，点(,)P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（）.A 15 .B 9 .C 1 .D 53-9、若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使00+20x ay +≤成立，则实数a 的取值范围是（）.A 1a ≤- .B 1a <- .C 1a > .D 1a ≥10、平行四边形ABCD 中，1,1,2-=⋅==AD AB AD AB ，点M 在边CD 上，则MB MA ⋅的最大值为（）.A 5 .B 2 .C 1- .D 111、已知12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若a AF 21=，3221π=∠AF F ，则=∆∆221ABF F AF S S （）.A 1 .B 21 .C 31 .D 3212、不等式2ln (2)2x x x m x m ++-≤有且只有一个整数解，则m 的取值范围为（）.A [1,)-+∞ .B (,44ln 2][1,)-∞---+∞ .C (,33ln3][1,)-∞---+∞ .D (44ln 2,33ln3][1,)-----+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题—第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13、121(1sin 2)x x dx --+=⎰.14、已知函数()x f x e =，2()1(,)g x ax bx a b R =++∈，当0a =时，若()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，则b 的取值范围是 .15、如图是某四面体的三视图，则该四面体的体积为 .16、已知数列{}n a 满足22(2)(2)n n na n a n n λ+-+=+，其中121,2a a ==，若1n n a a +<对n N *∀∈恒成立，则实数λ的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）已知23BAC P π∠=，为BAC ∠内部一点，过点P 的直线与BAC ∠的两边交于点,B C ，且,3PA AC AP ⊥=.（1）若3AB =，求PC ；（2）求11PB PC+的取值范围. 18、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 的交点为O ,2,6,60PD PB AB PA BCD ====∠=.（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）在棱CD 上是否存在点M ，使平面ABP 与平面MBP 所成锐二面角的余弦值为55?若存在，请指出M 点的位置；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分12分）正视图侧视图俯视图12 212 APBCD OA CPB在2月K12联盟考试中，我校共有500名理科学生参加考试，其中语文考试成绩近似服从正态分布2(95,17.5)N ，数学成绩的频率分布直方图如图：（1）如果成绩大于130的为特别优秀，这500名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（1）中的这些同学中随机抽取3人，设三人中两科都特别优秀的有X 人，求X 的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀？ ①若X ~2(,)N μσ，则()0.68,(22)0.96P X P X μσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=②22()=()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++③20()P K K ≥0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001 0K0.455 0.708…6.6357.87910.82820、（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C ，F 为左焦点，A 为上顶点，)0,2(B 为右顶点，若AB AF 27=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；数学成绩50 70 150 130110 90 0.00120.008 0.0088 0.024频率/组距（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得OMN OPQ S S ∆∆=21？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由.21、（本小题满分12分）已知函数()(2)()xf x x e ax =--.（1）当0a >时，讨论)(x f 的极值情况；（2）若(1)[()]0x f x a e --+≥，求a 的值.请考生从第22、23 题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.22、（本小题满分10分）【选修4——4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2+2cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线3C 的极坐标方程为=(0)6πθρ>.（1）求曲线1C 的普通方程和3C 的直角坐标方程；（2）设3C 分别交1C 、2C 于点P 、Q ，求1C PQ ∆的面积. 23、（本小题满分10分）【选修4——5：不等式选讲】已知函数()||21f x x m x =++-. （1）当=1m 时，解不等式()3f x ≥；（2）若14m <，且当[,2]x m m ∈时，不等式1()12f x x ≤+恒成立，求实数m 的取值范围．理科数学参考答案1.B2.C3.C 【解析】由两直线平行可得cos cos 0b B a A -=，由正弦定理可得sin cos sin cos 0B B A A -=，即11sin 2sin 222A B =，又,(0,)+(0,)A B A B ππ∈∈，，所以22A B =或2+2=A B π，即A B =或+=2A B π，当A B =时，cos cos a b A B ==，，此时两直线重合，不符合题意，舍去.则ABC ∆是直角三角形. 4. B 5. B 6.C7.C 【解析】等比数列的公比0q ≠，若30a >，则2201411201510,0,0a q a a a q>∴>∴=>，所以A 错误；若40a >，则3201311201410,0,0a q a q a a q>∴>∴=>，所以B 错误；若30a >，则312=0,1a a q q>∴=时，20150S >，1q ≠时，201512015(1)=0(11a q S q q ->--与20151q -同号），所以C 一定成立；易知D 不成立. 8.B 【解析】由题意得：d =≤，且2230k k -+>，解得31k -≤≤ .2222222=()()4(23)323ab a b a b k k k k k +-+=--+=+-，所以：当=3k -时，ab 取到最大值9.9. A 【解析】由线性区域可得00y >，由题意得0max 02()x a y +≤-，002yx +表示(2,0)-与00(,)x y 031y ，所以002713x y +-≤-≤-，1a ≤-.10.B 11.B12.D 【解析】由2ln (2)2x x x m x m ++-≤得2ln 2(2)x x x x x m +-≤-，所以当2x >时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≥-只有一个整数解或当02x <<时，满足2ln 2(2)x x x xm x +-≤-只有一个整数解.令2ln 2()(2)x x x x f x x +-=-，所以222ln 32()(2)x x x f x x -+-'=-，令2()2ln 32g x x x x =-+-，得(21)(2)()x x g x x--'=-，所以()g x 在(0,2)单调递增，(2)+∞，单调递减，所以max ()(2)2ln 24622ln 20g x g ==-+-=>，又(1)0g =， (3)2ln 320,(4)4ln 260g g =->=-<，所以存在0(3,4)x ∈，使0()=0g x ，所以()f x 在(0,1)，0(,)x +∞单调递减，在(1,2)，0(2,)x 单调递增，所以当(0,2)x ∈时，min ()(1)1f x f ==-，当(2,)x ∈+∞时，max 0()()f x f x =，又(3)33ln3(1),(4)44ln 2(1)f f f f =--<=--<，且16(3)(4)ln027ef f -=>，所以2ln 2(2)x x x x x m +-≤-有且只有一个整数解的解为1x =或3x =，所以(1)m f >或(4)(3)f m f <≤，即1m ≥-或44ln 233ln3m --<≤--13.2π 14. 1 15. 2 16. [0,)+∞17. 【解析】（1）2=326BAC PAC BAP πππ∠=∠∴∠=，，，在PAB ∆中，由余弦定理知2222cos36PB AP AB AP AB π=+-=，得PB AP ，则233BPA APC ππ∠=∠=，.在直角APC ∆中，=23cos3AP PC π=.（2）设APC θ∠=，则6ABP πθ∠=-，在直角APC ∆中，=cos APPC θ，在PAB ∆中，由正弦定理知,sin()sin2sin()666AP PB AP PB πππθθ=∴=-- .所以2sin()11cos 3sin 6=sin PB PC AP AP APπθθθθ-++==，由题意知1,sin 1622ππθθ<<∴<<，所以11PB PC +的取值范围是1(,1)2. 18.【解析】（Ⅰ）证明：∵ PD ＝PB ，且O 为BD 中点，∴ PO ⊥BD. 在菱形ABCD 中，∵ ∠BCD ＝600，AB ＝2，∴ OA ＝3，OB ＝1. 又PB ＝2， ∴ PO ＝ 3.∵ PA ＝6，∴ PA 2＝PO 2＋OA 2，PO ⊥OA. ∵ BD ∩AO ＝O ，∴ PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）建立如图所示坐标系，则A(3，0，0)，B(0，1，0)，C(－3，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，3).∴ → AB ＝(－3，1，0)，→ BP ＝(0，－1，3)，→ BC ＝(－3，－10)，→ CD ＝(3，-1，0)，设平面ABP 的一个法向量为n 1，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·→ AB ＝0n 1·→ BP ＝0 得n 1＝(1，3，1)设→ CM ＝λ→ CD ，则→ BM ＝→ BC ＋→ CM ＝→ BC ＋λ→CD ＝(3(λ-1)，－(λ+1)，0).设平面BPM 的一个法向量为n 2，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·→ BM ＝0n 2·→BP ＝0 得n 2＝(λ+1，3(λ－1)，λ－1) 由 |cos < n 1，n 2>|＝|5λ－3|5(λ+1)2+4(λ－1)2＝55 得 5λ2－6λ＋1＝0，∴ λ＝1或λ＝15 . 即，当点M 与点D 重合或|→ CM|＝15 |→ CD|时，锐二面角的余弦值为55.19.【解析】解：（1）∵语文成绩服从正态分布2(95,17.5)N ， ∴语文成绩特别优秀的概率为11(130)(10.96)0.022p P X =≥=-⨯=， zA PB CDOx y M数学成绩特别优秀的概率为20.0012200.024p =⨯=， ∴语文特别优秀的同学有5000.02=10⨯人，数学特别优秀的同学有5000.024=12⨯人．（2）语文数学两科都优秀的有6人，单科优秀的有10人，X 的所有可能取值为0,1,2,3，321101063316161231066331616327(0),(1),1456151(2),(3),5628C C C P X P X C C C C C P X P X C C ============∴X 的分布列为：X0 1 2 3P314 2756 1556 1283271519()0123145656288E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）2×2列联表：语文特别优秀语文不特别优秀合计数学特别优秀 6 6 12 数学不特别优秀4 484 488 合计10490500∴22500(648446)=144.5 6.6351049012488K ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯ ∴有99%以上的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．20. 【解析】（Ⅰ）依题意可知=，即2227b a a +=，由右顶点为)0,2(B ，得2=a ，解得32=b ，所以1C 的标准方程为13422=+y x . （Ⅱ）依题意可知2C 的方程为x y 42-=，假设存在符合题意的直线，设直线方程为1-=ky x ，),(11y x P ，),(22y x Q ，),(33y x M ，),(44y x N ,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ky x ，得096)43(22=--+ky y k ，由韦达定理得436221+=+k k y y ，439221+-=k y y ，则431122221++=-k k y y ，联立方程组⎩⎨⎧-=-=xy ky x 412，得0442=-+ky y ，由韦达定理得k y y 443-=+，443-=y y ，所以14243+=-k y y ，若OMN OPQ S S ∆∆=21，则432121y y y y -=-，即1243112222+=++k k k ，解得36±=k ，所以存在符合题意的直线方程为0136=++y x 或0136=+-y x . 21.【解析】（1）已知()()(2)()(1)2(1)(1)(2)x x x xf x e ax x e a x e a x x e a '=-+--=---=--因为0a >，由()0f x '=得1x =或ln 2x a =.① 当=2e a 时，()(1)()0xf x x e e '=--≥，()f x 单调递增，故()f x 无极值； ② 当02ea <<时，ln21a <，则所以：()f x 有极大值2(ln 2)=(ln 22)f a a a --，极小值(1)=f a e - ③2ea >时，ln21a >，则所以：()f x 有极大值(1)=f a e -，极小值2(ln 2)=(ln 22)f a a a -- 综上所述：02e a <<时，()f x 有极大值2(ln 22)a a --，极小值a e -； =2ea 时，()f x 无极值；2e a >时，()f x 有极大值a e -，极小值2(ln 22)a a --；（2）令()()g x f x a e =-+，则(1)()0x g x -≥，且()()(1)(2)xg x f x x e a ''==--①0a ≤时，20xe a ->，所以当1x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g >=，此时(1)()0x g x -<，不满足题意；③ 由于()g x 与()f x 由相同的单调性，由（1）知a.当=2ea 时，()g x 在R 上单增，且(1)=0g ，所以1x ≥时，()0g x ≥，1x <时，()0g x <，所以当=2ea 时，恒有(1)()0x g x -≥，满足题意； b.当02ea <<时，()g x 在(ln 2,1)a 上单减，所以(ln 2,1)x a ∈时，()(1)=0g x g >，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；c.当2ea >时，()g x 在(1,ln 2)a 递减，所以当(1,ln 2)x a ∈时，()(1)=0g x g <，此时 (1)()0x g x -<，不满足题意；综上：=2e a .22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程：22(2)4x y -+=，即22-40x y x +=.所以1C 的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即=4cos ρθ. 曲线3C的直角坐标方程：(0)y x x =>，...........5分（2）依题意，设点P 、Q 的极坐标分别为12(,),(,)66ππρρ. 将=6πθ代入=4cos ρθ，得1ρ，将=6πθ代入=2sin ρθ，得2=1ρ，所以121PQ ρρ=-=，依题意得，点1C 到曲线=6πθ的距离为1sin16d OC π==.所以1111(231)222C PQ S PQ d ∆===. ......10分 23. 【解析】（1）当=1m 时，()|1|21f x x x =++-，则-3(1)1()2-(1)213()2x x f x xx x x ⎧⎪<-⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，由()3f x ≥解得1x ≤-或1x ≥，即原不等式的解集为(,1][1,)-∞-⋃+∞........5分（2）1()12f x x ≤+，即11+2-1122x m x x +≤+，又[,2]x m m ∈且14m <，所以10,4m <<且0x > 所以11+121222m x x x ≤+--.即221m x x ≤+--.令()221t x x x =+--，则131(0)2()13()2x x t x x x ⎧+<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，所以[,2]x m m ∈时，min ()()=31t x t m m =+，所以31m m ≤+，解得12m ≥-，所以实数m 的取值范围是1(0,)4. ......10分。

广西南宁市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

广西南宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4） D．（﹣5，4）2．已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．53．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组4．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣ B．23 C．12 D．115．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±6．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．217．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．28．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y+的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．119．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．2110．已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m•f（m）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．211．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N 在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．212．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若∀x1∈[m，﹣2），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（+3）（﹣）5的展开式中的常数项为．14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）是抛物线C上一点，圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A，若=2，则p=．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48a i=5M，则i=．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1=3，E 是线段A1B1上一点，若二面角A﹣BD﹣E的正切值为3，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的表面积为．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且accosB﹣bccosA=3b2．（1）求的值；（2）若角C为锐角，c=，sinC=，求△ABC的面积．18．某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为X，从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为Y，求X与Y的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义．下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．20．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）设g（x）=﹣，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设实数x，y满足x+=1．（1）若|7﹣y|＜2x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥xy．广西南宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2+5x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣5，0）B．（﹣3，0）C．（0，4） D．（﹣5，4）【考点】交集及其运算．【分析】求出关于A的解集，从而求出A与B的交集．【解答】解：∵A={x||x2+5x＞0}={x|x＜﹣5或x＞0}，B={x|﹣3＜x＜4}，∴A∩B={x|0＜x＜4}，故选：C．2．已知复数z满足=（a∈R），若z的虚部为﹣3，则z的实部为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z的虚部为﹣3求得a值，则答案可求．【解答】解：∵=，∴=（2+ai）（1﹣i）=2+a+（a﹣2）i，∴a﹣2=﹣3，即a=﹣1．∴实部为2+a=2﹣1=1．故选：B．3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为[80，82），[82，84），[84，86），[86，88），[88，90），[90，92），[92，94），[94，96]，则样本的中位数在（）A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图求出前4组的频数为22，且第四组的频数8，即可得到答案．【解答】解：由图可得，前第四组的频率为（0.0375+0.0625+0.075+0.1）×2=0.55，则其频数为40×0.55=22，且第四组的频数为40×0.1×2=8，故中位数落在第4组，故选：B4．已知数列{a n}满足：=，且a2=2，则a4等于（）A．﹣ B．23 C．12 D．11【考点】等比数列的通项公式．【分析】数列{a n}满足：=，可得a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足：=，∴a n+1+1=2（a n+1），即数列{a n+1}是等比数列，公比为2．则a4+1=22（a2+1）=12，解得a4=11．故选：D．5．已知角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），若sinθ=2sin cos，则实数a等于（）A．﹣B．﹣C．±D．±【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：2sin2﹣1=﹣cos=﹣，2sin cos=﹣，∵角θ的终边过点（2sin2﹣1，a），sinθ=2sin cos，∴=﹣，∴a=﹣，故选B．6．执行如图的程序框图，若输入k的值为3，则输出S的值为（）A．10 B．15 C．18 D．21【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5，S=15时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=3，n=1，S=1满足条件S＜kn，执行循环体，n=2，S=3满足条件S＜kn，执行循环体，n=3，S=6满足条件S＜kn，执行循环体，n=4，S=10满足条件S＜kn，执行循环体，n=5，S=15此时，不满足条件S＜kn=15，退出循环，输出S的值为15．故选：B．7．已知非零向量、满足|﹣|=|+2|，且与的夹角的余弦值为﹣，则等于（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量的平方即为模的平方．可得•=﹣2，再由向量的夹角公式：cos＜，＞=，化简即可得到所求值．【解答】解：非零向量、满足|﹣|=|+2|，即有（﹣）2=（+2）2，即为2+2﹣2•=2+4•+42，化为•=﹣2，由与的夹角的余弦值为﹣，可得cos＜，＞=﹣==，化简可得=2．故选：D．8．如果实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y+的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．11【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移直线，得到最优解，求出斜率的最值，即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由u=3x+2y，平移直线u=3x+2y，由图象可知当直线u=3x+2y经过点A时，直线u=3x+2y的截距最大，此时u最大．而且也恰好是AO的连线时，取得最大值，由，解得A（1，2）．此时z的最大值为z=3×1+2×2+=9，故选：C．9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．15 C．18 D．21【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为4，3，3的长方体，切去一半得到的，其直观图如下所示：其体积为：×4×3×3=18，故选：C10．已知函数f（x）=设m＞n≥﹣1，且f（m）=f（n），则m•f（m）的最小值为（）A．4 B．2 C．D．2【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用．【分析】做出f（x）的图象，根据图象判断m的范围，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：做出f（x）的函数图象如图所示：∵f（m）=f（n），m＞n≥﹣1，∴1≤m＜4，∴mf（m）=m（1+）=m+≥2．当且仅当m=时取等号．故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），M、N 在双曲线C上，O是坐标原点，若四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为cb，则双曲线C的离心率为（）A．B．2 C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，四边形OFMN 的面积为cb，由x0=﹣，丨y0丨=b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）焦点在x轴上，设M（x0，y0），y0＞0，由四边形OFMN为平行四边形，∴x0=﹣，四边形OFMN的面积为cb，∴丨y0丨c=cb，即丨y0丨=b，∴M（﹣，b），代入双曲线可得：﹣=1，整理得：，由e=，∴e2=12，由e＞1，解得：e=2，故选D．12．已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若∀x1∈[m，﹣2），∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2D．﹣3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数先求出函数g（x）的最小值，再根据函数f（x）的图象和性质，即可求出m的最小值【解答】解：∵g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，∴g′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1），则当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，∴g（x）min=g（1）=2，∵f（x）=﹣x2﹣6x﹣3=﹣（x+3）2+6≤6，作函数y=f（x）的图象，如图所示，当f（x）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，则m的最小值为﹣5，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（+3）（﹣）5的展开式中的常数项为40．【考点】二项式定理的应用．【分析】把（﹣）5按照二项式定理展开，可得（+3）（﹣）5的展开式中的常数项．【解答】解：（+3）（﹣）5 =（+3）（﹣•2x+•4﹣•8x ﹣2+•16﹣•32x﹣5），故展开式中的常数项为•4=40，故答案为：40．14．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）是抛物线C上一点，圆M与y轴相切且与线段MF相交于点A，若=2，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设M到准线的距离为|MB|，则|MB|=|MF|，利用=2，得x0=p，即可得出结论．【解答】解：设M到准线的距离为|MB|，则|MB|=|MF|，∵=2，∴x0=p，∴2p2=8，∵p＞0，∴p=2．故答案为2．15．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48a i=5M，则i=6．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}，设公差为d，则，解得a1=，d=，所以该金杖的总重量M==15，因为48a i=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，即39+6i=75，解得i=6，故答案为：6．16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，AA1=3，E 是线段A1B1上一点，若二面角A﹣BD﹣E的正切值为3，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的表面积为35π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图所示，求出三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为，问题得以解决．【解答】解：过点E作EF∥AA1交AB于F，过F作FG⊥BD于G，连接EG，则∠EGF为二面角A﹣BD﹣E的平面角，∵tan∠EGF=3，∴=3，∵EF=AA1=3，∴FG=1，则BF==B1E，∴A1E=2，则三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为=，则其表面积为35π，故答案为：35π三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且accosB﹣bccosA=3b2．（1）求的值；（2）若角C为锐角，c=，sinC=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）根据余弦公式求出a2=4b2，根据正弦定理求出的值即可；（2）求出cosC的值，得到=以及==2，求出a，b的值，求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）∵accosB﹣bccosA=3b2，∴﹣=3b2，∴a2﹣b2=3b2，∴a2=4b2，∴=4，∴=2；（2）若角C为锐角，sinC=，∴cosC＞0，∴cosC==，∴=，∴=①，由（1）得，==2②，联立①②得：b=，a=2，∴S=absinC=•2•=2．18．某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班．在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下2×2列联表：非优良优良总计未设立自习室251540设立自习室103040总计354580（1）能否在在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）设从该班第一次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为X，从该班第二次月考的所有学生的数学成绩中任取2个，取到优良成绩的个数为Y，求X与Y的期望并比较大小，请解释所得结论的实际意义．下面的临界值表供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）求出K2，与临界值比较，即可得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）求出期望，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，K2==＞7.879，∴能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效；（2）X的取值为0，1，2，则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴E（X）=0×=．Y的取值为0，1，2，则：P（Y=0）==，P（Y=1）==，P（Y=2）==，E（Y）==．也即EX＜EY，其实际含义即表明设立自习室有效．19．如图，在四棱锥A﹣BCED中，AD⊥底面BCED，BD⊥DE，∠DBC=∠BCE═60°，BD=2CE．（1）若F是AD的中点，求证：EF∥平面ABC；（2）若AD=DE，求BE与平面ACE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取DB中点G，连结EG、FG．证面EGF∥平面ABC，即可得EF∥平面ABC．（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，则A（0，0，），E （0，，0），B（2，0，0），C（，，0）．求出平面ACE的法向量即可【解答】证明：（1）取DB中点G，连结EG、FG．∵F是AD的中点，∴FG∥AB．∵BD=2CE，∴BG=CE．∵∠DBC=∠BCE∴E、G到直线BC的距离相等，则BG∥CB，∵EG∩FG=G∴面EGF∥平面ABC，则EF∥平面ABC．解：（2）以点D为原点，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，设EC=1，则DB=2，取BC中点C，则EG∥BC，∴BC=3，∵AD=DE，则A（0，0，），E（0，，0），B（2，0，0），C（，，0）．，．设平面ACE的法向量，，令y=1，则，|cos|=．∴BE与平面ACE所成角的正弦值为：20．已知F1（﹣c，0）、F2（c、0）分别是椭圆G： +=1（0＜b＜a＜3）的左、右焦点，点P（2，）是椭圆G上一点，且|PF1|﹣|PF2|=a．（1）求椭圆G的方程；（2）设直线l与椭圆G相交于A、B两点，若⊥，其中O为坐标原点，判断O到直线l的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的定义，求得丨PF1丨=a=3|PF2|，根据点到直线的距离公式，即可求得c的值，则求得a的值，b2=a2﹣c2=4，即可求得椭圆方程；（2）当直线l⊥x轴，将直线x=m代入椭圆方程，求得A和B点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得O到直线l的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得O到直线l的距离为定值．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|=2a．由|PF1|﹣|PF2|=a．∴丨PF1丨=a=3|PF2|，则=3，化简得：c2﹣5c+6=0，由c＜a＜3，∴c=2，则丨PF1丨=3=a，则a=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意可知，直线l不过原点，设A（x1，x2），B（x2，y2），①当直线l⊥x轴，直线l的方程x=m，（m≠0），且﹣2＜m＜2，则x1=m，y1=，x2=m，y2=﹣，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，即m2﹣（4﹣）=0，解得：m=±，故直线l的方程为x=±，∴原点O到直线l的距离d=，②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+n，则，消去y整理得：（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8=0，x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=（kx1+n）（kx2+n）=k2x1x2+kn（x1+x2）+n2=，由⊥，∴x1x2+y1y2=0，故+=0，整理得：3n2﹣8k2﹣8=0，即3n2=8k2+8，①则原点O到直线l的距离d=，∴d2=（）2==，②将①代入②，则d2==，∴d=，综上可知：点O到直线l的距离为定值．21．已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；（2）设g（x）=﹣，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求导，再分类讨论，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数；（2）由题意，只要求出函数f（x）min＞0即可，利用导数和函数的最值的关系，进行分类讨论，即可得到a的范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣alnx，（x＞0），f′（x）=1﹣=，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）无极值；②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，f（x）有1个极小值点；（2）若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，＞0在[1，e]恒成立，令h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）最小值则h（x）=x﹣alnx+（a∈R），∴h′（x）=1﹣﹣=，①当1+a≤0，即a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，解得：a＞﹣2，即﹣2＜a≤﹣1，当a＞﹣1时①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min=f（e）=e+﹣a＞0，解得a＜，∵＞e﹣1，∴e﹣1≤a＜；②当0＜1+a≤1，即﹣1＜a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，解得a＞﹣2，故﹣2＜a＜﹣1；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，f（x）min=f（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴f（1+a）=a+2﹣aln（1+a）＞2，此时f（1+a）＞0成立，综上，﹣2＜a＜时，不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）对于曲线C：由ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，坐标化即可，对于l，消去t整理可得；（2）由（1）可知圆和半径，可得弦心距，进而可得弦长，可得面积．【解答】解：（1）对于曲线C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x．对于l：由（t为参数），消去t可得，化为一般式可得；（2）由（1）可知C为圆，且圆心为（2，0），半径为2，∴弦心距，∴弦长，∴以PQ为边的圆C的内接矩形面积[选修4-5：不等式选讲]23．设实数x，y满足x+=1．（1）若|7﹣y|＜2x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥xy．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，由x+=1，则y=4﹣4x，则|7﹣y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，解可得x的范围，即可得答案；（2）根据题意，由基本不等式可得1=x+≥2=，即≤1，用作差法分析可得﹣xy=（1﹣），结合的范围，可得﹣xy≥0，即可得证明．【解答】解：（1）根据题意，若x+=1，则4x+y=4，即y=4﹣4x，则由|7﹣y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，即﹣（2x+3）＜4x+3＜2x+3，解可得﹣1＜x＜0；（2）证明：x＞0，y＞0，1=x+≥2=，即≤1，﹣xy=（1﹣），又由0＜≤1，则﹣xy=（1﹣）≥0，即≥xy．3月30日。

山西省太原市高考数学一模试卷（理科）含答案解析

山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…9月9日。

优质解析：河北省衡水中学2023届高三下学期一模考试数学(理)试题(解析版)

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.设命题甲:2210ax ax ++>地解集是实数集R ；命题乙:01a <<,则命题甲是命题乙成立地（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】C 考点:必要不充分条件地判定.2.设,a b R ∈且0b ≠,若复数()3a bi +（i 为虚数单位）是实数,则（）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b=【解析】A【解析】试卷分析:由题意得()30312223332233333()()()(3)(3)a bi C a C a bi C a bi C bi a ab a b b i +=+++=-+-,所以2330a b b -=,即223b a =,故选A.考点:复数概念及二项式定理地应用.3.等差数列{}n a 中,2n na a 是一个与n 无关地常数,则该常数地可能值地集合为（）A ．{}1 B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】B【解析】试卷分析:由题意得,因为数列{}n a 是等差数列,所以设数列{}n a 地通项公式为1(1)n a a n d =+-,则21(21)n a a n d =+-,所以121(1)(21)n n a a n d a a n d +-=+-,因为2n na a 是一个与n 无关地常数,所以10a d -=或0d =,所以2n na a 可能是1或12,故选B.考点:等差数列地通项公式.4.ABC ∆中三边上地高依次为111,,13511,则ABC ∆为（）A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样地三角形【解析】C【解析】试卷分析:由题意得,根据三角形地面积相等11113511a b c ⨯=⨯=⨯,所以可设13,5,11a b c ===,由余弦定理得22251113cos 02511A +-=<⨯⨯,即(,)2A ππ∈,所以三角形为钝角三角形,故选C.考点:余弦定理地应用.5.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数,其导函数为()'f x ,且满足()()'20xf x f x +>,则不等式()()()201620165552016x f x f x ++<+地解集为（）A ．{}|2011x x >- B ．{}|2011x x <-C ．{}|20162011x x -<<- D ．{}|20110x x -<<【解析】C考点:函数单调性地应用及导数地运算.6.已知F 是椭圆22:1204x y C +=地右焦点,P 是C 上一点,()2,1A -,当APF ∆周长最小时,其面积为（）A ．4B ．8C ．【解析】A考点:椭圆地定义地应用.7.已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++,定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →,则()4,3,2,1f =（）A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2--【解析】C【解析】试卷分析:由43243212341234[(1)1][(1)1][(1)1][(1)1]x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=+-++-++-++-+所以()4,3,2,1f =432[(1)1]4[(1)1]3[(1)1]2[(1)1]1x x x x =+-++-++-++-+,所以102210143243234(1)40,(1)4(1)33,4,1b C C b C C C b b =-+==-+-+=-==-,故选C.考点:二项式定理地应用.8.如下图所示是一几何体地三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD 长为2,侧视图是一直角三角形,俯视图为一直角梯形,且1AB BC ==,则异面直线PB 与CD 所成角地正切值是（）A ．1BCD ．12【解析】C考点:空间几何体地三视图及异面直线所成角地计算.【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角地求法、以及空间几何体地三视图等知识地应用,着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想地应用,属于基础题,本题地解答中线将三视图转化为空间几何体,取AD 地中点E ,连接,,BE PE CE ,将CD 平移到BE ,根据异面直线所成角地定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角,在直角三角形PBE ∆中,即可求解角地正切值.9.某学校课题组为了研究学生地数学成绩和物理成绩之间地关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示:若数学成绩90分（含90分）以上为优秀,物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生地学生成绩与物理成绩有关系（）A ．99.9%B ． 99.5%C ．97.5%D ．95%参考数据公式:①独立性检验临界值表②独立性检验随机变量2K 地值地计算公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【解析】B考点:独立性检验地应用.10.在一个棱长为4地正方体内,你认为最多放入地直径为1地球地个数为（）A ．64B ．65C ．66D ．67【解析】C【解析】试卷分析:由题意得,底层可以16个,然后在底层每4个球之间放一个,第二层能放9个,依次类推,分别第三、第四、第五层能放16个、9个、16个,一共可放置1691691666++++=个,故选C.考点:空间几何体地机构特征.11.定义:分子为1且分母为正整数地分数成为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同地单位分数之和.如:1111111111111,1,1236246122561220=++=+++=++++,依次类推可得:11111111111111++++++26123042567290110132156m n =++++++,其中,,m n m n N +≤∈.设1,1x m y n ≤≤≤≤,则21x y x +++地最小值为（）A ．232 B ．52 C ．87 D ．343【解析】C【解析】试卷分析:由题意得,13,4520m n ==⨯=,则21111x y y x x +++=+++,因为1,1x m y n ≤≤≤≤,所以1,13y x ==时,21111x y y x x +++=+++有最小值,此时最小值为87,故选C.考点:归纳推理.【方法点晴】本题主要考查了归纳推理地应用,对于归纳推理是根据事物地前几项具备地规律,通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律,是一种特殊到一般地推理模式,同时着重考查了学生分析问题和解答问题地能力以及推理、计算能力,属于中档试卷,本题地解答中,根据式子地结构规律,得到,m n 地值是解答地关键.12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =地图像在4x π=-处相切,设()2x g x e bx a =++,若在区间[]1,2上,不等式()22m g x m ≤≤-恒成立,则实数m （）A ．有最小值e -B ．有最小值eC ．有最大值eD ．有最大值1e +【解析】D考点:利用导数研究曲线在某点地切线方程.【方法点晴】本题主要考查了导数地运用:求切线方程和判断函数地单调性,着重考查了函数地单调性地判定及应用、不等式地恒成问题地转化为函数地最值问题,属于中档试卷,通知考查了推理、运算能力和转化地数学思想方法地运用,本题地解答中根据题意先求得,a b 地值,得出函数()g x 地解析式,再判断函数()g x 地单调性与最值,把不等式地恒成转化为函数地最值问题,即可求解m 地取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每题5分,满分20分．）13.已知函数()2f x x ax =-地图像在点()()1,1A f 处地切线与直线320x y ++=垂直,执行如图所示地程序框图,输出地k 值是 .【解析】6考点:程序框图地计算与输出.14.在直角坐标系xOy 中,已知点()0,1A 和点()3,4B -,若点C 在AOB ∠地平分线上,且2OC = ,则OC = .【解析】(【解析】试卷分析:由题意得,1,2OA OB == ,设OC 与AB 交于(,)D x y 点,则:1:5AD BD =,即D 分有向线段AB 所成地比为15,所以110(3)14)1355,11221155x y +-⨯+⨯==-==++,即13(,)22D -,因为2OC = ,所以2(OD OC OD=⨯= ,即点C地坐标为(.考点:向量地运算.15.如图,将平面直角坐标系中地纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后,构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中,点(),P x y 地坐标定义如下:过点P 作两坐标轴地平分线,分别交两轴于,M N 两点,则M 在Ox 轴上表示地数为x ,N 在Oy 轴上表示地数为y .那么以原点O 为圆心地单位圆在此斜坐标系下地方程为 .【解析】2210x y xy ++-=考点:圆地一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关地新定义地运算问题,对于新定义试卷,要紧紧围绕新定义,根据新定义作出合理地运算与变换,同时着重考查了转化与化归地思想方法地应用,属于中档试卷,本题地解答中,设出(,)P x y 在直角坐标下地坐标为11(,)P x y ',建立两个点之间地变换关系,代入单位圆地方程,即可曲解轨迹方程,其中正确得到两点之间地变换关系是解答地关键.16.已知ABC ∆地面积为S ,内角,,A B C 所对地边分别为,,a b c ,且2sin C A 成等比数列,2213,218322b a c ac =≤+≤,地最小值为 .【解析】34考点:等比数列地应用；余弦定理及三角形地面积公式；导数地应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列地通项公式,余弦定理及三角形地面积公式、导数地综合应用,试卷有一点地难度,属于难题,着重考查了学生地推理、运算能力及转化与化归思想方法地应用,本题地解答中根据题设条件先得出c a =,在利用三角恒等变换和三角形地面积公式表示成三角形地面积,进而得到a 地取值范围,,利用导数研究其单调性确定最值即可.三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 地前n 项和为n S ,已知,12a =,且1234,3,2S S S 成等差数列.（1）求数列{}n a 地通项公式；（2）设25n n b n a =-⋅,求数列{}n b 地前n 项和n T .【解析】（1）()2n n a n N +=∈；（2）()16,110,234272,3n n n T n n n +⎧=⎪==⎨⎪+-⨯≥⎩.考点:等比数列通项公式及数列求和.18．（本小题满分12分）如图,四边形PCBM 是直角梯形,90,//,1,2PCB PM BC PM BC ∠=︒==,又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥,直线AM 与直线PC 所成地角为60︒.（1）求证:PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --地余弦值；（3）求点B 到平面MAC 地距离.【解析】（1）证明见解析；（2；（3.（2）在平面ABC 内,过点C 作BC 地垂线,并建立空间直角坐标系,如下图所示设()()()130,0,0,0,,0,1,,0,22P z CP z AM z z ⎫⎛⎫∴==--=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭cos 60cos AM CP AM CP AM CP ⋅︒=〈⋅==⋅0z>131,122z AM ⎛⎫=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭考点:直线与平面垂直地判定与证明；空间中二面角地求解；点到平面地距离.19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛,网上购物成为很多人地选择.某购物网站组织了一次促销活动,在网页地界面上打出广告:高级口香糖,10元钱三瓶,有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同地瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择（各种口味地高级口香糖均超过3瓶,且各种口味地瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应地口香糖）.（1）小王花10元钱买三瓶,请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢地草莓味口香糖瓶数ξ地分布列,并计算其数学期望和方差.【解析】（1）120种；（2）分布列见解析,38,2164.【解析】试卷分析:（1）若8种口味均不一样,有38C种,若其中两瓶口味一样,有1187C C种,若三瓶口味一样,有8种,由此能求出小王共有多少种选择方式；（2）由已知得1(3,)8Bξ ,由此能求出小王喜欢地草莓口香糖瓶数ξ地分布列、数学期望和方差.试卷解析:（1）若三瓶口味均不一样,有3856C =若其中两瓶口味不一样,有118756C C =,若三瓶口味一样,有8种,所以小王共有56+56+8=120种选择方式考点:排列组合地应用；离散型随机变量地期望与方差.20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>,其短轴地下端点在抛物线24x y =地准线上.（1）求椭圆1C 地方程；（2）设O 为坐标原点,M 是直线:2l x =上地动点,F 为椭圆地右焦点,过点F 作OM 地垂线与以OM 为直径地圆2C 相交于,P Q 两点,与椭圆1C 相交于,A B 两点,如下图所示.①若PQ =求圆2C 地方程；②设2C 与四边形OAMB 地面积分别为12,S S ,若12S S λ=,求λ地取值范围.【解析】（1）2212x y +=；（2）①()()22112x y -+-=或()()22112x y -++=；②,⎫+∞⎪⎪⎭.试卷解析:（1）椭圆短轴下端点在抛物线24x y =地准线上,1b ∴=c e a === ,a ∴=所以椭圆1C 地方程为2212x y +=（2）①由（1）,知()1,0F ,设()2,M t ,则2C 地圆心坐标为1,2t ⎛⎫⎪⎝⎭2C 地方程为()2221124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭,当0t =时,PQ 所在直线方程为1x =,此时2PQ =,与题意不符,不成立,0t ∴≠.∴可设直线PQ 所在直线方程为()()210y x t t=--≠,即()2200x ty t +-=≠又圆2C地半径r ==由2222PQ d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得()22211444t +⨯=+解得242t t =⇒=±∴圆2C 地方程为()()22112x y -+-=或()()22112x y -++==,即0t =时取等号又0,t λ≠∴>,当0t =时,直线PQ 地方程为1x =2AB OM ==,212S OM AB ∴=⨯=2112S OM ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭,12S S λ∴===综上,λ≥,所以实数λ地取值范围为,⎫+∞⎪⎪⎭.考点:椭圆地标准方程及其简单地几何性质；直线与圆锥曲线地位置关系地应用.【方法点晴】本题主要考查了圆地方程、椭圆地标准方程及其简单地几何性质、直线与圆锥曲线地位置关系地应用,着重考查了地参数地取值范围地求解及分类讨论地数学与思想方法地应用及推理、运算能力,属于中档试卷,解答时要认真审题,注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式地灵活应用,同时熟记基本地公式是解答此类问题地基础.21.（本小题满分12分）设a 为实数,函数()()211xf x x e a x -=--.（1）当1a =时,求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上地最大值；（2）设函数()()()11,xg x f x a x e-=+--当()g x 有两个极值点()1212,x x xx <时,总有()()'211x g x f x λ≤,求实数λ地值（()'f x 为()f x 地导函数）.【解析】（1）最大值是()11f =；（2）21ee λ≤+.试卷解析:（1）当1a =时,()()211xf x x ex -=--则()()21'211221x xx x x e fx x xee -----=--=,令()212x h x x x e -=--,则()'122x h x x e -=--显然()'h x 在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数,又'31042h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭ ,在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内,总有()'0h x <()h x ∴在区间3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数,又()10h =∴ 当3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x >,()'0f x ∴>,此时()f x 单调递增；当()1,2x ∈时,()0h x <()'0f x ∴<,此时()f x 单调递减；()f x ∴在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内地极大值也即最大值是()11f =①当10x =,11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立,R λ∈；②当()10,1x ∈时,1111210x x eeλ---+≤恒成立,111121x x e e λ--≥+令函数()11111122211x xx e k x e e ---==-++显然()k x 是R 内地减函数,当()0,1x ∈,()()22011e ek x k e e λ<=∴≥++③()1,0x ∈-∞时,1111210x x eeλ---+≥恒成立,即111121x x e e λ--≤+由②,当(),0x ∈-∞,()()201e k x k e >=+,即21e e λ≤+考点:利用导数研究函数地极值；利用导数研究函数地单调性；利用导数求闭区间上函数地最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数地单调性,函数地极值问题,取闭区间上地最值问题,着重考查了分类讨论地数学思想和转化与化归地思想方法,是一道综合试卷,试卷有一定地难度,本题解答中把不等式可化为11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦,对任意地()1,1x ∈-∞恒成立.通过讨论①当10x =时,②当1(0,1)x ∈时,③1(,1)x ∈-∞时地情况是解解答地难点.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图,ABC ∆内接于直径为BC 地圆O ,过点A 作圆O 地切线交CB 地延长线于点,P BAC ∠地平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ,若210PA PB ==.（1）求证:2AC AB =；（2）求AD DE ⋅地值.【解析】（1）证明见解析；（2）50.（2）由切割线定理,得2,20PA PB PC PC =⋅∴=,又5,15PB BC ==又AD 是BAC ∠地平分线,2AC CD AB DB∴==由相交弦定理,得50AD DE CD DB ⋅=⋅=.考点:圆地切割线定理；相似三角形地应用.23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化12,C C 地方程为普通方程,并说明他们分别表示什么曲线；（2）若1C 上地点P 对应地参数为,2t Q π=为2C 上地动点,求PQ 地中点M 到直线332:2x tC y t =+⎧⎨=-+⎩（t为参数）距离地最小值.【解析】（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+=；（2.试卷解析:（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+=1C 为圆心是()4,3-,半径是1地圆,2C 为中心是坐标原点,焦点在x 轴,长半轴长是8,短半轴长是3地椭圆.（2）当2t π=时,()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-,故324cos ,2sin 2M θθ⎛⎫-++⎪⎝⎭3C 地普通方程为270x y --=,M 到3C 地距离3sin 13d θθ=--所以当43cos ,sin 55θθ==-时,d .考点:圆地参数方程；点到直线地距离公式；直线地参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()()21f x x a x a R =---∈.（1）当3a =时,求函数()f x 地最大值；（2）解关于x 地不等式()0f x ≥.【解析】（1）2；（2）当1a >时,不等式地解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,当1a =时,不等式地解集为{}|1x x =当1a <,不等式地解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.试卷解析:（1）当3a =时,()()()()1,332135,131,1x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩所以当1x =,函数()f x 取得最大值2.（2）由()0f x ≥,得21x a x -≥-两边平方,得()()2241x a x -≥-即()2232440x a x a +-+-≤得()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,所以当1a >时,不等式地解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当1a =时,不等式地解集为{}|1x x =当1a <,不等式地解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点:绝对值不等式地求解.。

高考第一次模拟考试数学(理)试题含答案试卷分析详解

高三数学考试（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1z i =-+，则22z z z +=+（）A ．-1B ．1C ．i -D ．i2.设全集()U =+∞，集合2{|142}A x x =<-≤，则U C A =（） A．([3,)+∞ B．([3,)+∞ C．((3,)+∞ D．[(3,)+∞3.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8，0.7，0.6，只有通过前一天才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手只闯过前两关的概率为（） A ．0.56 B ．0.336 C ．0.32 D ．0.2244.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 20sin ab C B =，2241a c +=，且8cos 1B =，则b =（）A ．6 B．C ．D ．75.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．4B ．5C ．6D ．76.若函数221,1()1,1x x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（） A ．[2,3] B ．[2,)+∞ C ．[1,3] D ．[1,)+∞7.记不等式组22220x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(,)x y .有下面四个命题：1p ：P ∀∈Ω，x y-的最小值为6；2p ：P ∀∈Ω，224205x y ≤+≤； 3p ：P ∀∈Ω，x y-的最大值为6；4p ：P ∀∈Ω，22x y ≤+≤其中的真命题是（） A ．1p ，4p B ．1p ，2p C ．2p ，3p D ．3p ，4p8.若(12)n x x -的展开式中3x 的系数为80，其中n 为正整数，则(12)nx x -的展开式中各项系数的绝对值之和为（）A ．32B ．81C ．243D ．256 9.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（）A ．B ．C ．D ．10.若仅存在一个实数(0,)2t π∈，使得曲线C ：sin()(0)6y x πωω=->关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（）A ．17[,)33B ．410[,)33C ．17(,]33D ．410(,]3311.设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --的H R =（）A ．5B ．6C ．7D ．812.设双曲线Ω：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点与右焦点分别为A ，F ，以线段AF 为底边作一个等腰AFB ∆，且AF 边上的高h AF=.若AFB ∆的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e ，则下列判断正确的是（）A ．存在唯一的e ，且3(,2)2e ∈B ．存在两个不同的e ，且一个在区间3(1,)2内，另一个在区间3(,2)2内 C ．存在唯一的e ，且3(1,)2e ∈ D ．存在两个不同的e ，且一个在区间3(1,)2内，另一个在区间3(,2)2内第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.在平行四边形ABCD 中，若AD AC BA λμ=+，则λμ+= ．14.若圆C ：221()2x y n m ++=的圆心为椭圆M ：221x my +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则圆C 的标准方程为．15.若22cos ()422παβ--13sin()αβ=+-，,(0,)2παβ∈，则tan tan αβ= ．16.已知集合1{|}2M x x =≥-，32{|310}A x M x x a =∈-+-=，{|20}B x M x a =∈--=，若集合A B 的子集的个数为8，则a 的取值范围为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n n n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-.（1）求n nT S -；（2）求数列{}2n n b的前n 项和n R .18.某大型超市在元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有3个红球，3个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取3个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；③若取得的3个小球只有1种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的3个小球有3种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的3个小球只有2种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.（1）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；（2）记一次抽奖获得的红包奖金数（单位：元）为X ，求X 的分布列及数学期望，并计算这20位顾客（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值.19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点，M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明：1A E ⊥平面1AC D；（2）若NE 与平面11BCC B所成角的正弦值为，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.20.已知0p >，抛物线1C ：22x py =与抛物线2C ：22y px =异于原点O 的交点为M ，且抛物线1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .（1）若直线1y x =+与抛物线1C交于点P ，Q，且PQ =OP OQ ⋅；（2）证明：BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为定值.21.已知函数2()3x f x e x =+，()91g x x =-.（1）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明；（2）当0x a <≤时，45()x xe x f x a ++->，且2(3)350m m e m m --++=(02)m <<，证明：0a m <<.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线M的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 为参数，且0t >），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()413f x x x =-+--.（1）求不等式()2f x ≤的解集；（2）若直线2y kx =-与函数()f x 的图象有公共点，求k 的取值范围.高三数学详细参考答案（理科）一、选择题1-5: ABDAC 6-10: ACCBD 11、12：CA 二、填空题13. 2 14. 22(1)4x y ++= 15. 2 16.51[,1)(1,)28--- 三、解答题17.解：（1）依题意可得113b a -=，225b a -=，…，21n n n b a -=+，∴n n T S -1212()()n n b b b a a a =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+2(222)n n =+++⋅⋅⋅+122n n +=+-.（2）∵2n n n S S T =+()n n T S --2n n =-，∴22n n nS -=， ∴1n a n =-.又21n n n b a -=+，∴2n n b n=+.∴122n nn b n=+， ∴n R n =+212()222n n ++⋅⋅⋅+，则1122n R n =+23112()222n n +++⋅⋅⋅+， ∴1122n R n =+21111()2222n n n+++⋅⋅⋅+-，故111222112n n R n +-=+⨯-2222n n n n n +-=+-. 18.解：（1）获得抽奖机会的数据的中位数为110，平均数为1(10110210410810911++++110112115188189200)++++++143813111=≈ .（2）X 的可能取值为2，5，10，(10)P X =272235C ==，(5)P X =113327935C C C ==， (2)P X =21342722435C C C ==，则X 的分布列为故249()253535E X =⨯+⨯2113103535+⨯=.这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会.所以这20位顾客在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值为1131445.235⨯=元.19.解：（1）证明：由已知得111A B C ∆为正三角形，D 为棱11A B 的中点，∴111C D A B ⊥，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，则11AA C D⊥.又1111A B AA A =，∴1C D ⊥平面11ABB A ，∴11C D A E⊥. 易证1A E AD⊥，又1AD C D D=，∴1A E ⊥平面1AC D.（2）解：取BC 的中点O ，11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥，1OO BC⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)B ，(0,1,1)E ，1(0,1,2)C -，1(,2)22D ，设11C N C Dλ=3,,0)2λ=，则11NE C E C N=-3(0,2,1),,0)2λ=--3(,2,1)2λ=--，易知(1,0,0)n =是平面11BCC B 的一个法向量，∴cos ,NE n <>==，解得13λ=.∴3(,1)2NE =--，112C M C D λ==，11BM BC C M =+1,2)=-，，∴cos ,NE BM <>132---=40=-， ∴异面直线NE 与BM所成角的余弦值为.20.（1）解：由212y x x py =+⎧⎨=⎩，消去y 得2220x px p --=.设P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则122x x p+=，122x x p=-.∴PQ==0p >，∴1p =.∴1212OP OQ x x y y ⋅=+1212(1)(1)x x x x =+++121221x x x x =+++4211=-++=-.（2）证明：由2222y px x py ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2x y p ==或0x y ==，则(2,2)M p p .设直线AM ：12(2)y p k x p -=-，与22x py =联立得221124(1)0x pk x p k ---=.由222111416(1)0p k p k ∆=+-=，得21(2)0k -=，∴12k =.设直线BM ：22(2)y p k x p -=-，与22y px =联立得222224(1)0k y py p k ---=.由22222416(1)0p p k k ∆=+-=，得22(12)0k -=，∴212k =.故直线AM ：22(2)y p x p -=-，直线BM ：12(2)2y p x p -=-，从而不难求得(,0)A p ，(2,0)B p -，(0,)C p ， ∴2BOC S p ∆=，23ABM S p ∆=，∴BOC ∆的面积与四边形AOCM 的面积之比为222132p p p =-（为定值）.21.（1）解：()()f x g x >. 证明如下：设()()()h x f x g x =-2391x e x x +-+，∵'()329xh x e x =+-为增函数，∴可设0'()0h x =，∵'(0)60h =-<，'(1)370h e =->，∴0(0,1)x ∈.当0x x >时，'()0h x >；当x x <时，'()0h x <.∴min 0()()h x h x =0200391x e x x =+-+，又003290x e x +-=，∴00329x e x =-+，∴2min 000()2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+00(1)(10)x x =--.∵0(0,1)x ∈，∴00(1)(10)0x x -->，∴min ()0h x >，()()f x g x >.（2）证明：设()45()x x xe x f x ϕ=++-2(3)45(0)x x e x x x =--++>，令'()(2)(2)0xx x e ϕ=--=，得1ln 2x =，22x =，则()x ϕ在(0,ln 2)上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增.2(2)92e ϕ=-<，设()2(ln 22)t t ϕ=<<，∵2(3)350m m e m m --++=(02)m <<， ∴2(3)45m m e m m m --++=(02)m <<，即()m m ϕ=(02)m <<. 当0a t <<时，()(0)2x a ϕϕ>=>，则45()xxe x f x a ++->. 当t a m ≤≤时，min ()()x a ϕϕ=，∵45()xxe x f x a ++->，∴()a a ϕ>，∴t a m ≤<. 当2m a <<或2a ≥时，不合题意. 从而0a m <<.22.解：（1）∵y tx =，∴x x =，即2)y x =-，又0t >0>，∴2x >或0x <，∴曲线M的普通方程为2)y x =-（2x >或0x <）.∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，∴224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=.（2）由222)40y x x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩得2430x x -+=， ∴11x =（舍去），23x =，第11页共11页则交点的直角坐标为，极坐标为)6π. 23.解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4282x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[0,5].（2）()413f x x x =-+--22,10,1428,4x x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示，直线2y kx =-过定点(0,2)C -，当此直线经过点(4,0)B 时，12k =；当此直线与直线AD 平行时，2k =-. 故由图可知，1(,2)[,)2k∈-∞-+∞.。

高三数学一模考试试题理含解析试题

宁夏第三中学2021届高三数学一模考试试题理〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

第一卷〔选择题〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1.实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，那么()R A C B ⋂=〔〕 A. {|12}x x <≤ B. {|13}x x << C. {|23}x x ≤<D. {|12}x x <<【答案】A 【解析】【分析】0>可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.0>,得2x >,即(2,)B =+∞, 所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 应选:A【点睛】此题考察了集合的补集和交集的混合运算,属于根底题. 2.复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，那么z 等于〔〕A. 2iB. 2i -C. iD. i -【答案】A 【解析】【分析】对复数z 进展化简，由于z 为纯虚数，那么化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z .【详解】()()()()()221222111122ai i a i i a i a a z ii i i i +-+--+-+====+-++-因为z 为纯虚数，所以202a-=，得2a = 所以2z i =. 应选A 项【点睛】此题考察复数的四那么运算，纯虚数的概念，属于简单题. 3.假设θ是第二象限角且sin θ =1213，那么tan()4πθ+= A. 177-B. 717- C. 177D.717【答案】B 【解析】由θ是第二象限角且sin θ =1213知：5cos 13θ==-，5t n 1a 2θ-=．所以tan tan 457tan()41tan tan 4517πθθθ+︒+==--︒．4.设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，假设AN AB AC λμ=+，那么λμ+的值是( ) A. 1 B.12C.13D.14【答案】B 【解析】【分析】设BM tBC =，通过12AN AM =，再利用向量的加减运算可得122t t AN AB AC -=+，结合条件即可得解.【详解】设BM tBC =，那么有()()11111122222222t t t AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -==+=+=+-=+. 又AN AB AC λμ=+，所以122t t λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有11222t t λμ-+=+=. 应选B.【点睛】此题考察了向量一共线及向量运算知识，利用向量一共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题.5.空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，以下命题正确的选项是〔〕 A. 假设m α且n α，那么m n B. 假设m β⊥且m n ⊥，那么n βC. 假设m α⊥且m β，那么αβ⊥D. 假设m 不垂直于α，且n ⊂α，那么m 不垂直于n 【答案】C 【解析】因答案A 中的直线m n ，可以异面或者相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的断定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ．6.近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用处，随机抽取了56290名大学生进展调查，各主要用处与对应人数的结果统计如下图，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计缺乏10%的大学生使用app 主要玩游戏；③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比拟，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.应选：C.【点睛】此题考察统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考察数据处理才能，属于根底题.7.命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，那么有22a b >．那么以下命题为真命题的是〔〕 A. p q ∧ B. ()p q ∧⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∨【答案】B 【解析】【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比方当0a b >>, 或者=12a b =-，时，那么22a b > 不成立. 那么p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假. 应选:B【点睛】此题考察复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于根底题.8.双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线一样，那么双曲线C 的HY 方程为( )A. 2214y x -=B. 221520y x -=C. 221205x y -=D. 2214x y -=【答案】B 【解析】【分析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的HY 方程，结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线一样，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k-=，一个焦点为0,5，∴425k k +=，∴5k =，故C 的HY 方程为221520y x -=.应选：B【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的HY 方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 9.数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，那么23342122a a a a a a +++=〔〕A.58B.34 C.54 D.52【答案】C 【解析】【分析】利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32nn a -的通项公式，可计算出na，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=.当1n =时，14a =；当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也合适上式，所以432n a n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 应选：C.【点睛】此题考察利用n S 求n a ，同时也考察了裂项求和法，考察计算才能，属于中等题.1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，那么PN PM -的最大值是〔〕A. 4B. 9C. 7D. 2【答案】B 【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM+的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，关于x轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+的最大值为549+=，应选B ．考点：圆与圆的位置关系及其断定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．11.在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥； ②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -的体积的最大值为12； ④AD 与BC 一定不垂直.其中所有正确命题的序号是〔〕A. ①②③B. ②③④C. ①④D. ①②④【答案】D 【解析】【分析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，那么AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OBOD O =，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，A CMN V -最大，最大值为112234448A CMN N ACM V V --=⨯⨯==，故③错误；假设AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.应选：D【点睛】本小题主要考察空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考察空间想象才能和逻辑推理才能，属于中档题.12.定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，假设关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，那么实数m 的取值范围是〔〕A. 1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B. 1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C. 1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D. 1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x xm m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立令()ln x g x x =,那么()[)1ln '1,xg x e x-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1g x e =令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x +--==<,在[]1,3上递减所以()min6ln33h x +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,应选B. 【点睛】本道题考察了函数的根本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.第二卷〔非选择题〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.13.7(3)x -的展开式中，x 5的系数是_________．〔用数字填写上答案〕【答案】-189 【解析】由二项式定理得717(1)3C r r r r r T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是2573C 189-=-．14.数列{}n a 满足：点(),n n a 在直线210x y -+=上，假设使1a 、4a 、m a 构成等比数列，那么m =______【答案】13 【解析】【分析】根据点在直线上可求得n a ，由等比中项的定义可构造方程求得结果. 【详解】(),n n a 在210x y -+=上，21n a n ∴=+，14,,m a a a 成等比数列，241m a a a ∴=，即()81321m =+，解得：13m =.故答案为：13.【点睛】此题考察根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于根底题. 15.函数()314sin 3f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，那么n 为________. 【答案】4 【解析】【分析】根据题意得出()0n f '=，由此可得出实数n 的值.【详解】()314sin 3f x x x =+，()24cos f x x x '∴=+，直线60nx y --=的斜率为n ，由于函数()314sin 3f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，那么()04n f '==. 故答案为：4.【点睛】此题考察利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考察计算才能，属于根底题.16.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且()00f =，当(]0,x e ∈时，()ln f x x =.方程()1sin 22x x e f π⎛⎫=⎪⎝⎭在区间[],3e e -上所有的实数根之和为3ea .将函数()23sin 14x x g π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，那么a =__________，()8h =__________. 【答案】 (1). 2 (2). 4 【解析】【分析】根据函数()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e ，()1sin 22x x e f π⎛⎫=⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为6e ，从而可得参数a 的值，最后求出函数()h x 的解析式，代入求值即可.【详解】解：因为()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e .因为(]0,x e ∈时，()ln f x x =，所以可作出()f x 在区间[],3e e -上的图象，而方程()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，结合函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[],3e e -上的简图，可知两个函数的图象在区间[],3e e -上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e ，所以63e ea =，故2a =. 因为()2353sin 1cos 4222x x g x ππ⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭，所以()()35cos 2222x h x π⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦35cos 222x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()()35cos 44228h π=+=.故答案为：2；8【点睛】此题考察函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题.三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕17.高铁和航空的飞速开展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的宏大开展.据统计,在2021年这一年内从A到B乘坐高铁或者飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):老年人中年人青年人满意度乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分(满意) 12 1 20 2 20 15分(一般) 2 3 6 2 4 90分(不满1 0 6 3 4 4意)〔1〕在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率;〔2〕在2021年从A到B乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X.以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;〔3〕假如甲将要从A出发到B,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.【答案】〔1〕2950〔2〕分布列见解析，数学期望25〔3〕建议甲乘坐高铁从A 到B .见解析【解析】【分析】〔1〕根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；〔2〕依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；〔3〕可以计算满意度均值来比拟乘坐高铁还是飞机．【详解】〔1〕设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人〞为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==．〔2〕由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2021年从A 到B 乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=， 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 22211(2)C ()525P X ==⨯=，所以随机变量X 的分布列为：1 21625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=．〔3〕答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++因为11622155>，所以建议甲乘坐高铁从A 到B ．【点睛】此题主要考察了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．18.设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .设S 为ABC 的面积，满足)2224S a c b =+-. (1)求B ；(2)假设b =)12a c +的最大值.【答案】(1)3π；(2)【解析】【分析】(1)根据条件形式选择1sin 2S ac B =，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出； (2)由(1)求出角3B π=，利用正弦定理和消元思想，可分别用角A 的三角函数值表示出,a c ，即可得到))21221sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换，化简为)124a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可求出最大值．【详解】(1)∵1sin 2S ac B =，222cos 2a c b B ac+-=即2222cos a c b ac B =+-，∴)2224S a c b =+-变形得：1sin 2cos 24ac B ac B =，整理得：tan B = 又0B π<<，∴3B π=；(2)∵A B C π++=，∴203A π<<，由正弦定理知sin 2sin sin sin 3b A Aa A B π===，sin 22sin sin 3b C c A B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴))21221sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭)221sin 4sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A A =+4A π⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭4A π=时取最大值．故)12a c +的最大值为【点睛】此题主要考察正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考察学生的转化才能和数学运算才能，属于根底题19.如图1，四边形BCDE 为直角梯形，90B ∠=，//BE CD ，且222BE CD BC ===，A 为BE 的中点.将EDA 沿AD 折到PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P ABCD -．〔Ⅰ〕求证AD PB ⊥；〔Ⅱ〕假设PA ⊥平面ABCD ． ①求二面角B PC D --的大小；②在棱PC 上存在点M ，满足()01PM PC λλ=≤≤，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45，求λ的值．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)①120，② 0λ=或者23λ=．【解析】【分析】(Ⅰ)可以通过证明出AD ⊥平面PAB ，这样就可以证明出AD PB ⊥；(Ⅱ)?①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC 的法向量为n 、平面PCD 的法向量m ，利用空间向量的数量积，求出二面角B PCD --的大小；②求出平面PBC 的法向量，利用线面角的公式求出λ的值.【详解】证明：(Ⅰ)在图1中，//AB CD ，AB CD =，ABCD ∴为平行四边形，//AD BC ∴，90B ∠=，AD BE ∴⊥，当EDA 沿AD 折起时，AD AB ⊥，AD AE ⊥，即AD AB ⊥，AD PA ⊥，又AB PA A ⋂=，,AB PAB PA PAB AD 面面⊂⊂∴⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥．解：(Ⅱ)①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由于PA ⊥平面ABCD那么(0,A 0，0)，(1,B 0，0)，(1,C 1，0)，(0,P 0，1)，(0,D 1，0)(1,PC =1，1)-，(0,BC =1，0)，(1,DC =0，0)，设平面PBC 的法向量为(,n x =y ，)z ，那么00PC n x y z BC n y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1z =，得(1,n =0，1)，设平面PCD 的法向量(,m a =b ，)c ，那么00m PC a b c m DC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1b =，得(0,m =1，1)，设二面角B PC D --的大小为θ，可知为钝角，那么11cos 22m n m nθ⋅=-=-=-⋅⨯，120θ∴=．∴二面角B PC D --的大小为120．②设AM 与面PBC 所成角为α，(0,AM AP PM =+=0，1)(1λ+，1，1)(λ-=，λ，1)λ-，平面PBC 的法向量(1,n =0，1)，直线AM 与平面PBC 所成的角为45，sin cos ,2AM n AM n AM nαλ⋅∴====⋅⋅，解得0λ=或者23λ=．【点睛】此题考察了利用线面垂直证明线线垂直，考察了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △3O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程；(2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的间隔为定值.【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN 的间隔 221. 【解析】【分析】〔1〕12PF F △的面积最大时，P 是短轴端点，由此可得3bc =222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；〔2〕在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元〔y 〕后应用韦达定理得1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的间隔，两者比拟可得结论．【详解】〔1〕因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴间隔最大，此时12PF F ∆面积最大，所以1232c b bc ⨯⨯==222312bc c a a b c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆方程为22143x y +=．〔2〕在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+，原点到此直线的间隔为21md k=+即2221md k =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=，2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+， 22121212121212()()(1)()x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++22222222224128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k--+=+⋅-+=+++，所以当12120x x y y +=时，2212(1)7m k =+，2221217m d k ==+，7d = 假设12x x =，那么12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2127x =，d x ==，综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN 的间隔. 【点睛】此题考察求椭圆方程与椭圆的几何性质，考察直线与椭圆的位置关系，考察运算求解才能．解题方法是“设而不求〞法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联络式与待求式． 21.函数f (x )＝x －ln x ，g (x )＝x 2－ax .〔1〕求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m (t )；〔2〕令h (x )＝g (x )－f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图像上任意两点，且满足1212()()h x h x x x --＞1，务实数a 的取值范围；〔3〕假设∃x ∈(0,1]，使f (x )≥()a g x x-成立，务实数a 的最大值．【答案】〔1〕m (t )＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩〔2〕a－2.〔3〕a－2.【解析】【分析】〔1〕是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进展求解．〔2〕注意到函数h (x )的图像上任意不同两点A ，B 连线的斜率总大于1，等价于h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2(x 1＜x 2)恒成立，从而构造函数F (x )＝h (x )－x 在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究．〔3〕用处理恒成立问题来处理有解问题，先别离变量转化为求对应函数的最值，得到a ≤22ln 1x x x x -+，再利用导数求函数M (x )＝22ln 1x x xx -+的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值．【详解】〔1〕 f ′(x )＝1－1x，x ＞0，令f ′(x )＝0，那么x ＝1.当t ≥1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，f (x )的最小值为f (t )＝t －lnt ；当0＜t ＜1时，f (x )在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t ＋1)上为增函数，f (x )的最小值为f (1)＝1.综上，m (t )＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩〔2〕h (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋lnx ，不妨取0＜x 1＜x 2，那么x 1－x 2＜0，那么由1212()()1h x h x x x ->-，可得h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2，变形得h (x 1)－x 1＜h (x 2)－x 2恒成立．令F (x )＝h (x )－x ＝x 2－(a ＋2)x ＋lnx ，x ＞0，那么F (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋lnx 在(0，＋∞)上单调递增，故F′(x)＝2x－(a＋2)＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2x＋1x≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．因为2x＋1xx＝2时取“＝〞，所以a－2.〔3〕因为f(x)≥()a g xx-，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.因为x∈(0,1]，那么x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤22ln1x x xx-+成立．令M(x)＝22ln1x x xx-+，那么M′(x)＝2223ln1(1)x x xx+--+.令y＝2x2＋3x－lnx－1，那么由y′＝(1)(41)x xx+-＝0 可得x＝14或者x＝－1(舍)．当x∈1(0,)4时，y′＜0，那么函数y＝2x2＋3x－lnx－1在14上单调递减；当x∈1(,)4+∞时，y′＞0，那么函数y＝2x2＋3x－lnx－1在1(,)4+∞上单调递增．所以y≥ln4－18＞0，所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立，所以M(x)在(0,1]上单调递增．所以只需a≤M(1)，即a≤1.所以实数a的最大值为1.【点睛】此题考察了函数与导数综合问题，考察了学生综合分析，转化与划归，数学运算才能，属于难题.请考生在22，23，题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分.做答时，需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点()24P --，的直线l的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔为参数〕，直线l 与曲线C 交于M 、N 两点．〔1〕写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程：〔2〕假设| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，求a 的值．【答案】〔1〕l 的普通方程2y x =-；C 的直角坐标方程 2y ax =；〔2〕1a =.【解析】【分析】〔1〕利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕将直线l 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出||||PM PN ⋅，从而建立关于a 的方程，求解即可．【详解】〔1〕由直线l的参数方程2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t 得, 42y x =-++，即2y x =-为l 的普通方程由2sin 2cos a ρθθ=，两边乘以ρ得22sin 2cos a ρθρθ= 2y ax ∴=为C 的直角坐标方程.〔2〕将2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入抛物线22y ax得24)3280t a t a -+++=2(22(4))4(328)0a a =+-+>124)0t t a +=+>12328 0t t a =+>120,0t t ∴>>由| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，2||||||MN PM PN ∴=⋅即21212t t t t -=⋅，()21212124t t t t t t +-=，()212125t t t t +=，24))5(328)a a +=+整理得2340a a +-=4a =-〔舍去〕或者1a =.【点睛】纯熟掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．选修4—5；不等式选讲.23.函数()|2||3|f x x x =++-.〔1〕解不等式()32f x x ≤-；〔2〕假设函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值. 【答案】〔1〕7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭〔2〕169 【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法，求得不等式的解集.〔2〕先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换〞的方法，结合根本不等式，求得13211a b +++的最小值.【详解】〔1〕当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x ≥，无解；当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤；当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.〔2〕因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=，所以235(0,0)a b a b +=>>，那么213(1)9a b +++=， 1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号. 故13211a b +++的最小值为169. 【点睛】本小题主要考察零点分段法解绝对值不等式，考察利用根本不等式求最值，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.制卷人：打自企；成别使；而都那。

高三数学一模试题理含解析试题

武功县2021届高三数学一模试题理〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

第一卷一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.集合{}1A x R x =∈≤，{}24B x R x =∈≤，A B ＝〔〕A. [－2，1]B. [－2，2]C. [1，2]D. 〔－∞，2]【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的性质先求出集合B ，再由交集定义求出A B ．【详解】解：∵集合{}1A x R x =∈≤，{}{}2422B x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，{|21}[2,1]A B x x ∴⋂=-≤≤=-．应选A ．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意不等式性质及交集定义的合理运用． 2.假设(12)5i z i -=〔i 是虚数单位〕，那么z 的值是〔〕A. 3B. 5【答案】D 【解析】【分析】直接利用复数的模的求法的运算法那么求解即可.【详解】() 125i z i -=〔i 是虚数单位〕可得()125i z i -= 解得5z = 此题正确选项：D【点睛】此题考察复数的模的运算法那么的应用，复数的模的求法，考察计算才能.()1,2a =，()1,0b =，()4,3c =-.假设λ为实数且()a b c λ+⊥，那么λ=〔〕A.14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：1+2a b λλ+=（，），因为()a b c λ+⊥，那么()1=41+-6=0=2a b c λλλ+⋅（），，选B ；考点：向量的坐标运算；4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图，那么新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为〔〕A. 0.25B. 0.3C. 0.4D. 0.45【答案】B 【解析】【分析】频率分布直方图的纵轴表示的是频率组距，所以结合组距为300可得频率．【详解】解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为：0.0013000.3⨯=．应选B ．【点睛】解决此类问题的关键是纯熟掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义． 5.命题:12p x -<<，2:log 1q x <，那么p 是q 成立的〔〕条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要【答案】B 【解析】【分析】解对数不等式得到命题q 中x 的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义断定即可得到结论．【详解】由2log 1x <，得02x <<． ∵()0,2 ()1,2-，∴p 是q 成立的必要不充分条件．应选B ．【点睛】充分、必要条件的判断方法〔1〕利用定义判断：直接判断“假设p ，那么q 〞、“假设q ，那么p 〞的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．〔2〕从集合的角度判断：利用集合中包含思想断定．抓住“以小推大〞的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．〔3〕利用等价转化法：条件和结论带有否认性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假． 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .假设420S =，510a =，那么16a =〔〕 A. 32-B. 12C. 16D. 32【答案】D 【解析】()14414420,20,10,2a a S a a +=∴=∴+= 又510a =.可得14511,,2a a a a d a d +==∴==，那么()162161232.a =+-⨯=应选D.7.如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的选项是〔〕A. //BD 平面11CB DB. 1AC BD ⊥C. 1AC ⊥平面11CB DD. 异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒ 【答案】D 【解析】【详解】在正方体中与11B D 平行，因此有与平面平行，A 正确；在平面内的射影垂直于，因此有，B 正确；与B 同理有与垂直，从而平面，C 正确；由知与所成角为45°，D 错．应选D ．8.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象〔局部〕如下，那么按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是〔〕A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D. ③④②①【答案】A 【解析】【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是；②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值是正数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值是负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足； ④2xy x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，应选A ．【点睛】此题主要考察函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题． 9.tan 2θ=，那么22sin sin cos 2cos θθθθ+-=〔〕 A. 43-B.54C. 34-D.45【答案】D 【解析】试题分析：22222222sin sin cos 2cos tan tan 24sin sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+-===++＋－＋－考点：同角间三角函数关系【此处有视频，请去附件查看】10.直线l 过点〔0，2〕，被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为那么直线l 的方程是〔〕 A. 423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. y=423x +或者y=2 【答案】D 【解析】【分析】根据垂径定理得圆心到直线间隔 ,再设直线方程点斜式,利用点到直线间隔公式求斜率,即得结果. 【详解】因为直线l 被圆C ：224690x y x y +--+=，22(2)(3)4-+-=x y截得的弦长为以圆心到直线间隔1=，设直线l 的方程为2y kx =+，〔斜率不存在时不满足题意〕那10k =∴=或者43k =，即直线l 的方程是423y x =+或者2y =,选D. 【点睛】此题考察垂径定理，考察根本转化求解才能，属根底题.11.椭圆长轴上的两端点()13,0A -，()23,0A ，两焦点恰好把长轴三等分，那么该椭圆的HY 方程为〔〕A.22198x yB. 2219x y +=C. 2213632x y += D. 22136x y +=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，3a =，且12223c a ==，可得3a =且1c =，再根据椭圆中a 、b 、c 的平方关系得到2b 的值，结合椭圆焦点在x 轴，得到此椭圆的HY 方程．【详解】由题意可设所求的椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且3a =由两焦点恰好把长轴三等分可得26a c =即33a c ==1c =，b =故所求的椭圆方程为：22198x y应选A ．【点睛】对于椭圆方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程，求解出a ，b 的值．3()1f x ax x =++有极值的充要条件是〔〕A. 0a >B. 0a ≥C. 0a <D. 0a ≤【答案】C 【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x =+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C ．第二卷13.某校邀请6位学生的父母一共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，假如这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有______种. 【答案】240 【解析】【分析】先从6对夫妇中选一对，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位，根据分步计数原理，即可得到结果．【详解】解：分步完成，4位中恰有一对是夫妇，那么先从6对夫妇中选一对，有16C 6=种结果，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位有215122C 40C C =种结果，根据分步计数原理得到结果是6×40＝240，故答案为240．【点睛】此题是一个带有约束条件的排列组合问题，解题时排列与组合问题要区分开，解题的关键是利用分步计数原理，把握好分类的原那么．{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，那么7a = ．【答案】64 【解析】试题分析：设等比数列公比为q ，根据题意可得23122a a q a a +==+，所以111.31a a q a +=⇒=，所以6671264a a q =⨯==考点：等比数列性质15. 假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对〞，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是___________.【解析】【分析】根据题中定义“正交线面对〞的含义，找出正方体中“正交线面对〞的组数，即可得出结果. 【详解】假如一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下列图所示：①对于正方体的每一条棱，都有2个侧面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12224⨯=个； ②对于正方体的每一条面对角线〔如11A C ，那么11A C ⊥平面11BB D D 〕，均有一个对角面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12112⨯=个. 综上所述，正方体中的“正交线面对〞一共有36个. 故答案为36.16.如图，,A B 是函数2()log (16)f x x =图象上的两点，C 是函数2()log g x x =图象上的一点，且直线BC 垂直于x 轴，假设ABC ∆是等腰直角三角形〔其中A 为直角顶点〕，那么点A 的横坐标为__________．【答案】23【解析】【详解】设()020,l g ,C x o x 因为()2020l g 164l g o x o x =+ ，所以()020,4l g ,4B x o x BC += ，因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以可得()0202,2l g A x o x -+ ，又因为在()0202,2l g A x o x -+函数()()2log 16f x x =图象上，所以 ()()202020l g 1622l g l g 4o x o x o x -=+=，解得08,3x = 点A的横坐标为82233-= ，故答案为23.三、解答题〔本大题一一共70分解容许写出文字说明、解答过程成演算步骤，第17－21题为必考题，每个试题考生都必须答题第22 23题为选考题，考生根据要求作等〕〔一〕必考题17.在ABC ∆中，0120,,21,3ABC A c b a S ∆=>==求,b c 的值. 【答案】【解析】【详解】由2221sin ,{22cos ABC S bc A a b c bc A ==+-即22133,212122bc b c bc=⨯⨯=++⨯⨯，解得：〔因为c b >舍去〕或者.18.如下图,在直三棱柱中,,,.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；〔2〕155.【解析】【详解】(1)证明:三棱柱为直三棱柱,,在中,,,,由正弦定理得,,即,平面,又平面,.(2)如图,作交于D点,连接BD,由三垂线定理知,为二面角的平面角.在中,,在中,,15∴∠=cos ADB即二面角的余弦值为.19.盒中装有一打〔12个〕乒乓球，其中9个新的，3的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求ξ的分布列.【答案】详见解析【解析】【分析】从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2的1个新的，1的2个新的或者全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6．ξ取每个值的概率可由古典概型求得，列出分布列即可．【详解】解：ξ的可能取值为3，4，5，6333121(3)220C P C ξ===，129331227(4)220C C P C ξ⋅===， 219331227(5)55C C P C ξ⋅===， 3931221(6)55C P C ξ===.∴此时旧球个数ξ的概率分布列为【点睛】此题考察排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是正确地求出ξ取某个值时对应的事件的概率．20.双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，一条渐近线方程为y x =，且过点(4,．〔Ⅰ〕求双曲线方程；〔Ⅱ〕假设点()3,M m 在此双曲线上，求12MF MF ⋅．【答案】〔Ⅰ〕226x y -=〔Ⅱ〕0 【解析】【详解】试题分析：〔1〕设双曲线方程为22(0)x y λλ-=≠，由双曲线过点(4,，能求出双曲线方程；〔2〕由点()3,M m 在此双曲线上，得m =12MF MF ⋅的值试题解析：〔Ⅰ〕由题意，设双曲线方程为22(0)x y λλ-=≠将点(4,代入双曲线方程，得(224λ-=，即6λ=所以，所求的双曲线方程为226x y -=〔Ⅱ〕由〔1〕知()()12,F F -因为()3,M m ，所以()()12233,,233,MF m MF m =---=-又()3,M m 在双曲线226x y -=上，那么23m =()()2123312930MF MF m ⋅=-+=-++=考点：双曲线的HY 方程；直线与圆锥曲线的关系4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> 〔1〕求函数()y f x =的单调区间；〔2〕假设函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．【答案】〔1〕()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，〔2〕a >01a ≤<. 【解析】试题分析：〔1〕利用导数求函数单调区间，关键明确定义域，正确求出导函数. 因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-,令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由0a >时，列表分析()f x '在()0f x '=根的左右的符号，得()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与，()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，，〔2〕由〔1〕得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值 4()(0)f x f a ==极大值，要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或者41a <，即a >01a <<.解：〔1〕因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-2分令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与6分 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，8分〔2〕由〔1〕得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值 4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或者41a <，14分即a >01a <<. 16分考点：利用导数研究函数性质【此处有视频，请去附件查看】〔二〕选考题〔一共10分请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，按所做的第一题计分〕 22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩〔α为参数〕，求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．【答案】P 点的直角坐标为()0,0【解析】【分析】将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标．【详解】解：直线l 的普通方程为y =，① 曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，②联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩或者6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为()0,0．【点睛】此题考察了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化成普通方程，属根底题． 23.选修4-5：不等式选讲设不等式2x a -<〔*a N ∈〕的解集为A ，且32A ∈，12A ∉.〔1〕求a 的值；〔2〕求函数()2f x x a x =++-的最小值. 【答案】〔1〕1a = 〔2〕()f x 的最小值为3 【解析】试题分析：利用31,22A A ∈∉，推出关于a 的绝对值不等式，结合a 为整数直接求a 的值；〔2〕利用a 的值化简函数()f x ，利用绝对值根本不等式求出12x x +++的最小值. 试题解析：〔1〕因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a =.〔2〕因为12x x ++-≥ ()()123x x +--= 当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时获得等号，所以()f x 的最小值为3.制卷人：打自企；成别使；而都那。

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山东省潍坊市高三下学期一模考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足()142i z i +=+，则z =（）A ．3i -+B ．32i -C ．3i +D ．1i + 2.已知集合{}{}22,20A x x B x x x ==-->，则A B ⋂=（） A ．{}22x x -< B ．{}12x x -<< C ．{}21x x <- D ．{}12x x -<<3.若函数()x x f x a a -=-（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．4.已知,x y 满足约束条件10330210x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则函数22z x y +的最小值为（）A ．12B 2C ．1D 25.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，已知()cos 2cos ,2,1b A c a B c a =-==，则ABC ∆的面积是（）A ．12B 3C ．1D 36.对于实数,a b ，定义一种新运算“⊗”：y a b =⊗，其运算原理如程序框图所示，则5324=⊗+⊗（）A ．26B ．32C ．40D ．467.若函数()()3log 2,0,0x x f x g x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()3f g -=（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．08.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π9.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象关于直线23x π=对称.给出下面四个结论：①函数()f x 在区间40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减；②将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称；③点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心；④函数()f x 在[],2ππ上的最大值为1.其中正确的是（）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”；乙说:“丁是第一名”；丙说:“乙是第一名”；丁说:“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交曲线左支于,A B 两点,2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=︒.若该双曲线的离心率为e ，则2e =（）A ．11+．13+．16- D ．19-12.函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，且()y f x =在[)0,+∞上单调递减.若[]1,3x ∈时，不等式()()()2ln 323ln 32f mx x f f x mx --≥-+-恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．1ln 66,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1ln 36,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1ln 66,6e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1ln 36,6e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 实数,a b 满足2221a b +=，则ab 的最大值为．14.()(511x +-展开式中2x 的系数为． (用数字填写答案）15．已知抛物线()20y ax a =>的准线为l ，若l 与圆()22:31C x y -+=则a = ．16．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111A B C D 上的动点，给出下列四个结论：①若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个；②若PD P 的轨迹是一段圆弧；③若//PD 平面1ACB ，则PD 与平面11ACC A ；④若//PD 平面1ACB ，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得图形面积最大值为2512π. 其中所有正确结论的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知410S =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，14,2,45CC AB AC BAC ===∠=︒，点M 是棱1AA 上不同于1,A A 的动点.（1）证明:1BC B M ⊥；（2）若平面1MB C 把此棱拄分成体积相等的两部分，求此时二面角1M B C A --的余弦值. 19.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14μ=，标准差2σ=，绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率）：①()0.6826P X μσμσ-<<+≥ ②()220.9544P X μσμσ-<<+≥ ③()330.9974P X μσμσ-<<+≥评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；（2）将数据不在()2,2μσμσ-+内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y ，求Y 的分布列与数学期望EY .20.如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左右顶点分别为,,A B P 为椭圆C 上任一点（不与A B 、重合）.已知12PF F ∆的内切圆半径的最大值为2C.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点B 且垂直于x 轴，延长AP 交l 于点N ，以BN 为直径的圆交BP 于点M ，求证:O M N 、、三点共线.21.函数()()()sin ,1cos x x f x e x g x x x ==+-. （1）求()f x 的单调区间；（2）对120,,0,22x x ππ⎡⎤⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使()()12f x g x m +≥成立，求实数m 的取值范围；（3）设()()2sin 2sin x h x f x n x x =⋅-⋅在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点，求正实数n 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩）（t 为参数，0απ≤<），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2211sin ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11MA MB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()()()210,f x ax x a a g x x x =++->=+. （1）当1a =时，求不等式()()g x f x ≥的解集；（2）已知()32f x ≥，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CCDBB 6-10:CBCCA 11、12：DB 二、填空题14. 120 15.1216.①②③ 三、解答题17. （1）设{}n a 的公差为d ，由题设可得， 123194610a d a a a +=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩， ∴()()12111461028a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得11,1a d ==. ∴n a n =. （2）令3n nnc =，则12n n T c c c =+++231123133333n nn n--=+++++，① 231112133333n n n n nT +-=++++，② ①－②得： 21211133333n n n nT +⎛⎫=+++-⎪⎝⎭1111331313n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-- 1112233n n n+=--⨯， ∴323443n nn T +=-⨯. 18.（1）解:在ABC ∆中，由余弦定理得，24822cos454BC =+-⨯⨯︒=， ∴2BC =，则有2228AB BC AC +==， ∴90ABC ∠=︒，∴BC AB ⊥，又∵11,BC BB BB AB B ⊥⋂=， ∴BC ⊥平面11ABB A ，又1B M ⊂平面11ABB A ， ∴1BC B M ⊥.（2）解：由题设知，平面把此三棱柱分成两个体积相等的几何体为四棱锥1C ABB M -和四棱锥111B A MCC -. 由（1）知四棱1C ABB M -的高为2BC =， ∵111122482ABC A B C V -=⨯⨯⨯=三棱柱，∴1142C ABB M V V -==四棱锥柱，又11112433C ABB M ABB M ABB M V S BC S -=⋅==四棱锥梯形梯形，∴14622ABB M AM S +==⨯梯形，∴2AM =. 此时M 为1AA 中点，以点B 为坐标原点，1,,BA BC BB 的方向为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.∴()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,4,2,0,2A C B M . ∴()()()110,2,4,2,0,2,2,2,0CB B M AC =-=-=-，设()1111,,n x y z =是平面1CB M 的一个法向量，∴111100n CB n B M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111240220y z x z -+=⎧⎨-=⎩，令11z =，可得()11,2,1n =，设()2222,,n x y z =是平面1ACB 的一个法向量，∴2120n CB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222240220y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令21z =，可得()22,2,1n =，∴12121276cos ,36n n n n n n ⋅===⋅ 所以二面角1M B C A --76. 19.解：（1）由题意知，14,2μσ==，由频率分布直方图得()()()12160.290.1120.80.6826P X P X μσμσ-<<+=<<=+⨯=>， ()()()2210180.80.040.0320.940.9544P X P X μσμσ-<<+=<<=++⨯=<，()()()338200.940.0150.00520.980.9974P X P X μσμσ-<<+=<<=++⨯=>， ∵不满足至少两个不等式成立，∴该生产线需检修. （2）由（1）知()47220.9450P X μσμσ-<<+==，所以任取—件是次品的概率为30.0650=，所以任取两件产品得到的次品数Y 可能值为0，1,2，则()24722090502500P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()1247314115051250P Y C ==⋅=； ()2392502500P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；∴Y 的分布列为∴22091419301225001250250025EY =⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）由题意知:22c a =，∴22c =，又222b a c =-，∴22b =，设12PF F ∆的内切圆半径为r ，则()12121212PF F S PF PF F F r ∆=++⋅， ()()1222a c r a c r =+⋅=+，故当12PF F ∆面积最大时，r 最大，即P 点位于椭圆短轴顶点时，22r = ∴()(22a c bc +=，把22,c b ==代入，解得2,2a b ==， ∴椭圆方程为22142x y +=.（2）由题意知，直线AP 的斜率存在，设为k ，则所在直线方程为()2y k x =+，联立()222142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222 218840k x k x k +++-=，则有()2284221p k x k -⋅-=+，∴222421p k x k -=+，()24221p p ky k x k =+=+，得22284,2121k k BP k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，又()2,4N k ，∴()2,4ON k =，则2222161602121k k ON BP k k -⋅=+=++， ∴ON BP ⊥而M 在以BN 为直径的圆上，∴MN BP ⊥，∴,,O M N 三点共线.21.解：（1）()()sin cos sin cos 2sin 4x x x x f x e x e x e x x e x π⎛⎫'=+=++ ⎪⎝⎭，当224k x k ππππ≤+≤+，即32,244x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦时，()()0,f x f x '≥单调递增；当2224k x k πππππ+≤+≤+，即372,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()()0,f x f x '<单调递减；综上，()f x 的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， ()f x 的单调递减区间为372,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()12f x g x m +≥，即()()12f x m g x ≥-，设()()t x m g x =-，则原问题等价于()()min min ,0,2f x t x x π⎡⎤≥∈⎢⎥⎣⎦，一方面由（1）可知，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， ∴()()min 00f x f ==另—方面：()()1cos 2x t x m x x e =-++，()()cos 1sin x t x x x x '=-+++，由于[]cos 1,0x x -∈-≥∴cos 0x x ->，又()1sin 0x x +≥，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0t x '>，()t x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数， ()()min 01t x t m ==-+所以10m -≤，1m ≤（3）()2sin 2,0,2x h x xe n x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ()()()22cos2212cos2x x x h x e xe n x x e n x '=+-=+-. ①若01n <≤，则()()0,h x h x '>单调递增，()()00h x h >=无零点， ②若1n >时，设()()212cos 2x k x x e n x =+-，则()()224sin 20x k x e x n x '=++>，故()k x 单调递增，∵()0220k n =-<，221022k e πππ⎛⎫⎛⎫=+⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00k x =，因此当()00,x x ∈时，()0k x <，即()()0,h x h x '<单调递减；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k x >即()()0,h x h x '>单调递增. 故当()00,x x ∈时，()()00h x h <=无零点，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()200,02h x h e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭，存在唯一零点，综上，1n >时，有唯一零点.22.解:（I )曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=， ∵222,sin x y y ρρθ=+=，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=即2212x y +=. （2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得()221sin 2cos 10t t αβ++-=， ∴1212222cos 1,1sin 1sin t t t t ααα-+=-⋅=++， ∴121211MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-+===⋅⋅-⋅， ∵12t t -==，∴2111sin 11sin MA MBαα++==+23.解:（1）当1a =时，不等式()()g x f x ≥即211x x x x +≥++-，当1x <-时，222,30x x x x x +≥-+≥，∴0x ≥ 或3x ≤-， ∴此时，3x ≤-，当11x -≤≤时，222,0x x x x +≥+≥，∴1x ≥或2x ≤-， ∴此时，1x =，当1x >时，222,0x x x x x +≥-≥，∴1x ≥或0x ≤ 此时，1x >，∴不等式的解集为{3x x ≤-或}1x ≥. （2）()()()()111,,1111,,11,,a x a x a f x ax x a a x a x a a a x a x a ⎧-++-<-⎪⎪⎪=++-=-++-≤≤⎨⎪⎪+-+>⎪⎩若01a <≤则()()2min 1f x f a a ==+，∴2312a +≥，解得:a 或a ≤1a ≤≤，若1a >则()min 11322f x f a a a ⎛⎫=-=+>> ⎪⎝⎭，∴1a >，综上所述，a .。

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