1.3 概率的定义及其性质

概率的性质
性质4：设 A, B 是任意两个事件，则有
P B A P B P AB .
AB
证明： 由 B A B AB 且 AB B
由性质3可得
P B A P B AB P B P AB
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P B P A B A P A P B A
从而 故
P B A P B P A 0 P B P A
§1.3 概率的定义及其性质 16
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挖
A 1A 3
A3
A2 A3
A1 A2
挖
A2
A1
A1 A2 A3
挖
S
补
§1.3 概率的定义及其性质 20
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推广2： 对于任意多个事件 A1 , A2 ,, An ，有
P A1 A2 An
P Ai
§1.3 概率的定义及其性质 5
21
0.42
256
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实验者 德·摩根 蒲 丰 皮 尔 逊 皮 尔 逊
n
2048 4048 12000 24000
n的增大
nH
1061 2048 6019 12012
1 2
fn H
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
P A B P A P B P AB .
AB
证明： 因 且
A B A B AB
A B AB
P A B AB
B AB B

A
故有 P A B
P A P B AB P A P B P AB
证明： 设
Ak
k 1
k 1, 2,3,
则 Ak 且 Ai Aj , i j, i, j 1, 2,3
由概率的可列可加性得
P P Ak k 1
P Ak P k 1 k 1 P 0. P 0
B B A
A
§1.3
概率的定义及其性质
17
概率的性质
性质5：对任意事件 A ，有 P A 1. 证明： 由于 A 故由性质3， P A P 1 性质6：对任意事件 A ，有 P A 1 P A . 证明： 因 A A 且 AA 故
生的可能性的大小。
Henan Polytechnic University §1.3 概率的定义及其性质
9
概率的统计学定义
当试验次数 n 很大时,事件 A 的频率 f n A 接近
一个稳定值 p ，即有
f n A p
n
我们称这个稳定值 p 为随机 事件 A 的概率。 由于频率的取值是“随机的”，那么极限
公理2
公理3
规范性： P 1
可列可加性：对两两不相容的事件列
Ak k 1 ，

有
P Ak P Ak k 1 k 1
§1.3 概率的定义及其性质 13
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概率的性质
性质1： P 0
n
P Ak 0 P Ak
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k 1 k 1
n
§1.3
概率的定义及其性质
15
概率的性质
性质3：设 A, B 是两个事件， 若 A B ， 则 P B P A ，且有 P B A P B P A . 证明： 由 A B 知，B A B A 且 A B A 由有限可加性得
P A1 A2 An
§1.3 概率的定义及其性质 21
1 1 练习题：设 P A , P B , 求在下列三种情况下 3 2
P BA 的值？
⑴ 设 A 与 B 互斥； ⑵ A B; 解： 因
1 ⑶ P AB . 8
P BA P B A P B AB
Henan Polytechnic University §1.3 概率的定义及其性质 23
练习题：设 A 为随机事件，且 P A 1 ，则对任意随机 事件 B ，必有（ ）
A C
P A B P B P B A P B
Henan Polytechnic University §1.3 概率的定义及其性质 4
例：将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍,
观察正面出现的次数及频率. n5 n 50 试验 序号 f f nH nH
0 1
1 0.9 0.9 0.8 0.8 0.7 0.7 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0
前苏联数学家科尔莫戈罗夫在1933年将频率的三
条性质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能 性大小的概率的公理化定义。
Henan Polytechnic University §1.3 概率的定义及其性质 11
概率的公理化定义
定义：设 E 是随机试验， 是其样本空间， 对 E 的 每一个事件 A，都赋予一个实数 P A ，称为事件 A 的概率，如果集合函数 P 满足下列三条公理： 公理1 非负性： P A 0
2
3
4 4
5 5
n 500 f nH
6 6
7 7
1
2 3
2 3 1
0.4 0.6 0.2
0.44 22 25 0.50 波动较大
251 249
0.502
0.498
4
5 6 7
0.512 随 5n 的增大 1.0 , 频率 25 f 呈现出稳定性 0.50 247 0.494 波动较小 1 24 0.48 0.2 251 0.502 2 18 0.36 262 0.524 波动最小 0.4 0.8 0.54 258 0.516 4 27
A B
B A
P B P AB

1 P AB 2
§1.3 概率的定义及其性质 22

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练习题：设 A, B, C 为三事件，且 P A P B P C 0.25,
P AB P BC 0, P AC 0.125, 求 A, B, C 至少有一个发
f n A p
n
是什么意思值得研究 （第五章讨论该问题）。
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§1.3
概率的定义及其性质
10
当试验次数 n 相当大时，可以用频率作为概率的
近似值：
P( A) f n ( A)
事件频率的稳定性通常也称作相应事件发生的统 计规律性。
生的概率。
解： 由题知所求为
P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC
0.625 因 ABC AB,
故 0 P ABC P AB 0 P ABC 0
读书患不多，思义患不明。 患足己不学，既学患不行。
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§1.3
概率的定义及其性质
1
§1.3
概率的定义及其性质
※ 事件的频率 ※ 概率的公理化定义 ※ 概率的性质
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§1.3
概率的定义及其性质
2
研究随机现象的统计规律性的数学学科。 什么是统计规律性?
i 1 n
1i j n
P Ai Aj
P Ai Aj Ak
减二
全加

加三 减四
1i j k n
挖补规律：加奇减偶
1i j k l n

P Ai Aj Ak Al
n 1
1
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频率有没有稳定性？
nA n 次试验中 A 发生的次数
0 f n A 1 fn 1
nA 频率： f n A n
频率的性质：
若 A1, A2, , Am 是两两不相容事件, m m f n Ai f n Ai 则 i 1 i 1
统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律。
什么是概率? 刻画 一个随机事件在一次试验中发生的可能性大小
的数量指标 称为该事件的概率。
如何定义概率?
Henan Polytechnic University §1.3 概率的定义及其性质 3
例：“抛硬币”试验，将一枚硬币连续抛 n 次， 记 频数：
A 正面朝上
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概率解释为区域面积
§1.3源自文库
概率的定义及其性质
19
推广1： 对于任意三个事件 A1 , A2 , A3 ，有
P A1 A2 A3
P A1 P A2 P A3
P A1 A2 P A2 A3 P A1 A3 P A1 A2 A3
fn H
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§1.3
概率的定义及其性质
6
例：高尔顿(Galton)板试验，试验
模型如下所示: 自上端放入一小球，任其自由下
落，在下落过程中当小球碰到钉子时，
从左边落下与从右边落下的机会相等。
碰到下一排钉子时又是如此。最后落 入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，则此球落入 哪一个格子，预先难以确定。但是如果放入大量小球，则 其最后所呈现的曲线，几乎总是一样的。
1 P P A A P A P A
从而 P A 1 P A .
Henan Polytechnic University §1.3 概率的定义及其性质 18
概率的性质
性质7：对于任意两个事件 A, B ， 有 事件解释为区域
Henan Polytechnic University §1.3 概率的定义及其性质 7
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§1.3
概率的定义及其性质
8
由上述两例可知，频率具有下列特点： 随机波动性—对相同或不同的试验次数，同一事件 的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因 而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小； 频率稳定性—随着试验次数的无限增大，事件的频 率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事件发
Henan Polytechnic University §1.3 概率的定义及其性质 14


概率的性质
性质2： （有限可加性） 若 A1 , A2 ,, An 两两互不相容 n n 事件，则有 P Ak P Ak k 1 k 1 证明： 设
Ak
n k 1 k 1
k n 1, n 2, n 3,
则 Ak Ak 且 Ai Aj , i j, i, j 1, 2,3 由概率的可列可加性得
n P A P Ak P Ak k k 1 k 1 k 1