例谈中学数学中的有限与无限

范围是（一∞，－１．
二
与该例类似的问题在各种期刊和教辅资料中均能见到，且解法与该例的“正确解答”相同．但笔者对上述解法存在不同看法．为方便说明现将有关教材中的内容摘录如下
１．《初二代数》（人民教育出版社数学室编，１９８９年１２月第二版）设口＜ｂ，那么：１．不等式组｛戈＞？的解集是石＞ｂ；２．不等式组ｆ戈＜？的解集是菇＜口；３．不等式组ｆｚ＞？的解集是口＜ｘ＜６；４．不
ｔＸ＜ｂ
等式组｛“、“的解集是空集．
ｔｘ＞ｂ
２．全日制普通高级中学数学教科书（必修）第一册（上）ＰⅧ：设ａ，ｂ是两个实数，而且口＜ｂ．我们规定：（１）满足不等式口≤ｚ≤ｂ的实数戈的集合叫做闭区间，表示为［１７，，ｂ］；（２）满足不等式ｔ／，＜戈＜ｂ的实数戈的集合叫做开区间，表示为（口，６）；（３）满足不等式口≤并＜ｂ或ｏ＜戈≤ｂ的实数ｘ的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［ａ，ｂ），（口，ｂ］．
３．人教Ａ版新教材必修ｌ与上述规定相同，这里从略．
４．全日制普通高级中学数学（必修）第一册（上）《教师教学用书》ｐⅦ：某些以实数为元素的集合有三种表示方法：集合表示法、不等式表示法和区间表示法．例如，大于３而小于７的实数的集合可表示为如下三种形式｛ｘ３＜戈＜７｝，３＜聋＜７，（３，７）．对于具体问题，教材中并不要求固定采用哪种表示方法，可根据习惯或简明的原则来采用．由上述规定可知①｛算Ｉ口＜菇＜ｂ｝，ａ＜算＜ｂ，（口，ｂ）是同一集合的三种表示，②集合的三种表示方法的前提都是口＜ｂ．③若一个集合为｛髫Ｉｔ／，＜ｘ＜６｝，意味着ｎ＜ｂ且｛ｘ＞口．④空集是不能表示
Ｉ．ｘ＜ｂ
为上述三种中的任何～种形式．由此上例的“正确解答”是错误的，正确解答如下
ｒ口一１≥一ｌｆｏ≥ｏ解由题意得｛２ａ一３≤４所以｛口≤ｉ／所。

ｏ—ｌ≤２ａ一３【口≥２
以２≤ｏ≤÷因此ｎ的取值范围是［２，÷］．
例谈中学数学中的“有限＂与“无限＂
浙江省湖州二中３１３０００陆丽滨沈恒
浙江省金陵高级中学３１３１００李云
日常生活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗？星星有多少？两面镜子对照，镜子中有镜子，…，一共有多少面？文学作品中，如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等等，都是一种有限与无限的结合．在数学教育界也有两个尴尬的故事：一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说：“美一位中学生找到了圆周率仃的末位小数”，盯是无理数，怎么有末位小数呢？这是个常识性错误，却经编辑与千百个人之手被广泛传播．另一件是关于０．９＝ｌ对吗？其中绝大多数师生认为“这是近似等式”，虽然最后结论是精确等式，却仍有千千万万的人“不服”．又是一个涉及无限观的常识性问题．
在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识．美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学．”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的方面使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考．有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸．魏尔又指出：无限在数学中占有十分重要的地位，甚至可以说它是整个数学的基础．
在新课标教学中，笔者发现从必修１集合中的元素个数比较到必修３新增内容古典概型、几何概型等等，无不体现中学数学的“有限”与“无限”．下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”．
１比较两个集合的元素个数
人民教育出版社高中数学Ａ版《必修１》第１４页（２００７年１月第２版，２００８年５月浙江第６次印刷）阅读材料——“有限集合中元素的个数，可以一一数出
６３
万方数据
来，而对于元素个数无限的集合，例如：Ａ＝｛１，２，…，ｎ，…｝，Ｂ＝｝２，４，…，２ｎ。

…ｔ，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少．你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？”笔者不妨再问：“集合Ｂ是集合Ａ的真子集吗？”
我们都知道在有限集中，整体必定大于部分．但是无限集中呢？
其实，无限集与有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的，而这也正是康托尔认为的无限集的特征之一．实际上，康托尔把正整数集的势（元素个数）称之为“阿列夫零”个，计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数．康托尔把集合的元素个数叫做基数，有限集合的基数是自然数，无限集合的基数叫超限数．康托尔进一步论证了无理数集、实数集是不可数集，但它们之间存在着一一对应关系，也就是说有比自然数集合更大的集合，有更大的超限数．康托尔还发现，任一线段上的点能与全直线上的点，与正方形内的点，与立方体内的点构成一一对应．他甚至证明，一条直线上的点能与ｎ维空间的点构成一一对应．这与我们关于大小的观念相矛盾，是按数学常识根本无法想象的，康托尔还证明了比实数集合更大的集合．今天，集合论已经成为整个数学的基础，以至于希尔伯特动情地说：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”，“康托尔的超限算数是数学思想的最惊人的产物，是在纯粹理性的范畴中，人类活动最美的表现之一．”
为此，有如下定理：
（１）两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数．
（２）有限集合不和其任何真子集等势．
（３）无限集合可以和其真子集等势．
２割圆术，化直为曲
刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接正六边形（“六觚”）开始割圆，依次得到内接正十二边形（“十二觚”）、正二十四边形（“二十四觚”）、……，“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”
这种处理是比较符合直观的．从６边形到１２边形、到２４边形、……，在这样越来越接近圆面积的趋势中，圆以多边形代替，所失的面积会越来越少，这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合．刘徼的割圆术是他成功应用无穷小分割思想和极限思想的光辉典范，架起了通向微积分的桥梁．
正是在这种思想的指引下，刘徽与阿基米德已经６４有了极限的思想．后继者们在他们开辟的道路上继续前进．德国的开普勒发明了“同维无穷小法”求体积，法国的费马研究了切线、极值等问题，而英国的巴罗则引入了微分三角形．这一切为两个划时代人物的到来拉开了帷幕：牛顿和莱布尼茨．两人各自独立地创立了微积分．
这种“化直为曲无限化”的数学思想，是学生学习从“有限”到“无限”的一种飞跃！也为其学习定积分建立良好的数学思想基础．
３数式中的有限与无限
３．１（定）积分
看看牛顿和莱布尼茨发展的积分，它们均来源于求曲多边形的面积．方法大致为：分割、近似求和、取极限．这里的分割是一种动态无限的过程．在保证最大区间长度趋于零的条件下，分割而成的区间数目趋于无穷．
从有限个矩形到无限块和，利用积分可以计算不规则图形面积．例如：求由函数以茗），直线菇＝ａ，石＝ｂ，Ｙ＝０所围成的曲边梯形的面积．
步骤如下：将区间［ａ，ｂ］分成ｎ个小区间［并Ｈ，菇ｉ］（１≤ｉ≤，１），每个区间上任取一点基，以以￡）作为矩形的高，求出／＂ｔ个矩形的面积并求和：
Ｓ＝一ｌｉｍ。

Ｓ。

＝姆∑叭￡）。

（菇ｉ～一－）］
＝ｌ以戈）ｄｘ
３．２数列极限的公式
数列极限是极限的重要基础知识，其运算法则只适用于有限个计算．例如：
ｌｉｍ（上＋上＋…＋上）如何计算？。

————ａ－———。

按照有限的计算法则，ｌｉｍ（上＋…＋土）＝
”一。

仃ｎ。

——０广一
ｌｉｍ÷＋…＋ｌｉｍ÷＝０，显然是不对的！不能用有限㈣ｎ。

—————节————一
个的运算法则来替代无限的运算．此处有限和无限是无法统一于一个运算法则中．数学极限公式中蕴含的无限思想，体现了无限是有限的延伸，但有限到无限是引起“质变”的１
３．３球表面积、体积公式的推导
．球的表面积、体积公式推导也是一种无线分割思想的运用！
如图１所示，
厂————１广—————一
ｒｚ＝√Ｒ２－［詈（ｉ一１）］２（１≤ｉ≤，１）
万方数据
ｙ＝２窆ｉ＝１Ｋ＝２塞（《·鲁）
：２ｌｉｍ『趔（ｎ一生尘』＃二竖）］
＝÷槲．
图ｌ图２
如图２所示，将球分割成，ｚ份ｉ棱锥，其体币Ｊ｛Ｖ＝∑。

丁Ｉ·△ｓ，·Ｒ＝ＴＩ·Ｒ·∑／ｋＳ，＝了１·Ｒ·Ｓ，Ｆ｝１｝二述球的体积公式，得：Ｓ＝４，ｒｒＲ２．
３．４结合律和分配律的使用
大家都知道“＋（６＋Ｃ）＝（“＋６）＋ｃ，这在有限相加的世界里似乎没什么问题．然而在无限相加的世界里，若把这种结合律再看成足正确的，那你就会铸成大错！彳ｉ妨看下式如何计算：
ｚ＝１＋（一１）＋ｌ＋（一１）＋ｌ＋…，如果你认为数的加法可以任意结合，那么。

＝１＋［（一１）＋１］＋…＝ｌ＋０＋０＋…＝ｌ，好像不错吧！注意到还可以这样用结合律：。

＝［１＋（一Ｉ）］＋［１＋（一１）］＋…＝０＋０＋…０，也没有问题吧！这时推出的结论０＝：＝ｌ就有大问题了！原因何在呢？
解释并彳ｉ困难：结合律和分配律并／ｆｉ像人们通常认为的那样永远正确，它们在有限数学中的确足正确的，但在无限数学中就不是没有任何条件的正确无误．所以说，有限到无限毕竟是引起了“质变”１
４切线：割线的极限位置
中学阶段对切线的认识，是逐步深入的．平面几何中，直线和圆有一个交点叫做相切；而在后来的圆锥曲线中，双曲线学习时便会出现新的问题，而在微分学中所研究的曲线不郁足二次曲线，切线与曲线的交点不止一个，因此不能用交
点个数来定义，而是用割线的
极限位置来定义曲线的切线．
如图３所示，直线与圆相
切的情形在同学们的大脑巾
已根深蒂崮，受此负迁移的影
响，不少学乍对切线』１ＩＪ题产生
图３错误的想法，导致错解时常发生，因此要加强概念性知识的理解．于是，割线“无限化”之后，才有了较为科学的切线定义，避开从交点的个数来定义，方便地解决Ｊ，切线的概念问题．
５古典概型与几何概型中的概率加法公式
大家知道，必修３巾的古典概型是一种离散型的等可能性概型，而儿何概型是一种连续性的等可能性概型．恰恰囚为正是这种“离散”到“连续”，也就是“有限”到“无限”，使得学生学习概率加法公式有很大的难度．
概率加法公式：，）（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＝１
图４
ＩＩＩ
如图４，占典概型中，概率加法公式体现事件Ａ、Ｂ生易理解的；如图５，我们也可以看到其实概率加法公
无限所凸显的．如图５所示，譬如：在区间［０，２］Ｉ大Ｊ投点，ｉＬ落在Ｉｘ：问［０，１］内ｈ－事ｆ＇ｂＡ，落在区间［１，２］｜人Ｊ
会面，一起乘车去游玩，已知该车站每隔３０分钟有一
得事件Ａ发生，ｉ…、，ｒｐｆｒｉ三人同一个３０分钟内达到即可．以＝｛ｃ戈，，，。

，Ｉ｛ｉ蓁；茎蓁或。

３。

０、＜。

ｘ。

ｑ＜…６０１，
万方数据
裘不的空问医域为２个棱Ｋ为３０的正方体，由几何概刭的公式可得：Ｐ（Ｉ）：粤
一
６０，一４
解法（２）Ⅲ为ⅫＩ一班＾·是随机的能的，耸以＝人的
人乘啪。

上ｉ等可目６种乘车
方式作为一个基本事什，划基本事件的湟数为２×２ｘ２＝８种．而三人同乘一班●－包禽２个基率事件ｌ捌此
Ｉ
概率为÷＝÷
６４
古拙概型与几何栅型的水质是对于摹本事件个数有限适是无限的一种区分，有牡问题中．不同ｍ度ｆＨ解基本事件有限“、“无限”的问题还能帽Ⅱ转化
６希尔伯特旅馆
有一个故事据说ｍ向杰山的数学家大卫·希尔怕特之口Ｌ：进引讯就是他｜兑的一天夜罩已终很兜ｒ一个人走进家旅馆想要一个房间店主剧答说：对ｊ｝ｆ；＝起．我们没有任何窄房问ｒ，但是ｉＥ我们看看，或Ｈ我最终能为您找到一个房问’然后店主离开ｒ他的桌子，很不情愿地叫艋了他的房客，并Ｈｌ☆他们换一换房间：Ｉ号房间的膀吝搬到ｒ２甘脐ＩＵ２峙房间的房客搬到了３号房间以此类推．＿ｉ！｛：划每位房客都从一个房间搬到了ｒ一个房问为ｌｔ令这托迟米者感到十分吃晾的卫，ｉ号房间竟然被犄了ｆＩ；米他很高兴地搬了进去然后安顿下来过使但是一个百思＝＝＿＿＝得其解的问题他他无法入睡：为“么倪仅通过ＩＬＪ＝＝｝客从个房间搬到＊个房间．第一个肼问就能腾小米呢，（要知道，他米叫所有的房间都伟人丁）这所旅馆一定足希尔们特的旅馆它是城里个据认为无数个房间的旅馆１
这址个关于尤限的趣味故掌．从选ｍ也址学生深深知道从‘有限”到‘无限”是很容易Ｊ“生质变的！也让教师的教与学虹上一层楼１７中学生“有限”、“无限”教育观念的认识１柱我国巾学的课程｜殳骨中，数学作为门被赋予大埘的煤¨佴皿在数学教学中，过于ｉｎ部就班地ｄ『述教科书现有的数学定义和数学缸＿荆各种计算题｛ＩＩｉｉＥ明题的解题方法，让学生做大习题，却忽视Ｊ’与数学有关的魑根本性问题目和Ｉ－ｊ论，特别是有关数学基础和数学哲学的阻口在数学¨ＪＩ收与尤限是相互联系的无ｌｑ霭限构成的无｜；｜＝ｌ叉要通过有限米表现，加以掌＇如．自然数集址无限的，『旦它是山正数个具体删敏组成的；刷荆函数的图像ｋ度是无限的，仉司的最小正周期却是有限的；直线的硅度是儿限ｆ线段作为构成直线的部分．其托崖却屉有限的，空问所禽向ｉ＾个数足兀限的，而表逃谊向量空ＪＨ底（Ｉｆｉｌ址）个数却屉有限的；数学归纳法表逃堋于无限的推圳过程而它的证叫步骤却只有两爿反之，柑限，Ｉ］存在着无限洲皿】，ｏ到Ｉ的■段上就打无限多个有理数电，也柯兀限多个ｌ点在整除”关系中，约数是有限的，晰倍数闸是兀限的；有理数、无理数值都是有限数而它ｆ＾数裘选式既体现了五劣小，叉体现ｒ尤穷多总之在中学数学救学－ｈ廊向学‘Ｌ等醍一■学基础和数学哲学有关的知Ｉ｝｛，破除数学确定■性舰念，最建数学批判的人文观念也许这样譬学生蜓喜欢数学更能深刻认汉像“无辘’这■技数。

学；ｃ删｝和数学哲学等慨念ｆ自博大内涵“
篝兰斓（７）【】蚌革鼬谴教学十的有ｎ臣自ｔｍ【Ｊ］数学调＿
（７）■［５］剖籀州一十ｍ本目ｍ曲目母［Ｊ］十学绸
删删㈣㈣祈中国标准刊号：；；！笋ｇ
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邮发代号２４一＾８
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国内定价５㈨｝元
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万方数据
例谈中学数学中的"有限"与"无限"
作者：陆丽滨， 沈恒， 李云
作者单位：陆丽滨,沈恒(浙江省湖州二中,313000)， 李云(浙江省金陵高级中学,313100)
刊名：
中学数学杂志（高中版）
英文刊名：ZHONGXUE SHUXUE ZAZHI(GAOZHONG BAN)
年，卷(期)：2010，(2)
引用次数：0次
1.叶飞.再谈对中学生数学"无限"观念的教育[J].数学教育学报,2007,(11).
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本文链接：/Periodical_zxsxzz-gzb201002028.aspx
下载时间：2010年5月25日。