固体物理基础(孙会元主编)思维导图
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孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.1布洛赫定理及能带
ˆ ˆ H (r )TRn (r ) ˆ, H ˆ]0 [T
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
推导中用到了周期势的假定和微分算符中的变量 改变一常矢量不影响微分结果。即：
V (r ) V (r Rn ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 r R 2 2 2 n ( x n a ) ( y n a ) ( z n a ) x y z 1 1 2 2 3 3
n
（3）平移算符的本征值 设 TR 对应的本征值为 (Rn )，波函数 ( r ) 和 是 TR ˆ 共同的本征函数。则有 H
n
ˆ T ( Rn ) (r ) (r Rn ) ( Rn ) (r ) H (r ) E (r )
(3)
对易的算符有共 同的本征函数
ˆ T
ik Rn ( Rn ) e
(1)引入平移对称算符 TR n
f (r ) f (r R ) 平移对称算符的定义： TR n n
平移对称算符的性质： 2 f (r ) T f (r R ) f (r 2 R ) TR n n Rn n l f (r ) f (r lR ) TR n n T T T T TR Rm Rn Rn Rm n Rm
根据波函数的归一性：
2 2 2 ( r ) dr T ( R ) ( r ) dr ( R ) ( r ) dr 1 n n
但是： ( Rn ) (r ) (r ) 2 所以只能有： ( R ) 1 n 从而 ( Rn )可以写成如下形式 ：
孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.1 玻尔兹曼方程
dt, k k dt, k k dt; t) d f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
也就是这部分电子是漂移过来的，所以： f f f f f f f vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
f f f f f f f 推导： vx v y vz kx ky kz x y z k k k t 漂 x y z
利用多元函数的泰勒展开,且只取到dt的线性项
f ( x x, y y， ) f ( x, y， ) ( x y } f ( x, y ) x y
dt, k k dt, k k dt; t ) 右 f ( x vx dt, y vy dt, z vz dt; kx k x y y z z
f ( x, y, z; k x , k y , k z ; t ) {v xdt v ydt v zdt x y z kx dt k y dt k z dt } f (x , y , z ; k x , k y , k z ;t ) kx k y kz
与位置 r 有关系，通常是由
温度梯度
r 变化
化学势变化
电子分布函数f 与波矢 k 有关系，也就是与
f 变化
能量有关系，从费米分布函数的表达式就可以 理解。 电子分布函数f 与时间t有关系，是因为外力的 作用使得波矢依赖于时间，即： 在外电场E 和磁场 B 中,电子的运动规律是： dk F e(E v B) dt
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.10 金属的费米面和能带论的局限性
因此，费米面完全在第一布里渊区内，在周期势的作用下， 费米面都是稍稍变形的球。
对于立方晶系的二价碱土金属(Ca(fcc)，Sr(fcc)， Ba(bcc))，每个原胞有两个 s 价电子。 由于费米球和第一布里渊区等体积,因而和区界面 相交,导致电子并没有全部在第一布里渊区,而是有一 部分填到了第二区,因此费米面在第一区形成空穴球面 ,第二区形成电子球面. 对于六角密堆积结构的二价金属Be、Mg,由于在第 一布里渊区六角面上几何结构因子为零,弱周期势场在 此不产生带隙,仅当考虑二级效应,如自旋轨道耦合时 才能解除简并。 这些金属的费米面可看作由自由电子球被布里渊区 边界切割,并将高布里渊区部分移到第一布里渊区得到 .因此,费米面的形状很复杂,会出现空穴型宝冠状、电 子型雪茄状等.
以第一布里渊区中心为原点,以费米波矢为半径画 自由电子的费米圆. (费米面的广延区图)
3) 将落在各个布里渊区的费米球片断平移适当 的倒格矢进入简约布里渊区中等价部位(费米面 的简约区图)。
第一区
=1
第一区
第二区
=2，3
第三区圆，即费米面 同布里渊区边界垂直相交，尖角处要钝化，就 可以得到近自由电子的费米面。
三价金属铝,具有面心立方结构,每个原胞含有 3个价电子,自由电子的费米球将延伸至第一布 里渊区以外.由于周期势的作用,使得第二、第三 布里渊区的费米面变得支离破碎.
一价贵金属包括Cu，Ag，Au等均为面心立方结构,它 们s 轨道附近还有d轨道,形成固体时, s 轨道交叠积分 大, 演变成宽的s带, d轨道因交叠积分小, 变成一窄的d 带. 11个电子将d带填满, s带填了一半. 费米面在s带中, 但d带离费米面很近, 导致球形费米面发生畸变, 因而 出现复杂的输运行为, 但是仍属于单带金属. 比如对于金属铜，假设晶格常数为a，其费米半径
孙会元教授主编的固体物理基础第五章固体的输运现象课件5.4 热导率和热电势
1 取n=0,略去高次项得： 0 Q( ) vk dS F 3 12π
1 0 vk dS F 3 12π
与上一节得到的立方体的电导率： 1 e2 3 4π
2 vx 1 2 2 e 0 sF vk dSF e 12π3 sF vk dSF 比较得：
所以，0可通过的测量来获得。
进一步可以得到 1和 2
1 2 2 1 π (kBT ) 0 ( ) 3
1 2 2 π (k BT )2 0 ( ) 3
n
2 π2 f0 2 Q Q( ) d Q( ) (kBT ) ( 2 ) 6
f0
1 e( ) / kBT 1
f 0 e( ) / kBT 1 2 2 ( ) / kBT T kB T e 1 e( ) / kBT 1 2 ( ) / kBT kBT T e 1
对于 1 来说,相应的Q为：
1 n 其中：Q( ) v ( ) dS 3 k k 12π
1 Q( ) ( ) vk dS F ( ) 0 ( ) 3 12π
( ) Q( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )0 ( ) 2 0 ( ) ( ) 0 ( ) Q( ) 0
f 0 1 n ( ) 其中： n v dSd 3 k k 12π
对于金属来说，我们在第一章已经讨论
f 0 ( ) 过， 函数的特点具有类似于函数的性质，
仅在 附近 kBT 的范围内才有显著的值，且是
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.4能带结构的其它计算方法
( ) r) ,相互作用势依赖于 i ( r ) ,同时 i ( r ) 由于nr i( i i ( r ) 既出现 又要由薛定谔方程来决定,也就是说， 在系数中,同时又是方程的解.所以,必须用自洽的 计算方法—迭代法来处理.这种求解工作量很大, 需借助计算机进行. 求解思路： 1).首先确定所研究晶体的结构和组成(确知价 电子并计算出电荷密度)； 2). 确定初始的单电子势 V ( r ) ；
3.密度泛函理论(density functional theory) 该理论是对哈特利—福克(Hartree—Fock)近 似,亦即将多电子问题化为单电子问题的更严格、 更精确的描述. (具体内容可参考谢希德、陆栋主 编的《固体能带理论》17）. 在密度泛函理论基础之上的局域密度近似 (local density approximation,简称为LDFT)框架 下的计算 ,在大多数情况下能得到较好的结果。 密度泛函理论的基础是非均匀相互作用电子 系统的基态能量由基态电荷密度唯一确定,是基态 电子密度n ( r ) 的泛函.阎守胜书P287(12.1.3)给出了 证明;同时给出了当电子密度的空间变化缓慢时,由 局域密度近似得到的单电子薛定谔方程.
内层电子的能带---窄带；外层电子的能带---宽带 通常把被电子填满的最高能带称为价带，而把 最低空带或半满带称为导带(后面我们还要讨论). 固体的物性主要取决于价带和导带中的电子.而对 于这些外层电子而言,离子实区内和离子实区外是 两种性质不同的区域. 离子实区外,电子感受到的是弱的势场的作用, 波函数很平滑,类似于平面波;离子实区内由于强 烈的局域势作用,波函数急剧振荡,可由紧束缚波 函数来描述。 外层电子(价带和导带中的电子)的波函数可由 两者的线性组合来描述。
(2)
孙会元固体物理基础第一章1.2自由电子气体的热性质
1 f ( ) 0 1 2
随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质
一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容
二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0
亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
随着T的增加，f(i)发生变化的能量范围变 宽,但在任何情况下,此能量范围约在 kBT 范围内,且随T0K而无限地变窄。
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内 才有显著的值. 即
第二节 费米分布和自由电子气体的热性质
一
化学势和费米能量随温度的变化 自由电子费米气体的比热容
二
1.2.1 化学势和费米能量随温度的变化 T0K时,自由电子费米气体在有限温度下的 宏观状态可以用电子在其本征态上的分布定量 描述.其平衡统计分布函数就是费米---狄拉克 分布函数,亦即费米分布函数.
3.费米分布函数的特点
f (i ) (i ) kBT e 1
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
1 f () 0
亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电 子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） 1. 表达式：
f (i ) (i ) kBT e 1
1
是N电子热力学
体系的化学势
2.物理意义
费米分布函数给出了体系在热平衡态时,能量 为i的单电子本征态被一个电子占据的概率.根 据泡利原理,一个量子态只能容纳一个电子,所 以费米分布函数实际上给出了一个量子态的平 均电子占据数.
4.化学势随温度的变化 化学势的计算要由下式积分确定，式中，g() 为自由电子费米气体单位体积的能态密度
孙会元 固体物理基础 第一章 1.5霍尔效应和磁阻
Jy = 0时的电场Ey称为霍尔电场，把Jy = 0代入 方程组，得： c eB B Ey Jx Jx Jx 2 0 me ne ne
me
B 可以理解为与电子所受洛伦兹力 Ey J x 相平衡的电场 ne Ey 得 R 1 按照霍尔系数的定义 RH H J x Bz ne
所以垂直磁电阻为零
但是实验表明电阻率的变化一般不为零,有时还 很大.这进一步反映出自由电子模型的局限性
电子由于受洛伦兹力的作用，沿z方向将螺 旋式前进。其轨迹在 xy平面上的投影为圆,角 频率为 c eB 这就是叫回旋频率(cyclotron m frequency)的原因。 实际上，电子运动时总受到散射(磁致电 阻的产生)，当 c 1 时，电子走圆周的很 小部分既受到散射，然后重新开始。
当磁场增大，使得 c 1 时，电子在相继 的两次散射间可完成多次圆周运动。
以上表明散射程度随磁场而变化，由此 可以理解在与电流垂直的磁场作用下，在电 流方向电阻的变化原因
在能带论之后，我们会认识到这种运动是 量子化的。而且这种现象是研究费米面的重 要手段。
4.隧道磁电阻TMR---Tunnel Magnetoresistance 有隧道节 5.各向异性磁电阻AMR--- Anisotropic Magnetoresistance 与技术磁化相联系 对于我们教材中的垂直磁电阻情况，表示在 与电流垂直的磁场作用下，在电流方向电阻的 B 变化，也就是电阻率的变化 z
me B eE x ev y B vx 0 y me 整理得 eE y evx B v y 0 FB v I FE me vz 0 x J x nevx 电流密度 J nev E
孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.3 简谐晶体的量子理论
, x , y , z
2
1 所以，晶格振动部分的哈密顿为：H Tn V P ( Rn )P ( Rn ) 2M Rn 1 / [u ( Rn ) u ( Rn )] ( Rn Rn ) [u ( Rn ) u ( Rn )] 4 Rn Rn
j
整个系统的本征能量和本征波函数为：
1 E j n j j 2 j j
3N
(Q1 , Q2 , , Q3 N ) n (Q j )
j 1
j
可见简正坐 标的引入可 使问题简化
2. 格波
Q j Ce
i j t
2Q 0 Q j j j
(a1 ) (a2 ) (a3 ) 1 (ai a j ) (ai ) (a j ) iq a1 (a1 ) e iq ai iq a2 (a2 ) e 由此可令: (ai ) e iq a3 (a3 ) e l3 l1 l2 f ( Rl ) (a1 ) (a2 ) (a3 ) f (0)
1. 简正坐标、简正模
我们已经讨论过晶格的薛定谔方程： [Tn V ( R )] ( R ) n ( R )
而且在简谐近似下，我们得到： 1 / V [u ( Rn ) u ( Rn )] ( Rn Rn ) [u ( Rn ) u ( Rn )] 4 Rn Rn
j
简正坐标 Q j 描写的运动表示系统中每个原子 i t 以相同的频率 j 振动,它对时间的依赖关系为 e . 因为它是体系的本征振动,所以要求振幅不依赖 时间. 所以,对于频率为 j 的简正模可表示为：
2
1 所以，晶格振动部分的哈密顿为：H Tn V P ( Rn )P ( Rn ) 2M Rn 1 / [u ( Rn ) u ( Rn )] ( Rn Rn ) [u ( Rn ) u ( Rn )] 4 Rn Rn
j
整个系统的本征能量和本征波函数为：
1 E j n j j 2 j j
3N
(Q1 , Q2 , , Q3 N ) n (Q j )
j 1
j
可见简正坐 标的引入可 使问题简化
2. 格波
Q j Ce
i j t
2Q 0 Q j j j
(a1 ) (a2 ) (a3 ) 1 (ai a j ) (ai ) (a j ) iq a1 (a1 ) e iq ai iq a2 (a2 ) e 由此可令: (ai ) e iq a3 (a3 ) e l3 l1 l2 f ( Rl ) (a1 ) (a2 ) (a3 ) f (0)
1. 简正坐标、简正模
我们已经讨论过晶格的薛定谔方程： [Tn V ( R )] ( R ) n ( R )
而且在简谐近似下，我们得到： 1 / V [u ( Rn ) u ( Rn )] ( Rn Rn ) [u ( Rn ) u ( Rn )] 4 Rn Rn
j
简正坐标 Q j 描写的运动表示系统中每个原子 i t 以相同的频率 j 振动,它对时间的依赖关系为 e . 因为它是体系的本征振动,所以要求振幅不依赖 时间. 所以,对于频率为 j 的简正模可表示为：
《固体物理基础教学课件》第3章
原子n离开平衡位置位移μn 原子n和原子n+1间相对位移
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
n1 n
平衡位置 非平衡位置
a 3
3-1 原子作用力的处理：简谐近似
忽略高阶项，简谐近似考虑原子 V 振动，相邻原子间相互作用势能
v(a)12(ddr2v2)a2
相邻原子间作用力
O
a
r
f ddv, (d dr2v2)a
只考虑相邻原子的作用，第n个原
第2n+1个M原子的方程 M d2 dt2 2n1(22n12n22n)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 第2n个m原子的方程 mdd 2t22n(22n2n12n1)
解也具有平面波 的形式
两种原子振动的 振幅（m取A， M取B）一般来说 是不同的
a 13
3-2 声学波与光学波
色散关系有不同的两种
2(m m M M ) 11(m 4 m M M )2sin2aq12
a 2
3-1 一维单原子链模型
一维单原子链：最简单的晶格模型
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波
格波的研究方法：
计算原子之间的相互作用力 根据牛顿定律写出原子运动方程，并求解方程
一维单原子链模型：
平衡时相邻原子间距为a （即原胞体积为a）
原子质量为m 原子限制在沿链方向运动
声子
0.1
1 100 10000
a 11
3-2 一维双原子链模型
一维双原子链模型 声学波与光学波 声学波与光学波的长波极限 长光学波的特性
a 12
3-2 一维双原子链模型
两种原子m和M (M > m) 构成一维复式格子 M原子位于2n-1, 2n+1, 2n+3 … m原子位于2n, 2n+2, 2n+4… 晶格常数、同种原子间的距离：2a
孙会元固体物理基础第三章能带论39布洛赫电子在恒定磁场作用下的运动PPT课件
在有外磁场B时，k x k y 平面上的能量变为：n(n1/2)c
变成了谐振子，其中心位置在 y 0k x/e B ;(o rx 0 k y/e B ), 代表电子的平均位置, y0 (or x0 ) 可以位于晶体中不同的
地点。所以： L 2 y y 0e k B x L 2 y (k x)m a x e 2 B L y
自由电子在外加磁场(沿z轴方向)的哈密顿算 符为： H ˆ 1 (p eA )2
p：电子的2m 运动学动量， A ：电子的场动量，
eA：矢量势
则由于 BBz 且 B A
可令 A(By,0,0) (orA(0,B x,0))
H ˆ 1 (p eA )2 2m
21mp xeB2yp 2yp 2z
kx
圆周运动,回转的频率 0eB/m
(2)电子在实空间的运动图象
v(k ) k m
v
x
m
kx
v
y
m
ky
v
z
m
kz
dvx dt
m
dkx dt
m
eB m
ky
eB m
vy
dvy dt
m
dk y dt
m
eB m
kx
eB m
vx
dvz
dt
0
电子在r 空间做螺旋运动，即在垂直磁场的平面内
做匀速圆周运动，回旋频率为 0eB/m
(n 为 整 数 ,( 1 )为 相 位 因 子 , 对 自 由 电 子 1 ) 2
可以证明：布洛赫电子的闭合轨道在k空间所围面积
也是以
2eB为 单 位 量 子 化 的 。
这与自由电子相同, 相邻闭合轨道的能量差为: c
孙会元固体物理基础第三章能带论课件37布洛赫电子的准经典运动
1 (r , t ) k
归一化因子
k k0 2 k k0 2
u n , k ( r )e
i[ k r
n (k )
t]
dk
求和写成积分是同一能带中波矢 k是准连续的
令：k k0 k
1 (r , t ) k
k 2 k k0 2 k0
u n , k ( r )e
前面写波函数时,考虑到本征态是定态,没有考 虑时间因子,现在考虑时间因子后，布洛赫波函 数写成：
i n ( k )t i[ k r
( r , t ) n ( k , r )e
e
n (k )
t]
un , k ( r )
由于波包包含不同能量本征态(不同的 k 状态 k 范 具有不同的能量).忽略带间跃迁,可把 k0 附近 围内的布洛赫本征态叠加构成的波包函数写成:
*
左2
[ k n (k )] u nk (r )unk (r )dr n (k ) u nk (r ) k unk (r )dr
左2 ( H k u nk (r )) k unk (r )dr n (k ) u nk (r ) k unk (r )dr 右2
又因为：
Hk
2
2m
(i k )2 V (r )
1 1 2 2 (i k ) V (r ) ( p k ) V (r ) 2m 2m
H 所以： k ( p k ) m k H k unk (r ) H k k unk (r ) [k n (k )]unk (r ) n (k )k unk (r ) k
* *
由于 H k 是厄米算符，则左2为：
孙会元固体物理基础第三章能带论课件3.5 能带结构的图示和空晶格模型
2 2 n
其他曲线我们不再分析,有兴趣的同学可参考 可参考黄昆的书PP178-184 。 总之,沿 轴时,找出倒空间和 轴()平行的线 段上的最近邻、次近邻…等倒格点，并计算出相 应的 , 依抛物线形式画出即可。 沿其它轴的画法一样，注意平移线段的长度应 为倒格矢. 由上面的分析可知,在空晶格近似中,由于对称 性,许多状态是高度简并的,在计入周期场起伏的 微扰作用后,某些简并性要消失(不会全部消失), 详细情况可参阅谢希德等人编著的《固体物理学 中的群论》。
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
轴
如 2 (k ) 曲线：
Fcc的倒格子为bcc, 所以原点 在体心.
M
kz
N
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
ky
kx 2 (k ) 曲线对应最近邻倒格点M： 2 2 2 M 点： k ( , , ) a a a 移入第一布里渊区后对应点 ; 2 2 N点： k ( , 0, ) a a
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
图的得到可参考黄昆的书PP178-184
其他曲线我们不再分析,有兴趣的同学可参考 可参考黄昆的书PP178-184 。 总之,沿 轴时,找出倒空间和 轴()平行的线 段上的最近邻、次近邻…等倒格点，并计算出相 应的 , 依抛物线形式画出即可。 沿其它轴的画法一样，注意平移线段的长度应 为倒格矢. 由上面的分析可知,在空晶格近似中,由于对称 性,许多状态是高度简并的,在计入周期场起伏的 微扰作用后,某些简并性要消失(不会全部消失), 详细情况可参阅谢希德等人编著的《固体物理学 中的群论》。
的解为：
nk (r ) e
ik r
unk (r ) 且
unk (r ) e
iGh r
2 2 相应的能量本征值为： n (k ) (k Gh ) 2m
面心立方格子的倒格子为体心立方。第一布 里渊区为倒格子空间中的WS原胞，由于共有8个 近邻，所以，形状为截角八面体。
轴
如 2 (k ) 曲线：
Fcc的倒格子为bcc, 所以原点 在体心.
M
kz
N
2 2 2 n (k ) / ( ) 2m a
ky
kx 2 (k ) 曲线对应最近邻倒格点M： 2 2 2 M 点： k ( , , ) a a a 移入第一布里渊区后对应点 ; 2 2 N点： k ( , 0, ) a a
在讨论金属和 半导体的能带 结构时，常以 空晶格近似作 为参照。如图 所示为面心立 方金属铝的能 带计算结果(实 线),虚线为空晶 格近似的能带 结构，可见， 两者非常接近。 除布里渊边界 处以及晶格 周期场使某些简并解除导致偏离以外。
つづき
图的得到可参考黄昆的书PP178-184
孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.4 晶格比热
k BT
FBZ
s ( q ) kBT e
2 s (q ) q 2 dq 2 k BT 1
2.计算 按照德拜模型, 相当于存在3个等同的声学支, 则积分 变为：
k BV CV 2 2
s 1
qD
3
e e
s ( q )
从而，可令：s (q ) cs (q )q, cs (q )为比例系数，q是q的单位矢量。
对于宏观晶体,原胞数目N很大，波矢q在简约 布里渊区中有N个取值，所以波矢q近似为准连 续的，频率也是准连续的。
所以，在CV qs T
3 pN
e
s ( q )
s (q )
E 3 NkBT
CV
E T
3 Nk B V
它是一个与温度无关的常数, 这一结论称为杜隆—贝蒂 定律. 可见经典统计理论可以解释绝缘体的比热遵从杜隆 —贝蒂定律。
但是经典理论既不能说明高温下金属中电子对比热 容的贡献可以忽略不计，也不能解释比热容在低温下 随温度下降而趋于零的事实。
二晶格比热的量子理论三三维晶体比热的德拜模型四晶体比热的爱因斯坦模型下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规晶体比热的实验规律1在高温时晶体的比热为3nkn为晶体中原子的个数13810231为玻尔兹曼常量趋于零
4.4 晶格比热
本节主要内容:
一、晶体比热的一般理论
二、晶格比热的量子理论 三、三维晶体比热的德拜模型 四、晶体比热的爱因斯坦模型
4.4 晶格比热
晶体比热的实验规律 (1)在高温时,晶体的比热为 3 NkB (N为晶体中原子的 个数, kB =1.3810-23JK-1为玻尔兹曼常量) ； (2)在低温时，晶体的比热按T3趋于零。 下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规 律。 一、晶体比热的一般理论 CV 晶体的定容比热定义为： T V
孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.2 长波近似
因此恢复力又可写为:
um1 um F c a/2
此外,因第m +1个原子的位移而引起的对第m 个原子产生的恢复力可写为:
F ( u u ) m 1 m
mM 对于一维复式格子,质量密度为： 1 a c 2 v a 弹 2 ( m M )
对于长光学波,用u+表示质量为M的正离子位 移,用u-表示质量为m的负离子位移. 由正、负离子的相对位移所引起的宏观电场 强度设为E.这时,作用在离子上的除了准弹性恢 复力之外,还有电场的作用. 但是,必须注意,作用在某一离子上的电场不能 包括该离子本身所产生的电场. 从宏观电场强度E中减去该离子本身所产生 的场强,称为有效场强,用E有效表示
N N W u W u V V
N * N E q u /1 u W / 把 E 有 效 V 3 V 0 0 3
N V
代入
u u q E 得：
* 有 效
N N N N * * W / W / qE u / 1 q V V V V 0 0 3 3 整理得： * 2 * ( ) /3 0V N q Nq W W E N V N 1 1 3 0V 3 V 0
一、长声学波 由前面一维双原子链的色散关系,声学波：
1 2 m M m M 2 1 4 2 2 () q 1 1 s i n a A q 2 m M m M ) 2 (
当波矢q
2 A qa (m M ) 2
* 有 效
其中b12 =b21, 这组方程是黄昆在1951年讨论 光学波的长波近似时引进的,通称为黄昆方程.
孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.4 晶格比热
下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规
律。
一、晶体比热的一般理论 晶体的定容比热定义为：
CV
T
V
是晶体的平均内能, 包括与热运动无关的基态能量、
晶格振动的平均能量(晶格热能)和电子热能三部分.
CV CVa CVe
晶格振动比热 晶体电子比热
通常情况下， CVe CVa 本节只讨论晶格振动比热. 根据经典统计理论的能量均分定理,每一个自由度的
e
kBT
s (q )
kBT
2 1
s
(q
)
kBT
2
将CV中的求和改成积分，认为频率在q空间为球面, 则：体积元dq对应的波矢数目为：
V
(2
)3
4
q2dq
V
2
2
q2dq
qy
所以有：
qx
s (q )
CV
kBV
2 2
3p s
FBZ
e
e
kBT
s (q ) kBT
考虑到：s (q) cs (q)q,
2
2
O
m
在很低温度下：CV
T
s
cs (q)q Vdq
e
cs (q)q kBT
1
8 3
A
π
o
2 M
πq
a
a
注意：这和第一章态密度的求法类似。且
我们考虑的是整个晶体V。积分范围限制在第
一布里渊区。
不过,按照前面的分析,在很低的温度下, s(q) kBT 部分对上面的积分贡献很小，因而，积分也可 看成是在整个q空间进行。
2019年孙会元固体物理基础第三章能带论课件32近自由电子近似.ppt
利用
d 2 (0) (0) (0) ( x ) ( x ) k k k ( x) 2 2m dx
d 2 (0) (0) (0) ( x ) ( x ) k k k ( x) 2 2m dx
2
2
0 (0) 0 (0) 得到 A V ( x ) B V k k k k ( x) 0
0
1 L ikx 1 L ikx e V (x) V0 e dx V (x)dx V0 0 L 0 L 0
能量的一级修正为零，所 以必须取到二级修正 由于
(2) k
k
'
k V k
'
2
k(0) k(0)
'
1 L k V (x) k V ( x)e i ( k k ) x dx L 0
k'
k ' V k
0 k
1 ikx e L
2 i nx a V e n 1 / 2 2 2 2 n k (k n) 2m a
0 k'
k(0) ( x)
'
令
2 i nx a V e 1 n 1 / 2 uk ( x ) 2 2 L 2 n k ( k n ) 2m a
时,振幅
un
Vn 2π 2 2 k ( k n) 2m a
2
已足够大,这时散射波不能再忽略. 也就是当波矢位于布里渊区边界（或布拉格 平面）时，此时它的振幅已足够大，散射波不能 再忽略。 此外，由非简并微扰的能量表达式可知，能量的 一级修正为零；二级修正中的分子是微扰势的傅 里叶展开系数的平方，也非常小；所以，在一般 情况下近自由电子近似下的能量和自由电子的能 量相差不多，可近似由自由电子的能量描述。