数学物理实验第三节(泰勒级数展开)

f ( z ) (1 z ) m , f (0) 1m m m 1 f ( z ) m(1 z ) f ( z ), 1 z f (0) m1m
8
m(m 1) m f ( z ) m(m 1)(1 x) f ( z ) ， f ( 0 ) m ( m 1 ) 1 (1 z ) 2 m(m 1)(m 2) (3) (3) m f ( z) f ( z ) ， f (0) m ( m 1)( m 2)1 (1 z )3 ......
由 R lim | ak | k a k 1
可知泰勒级数的收敛半径为无限大，只要z
是有限的，则泰勒级数就是收敛的！
例2
在z0＝0的邻域上把 f1 ( z) sin z, f 2 ( z) cos z 展开
( z) sin z 解： f1 ( z) sin z 的前四阶导数是 f1( z) cos z, f1
1
1 n 1 2 n 1 1 2 z 3 z 1 nz , 上式逐项求导 : 2 1 z
z
1
11
例
解
求对数函数的主值 ln 1 z 在z 0处的泰勒展开式.
内可展开成z的幂级数. 奇点z 1, 它在 z 1 y
由泰勒展开的公式我们 可以写出lnz在z0＝1的 邻域上的泰勒级数如下：
7
1 1! 2! 3! 2 3 ln z ln1 ( z 1) ( z 1) ( z 1) ( z 1) 4 ... 1! 2! 3! 4! ( z 1) 2 ( z 1)3 ( z 1) 4 n2 i ( z 1) ... 2 3 4
2
（1）
z z0 z z0 z z0 1 1 ... 1 z z z0 z z 0 0 0 1 z0
代入（1）可得
1 1 t t ... t ... 1 t

1
2!
z
2
1 2
3! },

1 n 1
n!
( z 1)
1 z 1 1 z z 2 1n z n , z
1
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• 解析函数的一个等价命题
函数 f(z)在B内解析的充分必要条件为 f(z)在B内 任一点的邻域内可展成幂级数
iz iz
例
1 在 z 1上有一个奇点 z 1, 而它在 z 1 内处处解析 . 解 2 1 z
它在 z 1 内可展开成 z的幂级数 .
1 把函数 展开成z的幂级数. 2 1 z
1 z 1 1 z z 2 1n z n , z
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2n z2 z4 z n cos z 1 1 2n! 2! 4!
z平面
n 1 z2 z3 z4 z n ln1 z z 1 2 3 4 n 1
( z 1)

1 z

1 {1 z
z
z0

CR
CR同心的圆周 C R
1 f ( ) f ( z) d 2i CR1 z
1
应用柯西公式得
z z0
C R1
下面我们把 1 /( z ) 展开为幂级数，且展开式以z0为中心，
1 1 1 1 z ( z0 ) ( z z0 ) z0 1 z z0 z0 右边第二个式子可得
解： 多值函数f(z)＝lnz的支点在 z 0, 而现在的展开中心
z0＝1不是支点，在它的邻域上，各个单值分支相互独立，各自
是一个单值函数，可按照单值函数的展开方法加以展开。 展开系数计算如下：
f ( z ) ln z , f (1) ln1 n2 i ( n Z ) 1 , f (1) 1 z 1! f ( z ) 2 ，f (1) 1 z 2! (3) f ( z ) 3 , f (3) (1) 2! z 3! (4) (4) f ( z ) 4 , f (1) 3! z f ( z )
2 k
(| t | 1)
2
( z z0 ) k 1 1 ( z z0 ) k k z z0 k 0 ( z0 ) k 0 ( z0 ) k 1 1 f ( ) d 然后逐项积分可得 代入 f ( z ) C 2i R1 z

f ( k ) ( z0 ) ( z z0 ) k ( z z 0 R ) k!
3
下面证明以上得到的泰勒级数是唯一的
如果另有一个以z0为中心的不同于上面的泰勒级数
f ( z ) ak ( z z0 )k
k 0

2 a a ( z z ) a ( z z ) ... 则有 0 1 0 2 0 f ( z0 ) f ( z0 ) f ( z0 ) ( z z0 ) ( z z0 ) 2 ... 1! 2! 令z＝z0，得 a0 f ( z0 ) f ( z0 ) 然后求导一次，令z＝z0，可得 a1 1! f ( z0 ) 然后求导一次，令z＝z0，可得 a2 2!
m m
其中
1m (ein 2 )m eimn 2 (n Z )
这许多单值分支中，n＝0，即1m＝1的这个分支叫做主值
同时也是指数为非整数的二项式定理
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n n 1 iz iz e e sin z n 0 n 0 2i n! n! 2i 2 n 1 z3 z5 z n z 1 2n 1! 3! 5!
第3节
泰勒级数
幂级数之和在收敛圆内部为解析函数. 在实数域中，任意阶导数都存在的实变函数可以展开为泰勒 级数，而解析函数的任意阶导数都存在，自然可以期望把解析
函数展开为复变项的泰勒级数。
一、解析函数以幂级数展开问题
定理：设f(z)在以z0为圆心的圆CR内解析，则对圆内的任意z点
f(z)可展为幂级数 f ( z )
同时可求得其收敛半径为1，则有
( z 1)2 ( z 1)3 ( z 1)4 ln z n2 i ( z 1) ... z-1 1 2 3 4
在上述展开式中，n＝0的那个单值分支叫做lnz的主值
例4 在z0＝0的邻域上把 f ( z) (1 z)m 展开 （m不是整数） 解： 先计算展开系数
12百度文库
Z
1 Z Z Z n n dz dz zdz 1 z dz 01 z 0 0 0
n1 z2 z3 z4 z n ln1 z z 1 , z 1 2 3 4 n 1
R 1 1 0
1
x
ln1 z

1 ,1 z 1 1 z z 2 1n z n , 1 z
z
1
在此展开式的收敛圆z 1 内, 一条从0到z的积分路线C , Z 1 Z Z Z n n dz 上式逐项积分 : dz zdz 1 z dz 01 z 0 0 0
复变函数的泰勒级数和实变函数的运算法则 一样，但要注意复数运算和实数运算的异同， 在计算的时候，考虑全面！
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展开公式
2 3 n z z z ez 1 z 2! 3! n! z3 z5 z 2 n1 n sin z z 1 3! 5! 2n 1!
1 f ( ) f ( z ) ( z z0 ) d k 1 2i CR1 ( z0 ) k 0
k
根据柯西公式
f
(n)
n! • f ( ) ( z) d n 1 l 2i ( z )
上式就是以z0为
中心的泰勒级数
f ( z)
k 0
f
(3) 1
( z ) cos z, f
(4) 1
( z) sin z f1 ( z) 往后依次重复
5
在z0＝0处，f1(z)和前四阶导数的值是 f1 (0) 0, f1(0) 1
f1 (0) 0, f1(3) (0) 1, f1( 4) (0) 0
由此可以写出sinz在z0＝0的邻域上的泰勒级数
z z3 z5 z7 sin z ... 1! 3! 5! 7!
同样也可求得其收敛半径为无限大！ 同理可求得cosz在z0＝0的邻域上的泰勒级数为
z2 z4 z6 cos z 1 ... 2! 4! 6!
可求得其收敛半径为无限大！
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例3
在z0＝1的邻域上把f ( z) ln z 展开
k a ( z z ) k 0 k 0
f ( k ) ( z0 ) 1 f ( ) 其中 ak d k 1 C 2 i R1 ( z0 ) k!
包含z且与CR同心的圆。
C R1 为圆CR内
1
证明： 如图，为避免涉及在圆周CR上级数的
收敛或者发散问题，作比CR小，但包含z且与
m 1
由此我们可以写出 (1 z)m 在z0＝0的邻域上的泰勒级数
m m m(m 1) m 2 m(m 1)(m 2) m 3 (1 z ) 1 1 z 1 z 1 z ... 1! 2! 3! m m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m 1 1 z z z ... 2! 3! 1!
依次进行下去，可得到与前完全一样的展开式，这样就证明了 解析函数可以展开为唯一的泰勒级数，泰勒级数与解析函数有 密切的关系。
4
二、解析函数展为泰勒级数举例： 例1 在z0＝0的邻域上把 f ( z) e z 展开
(k ) z f ( z ) e 并且有 解： 函数 f ( z) e 的各阶导数 f ( k ) ( z0 ) f ( k ) (0) 1 z e 由此可以写出 在z0＝0的邻域上的泰勒级数 2 3 k k z z z z z e z 1 ... ... 1! 2! 3! k! k 0 k! z
m m
可求得收敛半径为1，由此可得
m m
m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1
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m(m 1) 2 m(m 1)(m 2) 3 m (1 z ) 1 1 z z z ... 2! 3! 1! z 1