实验5——双因素方差分析(无重复)
第四章双因素方差分析
ab
ab
2
(yi y)(yj y)2
(yi y)(yij yi yj y)
i1 j1
i1 j1
ab
2
(yj y)(yij yi yj y)
=0
i1 j1
=0
=0
可以验证三个的两两交叉项的累加和均为零
ab
(yiy)(yijyiyj y)
第四章 双因素方差分析
第一节 双因素无重复方差分析
一、数据描述
表4.1
B水 平
A水平 A1
A2
…
双因素无重复实验的典型数据
B1
B2
…
Bj
…
y11
y12
…
y1j
…
y21
y22
…
y2j
…
…
…
…
…
…
Ai
yi1
yi2
…
yij
…
…
…
…
…
…
…
Aa
ya1
ya2
…
yaj
…
…
y.j
y.1
y.2
y.j
…
Bb
yi.
y1b
ST
a
i1
b j1
yij2
T2 N
ab
T yij i1 j1
因素A总差分解:
ab
a
SA (yiy)2b (yiy)2
i1j1
i1
a
SAb (yi22yiyy2)
i1
a
a
a
SAb yi22by yib y2
所以 FB Fa(3,6).
进行无重复双因素方差分析
方差δ 2是某偏差的平方和的均值，其大小反映了 数据的离散程度,是衡量试验条件稳定性的一个重 要尺度。
不同的方差具有不同的意义,不同方差间存在一定 的关系,反映数据间的某些统计规律。
如果从条件因素和试验因素的影响所形成的总的方 差中,将属于试验误差范畴的方差与试验因素及其 交互作用引起的方差分离开来,并将两类方差在一 定条件下进行比较,就可以了解每个试验因素及试 验考察的交互作用对试验指标的影响大小,从而为 有针对性地控制各种试验因素与进一步改善试验条 件指明方向。
举例《概率论与数理统计》—浙江大学第241页例1：
设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。取 样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米。得结果如下表：
机器1 0.236 0.238 0.248 0.245 0.243
机器2 0.257 0.253 0.255 0.254 0.261
机器3 0.258 0.264 0.259 0.267 0.262
析表。与极差分析法比较,方差分析法计算较复杂,计算量也大。 为此,在正交设计的结果分析中,常采用数据简化方法。
2.3 方差分析关键问题
设选用正交表La(bc)进行正交试验。应用方差分析 法处理其试验结果时,主要可归纳为:
①计算偏差平方和及其自由度; ②显著性检验: ③求最优组合及其置信区间。
2 方差分析方法
2.1方差分析的一般程序
(1)由试验数据计算各项偏差平方及其相应的自由度,并算出 各项方差估计值。
(2)计算并确定试验误差方差估计值S/f（其中S为数据指标y 的偏差平方和，f为S的自由度）。
(3)计算检验统计量F值,给定显著性水平a,将F值同其临界值 Fα进行比较。
实验5——双因素方差分析(无重复)
将所有数据输在第一列，并命名为“含量比 ”，将所对应的因素A的水平数输在第二列，命名 为“PH值”，将所对应的因素B的水平数输在第 三列，命名为“浓度”。
3. SPSS程序选项
1）Analyze=>General Linear Model=>Univariate
Si g. .975 .592 .217 .975 .579 .174 .592 .579 .604 .217 .174 .604
95% Confidence Interval
Lower Bound Upper Bound
-2.865
3.732
-2.179
4.245
-1.173
4.706
-3.732
5）单击Continue，返回上一级菜单，单击Option，选择 需显示描述性统计量及方差齐性检验，单击Continue返回上 一级菜单单击OK。
主 要 结 果：
1）描述性统计量
Descriptiv e Statistics
Dep endent Vari abl e : 含 量 比
ph 值 1
浓度 1
2.222
T o ta l
46.290
df 3 2
12
Mean Square 1.763 1.111
F 40.948 25.800
Si g. .000 .001
PA 0.000 0.05, 拒绝原假设，认为因素A对指标有影响 PB 0.001 0.05, 拒绝原假设，认为因素B对指标有影响
4）PH值多重比较
蒸
A1
馏
A2
水
A3
spss操作-双因素方差分析(无重复)精品PPT课件
2）将“含量比”设置为变量，将“PH值”、 “浓度”设置为因素
3）单击Model → 单击Custom选择只含主效应的双因 素方差分析模型 ，单击Con将两个因素设置为需要进行多重比 较的因素，选择 Tukey 法进行多重比较；
5）单击Continue，返回上一级菜单，单击Option，选择 需显示描述性统计量的因素 ，单击Continue返回上一级菜单 单击OK。
结论：…..
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
蒸馏水PH值
硫酸铜浓度
B1
B2
B3
A1
3.5
2.3
2.0
A2
2.6
2.0
1.9
A3
2.0
1.5
1.2
A4
1.4
0.8
0.3
使用SPSS软件进行分析
1. 单击 “开始” → “程序” → SPSS for windows → SPSS10.0 for windows → type in data → OK → 单击 “Variable View”( 在第 一列输入因变量( 含量比 ） 、因素A（ PH值 ）因素 B（ 浓度 ） ；单击“ Data View ”。
(I) PH值 (J) PH值
1
2
Mean Difference
(I-J)
.433
Std. Error .169
95% Confidence Interval
双因素无重复试验设计方差分析 (1)
双因素无重复试验设计方差分析：1.为了考察高温合金中碳的含量（因子A）和锑与铝的含量之和（因子B）对合金强度的影响，因子A取三个水平0.03，0.04，0.05（上述数字表示碳的含量占合金总量的百分比），因子B取4个水平3.3，3.4，3.5，3.6（数字的意义同上）。
试对表中数据作方差分析来回答：不同材质对延伸率有显著影响吗，不同温度对延伸率有显著影响吗？2．使用四种燃料，三种推进器做火箭射程试验，每一种组合情况做一次试验，所得火箭射程如下表，试分析各种燃料（A）与各种推进器（B）对火箭射程有3.A4代替前三种方法，需要通过实验考察。
观察的对象是果汁B，不同的果汁当做不同的水平，即B1苹果葡萄汁，B2葡萄汁，B3西红柿汁，B4苹果饮料，B5橘子汁，B6菠萝柠檬汁。
进行双因素实验，将其检验结果记录与表中。
4.原来检验果汁中含铅量有三种方A1,A2,A3,现研究出另一种快速检验法A4,能否用A4代替前三种方法，需要通过实验考查。
观察的对象是果汁B，不同的果汁当做不同的水平，即B1苹果葡萄汁，B2葡萄汁，B3西红柿汁，B4苹果饮料，B5桔子汁，B6菠萝柠檬汁.进行双因素交错搭配实验，即用四种方法同时检验每一种果汁，将其检验结果记录于表5.六个水稻品种（A1、A2、A3、A4、A5和A6）种在四种不同的土壤类型（B1、B2、B 3和B 4）中，产量数据如表7.26所示，如果品种和土壤类型都是固定效应，试对资料进行适当的分析。
表7.26 例7.9的产量资料及数据整理6.B ）对合金强度的影响，因子A 取3个水平0.03，0.04，0.05（上述数字表示碳的含量占合金总量的百分比），因子B 取4个水平3.3，3.4，3.5，3.6（数字的意义7. 将落叶松苗木栽在4块不同苗床上，每块苗床上苗木又分别使用3种不同的肥料以观察肥效差异，一年后于每一苗床的各施肥小区内用重复抽样方式各取苗木若干株测其平均高，8. 某企业需采购大宗原材料，共有4家企业生产这些原材料，每家均有、、、四种类型的原材料，该企业决策机构对每个企业的每种样品进行试验，的数据如下：９．A 1:0.34~0.74,A 2:0.48~0.52,A 3:0.53~0.56及三种不同的加荷速度（单位：10-1N/cm 3·min ）B 1:600,B 2:2400,B 3:4200. １０．将土质基本相同的一块耕地，分成均等大小的5个地块，没每个地块又分成均等的四个小区；有四个品种的小麦，在每一地块内，随机地分种在四个小区上，每一小区种任一种小麦同样多的用种量。
双因素无重复的方差分析法
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ：ｖ ａ ｉ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ ； ｖ ａ ｉ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ； ｄ ｏ ｕ ｂ ｌ ｅ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ； ｎ ｏ ｒ ｅ ｐ ｅ ａ ｔ ； ｊ ｕ ｄ ｇ ｍ ｅ ｎ ｔ
在 实 验 教 学 过 程 中 ，常 有 学 生 问 到 这 样 的 问 题： 若 干个 实验 者 利用若 干 种不 同的分 析 方法 测 定 某 种试 样 的成分 或 每一参 数 ，每一 种分 析 方法都 重 复 测定 几次 ，如何 判 断分析 方法 之 间 和分 析 者之 间
第１ ２卷 第 ５期 ２ ０ １ ４年 １ ０月
实验科学与技术
Ｅｘ ｐ ｅ ｉ ｒ ｍｅ ｎ ｔ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｖｏ Ｌ １ ２ Ｎｏ ． ５
Ｏｃ ｔ ．２ ０１ ４
双 因素 无 重 复 的 方差 分 析 法
Ｄｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｖａ ｒ ｉ ａ ｎｃ ｅ Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ：Ｄｏ ｕ ｂ ｌ ｅ Ｆａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ— ｎ ｏ Ｒｅ ｐ ｅ ａ ｔ ｅ ｄ Ｖａ ｒ ｉ ａ ｎ ｃ ｅ Ａｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ
ＹＡＮＧ Ｘｉ ａ ｏ ｙ ｏ ｎ ｇ （ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ｏ ｆ Ｃ ｈ ｅ ｍｉ ｓ ｔ ￣ａ ｎ ｄ Ｌ ｉ ｆ ｅ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｐ ｅ ｔ ｒ ｏ ｃ ｈ ｅ ｍ ｉ ｃ ａ ｌ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ ， Ｍａ ｏ ｍｉ ｎ ｇ ５ ２ ５ ０ ０ ０ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
双因素试验方差分析
SS E df E
SST
注意
df E dfT df A f B , SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SS A DA p, SSB DB p
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。 例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。 统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。 我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij X i. T b i.
j 1
b
A1 ... Aa
a b i 1 j 1
1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
特性：
i 1
a
i
0;
j 1
b
j
0; ij ~ N 0,
双因素试验方差分析课件
未来将结合其他统计方法，如回归 分析、聚类分析等，以更全面地揭 示多因素对试验结果的影响。
THANKS
感谢您的观看
重复原则
在相同条件下重复进行试 验，提高试验的可靠性和 准确性。
对照原则
设置对照组，以消除非试 验因素的影响，突出试验 因素的作用。
试验的分类
STEP 02
STEP 03
多因素试验
同时考虑多个因素对试验 结果的影响。
STEP 01
双侧双因素试验
同时考虑两个因素对试验 结果的影响。
单侧双因素试验
只考虑两个因素中的一个 因素对试验结果的影响。
结果解释
根据方差分析的结果，解释各因素 对观测值的影响程度和显著性，得 出结论。
双因素试验方差分析的注意事项
数据的正态性和同方差性
样本量和试验精度
在进行方差分析之前，需要检验数据 是否符合正态分布和同方差性，以确 保分析结果的准确性。
适当增加样本量可以提高试验精度和 降低误差，对方差分析的结果产生积 极影响。
方差分析的步 骤
01
02
03
04
计算平均值和方差
计算各组的平均值和方差。
检验假设条件Βιβλιοθήκη 检查是否满足方差分析的假设 条件。
进行方差分析
使用适当的统计软件或公式进 行方差分析，并解释结果。
结论与建议
根据分析结果得出结论，并提 出相应的建议。
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析的步骤
确定试验因素
明确试验的两个因素，并确定每个 因素的取值水平。
试验设计
根据试验目的和因素水平进行试验 设计，确保每个因素的每个水平都 被充分考虑。
数据收集
双因素方差分析课件
双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水 平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均 旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解 基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往 受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果， 而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性 能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳 影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析 中，把它当成一种新原因来处理。
双因素方差分析
双因素方差分析一、无交互作用下的方差分析设A 与B 是可能对试验结果有影响的两个因素，相互独立，无交互作用。
设在双因素各种水平的组合下进行试验或抽样，得数据结构如下表：表中每行的均值.i X （i=1,2,…r ）是在因素A 的各个水平上试验结果的平均数；每列的均值jX .(j=1,2,…,n)是在因素B 的各种水平上试验的平均数。
以上数据的离差平方和分解形式为：SST=SSA+SSB+SSE （6.13） 上式中：∑∑-=2)(X X SST ij(6.14)∑-=∑∑-=2.2.)()(X X n X XSSA i i (6.15)∑-=∑∑-=2.2)()(X Xr X XSSB j j（6.16）∑+-∑-=2..)(X X X X SSE ji ij(6.17)SSA 表示的是因素A 的组间方差总和，SSB 是因素B 的组间方差总和，都是各因素在不同水平下各自均值差异引起的；SSE 仍是组内方差部分，由随机误差产生。
各个方差的自由度是：SST 的自由度为nr-1，SSA 的自由度为r-1，SSB 的自由度为n-1，SSE 的自由度为nr-r-n-1=（r-1）(n-1)。
各个方差对应的均方差是：对因素A 而言： 1-=r SSA MSA （6.18） 对因素B 而言： 1-=n SSB MSB （6.19）对随机误差项而言：1---=n r nr SSEMSE （6.20）我们得到检验因素A 与B 影响是否显著的统计量分别是：)]1)(1(,1[~---=n r r F MSE MSA F A （6.21）)]1)(1(,1[~---=n r n F MSE MSBF B （6.22）【例6-2】某企业有三台不同型号的设备，生产同一产品，现有五名工人轮流在此三台设备上操作，记录下他们的日产量如下表。
试根据方差分析说明这三台设备之间和五名工人之间对日产量的影响是否显著？（α=0.05）。
05生物统计与试验设计实验(五)
实验五方差分析一、实验目的掌握利用Excel电子表格进行各种方差分析的数据输入格式和基本操作方法；学会解释和分析统计结果。
二、实验内容（一）单因素方差分析由于组内样本容量相等和不等方差分析采用的分析工具相同，因而在这里只介绍组内样本容量不等资料的分析方法。
下面以实例来介绍利用Excel电子表格的单因素方差分析工具进行方差分析的操作方法。
例5-1现统计了5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见表5-1。
试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异显著性。
表5-1 不同品种母猪的窝产仔数品种窝产仔数1 8 13 12 9 9 92 7 8 10 73 13 14 10 11 12 124 13 9 8 8 105 12 11 15 14解：1．数据输入将各组数据按列输入到Excel电子表格中，见图5-1；图5-1 单因素方差分析数据输入2．操作步骤打开“数据分析”对话框，选定“方差分析：单因素方差分析”分析工具，打开“方差分析：单因素方差分析”对话框，在对话框中的输入区域中输入各组数据所在区域（$A$2:$G$6），分组方式选定“行”，选定标志项（由于输入区域中包括各组名称）；选输出区域（例如$B$10），见图5-2，然后单击确定。
图5-2 单因素方差分析对话框3．结果分析单因素方差分析输出结果包括2张表，见表5-2和表5-3。
表5-2 单因素方差分析描述性统计表组（品种）观测数求和平均方差1 6 60 10 42 4 32 8 23 6 72 12 24 5 48 9.6 4.35 4 52 13 3.333333表5-2为描述性统计表，是各组情况概述表，主要包括各组的样本容量、总和、平均数和方差。
表5-3 单因素方差分析表差异源SS df MS F P-value F crit 组间68.96 4 17.24 5.455696 0.003889 2.866081 组内63.2 20 3.16总计132.16 24表5-3为方差分析表，表中F crit为显著性水平为0.05时F检验的临界值，P-value为F 的概率值。
spss操作--双因素方差分析(无重复)
2
3
4
Total
2）多重比较
Mul tiple Compa rison s Dependent Variable: 含量比 Tukey HSD Mean Difference (I) PH值 (J) PH值 (I-J) Std. 1 2 .433 3 1.033* 4 1.767* 2 1 -.433 3 .600* 4 1.333* 3 1 -1.033* 2 -.600* 4 .733* 4 1 -1.767* 2 -1.333* 3 -.733* Based on observed means. *. The mean difference is significant 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound -.153 1.020 .447 1.620 1.180 2.353 -1.020 .153 1.350E-02 1.187 .747 1.920 -1.620 -.447 -1.187 -1.350E-02 .147 1.320 -2.353 -1.180 -1.920 -.747 -1.320 -.147
Mul tiple Compa rison s Dependent Variable: 含量比 Tukey HSD Mean Difference (I) 浓度 (J) 浓度 (I-J) Std. 1 2 .725* 3 1.025* 2 1 -.725* 3 .300 3 1 -1.025* 2 -.300 Based on observed means. *. The mean difference is significant 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound .275 1.175 .575 1.475 -1.175 -.275 -.150 .750 -1.475 -.575 -.750 .150
双因素试验的方差分析
第二节 双因素试验的方差分析进行某一项试验，当影响指标的因素不是一个而是多个时，要分析各因素的作用是否显著，就要用到多因素的方差分析.本节就两个因素的方差分析作一简介.当有两个因素时，除每个因素的影响之外，还有这两个因素的搭配问题.如表9-7中的两组试验结果，都有两个因素A 和B ，每个因素取两个水平.表9-7(b)表9-7（a ）中，无论B 在什么水平（B 1还是B 2），水平A 2下的结果总比A 1下的高20；同样地，无论A 是什么水平，B 2下的结果总比B 1下的高40.这说明A 和B 单独地各自影响结果，互相之间没有作用.表9-7(b)中，当B 为B 1时，A 2下的结果比A 1的高，而且当B 为B 2时，A 1下的结果比A 2的高；类似地，当A 为A 1时，B 2下的结果比B 1的高70，而A 为A 2时，B 2下的结果比B 1的高30.这表明A 的作用与B 所取的水平有关，而B 的作用也与A 所取的水平有关.即A 和B 不仅各自对结果有影响，而且它们的搭配方式也有影响.我们把这种影响称作因素A 和B 的交互作用，记作A ×B .在双因素试验的方差分析中，我们不仅要检验水平A 和B 的作用，还要检验它们的交互作用.1.双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标，因素A 有r 个水平A 1,A 2,…,Ar ,因素B 有s 个水平B 1,B 2,…,B s ,现对因素A ，B 的水平的每对组合(A i ,B j ),i =1,2,…,r ；j =1,2,…,s 都作t (t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如表9-8的结果：表9-8 ijk ij ijk ij 数.或写为⎪⎩⎪⎨⎧===+=.,,,2,1),,0(~,,,2,1;,,2,1,2相互独立各ijkijk ijk ij ijk t k N s j r j x εσεεμ (9.16) 记μ=111,r s ij i j rs μ==∑∑, 11si i j j s μμ∙==∑, i =1,2,…,r ,11rj ij i r μμ∙==∑, j =1,2,…,s ,,i i αμμ∙=-, i =1,2,…,r , j j βμμ∙=-, j =1,2,…,s ,ij ij i j γμμμμ∙∙=--+.于是 μij =μ+αi +βj +γij . (9.17)称μ为总平均，αi 为水平A i 的效应，βj 为水平B j 的效应，γij 为水平A i 和水平B j 的交互效应，这是由A i ,B j 搭配起来联合作用而引起的.易知1rii α=∑=0,1sjj β=∑=0，1riji γ=∑=0, j =1,2,…,s ,1sijj γ=∑=0, i =1,2,…,r ，这样（9.16）式可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======++++=∑∑∑∑====.,,,2,1;,,2,1;,,2,1),,0(~,0,0,0,0,21111相互独立各ijkijk s j ij r i ij s j j r i i ijk ij j i ijk t k s j r i N x εσεγγβαεγβαμ (9.18) 其中μ,αi ,βj ,γij 及σ2都为未知参数.（9.18）式就是我们所要研究的双因素试验方差分析的数学模型.我们要检验因素A ，B 及交互作用A ×B 是否显著.要检验以下3个假设：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ ⎩⎨⎧=====.,,:,0:121113121103不全为零rs rs H H γγγγγγ 类似于单因素情况，对这些问题的检验方法也是建立在平方和分解上的.记1111r s tijk i j k x x rst ====∑∑∑, 11tij ijk k x x t ∙==∑, i =1,2,…,r ； j =1,2,…,s ，111s ti ijk j k x x st ∙∙===∑∑, i =1,2,…,r ， 111r tj ijk i k x x rt ∙∙===∑∑, j =1,2,…,s ， S T =2111()r s tijk i j k x x ===-∑∑∑. 不难验证,,,i j ij x x x x ∙∙∙∙∙分别是μ,μi ·,μ·j,μij 的无偏估计.由 ()()()()i j k i j k i j i j i j i j x x x x x x x x x x x x∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙-=-+-+-+--+， 1≤i ≤r ,1≤j ≤s ,1≤k ≤t得平方和的分解式：S T =S E ＋S A ＋S B ＋S A ×B ， (9.19)其中S E =2111()rstijkij i j k xx ∙===-∑∑∑，S A =1()2ri i stxx ∙∙=-∑，S B =21()sj j rtxx ∙∙=-∑，S A ×B =211()rsij i j i j tx x x x ∙∙∙∙∙==--+∑∑. S E 称为误差平方和，S A ，S B 分别称为因素A ，B 的效应平方和，SA ×B 称为A ，B 交互效应平方和.当H 01:α1=α2=…=αr =0为真时，F A =[](1)(1)A ES S r rs t -- ~F (r -1,rs (t -1))；当假设H 02为真时，F B =[](1)(1)B ES S s rs t --~F (s -1,rs (t -1))；当假设H 03为真时，F A ×B =[](1)(1)(1)A BES S r s rs t ⨯--- ~F ((r -1)(s -1),rs (t -1)).当给定显著性水平α后，假设H 01，H 02，H 03的拒绝域分别为：(1,(1));(1,(1));(1)(1),(1)).A B A BF F r rs t F F s rs t F F r s rs t ααα⨯≥--⎧⎪≥--⎨⎪≥---⎩ (9.20) 经过上面的分析和计算，可得出双因素试验的方差分析表9-9.表9-9在实际中，与单因素方差分析类似可按以下较简便的公式来计算S T ，S A ，S B ，S A ×B ,S E . 记 T ···=111rstijki j k x===∑∑∑，T ij ·=1tijkk x=∑, i =1,2,…,r ; j =1,2,…,s ，T i ··=11s tijkj k x==∑∑, i =1,2,…,r ,T ·j ·=11rtijki k x==∑∑, j =1,2,…,s ,即有221112212212211,1,1,1,.r s tT ijk i j k r A i i s B j j r s A B ij A B i j E T A B A B T S x rst T S T st rst T S T rt rst T S T S S t rst S S S S S ∙∙∙===∙∙∙∙∙=∙∙∙∙∙=∙∙∙⨯∙==⨯⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪⎨=-⎪⎪⎪=---⎪⎪⎪=---⎩∑∑∑∑∑∑∑ (9.21) 例9.5 用不同的生产方法（不同的硫化时间和不同的加速剂）制造的硬橡胶的抗牵拉强度（以kg ·cm -2为单位）的观察数据如表9-10所示.试在显著水平0.10下分析不同的硫化时间（A ），加速剂（B ）以及它们的交互作用（A ×B ）对抗牵拉强度有无显著影响.010203r =s =3, t =2， T ···,T ij ·,T i ··,T ·j ·的计算如表9-11.S T =22111,r s tijki j k T xrst∙∙∙===-∑∑∑=178.44， S A =2211r i i T T st rst∙∙∙∙∙=-∑=15.44，S B =2211s j j T T rt rst ∙∙∙∙∙=-∑=30.11，S A ×B =22111r s ij A B i j T T S S t rst∙∙∙∙==---∑∑ =2.89，S E =S T -S A -S B -S A ×B =130，得方差分析表9-12.由于F 0.10(2,9)=3.01>F A ,F 0.10(2,9)>F B ,F 0.10(4,9)=2.69>F A ×B ,因而接受假设H 01,H 02,H 03,即硫化时间、加速剂以及它们的交互作用对硬橡胶的抗牵拉强度的影响不显著.2.双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中，如果对每一对水平的组合（A i ,B j ）只做一次试验，即不重复试验，所得结果如表9-13.这时ij x ∙=x ijk ,S E =0,S E 的自由度为0，故不能利用双因素等重复试验中的公式进行方差分析.但是，如果我们认为A ，B 两因素无交互作用，或已知交互作用对试验指标影响很小，则可将S A ×B 取作S E ，仍可利用等重复的双因素试验对因素A ，B 进行方差分析.对这种情况下的数学模型及统计分析表示如下：由（9.18）式,112,0,0,~(0,),1,2,,;1,2,,,.ij i j ij r si j i j ij ijk x N i r j s μαβεαβεσε===+++⎧⎪⎪==⎪⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ 各相互独立 (9.22) 要检验的假设有以下两个：⎩⎨⎧=====.,,:,0:21112101不全为零r r H H αααααα ⎩⎨⎧=====.,,:,0:21122102不全为零s s H H ββββββ 记 1111111,,,r s s rij i ij j ij i j j i x x x x x x rs s r ∙∙=======∑∑∑∑平方和分解公式为：S T =S A +S B +S E ， (9.23)其中 22111(),(),r ssT ijA i i j j S xx S s x x ∙====-=-∑∑∑22111(),(),srsB j E ij i j j i j S r x x S x x x x ∙∙∙====-=--+∑∑∑分别为总平方和、因素A ，B 的效应平方和和误差平方和.取显著性水平为α,当H 01成立时，F A =(1)AEs S S - ~F ((r -1),(r -1)(s -1))， H 01拒绝域为F A ≥F α((r -1),(r -1)(s -1)). (9.24)当H 02成立时，F B =(1)BEr S S - ~F ((s -1),(r -1)(s -1))， H 02拒绝域为F B ≥F α((s -1),(r -1)(s -1)). (9.25)得方差分析表9-14.例9.6 测试某种钢不同含铜量在各种温度下的冲击值（单位：kg ·m ·cm ），表9-15列出了试验的数据（冲击值），问试验温度、含铜量对钢的冲击值的影响是否显著？（α=0.01）01020.01A01F0.01（2,6）=10.92<F B,拒绝H02.检验结果表明，试验温度、含铜量对钢冲击值的影响是显著的.。
双因素无重复试验方差分析
r i1
s
ij ,
j1
记
i•
1 s
s
ij ,
j 1
• j
1 r
r i1
ij ,
ai
i•
,i
1, 2,
,r,
bj • j , j 1, 2, , s.
称为总平均
ai称为水平 Ai 的效应
bj 称为水平 Aj 的效应
r
s
显然， ai 0, bj 0
i1
j 1
并且，ij 可表示为
Xi• X 2
i1 j1
i1
r s
2
s
2
SB
X•j X r X•j X
i1 j1
j1
X• j
1 r
r i1
X ij
.
可以证明： ST Se SA SB
定理 对前面给定的模型有
(1)
Se ~ 2 ((r 1)(s 1)). 2
(2)
当H
成立时，
01
SA
2
~
2(r
1).且S A与Se相互独立
双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一 组合至少要做两次试验.
如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对 试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.
对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以 对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验 的方差分析.
设试验结果受两个因素 A, B 的影响，因素 A有r 个水平 A1, A2, , Ar ；因素 B有s个水平 B1, B2, , Bs.在两个因素 的每一个组合 Ai Bj 作一次试验，所得试验结果为
1)
ST R P rs 1
双因素无重复试验的方差分析
双因素无重复试验的方差分析双因素试验的方差分析原理如果我们要同时考虑两个因素A与B对所考察的随机变量ξ是否有显著影响的问题，则应讨论双因素试验的方差分析.设因素A 有不同水平,因素B 有不同水平，在它们的每一种搭配(A i，B j)下的总体服从正态分布,i=1,2,...,l;j=1,2,…,m.这里,我们假定各有相同的标准差σ,但各总体均值可能不同. 所谓无重复试验就是因素A和B的每一种水平搭配(A i，B j)下仅取一个观察值x ij. 我们假定所有的试验都是独立的. 全部样本观测值x ij可用下表表示:因为观测值与总体服从相同的分布,所以有,(i=1,2,...,l,j=1,2,…,m) (9.3)我们的任务就是根据这些观测值来检验因素A和B对试验结果的影响是否显著. 令显然有，，因此可表示为若因素A或B的影响不显著，则其各水平的效应为零.要检验的原假设可分别设为，（9.3），（9.4）方差分析统计量的构造(1)定义第i行平均值第j列平均值总平均值，总离差平方和，因素A的离差平方和，因素B的离差平方和,误差平方和.S A与S B分别反映因素A和B的不同水平所引起的系统差异；而S e则反映各种随机因素引起的试验误差.(2)几个重要结论我们可以导出如下结论：✧;✧S A、S B、S e是相互独立的；✧；✧若H01成立，则，✧若H02成立，则.(3)构造F统计量利用以上结论，定义:因素A的平均平方和；因素B的平均平方和；误差平均平方和.考察统计量，利用上面的结论及F分布的定义可知当H01成立时，F A~F(l-1,(l-1)(m-1)),当H02成立时，F B~F(m-1,(l-1)(m-1)).方差分析的方法与单因素试验方差分析方法相仿，我们可以根据F A与F B的值的大小来检验上述原假设H01与H02。
对于给定的显著性水平α,由F 分布表查得相应的分位数.如果由样本观测值计算得到的F 的值大于,则在水平α下拒绝原假设,即认为该因素的不同水平对总体有显著影响;如果F的值不大于,则接受原假设,即认为该因素的不同水平对总体无显著影响.通常分别取α=0.05和α=0.01,按F所满足的不同条件作出不同的判断：通常还根据计算结果，列出如下方差分析表：-1)。
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例 为了考察蒸馏水的PH值和硫酸铜溶 液浓度对血清中白蛋白和球蛋白化验结果的 影响，蒸馏水的PH取4个水平，硫酸铜溶液 浓度取三个水平。在不同的水平组合下各做 一次试验，共进行12次试验，其结果见下表。 试选择蒸馏水的PH值和硫酸铜溶液浓度的最 佳组合。
血清中白蛋白和球蛋白含量比
2）将“含量比”设置为变量，将“PH值”、 “浓度”设置为因素
3）单击Model → 单击Custom选择只含主效应的双因 素方差分析模型 ，单击Continue返回到上级主菜单；
4）单击 Post Hoc，将两个因素设置为需要进行多重比 较的因素，选择 Tukey , Tamhane’s法进行多重比较；
1.033 1.767 -.433
.600 1.333 -1.033 -.600
.733 -1.767 -1.333
-.733
Std. Error .5077 .5142 .5578 .5077 .3197 .3859 .5142 .3197 .3944 .5578 .3859 .3944
结论：…..
2.865
-.946
2.146
-.709
3.376
-4.245
2.179
-2.146
.946
-1.296
2.763
-4.706
1.173
-3.376
.709
-2.763
1.296
5）浓度多重比较
Dep ende nt Vari able: 含 量 比
Multiple Comp浓 度
Mean
Std. Devi ati on
3 .5 0 0
.
2
2 .3 0 0
.
3
2 .0 0 0
.
T otal
2 .6 0 0
.79 3 7
2
1
2 .6 0 0
.
2
2 .0 0 0
.
3
1 .9 0 0
.
T otal
2 .1 6 7
.37 8 6
3
1
2 .0 0 0
.
2
1 .5 0 0
.
3
1 .2 0 0
.
T otal
1 .5 6 7
.40 4 1
4
1
1 .4 0 0
.
2
.80 0
.
3
.30 0
.
T otal
.83 3
.55 0 8
T otal 1
2 .3 7 5
.89 5 8
2
1 .6 5 0
.65 5 7
3
1 .3 5 0
.78 5 3
T otal
1 .7 9 2
.84 0 4
N 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 4 4 4
2. SPSS输入数据格式: 3列12行 因素A取值有4个，因素B取值有3个。
将所有数据输在第一列，并命名为“含量比 ”，将所对应的因素A的水平数输在第二列，命名 为“PH值”，将所对应的因素B的水平数输在第 三列，命名为“浓度”。
3. SPSS程序选项
1）Analyze=>General Linear Model=>Univariate
Si g. .975 .592 .217 .975 .579 .174 .592 .579 .604 .217 .174 .604
95% Confidence Interval
Lower Bound Upper Bound
-2.865
3.732
-2.179
4.245
-1.173
4.706
-3.732
a. Desig n: Int ercept+ ph值 +浓 度
P≈0＜0.05，方差不具有齐性.
3）方差分析结果
无重复析因试验双因素方差分析表
Tests of Between-Subj ects Effects
Dep ende nt Vari able: 含 量 比
Source ph 值
浓度
Type III Sum of Squares 5.289
12
2）方差齐性检验
Lev ene's Test of Equality of Error Varianceas
Dep ende nt Variable : 含 量 比
F .
df1 11
df2 0
Si g. .
Tests the null hypothesis that the error variance of the dependent variable is equal across groups.
Dep ende nt Variable : 含 量 比
Multiple Comparisons
T a mh an e
(I) ph值 1
2
3
4
(J) ph 值 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3
Based on observed means.
M ea n Di ffe re nce
(I-J) .433
蒸
A1
馏
A2
水
A3
值
A4
硫酸铜浓度
B1
B2
B3
3.5
2.3
2.0
2.6
2.0
1.9
2.0
1.5
1.2
1.4
0.8
0.3
PH
使用SPSS软件进行分析
1. 单击 “开始” → “程序” → SPSS for windows → SPSS10.0 for windows → type in data → OK → 单击 “Variable View”( 在第一 列输入因变量( 含量比 ） 、因素A（ PH值 ）因素 B （ 浓度 ） ；单击“ Data View ”。
5）单击Continue，返回上一级菜单，单击Option，选择 需显示描述性统计量及方差齐性检验，单击Continue返回上 一级菜单单击OK。
主 要 结 果：
1）描述性统计量
Descriptiv e Statistics
Dep endent Vari abl e : 含 量 比
ph 值 1
浓度 1
2.222
T o ta l
46.290
df 3 2
12
Mean Square 1.763 1.111
F 40.948 25.800
Si g. .000 .001
PA 0.000 0.05, 拒绝原假设，认为因素A对指标有影响 PB 0.001 0.05, 拒绝原假设，认为因素B对指标有影响
4）PH值多重比较
Tamhane 1
2
3
2
1
3
3
1
2
Based on observed means.
M ea n Di ffe re nce
(I-J) .725
1.025 -.725 .300 -1.025 -.300
Std. Error .5551 .5956 .5551 .5115 .5956 .5115