第六章 变异度指标
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❖ 1、四分位差是四分位数中间两个分位之差。 ❖ 四位差Q=第三个四分位数Q3—第一个四分位数Q1 ❖ 实质上是两端各去掉四分之一的数据以后的极差，表示占全
部数据一半的中间数据的离散程度。四分位差越大，表示数 据离散程度越大。
❖ 2、适用条件：四分位差是一种顺序统计量，适用于定序数 据和定量数据。尤其是当用中位数来测度数据集中趋势时。
❖ 对于总体数据而言，极差也就是变量变化的范围或幅度大小。 ❖ 组距数列中，极差≈最高组的上限-最低组的下限。 ❖ 在总体中任何两个单位的标志值之差都不可能超过极差，即
xi x j R，其中i j
❖ 2、优缺点：计算简便、含义直观、容易理解。反映现象的 差异程度较粗略，未考虑数据的中间分布情况，不能充分说 明全部数据的差异程度。
❖ 解：第一步：求出第一个四分位数和第三个四分位数的位次：
Q1的位次
n
1 4
12 1 4
3.25
Q3的位次
3(n 1) 4
9.75
❖ 第二步：求出第一个四分位数和第三个四分位数，得到四分 位数
Q1
22 2
24
23
Q3
30 32 2
31
Q Q3 Q1 31 23 8
❖ 三、平均差
❖ 1、平均差是总体各单位标志值对其算术平数的离 差绝对值的算术平均数。反映各个数据与其均值的 平均差距，通常以A.D表示。计算公式为：
引例
“平均”这个词往往是“算术平均值”的简称。这是 一个很有用的统计学的度量指标。然而，如果有少数几 个很大的数，“平均值”就会给人错误的印象。例如， 有一个人在一条平均只有1.2米的河中淹死了，而成人的 身高一般都会超过1.5米。那么，为什么一条平均深度只 有1.2米的河却会淹死人？原因是这条河深浅不同，这个 人是在一个2米多深的陷坑处沉下去的。
❖ 三、学习重点和难点
❖ 本章的重点是标准差、离散系数的计算；难点是偏 度与峰度的计算，以及如何正确的运用标准差和离 散系数来判别社会经济现象的代表性。
❖ 四、授课课时：4-6学时
变量数列1 变量数列2
___
X
一则笑话
❖ 如果你一只脚放在摄氏 1 度的水里，另一只脚放在 摄氏 79 度的水里，平均水温 40 度，你一定感觉很 舒服 ？
❖ 三、变异度指标的种类 ❖ 1、全距 ❖ 2、四分位差 ❖ 3、平均差 ❖ 4、标准差 ❖ 5、方差 ❖ 6、离散系数 ❖ 7、偏度 ❖ 8、峰度
第二节 变异度指标的计算
❖ 一、全距（极差） ❖ 1、全距是总体各单位标志值中最大值与最小值之差，又称
极差。 全距 R=最大值－最小值 R xmax xmin
（一）全距计算
例 6.1
日产量X 工人数f
R X X 20
3
21
4
max mwk.baidu.comn
22
5
23 6 26 20
24
5
25
26
4 3
6件
∑
30
例 6.2
X分组
f
30-40
1
40-50
3
50-60
8
60-70
4
70-80
2
∑
R X max X min 80 30 50
❖ 二、四分位差
员工数f 5 10 20 7 5
3
50
❖ 计算月工资水平的平均差
月工资X 800 1000 1200 1500 2000 2500 合计
员工数f 5 10 20 7 5 3 50
X X
-520 -320 -120 180 680 1180
--
X X
520 320 120 180 680 1180 --
XX f
2600 3200 2400 1260 3400 3540 16400
n
A.D
| xi x | fi
i 1 n
fi
16400 328元 50
i 1
❖ 四、方差和标准差
❖ 1. 方差（Variance）
❖ 方差是各个数据与其均值的离差平方的算术平均 数.
❖ 总体方差（ σ2 ）的计算公式为：
第六章 变异度指标
❖ 一、基本内容
❖ 第一节 变异度指标的意义
❖ 变异度指标的概念、变异度指标的作用、变异度 指标的种类
❖ 第二节 变异度指标的计算
❖ 全距、四分位差、平均差、标准差和方差、离散 系数
❖ 第三节 偏度与峰度
❖ 偏度、峰度；偏度和峰度的简捷计算及应用
❖ 二、学习目的与要求
❖ 通过对本章的学习，使同学们明确变异度指标的概 念、种类和作用，变异度指标和平均指标的区别， 掌握各种变异度指标的计算方法。
未分组数据
已分组数据
n
部差异，离中趋势）。
❖ 二、变异度指标的作用 ❖ 1、衡量平均数的代表性。变异度指标值与平均数
的代表性大小成反比。变异度指标值（离散程度） 越大，平均数的代表性就越小。 ❖ 如有三个生产小组，有5人每日产量如下： ❖ 甲组：24 24 24 24 24 ❖ 乙组：20 22 25 26 27 ❖ 丙组：10 20 25 30 35 ❖ 2、衡量现象变动的离散程度、稳定性和均衡程度。 ❖ 变异度指标越小，现象变动的稳定性和均衡程度越 高。 ❖ 3、计算抽样误差和确定样本容量的依据。
❖ 显然，只了解变量的集中趋势是不够的！
第一节 变异度指标
❖ 一、变异度指标的概念
❖ 变异度指标又称标志变动度指标，是综合反 映总体各单位标志值及其分布的差异程度的 指标。
❖ 如：七个人的工资分别为：320元，320元， 400元，400元，500元，500元，2000元。
❖ 平均工资为634.29元（平均指标 ，集中趋势） ❖ 最高和最低之差为1680元（变异度指标，内
❖ 3、优缺点：计算简单，意义清楚，在一定程度上对极差的 一种改进，避免了极端值的干扰。但反映现象的差异程度较 粗略和不全面，实用价值甚小。
全距和四分位 差均只使用部 分数据进行计
算。
❖ 例题：某车间12个工人，其日产量按数量大小依次排列如下： 10，20，22，24，25，26，27，28，30，32，34，35，求 其四分位差。
未分组数据
已分组数据
n
| xi x | A.D i1
n
n
| xi x | fi A.D i1
n
fi
i 1
❖ 平均差含义清晰，能全面地反映数据的离散程度。 但取离差绝对值进行平均，数学处理上不够方便， 在数学性质上也不是最优的。
❖ 计算月工资水平的平均差
月工资X 800 1000 1200 1500 2000 2500 合计
部数据一半的中间数据的离散程度。四分位差越大，表示数 据离散程度越大。
❖ 2、适用条件：四分位差是一种顺序统计量，适用于定序数 据和定量数据。尤其是当用中位数来测度数据集中趋势时。
❖ 对于总体数据而言，极差也就是变量变化的范围或幅度大小。 ❖ 组距数列中，极差≈最高组的上限-最低组的下限。 ❖ 在总体中任何两个单位的标志值之差都不可能超过极差，即
xi x j R，其中i j
❖ 2、优缺点：计算简便、含义直观、容易理解。反映现象的 差异程度较粗略，未考虑数据的中间分布情况，不能充分说 明全部数据的差异程度。
❖ 解：第一步：求出第一个四分位数和第三个四分位数的位次：
Q1的位次
n
1 4
12 1 4
3.25
Q3的位次
3(n 1) 4
9.75
❖ 第二步：求出第一个四分位数和第三个四分位数，得到四分 位数
Q1
22 2
24
23
Q3
30 32 2
31
Q Q3 Q1 31 23 8
❖ 三、平均差
❖ 1、平均差是总体各单位标志值对其算术平数的离 差绝对值的算术平均数。反映各个数据与其均值的 平均差距，通常以A.D表示。计算公式为：
引例
“平均”这个词往往是“算术平均值”的简称。这是 一个很有用的统计学的度量指标。然而，如果有少数几 个很大的数，“平均值”就会给人错误的印象。例如， 有一个人在一条平均只有1.2米的河中淹死了，而成人的 身高一般都会超过1.5米。那么，为什么一条平均深度只 有1.2米的河却会淹死人？原因是这条河深浅不同，这个 人是在一个2米多深的陷坑处沉下去的。
❖ 三、学习重点和难点
❖ 本章的重点是标准差、离散系数的计算；难点是偏 度与峰度的计算，以及如何正确的运用标准差和离 散系数来判别社会经济现象的代表性。
❖ 四、授课课时：4-6学时
变量数列1 变量数列2
___
X
一则笑话
❖ 如果你一只脚放在摄氏 1 度的水里，另一只脚放在 摄氏 79 度的水里，平均水温 40 度，你一定感觉很 舒服 ？
❖ 三、变异度指标的种类 ❖ 1、全距 ❖ 2、四分位差 ❖ 3、平均差 ❖ 4、标准差 ❖ 5、方差 ❖ 6、离散系数 ❖ 7、偏度 ❖ 8、峰度
第二节 变异度指标的计算
❖ 一、全距（极差） ❖ 1、全距是总体各单位标志值中最大值与最小值之差，又称
极差。 全距 R=最大值－最小值 R xmax xmin
（一）全距计算
例 6.1
日产量X 工人数f
R X X 20
3
21
4
max mwk.baidu.comn
22
5
23 6 26 20
24
5
25
26
4 3
6件
∑
30
例 6.2
X分组
f
30-40
1
40-50
3
50-60
8
60-70
4
70-80
2
∑
R X max X min 80 30 50
❖ 二、四分位差
员工数f 5 10 20 7 5
3
50
❖ 计算月工资水平的平均差
月工资X 800 1000 1200 1500 2000 2500 合计
员工数f 5 10 20 7 5 3 50
X X
-520 -320 -120 180 680 1180
--
X X
520 320 120 180 680 1180 --
XX f
2600 3200 2400 1260 3400 3540 16400
n
A.D
| xi x | fi
i 1 n
fi
16400 328元 50
i 1
❖ 四、方差和标准差
❖ 1. 方差（Variance）
❖ 方差是各个数据与其均值的离差平方的算术平均 数.
❖ 总体方差（ σ2 ）的计算公式为：
第六章 变异度指标
❖ 一、基本内容
❖ 第一节 变异度指标的意义
❖ 变异度指标的概念、变异度指标的作用、变异度 指标的种类
❖ 第二节 变异度指标的计算
❖ 全距、四分位差、平均差、标准差和方差、离散 系数
❖ 第三节 偏度与峰度
❖ 偏度、峰度；偏度和峰度的简捷计算及应用
❖ 二、学习目的与要求
❖ 通过对本章的学习，使同学们明确变异度指标的概 念、种类和作用，变异度指标和平均指标的区别， 掌握各种变异度指标的计算方法。
未分组数据
已分组数据
n
部差异，离中趋势）。
❖ 二、变异度指标的作用 ❖ 1、衡量平均数的代表性。变异度指标值与平均数
的代表性大小成反比。变异度指标值（离散程度） 越大，平均数的代表性就越小。 ❖ 如有三个生产小组，有5人每日产量如下： ❖ 甲组：24 24 24 24 24 ❖ 乙组：20 22 25 26 27 ❖ 丙组：10 20 25 30 35 ❖ 2、衡量现象变动的离散程度、稳定性和均衡程度。 ❖ 变异度指标越小，现象变动的稳定性和均衡程度越 高。 ❖ 3、计算抽样误差和确定样本容量的依据。
❖ 显然，只了解变量的集中趋势是不够的！
第一节 变异度指标
❖ 一、变异度指标的概念
❖ 变异度指标又称标志变动度指标，是综合反 映总体各单位标志值及其分布的差异程度的 指标。
❖ 如：七个人的工资分别为：320元，320元， 400元，400元，500元，500元，2000元。
❖ 平均工资为634.29元（平均指标 ，集中趋势） ❖ 最高和最低之差为1680元（变异度指标，内
❖ 3、优缺点：计算简单，意义清楚，在一定程度上对极差的 一种改进，避免了极端值的干扰。但反映现象的差异程度较 粗略和不全面，实用价值甚小。
全距和四分位 差均只使用部 分数据进行计
算。
❖ 例题：某车间12个工人，其日产量按数量大小依次排列如下： 10，20，22，24，25，26，27，28，30，32，34，35，求 其四分位差。
未分组数据
已分组数据
n
| xi x | A.D i1
n
n
| xi x | fi A.D i1
n
fi
i 1
❖ 平均差含义清晰，能全面地反映数据的离散程度。 但取离差绝对值进行平均，数学处理上不够方便， 在数学性质上也不是最优的。
❖ 计算月工资水平的平均差
月工资X 800 1000 1200 1500 2000 2500 合计