07年中考复习 第19讲 等腰三角形(含答案)-

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第三节 等腰三角形

【回顾与思考】

等腰三角形60⎧⎧⎧⎪⎪

⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪

⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎧

⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎩⎪

⎪⎪︒⎧

⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩等边对等角

性质三线合一

腰与底边不等的等腰三角形等角对等边

判定定义

三边相等性质三角都相等

有一个角等于的等腰

等边三角形三角形

判定三边都相等(或三角都相等)的

三角形

【例题经典】

根据等腰三角形的性质寻求规律

例1.在△ABC 中,AB=AC ,∠1=1

2∠ABC ,∠2=1

2∠ACB

,BD 与CE 相交于点O ,如图,∠BOC 的大小与∠A 的大小有什

么关系?

若∠1=1

3∠ABC ,∠2=1

3∠ACB ,则∠BOC 与∠A 大小关

系如何?

若∠1=1

n ∠ABC ,∠2=1

n ∠ACB ,则∠BOC 与∠A 大小关

系如何?

【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中,

根据等腰三角形的性质,∠1=∠2,∠ABD=∠ACE ,

即可得到∠1=1

2∠ABC ,∠2=1

2∠ACB 时,∠BOC=90°+1

2∠A ;

∠1=13∠ABC ,∠2=13∠ACB 时,∠BOC=120°+1

3∠A ;

∠1=1

n ∠ABC ,∠2=1

n ∠ACB 时,∠BOC=1

n n -·180°+∠A .

【点评】在例1图中,若AE=1n AB ,AD=1

n AC .类似上题方法同样可证得BD=CE .

述规律仍然存在.

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2.如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC ,一腰上的中线BD•将这

个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及

底边长.

【分析】要分AB+AD=15,CD+BC=6和AB+AD=6,CD+BC=15两

种情况讨论.

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3.(2006年常德市)如图,P 是等边三角形ABC 内的一点,连结PA 、PB 、PC ,•以BP 为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP ,连结CQ .

(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系,并证明你的结论.

(2)若PA :PB :PC=3:4:5,连结PQ ,试判断△PQC 的

形状,并说明理由.

【分析】(1)把△ABP 绕点B 顺时针旋转60°即可得到△

CBQ .•利用等边三角形的性质证△ABP ≌△CBQ ,得到

AP=CQ .(2)连接PQ ,则△PBQ 是等边三角形.PQ=PB ,AP=CQ

故CQ :PQ :PC=PA :PB :PC=3:4:5,∴△PQC

是直角三角形.

【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明.

【考点精练】

一、基础训练

1.如图1,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=50°,BD 为∠ABC 的平分线,则∠BDC=_____°.

(1) (2) (3)

2.如图2,是由9个等边三角形拼成的六边形,•若已知中间的小等边三角形的边长是a ,则六边形的周长是_______.

3.如图3,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=________度.

4.(2006年烟台市)如图4,在等腰直角△ABC 中,∠B=90°,将△ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到△AB ′C ′,则∠BAC ′等于________.

(4) (5) (6)

5.(2006年包头市)如图5,沿AC方向开山修渠,为了加快施工进度,•要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=135°,BD=520米,∠D=45°,如果要使A、C、E成一直线,那么开挖点E离D的距离约为_______米(精确到1米).

6.(2006年诸暨市)等腰△ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B 开始向点C以0.25cm/秒的速度运动,当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点P•运动的时间应为________.

7.如图6,等边△ABC,B点在坐标原点,C点的坐标为(4,0),点A关于x轴对称点A•′的坐标为_______.

8.

(2006年江阴市)如图7,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20•°,且AE=•AD,则∠CDE=________.

(7)(8)(9)

9.(2005年常州市)如图8,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于()

A.44° B.68° C.46° D.22°

10.(2006年海南省)如图9,要在离地面5m处引拉线固定电线杆,•使拉线和地面成60°角,若考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的L1=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m的四种备用拉线材料中,拉线AC最好选用()

A.L1B.L2C.L3D.L4

11.(2006年日照市)如图10,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,且BD=BC=AD.•则∠A等于()

A.30° B.36° C.45° D.72°

(10)(11)

12.(2006年怀化市)同学们都玩过跷跷板的游戏.如图11所示,•是一跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头A着地时,∠OAC=25°,•则当跷跷板的另一头B着地时,∠AOA′等于()

A.25° B.50° C.60° D.130°

二、能力提升

13.如图,已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分,求它的底边长.

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