第一章练习题

2
是
。 19．设 x n = 12 + 2 2 + L + n 2 n − ，求 lim x n 。 n →∞ n2 3
1 1 1 20．利用极限存在准则证明： lim n + 2 +L+ 2 2 =1。 n →∞ n + nπ n + π n + 2π
21．求下列函数的间断点，并判别间断点的类型 (1) y =
)
D． e x − 1 )
8．若数列 {x n } 有极限 a ，则在 a 的 ε 领域之外，数列中的点( A．必不存在 C．必定有无穷多个 B．至多只有限多个
D．可以有有限个，也可以有无限多个 )
9．任意给定 M > 0 ，总存在 X > 0 ，当 x < − X 时， f (x ) < − M ，则( A． lim f (x ) = −∞
1 2 −1
x
16．下列各式中的极限存在的是( A． lim sin x
x →∞
B． lim e
x→ 0
1 x
x→ 0
17． lim A．1
x sin x
x→ 0
=(
) C．-1 D．不存在 。
B．0
1 2 n 18． lim + 2 +L+ 2 = n →∞ n 2 n n
x →∞
B．一个很小很小的数 D．数零
(
n+3 − n
)
n −1 = 。
1 1 1 + +L+ n 2 4 2 =。 13． lim n →∞ 1 1 1 1+ + +L+ n 3 9 3 1+
14． lim
(2 x − 3)20 (3 x + 2)30 x →∞ (5 x + 1)50
=。
x<1 x, 15．函数 f (x ) = x − 1, 1 ≤ x < 2 的不连续点为 3 − x, x ≥ 2
x →−∞
B． lim f ( x ) = −∞
x →∞
C． lim f (x ) = ∞
x →−∞
D． lim f (x ) = ∞
x →+∞
10．如果 lim+ f (x ) 与 lim− f (x ) 存在，则(
x → x0 x → x0
)
A． lim f ( x ) 存在且 lim f ( x ) = f ( x0 )
2．下列函数 f ( x ) 与 g ( x ) 相等的是( A． f (x ) = x 2 ， g ( x ) = C． f (x ) = x4
) B． f ( x ) = x ， g ( x ) =
( x)
2
x −1 ， g(x) = x +1
x −1 x +1
D． f (x ) =
x2 − 1 ， g(x) = x + 1 x −1
1 − cos 2 x x→ 0 x sin x
(7) lim
6
(8) lim π
x→ 2
cos x π x− 2
(10) lim
sin 2 x − sin 2 a x→ a x−a
1
1+ x x (12) lim x→ 0 1 − x
kx
1 (14) lim 1 − ( k 为正整数) x →∞ x
x → x0 x → x0
B． lim f ( x ) 存在，但不一定有 lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0 x → x0
C． lim f ( x ) 不一定存在
x → x0
D． lim f ( x ) 一定不存在
x → x0
11．无穷多个无穷小量之和，则( A．必是无穷小量
)
6．设 f ( x ) 在 R 上有定义，函数 f ( x ) 在点 x 0 左、右极限都存在且相等是函数
f ( x ) 在点 x 0 连续的(
A．充分条件 C．必要条件
) B．充分且必要条件 D．非充分也非必要条件 )
x 2 + aห้องสมุดไป่ตู้, x ≥ 1 7．若函数 f (x ) = 在 R 上连续，则 a 的值为( cos π x , x < 1
x是有理数 x是无理数
D． y = −x )
a x , 5．设函数 f (x ) = 0 ,
0 < a < 1 ，则(
A．当 x → +∞ 时， f ( x ) 是无穷大 C．当 x → −∞ 时， f ( x ) 是无穷大
B．当 x → +∞ 时， f ( x ) 是无穷小 D．当 x → −∞ 时， f ( x ) 是无穷小
。
(2) lim
x→1
xn − 1 ( n ， m 为正整数)， xm − 1
(3) lim
1+ x x →+∞ 1 − x
x →−∞
(4) lim (5)
x − cos x x−7
81 19 ( 4 x − 7) (5x − 8 ) lim x →∞ (2 x − 3)100
1 3 (6) lim − x→1 1 − x 1− x3
1
。
22．函数 f (x ) = e x 的不连续点 23．函数 f (x ) = sin
1 的不连续点 x
1
，是第 ，是第
类不连续点。 不连续点。 。 。
24．已知 f (x ) = (1 − x ) x ，为使 f ( x ) 在 x = 0 连续，则应补充定义 f (0) = 25．如果 x → 0 时，要无穷小 (1 − cos x ) 与 a sin 2 26．要使 lim− (ax + b) x = 0 ，则 b 应满足
x →0 1
x 等价， a 应等于 2
。 ；若 f ( x ) 无间断点，则
− x12 , x ≠ 0 ， lim f ( x ) = 27 ． f (x ) = e x→ 0 a , x=0
a=
。 1 − cos x 28． lim 2 = x→ 0 x cos x 29．求下列极限 (1) lim x 2 −1 x→ 0 3 x 2 − x − 2
C．当 g ( x ) 为有界时，能使 lim f (x ) g (x ) = 0 成立
x → x0
D．仅当 g ( x ) 为常数时，才能使 lim f (x ) g (x ) = 0 成立
x → x0
3．设 lim f ( x ) 及 lim g ( x ) 都不存在，则(
x → x0 x → x0 x → x0 x → x0
30．设 f ( x ) 在闭区间 [0,2a ] 上连续，且 f (0 ) = f (2 a ) ，则在 [0, a ] 上至少存在 一个 x ，使 f (x ) = f ( x + a ) 。 59．设 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续，且 f (a ) < a ， f (b ) > b ，试证：在 (a, b ) 内至少有 一点 ξ ，使得： f (ξ ) = ξ 。 。 31．求 lim e x − e −x 。 x →+∞ e x + e − x 1 − e −2x =1 x →+∞ 1 + e − 2 x
a =(
) A．0 B．1 C．
1 3
D．3
3 x − 1, x < 1 15．点 x = 1 是函数 f (x ) = 1, x = 1 的( 3 − x , x > 1
A．连续点 C．可去间断点
)
B．第一类非可去间断点 D．第二类间断点 ) C． lim 2x2 + 5x x →∞ 3 x 2 − 1 D． lim
1 2 3 4 9．数列 0 ， ， ， ， ，…是( 3 4 5 6
)
A．以 0 为极限 n−2 C．以 为极限 n 1 10． lim x sin = ( ) x →∞ x A． ∞ B．不存在 ) 11．无穷小量是(
B．以 1 为极限 D．不存在在极限
C．1
D．0
A．比零稍大一点的一个数 C．以零为极限的一个变量 12． lim
A．0 B．1 C．-1 D．-2 ) 8．若函数 f ( x ) 在某点 x 0 极限存在，则(
1
A． f ( x ) 在 x 0 的函数值必存在且等于极限值 B． f ( x ) 在 x 0 函数值必存在，但不一定等于极限值 C． f ( x ) 在 x 0 的函数值可以不存在 D．如果 f (x 0 ) 存在的话，必等于极限值
第一章 函数、极限与连续
（Ａ） 1．设函数 f (x ) = ln (3x + 1) + 5 − 2 x + arcsin x 的定义域是(
1 5 A． − , 3 2 5 B． − 1, 2 1 C． − ,1 3
)
D． (− 1,1)
e x , x < 0 13．设 f (x ) = 要使 f ( x ) 在 x = 0 处连续，则 a = ( ) a + x , x ≥ 0
A．2 B．1 C．0
, x≠0 x=0
D．-1 ， 若 f ( x ) 在 (− ∞,+∞) 上 是 连 续 函 数， 则
x 1 sin 14 ． 设 f (x ) = x 3 a,
)
A． lim [ f ( x) + g (x )] 及 lim [ f ( x) − g ( x )] 一定不存在 B． lim [ f ( x) + g (x )] 及 lim [ f ( x) − g ( x )] 一定都存在
x → x0 x → x0
C． lim [ f ( x) + g (x )] 及 lim [ f ( x) − g ( x )] 中恰有一个存在，而另一个不存在
1 1 2 19．若 f x + = x + 2 + 3 ，则 f ( x ) = x x
。
20．已知 lim
a 2 n 2 + bn + 5 = 2 ，则 a = n →∞ 3n − 2
5
，b =
。
x + 2 21． lim x →∞ x + 1
ax
= e 2 ，则 a =
(1 + x )
x
2
，(2) y = （Ｂ）
x 1+ x ，(3) y = ，(4) y = [x ] 2 2− x x
1 x 3 sin x , 1．设函数 f (x ) = 0 ,
x ≠ 0 ，则 x=0
点 0 是函数 f ( x ) 的(
) B．第二类不连续点 D．连续点 )
3．设函数 f (x ) = e x ( x ≠ 0 )，那么 f (x1 ) ⋅ f ( x2 ) 为( ) A． f (x1 ) + f (x 2 ) B． f (x1 + x2 ) C． f (x1 x 2 )
x1 D． f x 2
)
4．函数 y = f ( x ) 与其反函数 y = f −1 ( x ) 的图形对称于直线( A． y = 0 B． x = 0 C． y = x
B．必是无穷大量
4
C．必是有界量 12．设 f (x ) = lim
D．是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量
3nx ，则它的连续区间是( ) n →∞ 1 − nx 1 A． (− ∞,+∞) B． x ≠ ( n 为正整数)处 n 1 C． (− ∞,0 ) Ｕ (0,+∞) D． x ≠ 0 及 x ≠ 处 n
x → x0
A．第一类不连续点 C．可去不连续点 2．若 lim f ( x ) = 0 ，则(
x→ 0
A．当 g ( x ) 为任意函数时，有 lim f (x ) g (x ) = 0 成立 B．仅当 lim g (x ) = 0 时，才有 lim f (x ) g (x ) = 0 成立
x → x0 x → x0
1 3
B． −
1 3
6．按给定的 x 的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( A．
x2 x4 − x +1
)
( x → +∞ )
B． 1 + D．
1 −1 ( x → ∞ ) x
x
C． 1 − 2 − x ( x → 0 )
x ( x → 0) sin x
7．当 x → 0 时，下列与 x 同阶(不等价)的无穷小量是( A． sin x − x B． ln (1 − x ) C． x 2 sin x
16． lim 3n sin
n →∞
。
x = 3n
。
ax + b , 17．设 f (x ) = 2 (a + b)x + x,
x ≥0 x<0
(a + b) ≠ 0 ， f ( x ) 处处连续的充要条件是
b=
。 1, x ≥ 0 18 ． 若 f (x ) = ， g ( x ) = sin x ， 复 合 函 数 f [g (x )] 的 连 续 区 间 − 1, x < 0
x → x0 x → x0
D． lim [ f ( x) + g (x )] 及 lim [ f ( x) − g ( x )] 有可能存在
x → x0 x → x0
3
x 2 sin
4． lim
x→ 0
sin x
1 x 的值为(
) C．不存在 ) C．0 D．
2 3
A．1
B． ∞
D．0
sin 2 (1 − x ) 5． lim =( x→1 ( x − 1)2 ( x + 2 ) A．