同济大学《高等数学》第五版下册习题答案
高等数学第五版下册习题及答案
高等数学第五版下册习题及答案第一节 多元函数的基本概念一、填空题1．开，有，221x y +=及224x y += 2.{}(,)01x y x y x y +>+≠且 3.224xyx y+ 4．2(ln )ln x y y - 5.0 6.连续，间断二、单项选择题1.D2.C ，提示：沿着y kx =趋于(0,0)时，222220lim (,)lim 1y kx x x kx kf x y x k x k =→→==++，当k 取不同值时，极限取不同值，所以极限不存在，从而在(0,0)不连续 3.D三、解答题解：1．2201sin()cos lim x y xy xy x x y x →→+-221sin()cos lim x y xy xy x x y y xy →→+-=⋅1sin()lim cos 112x y xy x xy y xy →→⎛⎫=+-⋅=+= ⎪⎝⎭． 2．((0000002lim lim 24x x x y y y xy xy →→→→→→⋅==-=--．3t =，则 原式23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t tt t t t t t →→→--====． 4．证明：22222424240lim lim 1x x y xy k x k x y x k x k →===+++，因为随着k 的变化，241k k +随之变化，所以22400lim x y xy x y→→+不存在．第二节 偏导数 第三节 全微分一、填空题1．0(0,1)(0,1)limx f x f x∆→+∆-∆，0(0,1)(0,1)lim y f y f y ∆→+∆-∆ 2.二阶偏导数(,),(,)xy yx f x y f x y 连续 3.d d x y f x f y + 4. 25．2222d d y x x y x y x y ⎛⎫+⎪⎪++⎭二、单项选择题1．D 2.B ，提示：用(0,1)x f 定义求0(0,1)(0,1(0,1lim))x x f x f f x∆→+∆-∆=220sin()lim 1()x x x ∆→∆==∆ 3．D 4. A三、计算题解：1．12z x x ∂==∂，12z y y∂==∂. 2．2(,1)(1)x z z x x +==+，ln (2)ln(1)z x x ∴=++，在等式两边对x 求偏导，得12ln(1)1z x x z x x ∂+=++∂+，22ln(1)(11)x z x x x x x +∂+⎡⎤∴=++++⎢⎥∂⎣⎦， 31132ln 28ln 2122x y zx==∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭． 3．()222e d e xy tx y x f t y x--∂==∂⎰， ()22222222222e e (2)e (12)e xyxyxyx y xy f y y x y x y y----∂==+-=-∂．4．22z u x y =+，22222222()()x z xzu x x y x y --∴=⋅=++，从而(1,1,2)1x u =-，22222222()()y z yzu y x y x y --=⋅=++，从而(1,1,2)1yu =-，221z u x y=+，从而(1,1,2)12zu =， (1,1,2)1d d d d 2u x y z ∴=--+ 第四节 多元复合函数的求导法则一、填空题1．x u f f xϕ∂+∂，u f y ϕ∂∂ 2.222e xy x y x y ++，222e xyy x x y ++ 3.222222()()xyf x y f x y '---4．1(1ln )y xy x -+二、单项选择题1．B ，提示：()(),()(),z zx y x y x y x y x yφψφψ∂∂''''=++-=+--∂∂ 22()()zx y x y x φψ∂''''∴=++-∂，22()()z x y x y y φψ∂''''=++-∂，2()()zx y x y x yφψ∂''''=+--∂∂，∴选B 2. C ，提示：122zf x yf y∂''=-∂，21112221222(2)22(2)z x f x yf f y f x yf y ∂'''''''''=----∂ 221112222442x f xyf y f f '''''''=-+- 三、计算题解：1．令(,)arctan()z f x y xy ==,则222222d de e d d 111x xz f f y y x y x x x y x x y x y x y ∂∂+=+⋅=+⋅=∂∂+++. 2．1234z f f u ∂''=+∂，1222zf f v∂''=-∂. 3. 12e yz f u f f f x u x x∂∂∂∂''=⋅+=+∂∂∂∂，()212121e e e y y y f f z f f f x y y y y ''∂∂∂∂'''=+=++∂∂∂∂∂ 111132123111132123e e e e e e e y y y y y y y u u f f f f f f x f f x f f y y ⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''''''''''=++++=+⋅+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()2113112123e e e y y y f f x f x f f '''''''''=++++. 4．令2t x y =-，,u x v xy ==，则d d 2(2)d d z f t g u g vf x y x t x u x v x∂∂∂∂∂'=⋅+⋅+⋅=-∂∂∂∂∂ 12g yg ''++，21222()g g z t f t g y x y y y y''∂∂∂∂'''=+++∂∂∂∂∂122222(2)f x y xg g xyg '''''''=--+++. 第五节 隐函数的求导公式一、填空题 1．zx- 2．1±二、单项选择题1．D ，提示：方程两边同时对x 求导：1210z z ab x x φφ∂∂⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，同时对y 求导：1210z z ab y y φφ⎛⎫⎛⎫∂∂-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭；所以121212,z z x a b y a b φφφφφφ∂∂==∂+∂+，代入所求表达式化简，得D 2．D 3．A ，提示：方程组()(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩两边同时对x 求导，得d d ()()1d d d d 0d d x y z z y f x y xf x y x x y z F F F x x ⎧⎛⎫'=++++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪++=⎪⎩，解之得：d d z x =()y x y zxf f F xf F F xf F ''+-'+三、计算题解：1．令(,,)F x y z=xyz +则x F yz =y z F xz F xy =+=+x zF zx F ∂=-=∂ 从而(1,0,1)1zx-∂=∂；y z F zy F ∂=-=∂从而(1,0,1)z y -∂=∂；所以(1,0,1)d d zx y -=．2．令33(,,)3F x y z z xyz a =--，则3x F yz =-，3y F xz =-，233z F z xy =-；2x z F z yz x F z xy ∂∴=-=∂-，2y z F z xzy F z xy∂=-=∂-； ()()222222z z z y z xy yz z x y y z yz x y y z xy z xy ⎛⎫⎛⎫∂∂+--- ⎪ ⎪∂∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭== ⎪∂∂∂--⎝⎭()()222222xz xz z y z xy yz z x z xy z xy z xy ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=-()5322322z xyz x y z z xy --=-． 3．由题意知，222x y u +=，对方程两边对x 求偏导，得22u x ux ∂=∂，u xx u∂∴=∂． 第六节 多元函数微分学的几何应用一、填空题1．(4,2,1)-- 2. (1,2,1)-或(1,2,1)-- 3. 240x y +-=二、单项选择题1．C 2.B 3.B ，提示：由题意知,曲线的切向量2(1,2,3)T t t =-，与平面的法向量(1,2,1)n =垂直，则21430t t -+=，此方程只有两个根.从而对应切线只有两条，故选B4.C ，提示：（A ）:由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数，此时，不能确定(,)f x y 在(0,0)可微，故不一定成立；（B ）:曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的切平面法向量应为(3,1,1)-或(3,1,1)--；(C):曲面方程可以写为:0(,0)x ty z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩在(0,0,(0,0))f 的切向量为(1,0,(0,0))(1,0,3)x T f '==三、计算题解：1.d d d e (cos sin ),e (sin cos ),e d d d t t t x y z t t t t t t t =-=+=，则d 1,d t x t==0d 1,d t yt==0d 1d t zt==，所以切向量(1,1,1)T =；而当0t =对应的点为(1,0,1)，所以切线的方程为：101111x y z ---==，法平面方程为：1010x y z -+-+-=，即20x y z ++-=. 2.令(,,)ln ln ,F x y z z y x z =--+则11,1,1,x y z F F F x z =-=-=+所以切向量11(,,),1,1x y z T F F F xz ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭，在(1,1,1)M 处的切向量(1,1,2)T =--，所以在点(1,1,1)M 处的切平面方程：(1)(1)2(1)0x y z ----+-=，即20x y z --+=， 法线方程为：111112x y z ---==--. 3.2,2,x y z x z y ==则(2,2,1)T x y =-，设曲面上一点000(,,)x y z 处的切平面为所求，则00(2,2,1)T x y =-.又所求切平面与平面240x y z +-=平行，即 (2,4,1)∥T -，从而00221241x y -==-，0012x y =⎧∴⎨=⎩，05z ∴=从而切平面方程为： 2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即2450x y z +--=.第七节 方向导数与梯度一、填空题 1．12 2.244999i j k +-二、计算题解：1．函数22(,)2f x y x xy y =-+在点(2,3)处沿着梯度方向的方向导数最大，且其最大值为梯度的模.而(2,3)(2,3)(2,3)(,)(22,22)(2,2)x y ff f x y x y ==--+=-grad∴fl∂∂=． 2．3()1,()4,()8x t y t t z t t '''===-，M 点对应1t =，(1,4,8)T ∴=-，148e ,,999T ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭. 而332222222222,,()()x y y z xy u u x y z x y z +==-++++32222()z xz u x y z =-++，822,,,272727x M y M z M u u u -∴===81242816279279279243Mu l∂⎛⎫∴=⨯-⨯+⨯-=-⎪∂⎝⎭． 3.22,2,x y z u y z u xyz u xy ===，则2,4,1x PyPzPu u u ==-=，24P u i j k ∴=-+grad ，∴沿着梯度方向的方向导数最大，最大值是Pu =grad ．第八节 多元函数的极值及其求法一、填空题1．0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==2.(,,,,,)(,,,)(,,,)(,,,)L x y u v f x y u v x y u v x y u v λμλϕμψ=++二、单项选择题1．B 2. A三、解答题解：1．3341,41,x y f x f y =-=-令33410410x yx f x f y y ⎧=⎪⎧=-=⎪⎪∴⎨⎨=-=⎪⎪⎩=⎪⎩∴是可能的极值点.又2212,12,0xx yy xy f x f y f ===，0,A B C ∴=== 20,0AC B A ∴->>，∴是极小值点，且极小值为．2．（法一） 设所求点(,,)P x y z ，则222221x y z ++=，又e l ⎫=⎪⎝⎭，2x f x =，2yf y =，2z fz =.)Pfx y l∂⎛∴==- ∂⎝ 再令(,)),u x y x y =-则设222(,,))(221)L x y z x y x y z λ=-+++-222404020221x yz L x L y L z x y z λλλ⎧==⎪==⎪∴⎨==⎪⎪++=⎩， 解得，12120x y z λ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩或12120x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩11,,02211,,022fu l ⎛⎫- ⎪⎝⎭∂⎛⎫∴-== ⎪∂⎝⎭11,,02211,,022fu l⎛⎫- ⎪⎝⎭∂⎛⎫-== ⎪∂⎝⎭∴所求的点为11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭． （法二）设所求点(,,)P x y z ，则222221x y z ++=，又e 2l ⎫=⎪⎝⎭，2x f x =，2y f y=，2z fz =.)Pf x y l∂⎛∴==- ∂⎝ 再令(,)),u x y x y =-则设222(,,))(221)L x y z xy x y z λ=-+++-222404020221x y z L x L y L z x y z λλλ⎧==⎪==⎪∴⎨==⎪⎪++=⎩，解得，121202x y z λ⎧=-⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩或121202x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪⎩ 而11,,022f i j l ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭grad ，(,,)f x y z ∴沿l 在11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭的方向导数取最小 值（舍去）.又11,,022f i j l ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭grad ，Pf l ∂∴∂沿l 方向取最大值.∴所求的点为11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭．3．设长方体的长、宽、高为,,x y z ，则xyz k =，它的表面积为：22s xy yz xz =++，(,,0)x y z >，问题就转化为求s 在条件xyz k =下的最小值问题.构造辅助函数(,,)L x y z =22()xy yz xz xyz k λ+++-，解得2020220x yzL z y yz L z x xz L x y xy xyz kλλλ=++=⎧⎪=++=⎪∴⎨=++=⎪⎪=⎩，解得，2x y z z ⎧===⎪⎨=⎪⎩，由实际问题的意义知，一定存在满足条件的表面积最小的长方体水池，上面的,,x y z 就为所求.第八章 自测题一、填空题（每小题3分，共27分）1．1 2．2d d 2ln 2d x y z -++， 提示：1ln (ln ln )u x y z=-，两边同时对x 求导，得 11u u x xz ∂=∂ 3．1，提示：2(,,)e 2e x x x zf x y z yz yz x∂=+∂，又方程0x y z xyz +++=两边同时对x 求偏导得：10z z yz xy x x ∂∂+++=∂∂，所以11z yz x xy ∂+=-∂+，则(0,1,1)0zx-∂=∂，∴(0,1,1)1x f -= 4. 1221y y yf f g y x x ⎛⎫'''+- ⎪⎝⎭5．1，提示：方程()x mz y nz ϕ-=-两边分别对,x y 求偏导得：10z z m n x x ϕ∂∂⎛⎫'-=⋅- ⎪∂∂⎝⎭则1z x m n ϕ∂='∂-；01z z m n y y ϕ⎛⎫∂∂'-=⋅- ⎪∂∂⎝⎭，则z y m n ϕϕ'∂-='∂-，代入所求的式子化简得，1z z mn x y ∂∂+=∂∂ 6．(4,2) 8．9270x y z +--= 9．111342111y x z +--==-或8423421y x z +--==- 二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．C 2. C 3. A 4. D 5. B三、解答题(共58分)解：1．121z f y f y g x y∂'''=⋅+⋅+⋅∂，则 2111122212222211zx x f y f x f f f x f g yg x y y y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂'''''''''''''=+⋅⋅+-+⋅-+⋅⋅+-++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1111222122231x x xf xyf f f f fg yg y yy y ⎛⎫'''''''''''''=++--+-++ ⎪⎝⎭ 111222231xf xyf f fg yg y y '''''''''=+--++. 2.方程两边对x 分别求导，得1122220z z zz xyz xy x x x z x∂∂∂+--++=∂∂∂ 112222z x xy yz z x z x ∂⎛⎫∴-+=-- ⎪∂⎝⎭，z xx z∂∴=-∂， 同理，112220z z z xxz xy y y y z y ∂∂∂--++=∂∂∂12122xz z yy x xy z-∂∴=∂-+，12d d d 122xz x yz x y z x xy z-∴=-+-+.3.方程组两边对x 求偏导：00u v u x y x xu v y v x x x ∂∂⎧+-=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩，解方程组得，22u ux vy x x y ∂+=-∂+. 4.令222(,,)1F x y z x y z =++-，则000()0,()0,()2x y z F P F P F P ===，(0,0,2),n ∴=e (0,0,1)n =， 又21,2,3,x y z u u y u z === 000()1,()0,()3x y z u P u P u P ===，000()0()0()13x y z P uu P u P u P n ∂=⋅+⋅+⋅=∂ ∴函数u 在0P 点沿方向n 的方向导数为3.5.（法一）在每个方程两边对x 求导，得d d 2220d d d 222d y z x y z x xy x y x ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：d 1d d 1d y x x y z xz -⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，将P 代入d d y x ，d d z x得曲线的切向量)1,0,T ⎛== ⎝， ∴101y z -==，法平面方程为：1)0x z -+=，即0z +-=（法二）令222(,,)4F x y z x y z =++-，则2,2,2,x y z F x F y F z ===从而()2,()2,()x y z F P F P F P ===2224x y z ++=的法向量为12(1,1n =；再令22(,,)2G x y z x y x =+-，则()0,()2,()0x y z G P G P G P ===，从而曲面222x y x +=的法向量为2(0,2,0)2(0,1,0)n ==；∴切线的方向向量为：(0,1,0)(T =⨯=101y z -==，法平面方程为：1)0,x z -+=即0z +-=. 6.令：(,,)F x y zx y z F F F ===设曲面上的任一点为000(,,)x y z，在此点处的法向量为,n ⎛⎫= ∴000)))0x x y y z z ---=，即y =，∴∴a ==.7.{}(,)06,06D x y x y x =≤≤≤≤-，①当06x ≤≤，0y =时，(,0)0z f x ==；②当06y ≤≤，0x =时，(0,)0z f y ==；③当6x y +=，06x ≤≤时，223(,6)(6)(2)122z f x x x x x x =-=--=-+；令22460x z x x =-+=，则04、x =， 当0x =时，0z =；当4x =时，64z =-；当6x =时，0z =；∴二元函数在()()0,6,6,0点处取得最大值0，在()4,2处取得最小值64-.第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质一、填空题1.有界闭、有界、()01lim,niiii f λξησ→=∆∑、闭、连续 2.(,)d Df x y σ⎰⎰ 3.π4.36a π 5.221()d 2Dx y σ+⎰⎰ 二、单项选择题1． D三、解答题解：1.01x y ≤+≤，∴2221x y xy ++≤，即2212x y xy +≤-，∴2222323x y xy ≤++≤-≤，22422d 3d 36DDI σσ∴==≤≤==⎰⎰⎰⎰，即 46I ≤≤. 2.22(2)(1)2x y -+-≤，即22(1)22()x y x y -++≤+，∴22(1)11()2x y x y -+≤+≤+，23()()x y x y +≤+，故23()d ()d D Dx y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰.第二节 二重积分的计算法（一）一、填空题1.201,0x y x ≤≤≤≤，011y x ≤≤≤≤2.40d (,)d xx f x y y ⎰⎰3.655，提示：D：201,x x y ≤≤≤≤()411e 2-- 5.221d ,:1Dx y D xy σ--+≤⎰⎰ 6．242222d (,)d d (,)d y y y y f x y x y f x y x +⎰⎰⎰⎰二、单项选择题1.B2. A 3．C 4. B三、计算题解：1.26:24,12y D y x y --≤≤≤≤+，原式d d Dxy x y ==⎰⎰241232d d y y y y x x +--⎰⎰ 214256443243222322112d 428d 4362242324y y x y y y y y y y y y y y +----⎛⎫⎛⎫⎡⎤==+--=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰2.如图9-1：:01,D y x ≤≤≤≤1220d d d d Dx y x y y y x =⎰⎰⎰13353111222222200002112d (1)d (1)d(1)(1)33335x y y y y y y y y ⎡⎤⎡==+=++=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰21)15=. 3.如图9-2：:2;:;:32xOA y x OB y AB y x ===-+，12D D D ∴=，1:01D x ≤≤，2;2x y x ≤≤2:12,32xD x y x ≤≤≤≤-，121202d d d d d d d d x x D D D x x y x x y x x y x x y =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9-1xy221x y -=11-图9-2xOOB (2,1)A (1,2)y11D2D D1223122323101201331313d d d 3d 222222xxx x y x x x x x x x x -⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+-=+-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.第二节 二重积分的计算法(二)一、填空题1.0,02cos 2πθρθ≤≤≤≤ 2.()2201d cos ,sin d d f πθρθρθρρθ⎰⎰3.2sec 34d ()d f πθπθρρρ⎰⎰二、单项选择题1.A2.D3.C三、计算题解：1.如图9-3，:0,02cos 4D πθρθ≤≤≤≤，原式2cos 2240d d d d Dπθρρθθρρ==⎰⎰⎰⎰2cos 334400018d cos d 33θππρθθθ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰2.如图9-4，:0,2cos 22D πθθρ≤≤≤≤，原式=223202cos d d d d Dπθρρρθθρρ=⎰⎰⎰⎰2444222220002cos 11d 2(1cos )d 4(1cos )sin d 44πππθρθθθθθθ⎡⎤==-=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 20515sin 2sin 4284ππθθθ⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦.图9-3 xyy x = O2 D图9-42cos ρθ=2ρ=yxD2 O3．法一：如图9-5， :0,02sin D θπρθ≤≤≤≤，原式=cos (sin 1)d d Dρθρθρρθ+⎰⎰=2sin 220cos (sin 1)d d d cos (sin 1)d Dπθρθρθρθθρθρθρ+=+⎰⎰⎰⎰2sin 4353000118cos sin d cos 4sin sin d 433θππθρθρθθθθθ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰⎰()536400824sin sin dsin sin sin 033ππθθθθθ⎛⎫⎡⎤=+=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰.法二：被积函数(1)x y +对x 是奇函数，区域D 关于y 轴对称，所以(1)d d 0Dx y x y +=⎰⎰.4．如图9-6，12D D D =，221:4D x y +≤，222:49D x y ≤+≤，原式()()()121222224d d 4d d 4d d D D D xy x y x y x y ρρρθ=--++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰222232330241(4)d d d (4)d d (4)d 2D πππρρρθθρρρθρρρ+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．第三节 三重积分一、填空题1.43π2.163π3.2cos 22002d d d a h z πθπθρρ-⎰⎰⎰图9-5xyO 11－1 22sin ρθ=图9-6xyO2 3 D1D2D4.2120d d (sin cos )sin d f r r r ππθϕϕθϕ⎰⎰⎰二、单项选择题1.C三、计算题解：1.1:01,0,0122x x y z x y -Ω≤≤≤≤≤≤--，原式11122000d d d xx y x y x z ---=⎰⎰⎰ 112111222000(1)1d (12)d (1)d d 448xx x x x x y y x x y y x x x ---⎡⎤=--=--==⎣⎦⎰⎰⎰⎰.2.如图9-7，2π110d d d d πV V z ρθρΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，或者 π2π2cos 240d d d sin d πV V r r ϕθϕϕΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3.如图9-8，用柱面坐标表示2:02,01,0z θπρρΩ≤≤≤≤≤≤，原式222π1133201d d d 2πd 2z z z ρρθρρρρ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰1701π2πd 28ρρ==⎰. 4.如图9-9，用球面坐标表示:02,0,0sec 4r πθπϕϕΩ≤≤≤≤≤≤，原式sec ππ2πsec 344401d sin d d 2sin d 4r r r ϕϕθϕϕπϕϕ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰π44012sec sin d 1)46ππϕϕϕ==⎰. 5.222(222)d I x y z xy yz xz V Ω=+++++⎰⎰⎰，由对称性定理知：(222)d 0xy yz xz V Ω++=⎰⎰⎰，故 22222()d sin d d d I x y z V r r r ϕϕθΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9-7xyzO11Ω222z x y =+222(1)1x y z ++-=图9-8xyz1 22z x y =+1OΩ图9-9 xy zO1z Ω[]2πππ455000014d sin d d 2πcos π55R r r R R θϕϕϕ==⋅⋅-=⎰⎰⎰.第四节 重积分的应用一、填空题d x y2.d xy D x y ⎰⎰3.2222:4(822)d d xy D x y x y x y +≤--⎰⎰，2π220d (82)d θρρρ-⎰⎰，16π 4.28a 5.22()d x y V ρΩ+⎰⎰⎰二、单项选择题1. B2. B.三、计算题解：1.22:2xy D x y x +≤，x Z =，y Z =，故所求面积d d d d xyxyxyD D D x y x y x y ====⎰⎰⎰⎰. 2.xoy面之上的球面为：z =x Z =，y Z =222d ,(:)xyxy D x y D x y ax =+≤⎰⎰2d 2d xyxyD D x y x y ==⎰⎰⎰⎰cos 22220222d d 2(1sin )d 2a a a ππθππθρθθπ--==-=⎰⎰⎰.3.设扇形的均匀密度为μ，其质心坐标为(,)x y ，由对称性知，质心在x 轴上，故0y =，2202d d d d cos d d 2cos d d 1d d d d 2L R DDDR L RDDx x yx x y x RL x yx yRL μρθρρθθθρρμ-⋅====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3212sin 23L R RL R =⋅24sin 32R L L R =，故质心坐标为24sin ,032R L LR ⎛⎫ ⎪⎝⎭.第九章 自测题一、填空题（每小题4分，共24分）1.2(e 1)- 2.2sin 20d (cos ,sin )d f πθθρθρθρρ⎰⎰3.2120d (,)d xxx f x y y ⎰⎰4.53245a提示：31I d 3a a a a x y y y x --⎡==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2225232()d 345a a a x x a -=-=⎰ 5.()111e 2-- 6.22218a b c 二、单项选择题（每小题3分，共24分） 1.A 2.C 3．D 4.C 5.C 6.C 7.D 8.D三、计算题(共52分)解：1.原式222211111222221111111d d d (1)(1)d 022x x x x x y y y x x x x -------⎡⎤⎡⎤===---=⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 2.原式1100sin d d sin d 1cos1x xx y x x x===-⎰⎰⎰.3.薄片质量(,)d d DM x y x y μ=⎰⎰，其中()1,12,D x y x y x x⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，故上式=222222223122111111119d d d d d d ()d 4xx x Dxx x y x x y x x x x x x x x y y y x ⎡⎤⎛⎫==-=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.原式[]2π2π2π2π2ππ0πππd sin d 2πdcos 2πcos 2πcos d θρρρρρρρρρ==-=-+⎰⎰⎰⎰[]2π22π6π2πsin 6πρ=-+=-.5.原式2cos 42π2cos 222cos 0cos d d cos sin d 2πsin cos d 4r r r r ϕππϕϕϕθϕϕϕϕϕϕ⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ππ625201515cos 5πsin cos d ππ2264ϕϕϕϕ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 6.如图9-10，由于:02π,24,28z θρΩ≤≤≤≤≤≤，故22I ()d z x y V Ω=+⎰⎰⎰2228248331002022d d d d d d z zππρθρρθρρ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰48π288π336π=+=.第十章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分一、填空题1．(,,)d x y z s ρΓ⎰，22()(,,)d y z x y z s ρΓ+⎰，22()(,,)d x z x y z s ρΓ+⎰，22()(,,)d x y x y z s ρΓ+⎰，(,,)d (,,)d (,,)d ,,(,,)d (,,)d (,,)d x x y z s y x y z s z x y z s x y z s x y z s x y z s ρρρρρρΓΓΓΓΓΓ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2．π 二、单项选择题1．D 2．B ，提示：:0,01;:1,01;OA y x AB y x x =≤≤=-≤≤:0,01;BO x y =≤≤10I ()d (0)d OA AB BOx y s x x ++=+=+⎰⎰11(1d 1x x x y y ++-+=+⎰⎰3．B，提示：42π443I (cos sin R t t t =+⎰777π2π445333203(cos sin )|cos sin |d 24sin cos d 4R t t t t t Rt t t R =+==⎰⎰，故选B三、计算题图9-10xyzO 284 222z x y =+22x y ax +=y解：1．如图10-1，L 的参数方程： cos 22sin 2a a x a y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(02π)θ≤≤， 22I d Lx y s=+⎰222π0cos d 22a θθθ==⎰⎰π2ππ222π0022cos d cos d cos d 2令t a t t a t t t t θ=⎡⎤⋅=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰[][]ππ222π02sin sin 2a t t a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 2．Γ的参数方程：1222x ty t z t =+⎧⎪=⎨⎪=-⎩(01)t ≤≤，1220d (12)2(2x yz s t t t t Γ=+-⎰⎰14320(24244212)d t t t t t =-+++⎰15432024106614655t t t t -⎡⎤=+++=⎢⎥⎣⎦．3、Γ的参数方程：x y z θθ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ (02π)θ≤≤2π00s θθΓ===⎰⎰⎰．第二节 对坐标的曲线积分一、填空题1．(,)d +(,)d AB P x y x Q x y y ⎰，d ABF r ⋅⎰ 2．[][]{}(),()()(),()()P t t t Q t t t ϕψϕϕψψ''+3．0280d 2d x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝⎰⎰，2243d2y y -⎰ 4提示：(1,2),cos x ταβ===，原积分[](,)cos (,)cos d LP x y Q x y s αβ=+⎰图10-1xθOa21二、单项选择题1．C ，提示:12L L L =+，12:,:01;:2,:12;L y x x L y x x =→=-→1222222201142d ((2))d [(2)](1)d 3I x x x x x x x x =++-+---=⎰⎰⎰ 三、计算题解：1．Γ的参数方程：112:1013x t y t t z t =+⎧⎪=+→⎨⎪=+⎩，2d d (31)d x x y y z y z Γ++--⎰22111(12)2(39121)3d (8306)d t t t t t t t t ⎡⎤=+++⋅++---⋅=++⎣⎦⎰⎰ 032187115633t t t ⎡⎤=++=-⎢⎥⎣⎦.2．2:,:02L y x x =→,2222224240()d ()d ()2d L x y x x y y x x x x x x ⎡⎤-++=-++⋅⎣⎦⎰⎰ 2354603523x x x x ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦1285=.3．令cos ,sin x R y R θθ==，π:0,2θ→ 22022π2()d d (sin cos cos )(sin )cos cos d 22L x R xy x x y R R R R θθθθθθθ⎡⎤++=+-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 303222π2sin sin (1sin )dsin 2R R R θθθθ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦⎰33233223π2111=sin sin sin sin 322232R R R R R θθθθ⎡⎤--+-=⎢⎥⎣⎦． 第三节 格林公式及其应用一、填空题1．闭区域D ，一阶连续偏导数，d d d d LD Q P x y P x Q y x y ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰，D 的取正向的边界曲线 2．沿G 内任意闭曲线积分为零，Q Px y∂∂=∂∂，(,)d (,)d P x y x Q x y y +为某一22 二元函数的全微分 3．(1,2)12(0,0)(,)d (,)d (,0)d (1,)d P x y x Q x y y P x x Q y y +=+⎰⎰⎰4．2222x y xy C +++ 二、单项选择题1．B ，提示：由格林公式，d (01)d d LDy x x y σ-=--=⎰⎰⎰，②③积分均为σ-，故选B2．D ，提示：由格林公式，(22)d d 4d d 0DDI xy xy x y xy x y =--=-=⎰⎰⎰⎰，因为被积函数关于x 是奇函数，D 关于y 轴对称三、计算题解：1．令2222,2()2()yxP Q x y x y-==++，则当220x y +≠，有222222()P x y Qy x y x∂-∂==∂+∂如图10-2，记L 所围区域D ,当(0,0)D ∉时,由格林公式得22d d 02()L y x x yx y -=+⎰；当(0,0)D ∈时选取适当小的0r >，作位于D 内的圆周2221:l x y r +=.记L 与1l 所围的闭区域为1D ，对复连通区域1D ，用格林公式得112222d d d d 0d d 02()2()L l D y x x y y x x y x y x y x y --+=-=++⎰⎰⎰⎰，其中1l 取逆时针方向，于是122222220d d d d d 2()2()2L l y x x y y x x yr x y x y r πθπ---=-=-=++⎰⎰⎰．2．如图10-3，作辅助线段:0,:0OA y x a =→，与L 构成封闭曲线，记所围成的闭区域为D .令e sin ,e cos ,x x Q PP y my Q y my m x y∂∂=-=--=∂∂，由格林公式得(e sin )d (e cos )d xxL OA y my x y my y +-+-⎰2πd d d d 8D DQ P m a x y m x y x y ⎛⎫∂∂=-== ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰，图10-2xy 1lOL图10-3xy O(,0)A a 22:L x y ax +=23所以22ππI (e sin )d (e cos )d 88x xOA m a m a y my x y my y =--+-=⎰. 3．如图10-4，法一：作辅助线段:1,:10AB x y =→，:0,:10BO y x =→与L 构成封闭曲线，记所围成的闭区域为D .令22,sin ,1Q PP x y Q x y x y∂∂=-=--=-=∂∂，由格林公式得22()d (sin )d d d 0L AB BO D Q P x y x x y y x y x y ++⎛⎫∂∂--+=--= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， 所以2222()d (sin )d ()d (sin )d L AB xy x x y y x y x x y y --+=---+-⎰⎰1122220sin 27()d (sin )d (1sin )d d 46BOx y x x y y y y x x --+=--+=-⎰⎰⎰. 法二： 由22,sin ,1Q PP x y Q x y x y ∂∂=-=--=-=∂∂，所以曲线积分在xoy 面内与路径无关，取折线：:0,:01,:1,:01OB y x BA x y =→=→， 则原积分1122220sin 27()d (sin )d d (1sin )d 46OB BAI x y x x y y x x y y +=--+=+--=-⎰⎰⎰. 第四节 对面积的曲面积分一、填空题1．(,,)dS x y z μ∑⎰⎰，22()(,,)dS y z x y z μ∑+⎰⎰，22()(,,)dS x z x y z μ∑+⎰⎰， 22()(,,)dS x y x y z μ∑+⎰⎰ 2．S，yzD d y z ⎰⎰ 3．222(d ,(d ,(d f R x y f R y z f R z x二、单项选择题1．C ，提示：22224()d d 4x y z S R S R π∑∑++==⎰⎰⎰⎰2．C ，提示：被积函数(,,)f x y z z =在曲面上为正，积分曲面关于xoy 面及yoz 面对称，故11d 4d 4d SS S z S z S x S ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（轮换对称性），其它类似可得图10-4xyO(1,1)A (1,0)B L24 三、计算题解：1．如图10-5，4:42,:1,323xy y x y z x D ∑=--+≤224d 1(2)d d 3S x y ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭，22442d 41(2)d d 33xyD x y z S x y∑⎛⎫⎛⎫++=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰61143246132=⋅⋅⋅⋅=．2．如图10-6，∑由1:1z z ∑=≤≤ 与222:1,1z x y ∑=+≤ 围成，1222222222222()d ()d ()d 2(d xyD x y z S x y z S x y z S x y x y ∑∑∑++=+++++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2π12π122320000(d d d d (+1)d xyD x y x y θρρθρρρ+++=+⎰⎰⎰⎰⎰32⎫=⎪⎭．3．如图10-7，::02,11yz x D z y ∑=≤≤-≤≤，如图10-8，2(,,)f x y z x =为x 的偶函数，积分曲面关于yoz 面对称，22d 2(1d yzD x S y y z ∑=-⎰⎰⎰⎰ 图10-5y x zO 234∑图10-6xyzO2:1z ∑=221:z x y ∑=+图10-7xyzO 1∑zyz D225212d 2d 2πyzD y z z y -===⎰⎰⎰⎰．第五节 对坐标的曲面积分一、填空题1．(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰2．(22,d d ,:1xyxy D R x y x y D x y -+≤⎰⎰，)(),,d d ,:01,yzyz DP y z P y z y z D z z y z ⎡⎤-≤≤-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，()(),d d ,:01,xzxz D Q x z Q x z z x D z z x z ⎡⎤-≤≤-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 二、单项选择题1．C ，提示：如图10-9，12341,:0x ∑=∑+∑+∑+∑∑=后侧，2:0y ∑=左侧，3:0z ∑=下侧，4:1x y z ∑++=上侧，11(1)d d d d d d d d 002yzD x y z y z x x y y z ∑+++=-++=-⎰⎰⎰⎰, 2(1)d d d d d d 00d d +00zxD x y z y z x x y z x ∑+++=-=⎰⎰⎰⎰,31(1)d d d d d d 00d d 2xyD x y z y z x x y x y ∑+++=+-=-⎰⎰⎰⎰, 4(1)d d d d d d (2)d d (1)d d yzzx D D x y z y z x x y y z y z x z z x ∑+++=--+--⎰⎰⎰⎰⎰⎰d dy xyD x +⎰⎰11111102114d (2)d d (1)d d d 3623y x x y y z z x x z z x y ---=--+--+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰， ∴原积分为13三、计算题图10-8O y1图10-9xyzO 1:0x ∑=2:0y ∑=3:0z ∑=4∑z∑26 解：1．如图10-10，∑分为1:x ∑=2:x ∑=的后侧，∑在yoz 面的投影为22:4(0)yz D y z z +≤≥，如图10-11，则12222d dz d dz d dz x y x y x y ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2222(4)d dz (4)d dz 0yzyzD D y z y y z y =-----=⎰⎰⎰⎰．2．如图10-12，设∑在xoy 面的投影为22:1xy D x y +≤，又()d d y z y z ∑-⎰⎰()d d ()d d 0,yzyzD D y z y z y z y z =---=⎰⎰⎰⎰()d d ()d d ()d d xzxzD D z x z x z x z x z x z x ∑-=---⎰⎰⎰⎰⎰⎰0=，故原式=2π1()d d ()d d d (cos sin )d 0xyD x y x y x y x y θρθθρρ∑-=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．3．如图10-13，∑在xoy 面的投影为22:4xy D x y +≤, 设n 是∑下侧上一点处法向量， 则(2,2,1)n x y =-，d d 2d d y z x x y =-，d d 2d d z x y x y =-， 所以22322d d d d d d (22)d d x y z xy z x y x y x xy y x y ∑∑++=--+⎰⎰⎰⎰ ()2π232232220(22)d d d cos (1sin )sin d xyD x xy y x y θρθθρθρρ=---+=+-⎰⎰⎰⎰π2π2220sin d sin d 4πθθθθ==-⎰⎰=-4-16．第六节 高斯公式 通量与散度一、填空题1．(,,)(,,)(,,)d d d P x y z Q x y z R x y z x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， 图10-10xyO2图10-11yzOyz D图10-12xyz1O∑图10-13xyzO∑427[](,,)cos (,,)cos (,,)cos d P x y z Q x y z R x y z S αβγ∑++⎰⎰(,,)(,,)(,,)d d d P x y z Q x y z R x y z x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰．2．(,,)(,,)(,,)P x y z Q x y z R x y z x y z ∂∂∂++∂∂∂,,1)x y -3．通量 4．2221x y z++ 二、计算题解：1．令,,P x Q y R z ===，∑所围闭域22:03,9z x y Ω≤≤+≤,如图10-14，由高斯公式得d d d d d d 3d d d 339π381πx y z y z x z x y x y z V ∑Ω++===⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰．2．如图10-15，添加辅助曲面2221:0,z x y a ∑=+≤的下侧与∑上侧一起构成封闭曲面的外侧，令323232,,P x az Q y ax R z ay =+=+=+，则2223()P Q Rx y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂，由高斯公式得1323232()d d (+)d d ()d d x az y z y ax z x z ay x y ∑+∑++++⎰⎰π52π22242006π3()d d d 3d sin d d 5aa x y z x y z r r θϕϕΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 其中:222:,0x y a z Ω+≤≤≤ 即π:02π,0,02r a θϕΩ≤≤≤≤≤≤. 又1132323222()d d (+)d d ()d d d d d d xyD x az y z y ax z x z ay x y ay x y ay x y ∑∑++++==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图10-14xyzO3图10-15xyzO 22:z x y ∑=+1:0z ∑=图10-16xyzO11 ∑28 52π22πd sin d 4a a a θρθρρ=-=-⎰⎰，所以原式=5556ππ29π5420a a a +=．3．如图10-16，令22,,P xz Q x y R y z ===，则22P Q Rz x y x y z∂∂∂++=++∂∂∂，∑所围闭域Ω：22221,0,0,0x y x y z x y +≤≥≥≤≤+，即Ω：2π0,01,02z θρρ≤≤≤≤≤≤，由高斯公式得2222d d d d d d ()d d d xz y z x y z x y z x y z x y x y z ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰21220d d ()d z z πρθρρρ=+⎰⎰⎰π8=． 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度一、填空题1．0 2．d d d P x Q y R z Γ++⎰3．∑的侧，d d d d d d R Q P R Q P y z z x x y y z z x x y ∑⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 二、计算题解：1．如图10-17，取∑为平面2az =22234x y a ⎛⎫+≤⎪⎝⎭的上侧被Γ所围成的部分，∑的单位法向量(0,0,1)n =，由斯托克斯公式得20013πd d d d (1)d 4a y x z y x z S S x y z yzxΓ∑∑∂∂∂++==-=-∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰． 2．如图10-18，取∑为平面2z =的上侧被Γ所围成的部分(224x y +≤)，∑的单位法向量(0,0,1)n =，由斯托克斯公式得xyzOΓ2∑29220013d d d d (3)d 3y x xz y yz z S z S x y z yxzyz Γ∑∑∂∂∂-+==--∂∂∂-⎰⎰⎰⎰⎰ 2(5)d 5π220πS ∑=-=-⋅⋅=-⎰⎰．3．环流量22()d ()d 3d x z x x yz y xy z ΓΦ=-++-⎰，取∑为平面0z =的上侧(224x y +≤)被Γ所围成的部分，∑的单位法向量(0,0,1)n =，22:4xy D x y +≤,由斯托克斯公式得：2201d 2d 3S x S x y z x zx yz xy ∑∑∂∂∂Φ==∂∂∂-+-⎰⎰⎰⎰2π2202d d 2cos d 0xyD x y θρθρ===⎰⎰⎰⎰．第十章 自测题一、填空题（每小题3分，共15分）12328π2π3b R ⎫+⎪⎭ ，提示：222()d m x y z s Γ=++⎰=232π22228π(2π3b R b t t R ⎫+=+⎪⎭⎰2．0 3．P Q y x ∂∂=∂∂ 4．32π3R ，提示：由轮换对称性，222d d d y s z s x s ΓΓΓ==⎰⎰⎰2221(+)d 3x y z s Γ=+⎰3212πd 33R R s Γ==⎰ 5．12，提示：11001d d d d d d 2xzD y x z x x z x x z ∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．B 2．D ，提示：(212)d 012d 12L L I xy s s a =+=+=⎰⎰图10-17xyzO:2a z ∑=Γ图10-18。
同济大学第五版高等数学下D12_4一阶线性1 2
数学下
第十二章
D12_4一一阶线性微分方程
阶线性1
2
一、一阶线性微分方程
二、伯努利方程
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同济大学第五版高等数
学下D12_4一阶线性1 2
一阶线性微分方程标准形式:
dyP(x)yQ(x)
dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
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同济大学第
五版高等数 学下D12_4
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
一解阶: 注线意性x1,
2 y
同号,
令uy1n, 化为线性方程求解.
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五版高等数
学下D12_4 判一别阶下线列方性程1 类2 型:
(1) xdyyxydy
dx
dx提示:ຫໍສະໝຸດ y 1dy dxy
x
可分离 变量方程
(2) xdyy(lnylnx)
dy y ln y
齐次方程
dx
dx x x
(3 )(y x 3 )d x 2 xd y 0 dy 1 y x2 线性方程
ueP(x)dxP(x)ueP(x)dxP(x) ueP(x)dxQ(x)
即
duQ(x)eP(x)dx
两端积分得对应齐dux次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx
【高等数学同济第五版下册工科期末资料】同济高等数学第五版
【高等数学同济第五版下册工科期末资料】同济高等数学第五版一、填空题（每空3分，共15分）z=（1）函数+20z=arctan的定义域为（2）已知函数y∂z=x，则∂x⎰（3）交换积分次序，dy⎰2yy2f(x,y)dx＝（4）已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则⎰(x+y)ds=L（5）已知微分方程y""+2y"-3y=0，则其通解为二、选择题（每空3分，共15分）⎰x+3y+2z+1=0⎰2x-y-10z+3=0，平面π为4x-2y+z-2=0，则（）（1）设直线L为⎰A.L平行于πB.L在π上C.L垂直于πD.L与π斜交（2A.xyz=(1,0,-1)处的dz=（）22(x+y)dv⎰⎰⎰Ωdx+dyB.dxD.dx在柱面坐标系下化成三次积分为（）2224z=25(x+y)及平面z=5所围成的闭区域，将Ω（3）已知是由曲面A.⎰⎰2π02πdθ⎰r3dr⎰dz252r25⎰2π02πdθ⎰r3dr⎰dz45C.dθ⎰r3dr⎰5dz∞⎰D.12dθ⎰rdr⎰dz225（4）已知幂级数nn∑2n=1n，则其收敛半径（）x**"""y-3y+2y=3x-2eyy=（）（5）微分方程的特解的形式为A.2B.1C.A.B.C.三、计算题（每题8分，共48分）(ax+b)xex(ax+b)+cexD.(ax+b)+cxexx-1y-2z-3x+2y-1z====LL0-1且平行于直线2：211的平面方程求过直线1:1∂z∂zz=f(xy2,x2y)，求∂x，∂y已知设D={(x,y)x+y≤4}22，利用极坐标求⎰⎰xdxdyDy2求函数f(x,y)=e2x(x+y2+2y)的极值2⎰x=t-sint⎰(2xy+3sinx)dx+(x-e)dyy=1-cost从点O(0,0)到A(π,2)的一段弧⎰5、计算曲线积分L，其中L为摆线⎰6、求微分方程四.解答题（共22分）1、利用高斯公式计算外侧xy"+y=xex满足yx=1=1的特解22xzdydz+yzdzdx-zdxdy⎰⎰∑z=∑，其中由圆锥面与上半球面z=所围成的立体表面的")(102、（1）判别级数∑(-1)n-1n=1∞n3n-1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（6"）（2）在x∈(-1,1)∑∞nxn求幂级数n=1的和函数（6"）高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分）z=（1）函数的定义域为；（2）已知函数z=exy，则在(2,1)处的全微分dz=；⎰e1dxf(x,y)dy（3）交换积分次序，⎰lnx0＝；（4）已知L是抛物线y=x2上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧，则⎰=；（5）已知微分方程y""-2y"+y=0，则其通解为.二．选择题（每空3分，共15分）⎰⎰x+y+3z=0（1）设直线L为⎰x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππA.0B.2C.3D.4∂z3=（2）设z=f(x,y)是由方程z-3xyz=a3确定，则∂x（）；yzyzxzxyA.xy-z22B.z-xyC.xy-z2D.z2-xy2x*（3）微分方程y""-5y"+6y=xe 的特解y的形式为y*=（）；A.(ax+b)e2xB.(ax+b)xe2xC.(ax+b)+ce2x2xD.(ax+b)+cxedv（4）已知Ω是由球面x2+y2+z2=a2所围成的闭区域,将⎰⎰⎰Ω在球面坐标系下化成三次积分为（）；π⎰2πdθ⎰2ϕdϕ⎰ar22ππa2ππa2ππAsin0drdϕB⎰0dθ⎰20dϕ⎰0rdrC⎰0dθ⎰0dϕ⎰0rdrdθD.⎰⎰sinϕ⎰ar2dr∑∞2n-1n（5）已知幂级数n=12nx，则其收敛半径）.1A.2B.1C.2D.三．计算题（每题8分，共48分）求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程.∂z∂z已知z=f(sinxcosy,ex+y)，求∂x，∂y.设D={(x,y)x2+y2≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算⎰⎰arctanyDxdxdy.1..求函数f(x,y)=x2+5y2-6x+10y+6的极值. 1、利用格林公式计算⎰L(exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy，其中L为沿上半圆周(x-a)2+y2=a2,y≥0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段. y"-y36、求微分方程+1=(x+1)2x的通解.四．解答题（共22分）∑∞(-1)n-12nsinπ1、（1）（6"）判别级数n=13n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；∞x（2）（4"）在区间(-1,1)内求幂级数∑nn=1n的和函数.2xdydz+ydzdx+zdxdy222、(12")利用高斯公式计算⎰⎰∑，∑为抛物面z=x+y(0≤z≤1)的下侧高等数学（下）模拟试卷一参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、{(x,y)|x+y>0,x-y>0}-y2、x2+y23⎰40dx⎰1xf(x,y)dy2x-3x45、y=C1e+C2e二、选择题：（每空3分，共15分）1.C2.D3.C4A5.D三、计算题（每题8分，共48分）1、解：A(1,2,3)s→→1={1,0,-1}s2={2,1,1}2"→→i→→→→jkn=s1⨯s2=10-1=→i-3→j+→2116"∴平面方程为x-3y+z+2=08"2、解：令u=xy2v=x2y2"∂z=∂z∂f21"⋅y+f2"⋅2xy∂x∂u⋅u∂x+∂z∂v∂v⋅∂x=∂z∂z∂u∂z∂6"∂y=∂u⋅∂y+∂v⋅v∂y=f1"⋅2xy+f2"⋅x23、解：D:0≤θ≤2π0≤r≤28"，3"∴⎰⎰x2dxdy=3cos2θdrdθ=2π2⎰2D⎰⎰rD⎰0cosθdθ0r3dr=4π8"⎰⎰⎰f(x,y)=e2x(2x+2y2x+4y+1)=04．解：⎰⎰f(x,y)=e2x(2y+2)=01y(,-1)得驻点24"A=fxx(x,y)=e2x(4x+4y2+8y+4),B=fxy(x,y)=e2x(4y+4),C=fyy(x ,y)=2e2x16"A=2e>0,AC-B2=4e2>0∴f(,-1)=-1e极小值为228"∂P∂Q5．解：P=2xy+3sinx,Q=x2-ey=2x=∂x,∴，有∂y曲线积分与路径无关2"积分路线选择：L1:y=0,x从0→π，L2:x=π,y从0→24"x2-ey)dy=⎰L(2xy+3sinx)dx+(⎰LPdx+Qdy+1⎰LPdx+Qdy2=π22-ey)dy=2π2-e2+7⎰03sinxdx+⎰0(π8"y"+1xy=ex⇒P=1x,Q=ex6．解：2"P(x)dx11[⎰Q(x)e⎰P(x)dxdx+C]=e-∴⎰x dx[⎰exe⎰xdx通解为y=e-⎰dx+C]4"=1[x⎰ex⋅xdx+C]=1x[(x-1)ex+C]6"y=1[(x-1)x代入y=1e+1]x=1，得C=1，∴特解为x8"四、解答题⎰⎰2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy=⎰⎰⎰(2z+z-2z)dv=⎰⎰⎰zdv1、解：∑ΩΩ4"=⎰⎰⎰r3cosϕsinϕdrdθdϕΩπ6"dθ方法一：原式＝⎰2π0⎰4cosϕsinϕd0ϕ⎰3dr=π210"2π1方法二：原式＝⎰dθ⎰0rdr⎰r=2π⎰r(1-r2π)dr=210"n-1∞un-1nn=(-1)limun+1=n+131n2、解：（1）令3n-1n→∞ulimnn→∞3n⋅n=3∴∑(-1)n-1nn=13n-1绝对收敛。
同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案
习题1−11. 设A=(−∞, −5)∪(5, +∞), B=[−10, 3), 写出A∪B,A∩B,A\B及A\(A\B)的表达式.解A∪B=(−∞, 3)∪(5, +∞),A∩B=[−10, −5),A\B=(−∞, −10)∪(5, +∞),A\(A\B)=[−10, −5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A∩B)C=A C ∪B C.证明因为x∈(A∩B)C⇔x∉A∩B⇔x∉A或x∉B⇔x∈AC或x∈B C⇔x∈AC ∪B C,所以(A∩B)C=A C ∪B C.3. 设映射f: X→Y,A⊂X,B⊂X. 证明(1)f(A∪B)=f(A)∪f(B);(2)f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).证明因为y∈f(A∪B)⇔∃x∈A∪B,使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B)y∈f(A)或y∈f(B)⇔y∈f(A)∪f(B),所以f(A∪B)=f(A)∪f(B).(2)因为y∈f(A∩B)⇒∃x∈A∩B,使f(x)=y⇔(因为x∈A且x∈B)y∈f(A)且y∈f(B)⇒y∈f(A)∩f(B),所以f(A∩B)⊂f(A)∩f(B).4. 设映射f: X→Y,若存在一个映射g:Y→X,使, , 其中IXIfg=㣠YIgf=㣠X、I Y分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X,有IX x=x;对于每一个y∈Y,有IY y=y.证明: f是双射, 且g 是f的逆映射: g=f−1.证明因为对于任意的y∈Y,有x=g(y)∈X,且f(x)=f[g(y)]=I y y=y,即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射.又因为对于任意的x1≠x2, 必有f(x1)≠f(x2), 否则若f(x1)=f(x2) ⇒g[f(x1)]=g[f(x2)] ⇒x1=x2.因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射.对于映射g:Y→X,因为对每个y∈Y,有g(y)=x∈X,且满足f(x)=f[g(y)]=I y y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射.5. 设映射f: X→Y,A⊂X. 证明:(1)f−1(f(A))⊃A;(2)当f是单射时, 有f−1(f(A))=A.证明 (1)因为 x ∈ A ⇒ f ( x )= y ∈ f ( A ) ⇒ f −1( y )= x ∈f −1( f ( A )), 所以 f−1(f ( A ))⊃ A .(2)由(1)知 f−1(f ( A ))⊃ A. 另一方面, 对于任意的 x ∈ f −1( f ( A ))⇒存在 y ∈ f ( A ), 使 f −1( y )= x ⇒ f ( x )= y . 因为 y ∈f ( A )且 f 是单 射, 所以 x ∈ A . 这就证明了 f−1(f ( A ))⊂ A . 因此 f −1( f (A ))= A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+= xy ;解 由3 x +2≥0得32−>x . 函数的定义域为) ,32[∞+−.(2)211xy −=;解 由1− x 2≠0得 x ≠±1. 函数的定义域为(−∞, −1)∪(−1, 1)∪(1, +∞). (3)211xxy −−=;解 由 x ≠0且1− x2≥0得函数的定义域D =[−1, 0)∪(0, 1].(4)2 4 1 xy − =;解 由4− x 2>0得 | x |<2. 函数的定义域为(−2, 2). (5)xysin=; 解 由 x ≥0得函数的定义 D =[0, +∞). (6) y =tan( x +1);解 由 2 1π≠+ x ( k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12−+≠ππ kx( k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin( x −3);解 由| x −3|≤1得函数的定义域 D =[2, 4].(8) xxy1arctan3+−=;解 由3− x ≥0且 x ≠0得函数的定义域 D =(−∞, 0)∪(0, 3). (9) y =ln( x +1);解 由 x +1>0得函数的定义域 D =(−1, +∞). (10) xey1=.解 由 x ≠0得函数的定义域 D =(−∞, 0)∪(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数 f ( x )和 g ( x )是否相同？为什么？(1) f ( x )=lg x 2, g ( x )=2lg x ;(2) f ( x )= x , g ( x )=2 x ; (3)334)(xxxf −=,31)(−=xxxg .(4) f ( x )=1, g ( x )=sec2 x −tan2 x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g ( x )=− x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同. 8. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧ ≥<= 3||3|| |sin|)(ππϕ x xx x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ−, ϕ(−2), 并作出函数 y =ϕ( x )的图形.解 21|6sin|)6(==ππϕ, 22|4sin|)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=−=−ππϕ, 0)2(=−ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1) x xy− = 1 , (−∞, 1);(2) y = x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的 x 1, x 2∈(−∞, 1), 有1− x 1>0, 1− x 2>0. 因为当x 1< x 2时,0 )1)(1(1121212 2 1121< −− −= − − − =− xx xx x x x xyy ,所以函数 x xy− = 1 在区间(−∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的 x 1, x 2∈(0, +∞), 当 x 1< x 2时, 有0ln)()ln()ln(2121221121<+−=+−+=− x xxxxxxxyy ,所以函数 y= x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的. 10. 设 f ( x )为定义在(− l , l )内的奇函数, 若 f ( x )在(0, l )内单调增加, 证明 f ( x )在(− l , 0)内也单调增加.证明 对于∀ x 1, x 2∈(− l , 0)且 x 1< x 2, 有− x 1, − x 2∈(0, l )且− x 1>− x 2. 因为 f ( x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (− x 2)< f (− x 1), − f ( x 2)<− f ( x 1), f ( x 2)> f( x 1), 这就证明了对于∀ x 1, x 2∈(− l , 0), 有 f ( x 1)< f ( x 2), 所以 f ( x )在(− l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(−l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是 奇函数.证明 (1)设 F ( x )= f ( x )+ g ( x ). 如果 f ( x )和 g ( x )都是偶函数, 则F (− x )= f (− x )+ g (− x )= f ( x )+ g ( x )= F ( x ), 所以 F ( x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果 f ( x )和 g ( x )都是奇函数, 则F (− x )= f (− x )+ g (− x )=− f ( x )− g ( x )=− F ( x ), 所以 F ( x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设 F ( x )= f ( x )⋅ g ( x ). 如果 f ( x )和 g ( x)都是偶函数, 则 F (− x )= f (− x )⋅ g (− x )= f ( x )⋅ g ( x )= F ( x ), 所以 F ( x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果 f ( x )和 g ( x )都是奇函数, 则F (− x )= f (− x )⋅ g (− x )=[− f ( x )][− g ( x )]= f ( x )⋅ g ( x )= F ( x ), 所以 F ( x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果 f ( x )是偶函数, 而 g ( x )是奇函数, 则F (− x )= f (− x )⋅ g (− x )= f ( x )[− g ( x )]=− f ( x )⋅ g ( x )=− F ( x ), 所以 F ( x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1) y = x 2(1− x 2); (2) y =3 x 2− x3; (3)22 1 1 xxy + −=; (4) y = x ( x −1)( x +1); (5) y =sin x −cos x +1; (6)2 xxaay −+ =.解 (1)因为 f(− x )=(− x )2[1−(− x )2]= x 2(1−x2)=f ( x ), 所以 f ( x )是偶函数.(2)由 f (− x)=3(− x )2−(− x )3=3 x 2+x 3可见 f ( x )既非奇函数又非偶函数. (3)因为 () )(11 1 )(1)( 2 2 2 2 xfxx x xxf =+−= −+−−=−,所以 f ( x )是偶函数. (4)因为 f (− x )=(− x )(− x −1)(− x +1)=− x ( x +1)( x −1)=− f ( x ), 所以 f ( x )是奇函数. (5)由 f (− x )=sin(− x )−cos(− x )+1=−sin x −cos x +1可见 f ( x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(xfaaaaxf xxxx=+=+=− −−−− , 所以 f ( x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1) y =cos( x −2); (2) y =cos 4 x ; (3) y =1+sin π x ; (4) y = x cos x ; (5) y =sin2 x .解 (1)是周期函数, 周期为 l=2π. (2)是周期函数, 周期为2π=l .(3)是周期函数, 周期为 l =2. (4)不是周期函数.(5)是周期函数, 周期为 l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+= xy ; (2) xxy+ −= 1 1; (3)dcxbaxy+ +=( ad − b c ≠0); (4) y =2sin3 x ; (5) y =1+ln( x +2);(6) 122 + = x xy .解 (1)由31+= xy 得 x = y3−1, 所以31+= xy 的反函数为 y = x3−1.(2)由 x xy + −= 1 1得 yyx + −= 1 1, 所以 x xy + −= 1 1的反函数为xxy+ −= 1 1. (3)由dcxbaxy + +=得 acybdyx − +−=, 所以 dcxbaxy + +=的反函数为 acxbdxy − +−=.(4)由 y =2sin 3 x 得2arcsin31 yx=, 所以y =2sin 3 x 的反函数为2arcsin31xy=. (5)由 y =1+ln( x +2)得 x= e y−1−2, 所以 y =1+ln( x +2)的反函数为 y = e x −1−2.(6)由122+=x xy 得y yx −=1log2, 所以12 2 +=x xy 的反函数为x xy−=1log2.15. 设函数 f ( x )在数集 X 上有定义, 试证: 函数 f ( x )在 X 上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f ( x )在 X 上有界, 则存在正数 M , 使| f ( x )|≤ M , 即− M≤ f ( x )≤ M . 这 这就证明了 f ( x )在 X 上有下界− M 和上界 M . 再证充分性. 设函数 f ( x )在 X 上有下界 K 1和上界K 2, 即 K 1≤ f( x )≤ K 2 . 取 M =max{| K 1|, | K 2|}, 则 − M≤ K 1≤ f ( x )≤ K 2≤ M , 即 | f ( x)|≤ M . 这就证明了 f ( x )在 X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和 x 2的函数值: (1) y = u 2,u =sin x , 61π=x , 32π= x ;(2) y =sin u , u =2 x , ,81π= x ,42π=x ; (3) uy =, u =1+ x 2, x 1=1, x 2= 2;(4) y = e u , u = x 2, x 1 =0, x 2=1;(5) y = u 2 , u = e x , x 1=1, x 2=−1.解 (1) y =sin2 x, 41)21(6sin221===πy ,43)23(3sin222===πy. (2) y =sin2 x , 224sin)82sin(1==⋅=ππy ,12sin)42sin(2==⋅=ππy .(3)21 xy +=, 21121=+= y , 52122=+= y .(4), , . 2 xey =1201== eyeey==212(5) y = e 2 x , y 1= e 2⋅1= e 2, y 2= e 2⋅(−1)= e −2.17. 设 f ( x )的定义域 D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f ( x2);(2) f (sin x ); (3) f ( x + a )( a >0); (4) f ( x + a )+ f ( x − a )( a >0).解 (1)由0≤ x 2≤1得| x |≤1, 所以函数 f( x 2)的定义域为[−1, 1]. (2)由0≤sin x ≤1得2 n π≤ x ≤(2 n +1)π ( n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数 f (sin x )的定义域为[2 n π, (2 n +1)π] ( n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3)由0≤ x+ a ≤1得− a ≤ x ≤1− a , 所以函数 f ( x + a )的定义域为[− a , 1− a ]. (4)由0≤ x+ a ≤1且0≤ x − a ≤1得: 当210≤< a 时, a ≤ x ≤1− a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤< a 时 函数的定义域为[ a , 1− a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪ ⎨⎧ >− = < = 1|| 11|| 0 1|| 1 )( x x x xf , g (x )= e x , 求 f [ g ( x )]和 g [ f ( x )], 并作出这两个函数的图形. 解⎪⎩⎪⎨⎧ >− = < = 1|| 1 1|| 0 1|| 1 )]([x x x e e e xgf , 即 ⎪⎩⎪⎨ ⎧>− = < = 0 10 0 0 1)]([x x x xgf . , 即() ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = < == −1|| 1|| e 1|| ][ 1 0 1 )( xe x xe exfgxf () ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ >= < = −1|| 1|| 1 1|| ][ 1 xe x xe xfg . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40°(图1−37). 当过水断面ABCD 的面积为定 值S0时, 求湿周 L(L=AC+CD+DB)与水深h 之间的函数关系式, 并说明定义域. 图1−37解 㗸40sin hDCAb ==, 又从0)]40cot2([2 1ShBCBCh=⋅++㗸得 hhSBC ⋅−=㗸40cot0,所以hhSL 㗸 㗸 40sin40cos20−+=. 自变量 h 的取值范围应由不等式组h >0, 040cot0>⋅− hhS㗸 确定, 定义域为㗸40cot00Sh<<. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数;(2)将厂方所获的利润 P 表示成订购量 x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤ x ≤100时, p=90. 令0. 01( x 0−100)=90−75, 得 x 0=1600. 因此当 x ≥1600时, p=75. 当100< x <1600时, p =90−( x −100)×0. 01=91−0. 01 x . 综合上述结果得到. ⎪⎩⎪⎨ ⎧≥ <<− ≤≤ =1600 751600100 01.091 1000 90 x xx x p(2).⎪ ⎩⎪ ⎨⎧ ≥ <<− ≤≤ =−= 160015 1600100 01.031 1000 30 )60(2 xx xxx xx xpP (3) P =31×1000−0. 01×10002=21000(元).习题1−21. 观察一般项 xn 如下的数列{ xn }的变化趋势, 写出它们的极限: (1) nnx2 1=; (2) nxnn1)1(−=; (3)212n xn +=;(4) 11 + −=n nx n ;(5) x n = n (−1) n .解 (1)当 n →∞时, nnx 2 1=→0, 021lim= ∞→ nn . (2)当 n →∞时, n xnn1)1(−=→0, 01)1(lim=− ∞→ nnn .(3)当 n →∞时, 212 nxn→ nn.(4)当 n →∞时, 1211 1 + −= + −=nn nx n11lim=+ − ∞→ n n n.(5)当 n →∞时, x n =n (−1) n没有极限. 2. 设数列{ xn }的一般项 nn xn 2cosπ=. 问=? 求出 N , 使当 n > N 时, xnnx ∞→limn 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数 N. 解 . 0lim=∞→nnx nn n xn1|2cos||0|≤=− π. ∀ε >0, 要使| x n −0|<ε , 只要ε< n1, 也就是ε1>n. 取]1[ε= N ,则∀ n > N , 有| xn −0|<ε . 当ε =0.001时, ]1[ ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明: (1)01lim2=∞→ nn;(2) 23 12 13lim=+ + ∞→ n n n ;(3)1lim22 =+∞→nann(4). 19999.0lim=⋅⋅⋅个nn (1)分析 要使ε<=−221|01| nn , 只须 ε12>n, 即 ε1>n.证明 因为∀ε>0, ∃]1[ ε=N , 当 n > N 时, 有ε<−|01|2n, 所以01lim2=∞→ nn.(2)分析 要使ε<<+=−++nnnn 4 1)12(2 1| 2 3 12 13|, 只须ε< n4 1, 即ε41> n .证明 因为∀ε>0, ∃] 4 1[ε = N , 当 n > N 时, 有ε<−+ +| 23 12 13| n n , 所以23 12 13lim=+ + ∞→ n n n .(3)分析 要使ε<<++ =−+=−+nanann a nnan nan 222 22222)( |1|, 只须ε2an>.证明 因为∀ε>0, ∃][ 2 εaN=, 当∀n > N 时, 有ε<−+|1|22 n an, 所以1lim22 =+∞→nann. (4)分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|ε<=−1 101n, 只须1 101− n <ε , 即 ε1lg1+>n .证明 因为∀ε>0, ∃]1lg1[ε += N , 当∀ n > N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9−1|<ε , 所以. 19999.0lim=⋅⋅⋅ n 个n 4. , 证明. 并举例说明: 如果数列{|xaunn =∞→lim||||lim aunn =∞→ n|}有极限, 但数列{ xn }未必有 极限.证明 因为, 所以∀ε>0, ∃ N ∈N, 当 n > N 时, 有, 从而 aunn=∞→limε<−|| aun || u n |−| a ||≤| un − a |<ε .这就证明了|. |||lim aunn =∞→数列{| xn |}有极限, 但数列{ xn }未必有极限. 例如, 但不存在. 1|)1(|lim=−∞→n nn n)1(lim−∞→5. 设数列{ xn }有界, 又, 证明: .0lim=∞→nny 0lim=∞→ nnnyx证明 因为数列{ xn }有界, 所以存在 M , 使∀ n ∈ Z , 有| xn |≤M . 又, 所以∀ε>0, ∃N ∈ N , 当 n > N 时, 有0lim=∞→nnyMyn ε<||. 从而当n > N 时, 有εε=⋅<≤=− MMyMyxyxnnnnn|||||0|, 所以. 0lim=∞→ nnnyx6. 对于数列{ xn }若 x 2 k → a ( k →∞), x 2 k +1→ a ( k →∞), 证明: xn → a ( n →∞).证明 因为 x 2 k → a ( k →∞), x 2 k +1→ a ( k →∞), 所以∀ε>0, ∃ K 1, 当2 k >2 K 1时, 有| x 2 k − a |<ε ; ∃ K 当2 k +1>2 K 2+1时, 有|x 2 k +1− a |<ε . . 取 N =max{2 K 1, 2 K 2+1}, 只要 n > N , 就有| xn − a |<ε . 因此 x n → a ( n →∞).习题1−31. 根据函数极限的定义证明: (1); 8)13(lim3=−→ xx (2); 12)25(lim2=+→ xx (3)424lim22−=+ − −→ x x x ;(4)212 41lim321=+ − −→ x x x .证明 (1)分析 |(3 x −1)−8|=|3 x −9|=3| x −3|, 要使|(3 x −1)−8|<ε , 只须ε 31|3|<−x . 证明 因为∀ε >0,∃εδ 31=, 当0<|x −3|<δ时, 有|(3 x −1)−8|<ε , 所以. 8)13(lim3=−→xx (2)分析 |(5 x +2)−12|=|5 x −10|=5| x −2|, 要使|(5 x +2)−12|<ε ,只须ε 51|2|<−x . 证明 因为∀ε >0,∃εδ 51=, 当0<|x −2|<δ时, 有|(5 x +2)−12|<ε ,所以. 12)25(lim2=+→xx (3)分析 |)2(||2|244)4(2422−−=+=+ ++=−− + − xxx xx x x , 要使ε<−−+ −)4(242x x , 只须ε<−−|)2(|x . 证明 因为∀ε >0,∃εδ=, 当0<| x −(−2)|<δ时, 有ε<−−+ −)4(242x x , 所以424lim22−=+− −→ x x x .(4)分析 |)2 1(|2|221|2 12413−−=−−=− + − xxx x , 要使ε<− + −2 12413x x , 只须ε 21|)2 1(|<−− x.证明 因为∀ε >0,∃εδ 2 1=, 当δ<−−<|) 2 1(|0x 时, 有ε<−+ −2 12413 x x , 所以21241lim321=+ − −→ x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2 12 1lim3 3 =+∞→ xx x; (2)0sinlim=+∞→ x xx .证明 (1)分析 333333||2 121 21 2 1 xx xxxx =−+=−+, 要使ε<−+ 212 1 33xx , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x .证明 因为∀ε >0, ∃3 2 1ε= X , 当| x|> X 时, 有ε<−+ 2 12 13 3 x x , 所以2 12 1lim3 3 =+∞→ xx x. (2)分析xx xxx 1|sin|0sin≤=−, 要使ε<−0sin xx , 只须ε<x1, 即2 1ε> x . 证明 因为∀ε>0, ∃21 ε = X , 当 x> X 时, 有ε<−0sin xx, 所以0sinlim=+∞→ xxx .3. 当 x →2时, y= x 2→4. 问δ等于多少, 使当| x −2|<δ时, | y −4|<0. 001？解 由于 x →2, | x −2|→0, 不妨设| x −2|<1, 即1< x <3. 要使| x 2−4|=| x +2|| x −2|<5| x −2|<0. 001, 只要0002.0 5001.0|2|=<− x, 取δ=0. 0002, 则当0<| x −2|<δ时, 就有| x2−4|<0. 001. 4. 当 x →∞时, 1312 2 → + −=x xy , 问 X 等于多少, 使当| x |> X 时, | y −1|<0.01? 解 要使01.0341 3122 2 < + =− + − xx x , 只397301.04||=−>x , 397= X .5. 证明函数 f ( x )=| x | 当 x →0时极限为零.6. 求,)(xxxf= x xx ||)(=ϕ当 x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在 x →0时的极限是否存在.证明 因为 11limlim)(lim 000 ===−−− →→→xxxx xxf , 11limlim)(lim 000 ===+++→→→xxxx xxf, , )(lim)(lim 00xfxfxx +→→=− 所以极限存在. )(lim0 xfx→因为1lim||lim)(lim 000 −=−==−−−→→→ xxx xx xxx ϕ, 1lim||lim)(lim 000 ===+++→→→ xxxxx xxx ϕ, , )(lim)(lim 00xx xx ϕϕ+→→≠− 所以极限不存在. )(lim0xx ϕ→7. 证明: 若 x →+∞及 x →−∞时, 函数 f ( x )的极限都存在且都等于 A , 则.Axfx =∞→)(lim证明 因为, , 所以∀ε>0, Axfx =−∞→)(lim Axfx =+∞→)(lim∃ X 1>0, 使当 x <− X 1时, 有| f ( x )− A |<ε ; ∃ X 2>0, 使当 x > X 2时, 有| f ( x )− A |<ε . 取 X =max{ X 1, X 2}, 则当|x |> X 时, 有| f ( x )− A |<ε , 即.Axfx =∞→)(lim8. 根据极限的定义证明: 函数 f ( x )当 x → x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各 自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设 f ( x )→ A ( x → x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x − x 0|<δ 时, 有| f ( x )− A |<ε .因此当 x 0−δ< x < x 0和 x 0< x < x 0+δ 时都有| f ( x )− A |<ε .这说明 f ( x )当 x → x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性. 设 f ( x 0−0)= f ( x 0+0)= A, 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当 x 0−δ1< x < x 0时, 有| f( x )− A <ε ; ∃δ2>0, 使当 x 0< x < x 0+δ2时, 有|f ( x )− A |<ε . 取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<| x − x 0|<δ 时, 有 x 0−δ1< x < x 0及 x 0< x < x 0+δ2 , 从而有| f ( x )− A |<ε ,即 f ( x )→ A ( x → x 0).9. 试给出 x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果 f ( x )当 x →∞时的极限存在, 则存在 X >0及M >0, 使当| x |> X 时, | f ( x )|< M .证明 设 f ( x )→ A ( x →∞), 则对于ε =1,∃ X >0, 当| x |> X 时, 有| f ( x )− A |<ε =1. 所以 | f ( x )|=| f ( x )− A + A |≤| f ( x )− A |+| A |<1+| A |.这就是说存在 X >0及 M >0, 使当| x|> X 时, | f ( x )|< M , 其中 M =1+| A |.习题1−41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当 x →0时, α( x)=2 x , β( x )=3 x 都是无穷小, 但 3 2 )( )(lim 0=→ x x x β α, )()( x x β α不是无穷小.2. 根据定义证明: (1) 3 92+ −= x xy 当 x →3时为无穷小; (2)xxy1sin=当x →0时为无穷小. 证明 (1)当 x ≠3时|3|39||2−=+ −= xx xy . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<| x −3|<δ时, 有εδ=<−=+ −=|3|39||2 xx xy , 所以当 x →3时392+ −= x xy 为无穷小. (2)当 x ≠0时|0||1sin|||||−≤=xxxy . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<| x −0|<δ时, 有εδ=<−≤=|0||1sin|||||x xxy, 所以当 x →0时 xxy1sin=为无穷小.3. 根据定义证明: 函数 xxy 21+=为当 x →0时的无穷大. 问 x 应满足什么条件, 能使| y |>104？ 证明 分析2|| 11221||−≥+=+= xxx xy, 要使| y |> M , 只须M x >−2 ||1, 即21|| + < M x .证明 因为∀ M >0, ∃ 2 1+ = M δ, 使当0<| x −0|<δ时, 有M xx >+21,所以当 x →0时, 函数 xxy 21+=是无穷大. 取 M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<−<x时, | y|>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1) x x n 12lim+∞→;(2)xx x − − →1 1lim20.解 (1)因为 xx x1212+=+, 而当 x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim=+∞→ x x n . (2)因为x xx += − −1 1 12( x ≠1), 而当 x →0时 x 为无穷小, 所以111lim20=− − → xx x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:6. 函数 y = x c os x 在(−∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当 x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数 y= x c os x 在(−∞, +∞)内无界. 这是因为∀ M >0, 在(−∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得| y( x )|> M . 例如 y (2 k π)=2 k π cos2 k π=2 k π ( k=0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当 k 充分大时, 就有| y(2 k π)|> M . 当 x →+∞ 时, 函数 y = xc os x 不是无穷大. 这是因为∀ M >0, 找不到这样一个时刻 N , 使对一切大于 N 的 x , 都有| y( x )|> M . 例如 0) 22cos()22() 2 2(=++=+ππππππ kkky ( k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 对任何大的 N , 当 k 充分大时, 总有 Nkx >+=22ππ, 但| y ( x )|=0< M .7. 证明: 函数 xxy 1sin1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数 xxy1sin1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为 ∀ M >0, 在(0, 1]中总可以找到点 xk , 使 y ( x k )> M . 例如当22 1 ππ+=kxk( k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+= kxyk ,当 k 充分大时, y ( xk )> M . 当 x →0+ 时, 函数 xxy1sin1=不是无穷大. 这是因为∀ M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点xk , 使0< xk <δ, 但 y ( xk )< M . 例如可取 πk xk2 1=( k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当 k 充分大时, x k <δ, 但 y ( x k )=2 k πsin2 k π=0< M .习题1−51. 计算下列极限: (1)35lim2 2− +→ xx x ;解 9325235lim22 2−=− +=− +→ x x x .(2)13lim2 2 3+ −→ xx x ;解 01)3(3)3( 1 3lim22 2 2 3=+−= + − → x x x .(3)112lim221−+−→ xxx x ;解02011lim)1)(1()1(lim112lim1 212 21==+ −=+−−= −+−→→→x x xx x x xx xxx .(4)xxxxxx 23 24lim 2 23 0++− →; 解2123124lim2324lim 20223 0=+ +−=+ +− →→xxx xxxxxxx .(5)hxhx h 22 0 )(lim−+ →;解xhxhxhhxxhxhxhhh2)2(lim2lim)(lim0 222 0220=+=−++=−+→→→.(6))112(lim2 xxx+−∞→;解21lim1lim2)112(lim22=+−=+−∞→∞→∞→ xxxxxxx.(7)121lim2 2 −−− ∞→xx x x ;解 21112 11lim121lim 22 2 2 = −− −=−−−∞→∞→ xxx xx x xx. (8)13lim242 −−+ ∞→xx xxx ;解 013lim242=−−+∞→ xxxxx(分子次数低于分母次数, 极限为零)或 0121 11 lim13lim 4232 242 = −− + =−−+∞→∞→ xxxx xx xx xx .(9)4586lim224+− +− → xx xx x ; 解32142412lim)4)(1()4)(2(lim4586lim442 24=−−=−−=−−−−=+−+− →→→ x x xx xx xx xx xxx .(10))12)(11(lim2 xxx −+∞→;解221)12(lim)11(lim)12)(11(lim22=×=−⋅+=−+∞→∞→∞→ xxxxxxx.(11))21 41211(limnn+⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim)21 41211(lim 1 = − − =+⋅⋅⋅+++ + ∞→∞→ n nnn .(12)2)1( 321lim nn n −+⋅⋅⋅+++ ∞→; 解 211lim212 )1( lim)1( 321li m22=−=− =−+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→ nnn nnnn nnn .(13)35)3)(2)(1(limnnnn n +++ ∞→; 解515)3)(2)(1(lim3=+++∞→ nnnnn (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→ nnnnnnn nn .(14))1311(lim31 xxx −−−→;解 112lim)1)(1()2)(1(lim)1)(1(31lim)1311(lim212122 131−=++ +−=++− +−−=++− −++=−−−→→→→ xxx xxxxx xxx xx xxxxxx .2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim−+→x xxx ; 解 因为01602)2(lim2322==+ − → xxx x , 所以∞=−+→223 2)2( 2limxxx x .(2)12lim 2 +∞→x xx ;解∞=+∞→12lim2xx x (因为分子次数高于分母次数(3). )12(lim3+−∞→xxx 解 (因为分子次数高于分母次数). ∞=+−∞→)12(lim3xxx 3.计算下列极限: (1)xxx1sinlim20→;解 01sinlim20=→ xxx(当 x →0时, x2是无穷小, 而x1sin 是有界变量).(2)xx x arctanlim ∞→. 解0arctan1limarctanlim=⋅=∞→∞→ xxxxxx (当 x →∞时, x1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1−61. 计算下列极限: (1)xx x ωsinlim0→; 解 ωωωωω==→→ xx xx xx sinlimsinlim00. (2)xx x 3tanlim0→; 解33cos133sinlim33tanlim00=⋅=→→ xxxxxxx .(3)x x x 5sin2sinlim 0→; 解52525sin522sinlim5sin2sinlim00=⋅⋅=→→xxxxx x xx .(4);xxx cotlim0→ 解1coslimsinlimcossinlimcotlim0000=⋅=⋅=→→→→ xxxxxxxxxxxx. (5)xxx x sin 2cos1lim 0 − →;解法一 ()2sinlim2sin2lim2cos1limsin2cos1lim2022 0200===−=− →→→→ xxx x x xxx x xxxx .解法二2sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0 2 00===− →→→ xxxxx xxxxxx .(6)n n nx2 sin2lim∞→( x 为不等于零的常数). 解xxx x xnnnnn n=⋅=∞→∞→2 2sinlim2 sin2lim. 2. 计算下列极限: (1)xxx 10)1(lim−→;解 {}11)( 1)1()(10 10)](1[lim)](1[lim)1(lim−−− → −− →→=−+=−+=−exxxxxxxxx. (2)xxx1 0)21(lim+→;解 []22212210 10)21(lim)21(lim)21(limexxxxxxxxx =+=+=+→⋅→→.(3)x xx x 2)1(lim+∞→;解[]222)11(lim)1(lim exxxxxxx =+=+∞→∞→.(4)kx xx)11(lim−∞→( k 为正整数). 解kkx x kxxexx−−− ∞→∞→=−+=−))(()11(lim)11(lim.3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I′. 解4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim=+∞→ nn;证明 因为 nn11111+<+<, 而 且11lim=∞→n1)11(lim=+∞→ nn, 由极限存在准则I, 111lim=+∞→ nn.(2)()11211lim222=++⋅⋅⋅++++∞→πππ nnnnnn;证明 因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+2 22222 21211n n nnnnnnn n ,而 1lim22 =+∞→π nn n n , 1lim2 2=+∞→π n n n , 所以 ()11211lim222=++⋅⋅⋅++++∞→πππnnnnnn.(3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在; 证明 21=x ,nnxx +=+21( n=1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{ xn }有界. 当 n =1时221<= x , 假定 n = k 时 x k <2, 当 n = k +1时,22221=+<+=+kkxx, 所以 xn <2( n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{ xn }有界.再证明数列单调增.nnnn nnnnnnnn xx xx xx xxxxxx ++ +−−= ++ −+=−+=− +2 )1)(2( 2222 1,而 x n −2<0, xn +1>0, 所以 xn +1− xn >0, 即数列{ xn }单调增. 因为数列{ xn }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim0=+→ n xx;证明 当| x |≤1时, 则有1+ x ≤1+| x |≤(1+| x |) n ,1+ x ≥1−| x |≥(1−| x |) n , 从而有 ||11||1xxxn +≤+≤−.因为 ,1|)|1(lim|)|1(lim00=+=−→→ xxxx 根据夹逼准则, 有11lim0=+→ n xx.(5)[]11lim=+ → xx x .证明 因为[]xxx 1111≤<−, 所以[]111≤<−xxx .又因为, 根据夹逼准则, 有11lim)1(lim 00==−++ →→xx x []11lim0 =+ → xx x .习题 1−71. 当 x →0时, 2 x − x2 与 x 2−x3相比, 哪一个是高阶无穷小？ 解 因为0 2 lim 2 lim202320=− −= − − →→ x xxxx xxxx,所以当 x →0时, x 2− x3是高阶无穷小, 即x 2− x 3=o (2 x − x2).2. 当 x →1时, 无穷小1− x 和(1)1− x 3, (2))1( 212 x −是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim1 )1)(1(lim1 1lim2 1 2 13 1=++=− ++−= − − →→→xxx xxx xx xxx ,所以当 x →1时, 1− x 和1− x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim2 1 1 )1(2 1lim1 2 1=+=− − →→ x x x xx,所以当 x →1时, 1− x 和)1( 2 12x −是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当 x →0时, 有: (1) arctan x ~ x ; (2)2~1sec2 xx−. 证明 (1)因为1tan limarctanli m00==→→y yxx yx (提示: 令 y =arctan x , 则当 x →0时, y →0), 所以当 x →0时, arctan x~ x . (2)因为()12 2sin2lim 22 sin2limcos cos1lim2 2 1 1seclim2 02 2 02020=== −=− →→→→ x x x xxx x x x xxxx ,所以当 x →0时,2~1sec2xx−. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 2 3tanlim0→; (2) m nxx x )(sin )sin(lim0→( n , m 为正整数);(3)xxx x 30sin sintanlim− →;(4))1sin1)(11(tansinlim320−+−+− → xx xx x .解(1)2323lim23tanlim00==→→ xxx x xx .(2)⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <∞ > = ==→→ mnmn mn xx xx m n xm n x0 1lim)(sin)sin(lim00.(3)21cos2 1 limsincoscos1limsin)1cos1(sinlimsinsintanlim2 2 0203030== −=−=− →→→→ xxx xx x x xx x xx xxxx . (4)因为 32221)2 (2~ 2 sintan2)1(costantansin xxxxxxxxx −=⋅−−=−=−( x →0),232322232 3 1~ 11)1(11 x xx xx++++ =−+(x →0), xx x xx ~sin~ 1sin1sin1sin1++ =−+(x →0),所以 331 21lim )1sin1)(11( tansinlim230320−=⋅ − = −+−+ − →→ xxx xx xx xx .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim=αα, 所以α ~α ; (2) 若α ~β, 则1lim= β α, 从而1lim= αβ. 因此β~α ; (3) 若α ~β, β~γ, 1limlimlim=⋅=βαγ β γ α. 因此α~γ.习题1−81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1);⎩⎨ ⎧ ≤<− ≤≤= 21 210 )(2 xx xxxf (2). ⎩⎨⎧> ≤≤− = 1|| 111 )( x xx xf 解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数 f ( x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的.在 x =1处, 因为 f1lim)(lim2 11==−− →→xxf xx 1)2(lim)(lim11=−=++ →→xxf xx 所以, 从而函数f ( x )在 x =1处是连续的. 1)(lim1=→xfx 综上所述，函数 f( x )在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在 x =−1和 x =1处的连续性.在 x =−1处, 因为 f (−1)=−1, , , 所以 函数在 x =−1处间断, 但右连续. )1(11lim)(lim11 −≠==−− −→−→fxf xx )1(1lim)(lim11 −=−==++ −→−→fxxf xx 在 x =1处, 因为 f (1)=1, = f (1), = f (1), 所以函数在 x =1处连续.1lim)(lim 11==−− →→xxf xx 11lim)(lim 11==++ →→xx xf综合上述讨论, 函数在(−∞, −1)和(−1, +∞)内连续, 在 x =−1处间断, 但右连续.2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)231 22 +− −=xx xy , x =1, x =2;(2) x xytan =, x = k ,2ππ+=kx( k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);(3),1cos2 x y = x =0;(4), x =1. ⎩⎨⎧ >− ≤− = 1 31 1xx xx y 解 (1) )1)(2()1)(1(231 22 −− −+= +− −= xx xx xx xy . 因为函数在 x =2和 x =1处无定义, 所以 x =2和 x =1是函数 的间断点. 因为∞=+−−= →→23 1limlim2 2 22 xx xy xx , 所以 x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim11−=− += →→ x xy xx , 所以 x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处,令 y =−2, 则函数在 x =1处成为连续的. (2)函数在点 x = k π( k ∈Z)和 2ππ+=kx( k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→ x xkx tan limπ( k ≠0), 故 x = k π( k ≠0)是第二类间断点; 因为1tan lim0=→ x x x , 0 tan lim2= +→ x xkx ππ( k ∈Z), 所以 x =0和2ππ+=kx( k ∈Z) 是第一类间断点且是可 去间断点.令 y | x =0=1, 则函数在 x =0处成为连续的;令2ππ+= kx时, y =0, 则函数在 2ππ+=kx处成为连续的. (3)因为函数 xy1cos2=在x =0处无定义, 所以 x =0是函数 xy 1cos2=的间断点. 又因为 xx1coslim20→不存在, 所以 x =0是函数的第二类间断点.(4)因为所以 x =1是函数的第一类不可去间断 点.0)1(lim)(lim11 =−=−− →→xxf xx 2)3(lim)(lim 11=−=++ →→xxf xx 3. 讨论函数xx xxfn nn22 1 1lim)(+ −= ∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解⎪⎩⎪⎨ ⎧ < = >− = + −= ∞→ 1||1|| 0 1|| 1 1lim)( 2 2 xx x xx x x xxf n nn . 在分段点 x =−1处, 因为, , 所以 x =−1为函数的第一类不可去间断点.1)(lim)(lim11 =−=−− −→−→ xxf xx 1lim)(lim 11 −==++ −→−→xxf xx 在分段点 x =1处, 因为, , 所以 x =1为函数的第一 类不可去间断点.1lim)(lim11==−− →→xxf xx 1)(lim)(lim 11−=−=++ →→xxf xx 4. 证明: 若函数 f ( x )在点 x 0连续且 f( x 0)≠0, 则存在 x 0的某一邻域 U ( x 0), 当 x ∈ U ( x 0)时, f( x )≠0.证明 不妨设 f ( x 0)>0. 因为f ( x )在 x 0连续, 所以, 由极限的局部保号性定理, 存在 x 0)()(lim0 0>=→xfxfxx 0的某一去心邻域, 使当 x ∈时 f ( x )>0, 从而当 x ∈ U ( x )(0xU 䡘)(0 xU 䡘0)时, f( x )>0. 这就是说, 则存 在 x 0的某一邻域U ( x 0), 当 x ∈ U ( x 0)时, f( x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数 f ( x )的例子:(1) x =0, ±1, ±2,2 1±, ⋅ ⋅ ⋅, ± n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f ( x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;(2) f ( x )在R 上处处不连续, 但|f ( x )|在R 上处处连续;(3) f ( x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数xxxfππcsc)csc()(+=在点 x =0, ±1, ±2,2 1±, ⋅ ⋅ ⋅, ± n ,n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点.解(2)函数在R 上处处不连续, 但|f ( x )|=1在R 上处处连续.⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈− = Q Q x xxf 1 1 )( 解(3)函数在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.⎩ ⎨ ⎧ ∉− ∈ = Q Q xx xxxf )(习题1−9 1. 求函数633)(2 23−+ −−+= xx xxxxf 的连续区间, 并求极限, 及. )(lim0xfx→)(lim3xfx−→)(lim2xfx→解)2)(3()1)(1)(3(633)(223−+ +−+= −+−−+=xx xxx xx xxxxf , 函数在(−∞, +∞)内除点 x =2和 x =−3外是连续的, 所以函数 f ( x )的连续区间为(−∞, −3)、(−3, 2)、(2, +∞). 在函数的连续点 x =0处,21)0()(lim0==→fxfx. 在函数的间断点 x =2和 x =−3处,∞= −++−+= →→)2)(3( )1)(1)(3(lim)(lim22 xx xxxxf xx ,58 2 )1)(1(lim)(lim33−=− +−= −→−→ x xxxf xx .2. 设函数 f ( x )与 g ( x )在点 x 0连续, 证明函数ϕ( x )=max{ f ( x ), g ( x )}, ψ( x )=min{ f ( x ), g ( x )} 在点 x 0也连续. 证明 已知, . )()(lim0 0xfxfxx =→)()(lim0xgxgxx=→ 可以验证] |)()(|)()([2 1)(xgxfxgxfx −++=ϕ, ] |)()(|)()([2 1)(xgxfxgxfx−−+=ψ. 因此 ] |)()(|)()([2 1)(00000 xgxfxgxfx −++=ϕ, ] |)()(|)()([2 1)(00000xgxfxgxfx −−+=ψ. 因为 ] |)()(|)()([21lim)(lim00xgxfxgxfxxxxx −++=→→ϕ]|)(lim)(lim|)(lim)(lim[ 2 10000xgxfxgxfxxxxxxxx→→→→−++= ] |)()(|)()([2 10000xgxfxgxf −++==ϕ( x 0), 所以ϕ( x )在点 x 0也连续.同理可证明ψ( x )在点 x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim20+−→ xxx ;。
高等数学同济版习题及答案
第五章 定积分习题及答案(简单层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1；10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。
(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。
2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。
4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。
5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。
6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。
7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x ，求()⎰-21dx x f 。
同济第五版高数下册答案
高等数学同步练习第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念1. 求定义域(1){(x,y ) 1xy e e≤≤}；(2)},122),{(22N k k y x k y x ∈+≤+≤； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}.2.求极限(1)001)2x y →→=;(2)0 ;(3)22222002sin2lim 0()xyx y x y x y e →→+=+; (4)20sin cos lim.2x y xy xyx xy →→=.3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值(1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222222201lim 1x x k x k x k x k→--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y,极限为0，不存在 ;(3)222222221100x y x y x y x y x y x y x y x y+≤≤+≤+=+→+++.极限为0 .4.因当220x y +≠时，2222220.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.1. 求下列函数的偏导数(1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 22()1()x y x y --+-. 2.6π.3.11(11xy y =+-==. 4.1222222222222222222222222222221ln()ln(),212.,2()2,()()()z x y x y z x x x x y x y z x y x x y x x y x y z y x y x y -=+=-+∂=-=-∂++∂+--=-=∂++∂-=∂+5.22002202010sin,lim (,)0(0,0),1sin00lim 10sin 00(0,0)lim 0x y x y x x x yf x y f x f x x xf y y y→→∆→∆→≤≤+==∆-∂∆+=∂∆-∂+∆==∂∆g 因为所以连续.（0，0），不存在，.1. 求下列函数的全微分 解：(1)21z z dz dx dy x y x ∂∂=+∂∂-=+=.(2)1ln ln yz yz yz u u u du dx dy dz x y zyzx dx zx xdy yx xdz -∂∂∂=++∂∂∂=++.2.解：33222222220033332222(0,0)0033322322200,(,)(0,0)lim (,)0(0,0),000000(0,0)lim 1,lim 11x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y f x y f y x yx f f x y x y x x y x y y x y z x y →→∆→∆→+≤=+≤+→→+++==+∆∆+--+∆∆+====∆∆∆+∆∆+∆∆+∆∆+∆-∆∆∆==∆+∆.所以连续.两个偏导数都存在，为222222211(0,0)0,.x y x y x yx y x y x y y x ρρ→→-∆∆∆∆+∆∆=∆+∆-∆+∆∆+∆=→==≠g g 当沿时，故不可微第四节 1.解：322235221''(1)22323(21)(5456)1(2)1(3)()ln()v vdzuv w u v w x u v x x x xdxdzdx xdz z du z duvu f x u u g xdx u dx v dx-=⋅+⋅+⋅=++-===+∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂...2.解：(1)222221121(arctan ln21()uxy xy vz z x z y u uvye xe e u vuu x u y u u v u v vv∂∂∂∂∂=+=⋅⋅+⋅=+∂∂∂∂∂+++.221(arctanuvz z x z y ue u vv x v y v u v v∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂+.(2)'''()(1)()()()uf x xy xyz y yzxuf x xy xyz x xzyuf x xy xyz xyz∂=++++∂∂=+++∂∂=++⋅∂3. 解：''''1212.z z zf a f b f ft x yz z za bt x y∂∂∂=⋅+⋅==∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂，，，所以，4. 解：'222'222''2222''22''22()22(()2())2()24()zf x y xxzf x y x f x yxzx f x y y xyf x yx y∂=+⋅∂∂=+++∂∂=⋅+⋅=+∂∂第五节1.解：令(,,)sin()01cos()1cos()1cos()1cos()x z y z F x y z x y z xyz F z yz xyz x F xy xyz F z xz xyz y F xy xyz =++-=∂-=-=-∂-∂-=-=-∂- 2. .解：令22222222(0,0,1)2(,,)10()|1x z F x y z x y z F z x x F z z xz x z x zx z x z zzx=++-=∂=-=-∂∂-⋅--∂∂=-=-∂∂=-∂ 3.证明：''11''''1212'1''12()().x z c c zx a b a b c z y a b z zab C x yφφφφφφφφφφφ⋅⋅∂=-=-=∂-+-+⋅∂=∂+∂∂+=∂∂所以6.（1）解：方程两边对y 求导，得：222460222642146212622242(62)(62)2(61)(61)22(61)61dz dxx ydy dy dx dz x y z dydy dx dz x y dy dy dx dz x z y dy dyy y z x x zx yx ydx y z y z dyx z x z dz y dy x z z =+++=-=-+=-------⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩-++===-++-==++（3）''12''12()(1)2u u v f u x f x x x v u vg g vy x xx ∂∂∂=⋅++⋅∂∂∂∂∂∂=⋅-+⋅⋅∂∂∂⎧⎨⎩'''121'''121''12'''''''1212121''''''''21212112''12''11''11'''''212121(1)(21)212221121122u v xf f uf x x u v g vyg g x xuf f g vyg uvyf g uf f g u x vyg vxyf g xf f g xf f g vyg xf uf g g uy vyg vxyf g xf f g ∂∂-⋅-=∂∂∂∂+-=∂∂---+∂==∂-++-----∂=∂-++'''''11111'''''''2121211221g xf g uf g vyg vxyf g xf f g --=--++-7.证明：x t dy f dx f dt =+ →x tdy dtf f dx dx=+ ① 0x y t dF F dx F dy F dt =++= → x y tF dx F dydt F +=-→y x t t F F dtdy dx F F dx=--⋅ ② ②代入①，得：()(1)y x x t t t t y t x x t tt t y x t t xt t x t t x t t yF F dydy f f dx F F dx f F f Fdy f F dx F F f F f F f F dy F dx F f F f F dy dx F f F =+--⋅+=-+-⋅=-∴=+第六节 多元函数微分学的几何应用1．解：切向量),cos ,sin (=b t a t a T 。
___《高等数学》第五版下册习题答案
___《高等数学》第五版下册习题答案以下是练8-1的答案：1.对于第一题，我们可以使用分部积分法来求解。
具体来说，我们可以将被积函数拆分成两个部分，一部分是三角函数，另一部分是指数函数。
然后，我们可以分别对这两个部分进行积分，并利用分部积分公式将它们结合起来，最终得到原函数的表达式。
2.第二题是一个比较简单的求导题。
我们只需要利用链式法则和乘法法则，对给定的函数进行求导即可。
需要注意的是，有些项可能需要使用指数函数的求导公式来进行求导。
3.第三题是一个求极限的题目。
我们可以利用洛必达法则来求解。
具体来说，我们可以将被积函数化为一个分式，然后对分子和分母分别求导，最后利用洛必达法则求出极限的值。
4.第四题是一个求解微分方程的问题。
我们可以先将微分方程化为标准形式，然后利用分离变量法或者其他的求解方法来求解。
需要注意的是，有些微分方程可能需要使用变量代换或者其他的技巧来进行求解。
5.第五题是一个求解曲线长度的问题。
我们可以利用弧微分公式来求解。
具体来说，我们可以将曲线分成若干小段，然后对每一小段进行求解，最后将它们相加得到曲线的长度。
需要注意的是，有些曲线可能需要使用参数方程或者其他的表示方法来进行求解。
练9-2：本题要求证明一个三次方程的根的关系式。
先根据题目中给出的条件，将三次方程化为标准形式，然后利用___定理求出三个根的和、积，再利用___引理求出其中两个根的积的模，最后代入关系式中验证即可。
练9-3：本题要求证明一个函数的连续性。
先根据定义分别讨论左极限和右极限是否相等，若相等，则证明函数在该点处连续。
若不相等，则需要进一步讨论函数在该点处是否有间断点，若有，则证明函数在该点处不连续；若无，则证明函数在该点处跳跃，但仍是连续的。
练9-4：本题要求求出一个定积分的值。
首先根据积分的定义，将被积函数分解为正负两部分，然后利用线性性质将定积分分解为两个简单积分的和，再利用换元法或分部积分法求解即可得到最终结果。
高数同济五版下册答案[1]
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+
≤
+
≤
→→
yxyxxyyxyx.
因此 0lim22)0,0(),(
=
+→yxxyyx.
证明 因为
2||
22yxxy+≤, 故
22||
22222222yxyxyxyxxy+
=
+
+=
+
.
对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220yx时恒有
解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为{(x, y)|1≤x2+y2≤4},
边界为{(x, y)|x2+y2=1或x2+y2=4}.
(3){(x, y)|y>x2};
解 开集, 区域, 无界集, 导集为{(x, y)| y≥x2}, 边界为{(x, y)| y=x2}.
习题8.1
1. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别
指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.
(1){(x, y)|x≠0, y≠0};
解 开集, 无界集, 导集为R2, 边界为{(x, y)|x=0或y=0}.
(2){(x, y)|1<x2+y2≤4};
解 21)(
uvvuvvuuus.=+
.
.=
.
., 21)(
vuuuvvuvvs.=+
.
.=
.
..
(3))ln(xyz=;
解
xyxyxxxz1lnln121)lnln(.
高等数学(同济第五版)课后答案 第六章
=(3p 2
y−
1 2
y2
−
1 6p
y3)
p −3
p
= 16 3
p2
.
5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积;
(1)ρ=2acosθ ; 解:
所求的面积为
A=
1 2
π
∫−2π 2
(2acosθ )2dθ
π
=
4a
2
∫2
0
cos2θdθ
=πa2.
(2)x=acos3t, y=asin3t; 解
a
a
z 20. 利用题 19 和结论, 计算曲线 y=sin x(0≤x≤π)和 x 轴所围
成的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积.
∫ ∫ .3 解
V = 2π π xsin xdx = −2π π xd cosx = 2π (−xcosx +sin x)π = 2π 2 .
0
0
0
w 21. 计算曲线 y=ln x 上相应于 3 ≤ x≤ 8 的一段弧的长度.
o 解 设弦的倾角为 α. 由图可以看出, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
.c A= A0+ A1.
e 显然当α
=π 2
时,
A1=0;
当α <π 2
时,
A1>0.
因此, 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
h a ∫ z A0 =2 0
2axdx = 8 3
a
x3 a = 8 a2 . 03
曲线 ρ = 2 sinθ 与 ρ 2 =cos 2θ 的交点 M 的极坐标为 M ( 2 , π ) . 所求的面积为 26
A
同济第五版高数答案(高等数学课后习题解答)
(7) yarcsin(x3);
解 由|x3|1 得函数的定义域 D[24]. 1 (8) y 3 x arctan ; x 解 由 3x0 且 x0 得函数的定义域 D(0)(03).
(9) yln(x1);
解 由 x10 得函数的定义域 D(1).
解 (1)是周期函数周期为 l2.
(2)是周期函数周期为 l . 2 (3)是周期函数周期为 l2. (4)不是周期函数. (5)是周期函数周期为 l. 14. 求下列函数的反函数 (1) y 3 x 1 (2) y 1 x 1 x (3) y ax b (adbc0); cx d (4) y2sin3x; (5) y1ln(x2); 2x . (6) y x 2 1
解 (1)由 y 3 x 1 得 xy31所以 y 3 x 1 的反函数为 yx31.
1 y (2)由 y 1 x 得 x 所以 y 1 x 的反函数为 y 1 x . 1 x 1 x 1 x 1 y dy b 所以 y ax b 的反函数为 y dx b . (3)由 y ax b 得 x cx d cy a cx d cx a
F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)
所以 F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数. 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数则
F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)
所以 F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数.
解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 . 4 4 2 4 4 6 6 2 2
9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: x (1) y , (, 1); 1 x (2)yxln x, (0, ).
高等数学教材第五版答案
高等数学教材第五版答案首先，我将按照教材的章节顺序，为你提供高等数学教材第五版的答案。
请注意，由于篇幅限制，我无法提供完整的答案，但会尽量为你提供一些重要的问题和答案示例。
第一章：函数与极限1.1 函数概念与基本性质- 问题：给出函数f(x) = 3x + 2，求f(2)的值。
- 答案：将x = 2代入函数中，得到f(2) = 3(2) + 2 = 8。
1.2 一元函数的极限- 问题：求函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处的极限。
- 答案：由于在x = 1时，分母为0，可以通过简单的化简来求解。
将x = 1代入函数中，得到f(1) = (1^2 - 1)/(1 - 1) = 0/0。
通过因式分解或洛必达法则等方法，最终可以得到极限的结果。
第二章：导数与微分2.1 导数的概念与计算- 问题：求函数f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x - 2的导数。
- 答案：根据导数的定义，对每一项进行求导，最终得到f'(x) =3x^2 - 8x + 3。
2.2 函数的微分- 问题：求函数f(x) = sin(x) + cos(x)在x = π/4处的微分。
- 答案：首先求出函数在x = π/4处的导数，然后代入函数和导数的值，得到微分的结果。
第三章：积分与定积分3.1 不定积分与定积分的概念- 问题：求函数f(x) = 3x^2的不定积分和定积分。
- 答案：对于不定积分，求出每一项的积分，得到F(x) = x^3 + C；对于定积分，根据积分的性质和定理，求出积分的结果。
3.2 定积分的计算- 问题：计算函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分。
- 答案：将函数代入积分公式中，并进行积分计算，最终得到定积分的结果。
第四章：常微分方程4.1 一阶常微分方程- 问题：求解微分方程dy/dx = 2x。
- 答案：对方程进行分离变量和积分处理，最终得到y = x^2 + C。
同济第五版高数习题答案
习题9−11. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ=μ(x, y)的电荷,且μ(x, y)在D上连续,试用二重积分表达该板上全部电荷Q.解板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分.2. 设,其中D1={(x, y)|−1≤x≤1, −2≤y≤2};又,其中D2={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系.解I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积.I 2表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V1的体积.显然立体V关于yOz面、xOz面对称,因此V1是V位于第一卦限中的部分,故V=4V1, 即I1=4I2.3. 利用二重积分的定义证明:(1)∫∫ (其中σ为D的面积);证明由二重积分的定义可知,其中Δσi表示第i个小闭区域的面积.此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以.(2)∫∫ (其中k为常数);证明.(3),其中D =D 1∪D 2, D 1、D 2为两个无公共内点的闭区域.证明 将D 1和D 2分别任意分为n 1和n 2个小闭区域和,n 1+n 2=n , 作和.令各和的直径中最大值分别为λ1和λ2, 又λ=ma x (λ1λ2), 则有,即 .4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:(1)∫∫与, 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线x +y =1所围成;解 区域D 为: D ={(x , y )|0≤x , 0≤y , x +y ≤1}, 因此当(x , y )∈D 时, 有(x +y )3≤(x +y )2, 从而≤.(2)∫∫与其中积分区域D 是由圆周(x −2)2+(y −1)2=2 所围成;解区域D 如图所示, 由于D 位于直线x +y =1的上方, 所以当(x , y )∈D 时, x +y ≥1, 从而(x +y )3≥(x +y )2, 因而.(3)∫∫与其中D 是三角形闭区域, 三角顶点分别为(1, 0), (1, 1), (2, 0);解 区域D 如图所示, 显然当(x , y )∈D 时, 1≤x +y ≤2, 从而0≤ln(x +y )≤1, 故有[ln(x +y )]2≤ ln(x +y ),因而 .(4)∫∫与其中D ={(x , y )|3≤x ≤5. 0≤y ≤1}.解 区域D 如图所示, 显然D 位于直线x +y =e 的上方, 故当(x , y )∈D 时, x +y ≥e , 从而 ln(x +y )≥1, 因而 [ln(x +y )]2≥ln(x +y ),故 .5. 利用二重积分的性质估计下列积分的值:(1), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解 因为在区域D 上0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 所以 0≤xy ≤1, 0≤x +y ≤2, 进一步可得0≤xy (x +y )≤2,于是 ,即 .(2), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤π, 0≤y ≤π};解 因为0≤sin 2x ≤1, 0≤sin 2y ≤1, 所以0≤sin 2x sin 2y ≤1. 于是可得,即 .(3), 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤2};解 因为在区域D 上, 0≤x ≤1, 0≤y ≤2, 所以1≤x +y +1≤4, 于是可得,即 .(4), 其中D ={(x , y )| x2+y 2≤4}.解 在D 上, 因为0≤x 2+y 2≤4, 所以 9≤x 2+4y 2+9≤4(x 2+y 2)+9≤25.于是 ,,即 .习题9−21. 计算下列二重积分:(1)∫∫, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : −1≤x ≤1, −1≤y ≤1. 于是.(2)∫∫, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解 积分区域可表示为D : 0≤x ≤2, 0≤y ≤2−x . 于是.(3)∫∫, 其中D ={(x , y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1};解.(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,..2. 画出积分区域,并计算下列二重积分:(1), 其中D是由两条抛物线 ,所围成的闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| 0≤x≤1, }. 于是.(2)∫∫, 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| −2≤y≤2, }. 于是.(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1};解积分区域图如,并且D={(x, y)| −1≤x≤0, −x−1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x−1≤y≤−x+1}. 于是=e−e−1.(4)∫∫, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.解 积分区域图如, 并且D ={(x , y )| 0≤y ≤2, }. 于是.3. 如果二重积分的被积函数f (x , y )是两个函数f1(x )及f 2(y )的乘积, 即f (x ,y )= f 1(x )⋅f 2(y ), 积分区域D ={(x , y )| a ≤x ≤b , c ≤ y ≤d }, 证明这个二重积分等于两个单积分的乘积, 即证明 ,而 ,故 .由于的值是一常数, 因而可提到积分号的外面, 于是得4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| }, 或D ={(x , y )| },所以或.(2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )| },或D ={(x , y )|},所以 , 或 .(3)由直线y =x , x =2及双曲线(x >0)所围成的闭区域;解 积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| },或D ={(x , y )| }∪{(x , y )| },所以 , 或.(4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解 如图所示, 用直线x =−1和x =1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3,D 4. 于是用直线y =1, 和y =−1可将积分区域D 分成四部分, 分别记做D 1, D 2, D 3, D 4, 如图所示. 于是5. 设f (x , y )在D 上连续, 其中D 是由直线y =x 、y =a 及x =b (b >a )围成的闭区域,证明:.证明 积分区域如图所示, 并且积分区域可表示为 D ={(x , y )|a ≤x ≤b , a ≤y ≤x }, 或D ={(x , y )|a ≤y ≤b , y ≤x ≤b }.于是 , 或.因此 .6. 改换下列二次积分的积分次序:(1);解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以.(2);解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, }, 所以.(3) ; 解由根据积分限可得积分区域如图.因为积分区域还可以表示为 , 所以(4);解 由根据积分限可得积分区域, 如图.因为积分区域还可以表示为所以.(5)∫∫;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y≤x ≤ e }, 所以(6)(其中a ≥0)．解 由根据积分限可得积分区域 , 如图.因为积分区域还可以表示为,所以 .7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x ,y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为.8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为.9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6−z 截得的立体的体积.解 立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1−x }, 所求立体的体积为以曲面z =6−x 2−y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即.10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6−2x 2−y 2所围成的立体的体积.解 由消去z , 得x2+2y 2=6−2x 2−y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以.11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以.(2){(x , y )|x 2+y 2≤2x }; 解 积分区域D 如图. 因为 , 所以.(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.(4){(x , y )| 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1}. 解 积分区域D 如图. 因为 , 所以. 12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1);解 积分区域D 如图所示. 因为,所以.(2) ; 解 积分区域D 如图所示, 并且,所示.(3);解积分区域D如图所示,并且,所以(4).解积分区域D如图所示,并且,所以13. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:(1);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(2);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(3);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(4).解积分区域D如图所示.因为 ,所以.14. 利用极坐标计算下列各题:(1)∫∫，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;解在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以.(2)∫∫，其中D是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解在极坐标下 ,所以.(3), 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域. 解 在极坐标下 , 所以. 15. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域.解 因为积分区域可表示为 , 所以.(2) , 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下 , 所以.(3)∫∫, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解 因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y −a ≤x ≤y }, 所以.(4) , 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}. 解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.16. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧( )与直线所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量. 解 区域如图所示. 在极坐标下, 所以所求质量. 17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解 此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k , 0≤ρ≤R }..18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }. 在极坐标下 , 所以.习题9−21. 计算下列二重积分:(1)∫∫, 其中D ={(x , y )| |x |≤1, |y |≤1}; 解 积分区域可表示为D : −1≤x ≤1, −1≤y ≤1. 于是.(2)∫∫, 其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域:解积分区域可表示为D: 0≤x≤2, 0≤y≤2−x. 于是.(3)∫∫, 其中D={(x, y)| 0≤x≤1, 0≤y≤1};解.(4)∫∫, 其中D是顶点分别为(0, 0), (π, 0), 和(π, π)的三角形闭区域.解积分区域可表示为D: 0≤x≤π, 0≤y≤x. 于是,..2. 画出积分区域,并计算下列二重积分:(1), 其中D是由两条抛物线 ,所围成的闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| 0≤x≤1, }. 于是.(2)∫∫, 其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的右半闭区域;解积分区域图如,并且D={(x, y)| −2≤y≤2, }. 于是.(3)∫∫, 其中D={(x, y)| |x|+|y|≤1};解积分区域图如,并且D={(x, y)| −1≤x≤0, −x−1≤y≤x+1}∪{(x, y)| 0≤x≤1, x−1≤y≤−x+1}. 于是=e−e−1.(4)∫∫, 其中D是由直线y=2, y=x及y=2x轴所围成的闭区域.解积分区域图如,并且D={(x, y)| 0≤y≤2, }. 于是.3. 如果二重积分的被积函数f(x, y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积,即f(x,y)=f1(x)⋅f2(y), 积分区域D={(x, y)|a≤x≤b, c≤y≤d},证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即证明,而,故.由于的值是一常数,因而可提到积分号的外面,于是得4. 化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分), 其中积分区域D 是:(1)由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| }, 或D ={(x , y )| },所以或.(2)由x 轴及半圆周x 2+y 2=r 2(y ≥0)所围成的闭区域; 解 积分区域如图所示, 并且 D ={(x , y )| },或D ={(x , y )|},所以 , 或 .(3)由直线y =x , x =2及双曲线(x >0)所围成的闭区域;解 积分区域如图所示, 并且D ={(x , y )| },或D ={(x , y )| }∪{(x , y )| },所以 , 或.(4)环形闭区域{(x , y )| 1≤x 2+y 2≤4}.解如图所示,用直线x=−1和x=1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1, D2, D3,D4. 于是用直线y=1, 和y=−1可将积分区域D分成四部分,分别记做D1, D2, D3, D4,如图所示.于是5. 设f(x, y)在D上连续,其中D是由直线y=x、y=a及x=b(b>a)围成的闭区域,证明:.证明积分区域如图所示,并且积分区域可表示为D={(x, y)|a≤x≤b, a≤y≤x}, 或D={(x, y)|a≤y≤b, y≤x≤b}.于是, 或.因此.6. 改换下列二次积分的积分次序:(1);解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤y }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, x ≤y ≤1}, 所以.(2);解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|0≤y ≤2, y 2≤x ≤2y }, 如图.因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤x ≤4, }, 所以.(3) ; 解由根据积分限可得积分区域如图.因为积分区域还可以表示为 , 所以(4);解 由根据积分限可得积分区域, 如图.因为积分区域还可以表示为所以.(5)∫∫;解 由根据积分限可得积分区域D ={(x , y )|1≤x ≤e , 0≤y ≤ln x }, 如图. 因为积分区域还可以表示为D ={(x , y )|0≤y ≤1, e y≤x ≤ e }, 所以(6)(其中a ≥0)．解 由根据积分限可得积分区域 , 如图.因为积分区域还可以表示为,所以 .7. 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x +y =2, y =x 和x 轴所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2, 求该薄片的质量. 解 如图, 该薄片的质量为.8. 计算由四个平面x =0, y =0, x =1, y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体的体积.解 四个平面所围成的立体如图, 所求体积为.9. 求由平面x =0, y =0, x +y =1所围成的柱体被平面z =0及抛物面x 2+y 2=6−z 截得的立体的体积.解 立体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1−x }, 所求立体的体积为以曲面z =6−x 2−y 2为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积, 即.10. 求由曲面z =x 2+2y 2及z =6−2x 2−y 2所围成的立体的体积.解 由消去z , 得x2+2y 2=6−2x 2−y 2, 即x 2+y 2=2, 故立体在x O y 面上的投影区域为x 2+y 2≤2, 因为积分区域关于x 及y 轴均对称, 并且被积函数关于x , y 都是偶函数, 所以.11. 画出积分区域, 把积分表示为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D 是:(1){(x , y )| x 2+y 2≤a 2}(a >0);解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤a }, 所以.(2){(x , y )|x 2+y 2≤2x }; 解 积分区域D 如图. 因为 , 所以.(3){(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}, 其中0<a <b ;解 积分区域D 如图. 因为D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.(4){(x , y )| 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1}. 解 积分区域D 如图. 因为 , 所以. 12. 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:(1);解 积分区域D 如图所示. 因为,所以.(2);解积分区域D如图所示,并且,所示.(3);解积分区域D如图所示,并且,所以(4).解积分区域D如图所示,并且,所以13. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:(1);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(2);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(3);解积分区域D如图所示.因为 ,所以.(4).解积分区域D如图所示.因为 ,所以.14. 利用极坐标计算下列各题:(1)∫∫，其中D是由圆周x2+y2=4所围成的闭区域;解在极坐标下D={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2}, 所以.(2)∫∫，其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下 , 所以.(3), 其中D 是由圆周x 2+y 2=4, x 2+y 2=1及直线y =0, y =x 所围成的第一象限内的闭区域. 解 在极坐标下 , 所以. 15. 选用适当的坐标计算下列各题:(1)，其中D 是由直线x =2，y =x 及曲线xy =1所围成的闭区域.解 因为积分区域可表示为 , 所以.(2) , 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;解 在极坐标下 , 所以.(3)∫∫, 其中D 是由直线y =x , y =x +a , y =a , y =3a (a >0)所围成的闭区域;解 因为积分区域可表示为D ={(x , y )|a ≤y ≤3a , y −a ≤x ≤y }, 所以.(4) , 其中D 是圆环形闭区域{(x , y )| a 2≤x 2+y 2≤b 2}. 解 在极坐标下D ={(ρ, θ)|0≤θ≤2π, a ≤ρ≤b }, 所以.16. 设平面薄片所占的闭区域D 由螺线ρ=2θ上一段弧( )与直线所围成, 它的面密度为μ(x , y )=x 2+y 2. 求这薄片的质量. 解 区域如图所示. 在极坐标下, 所以所求质量. 17. 求由平面y =0, y =kx (k >0), z =0以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积.解 此立体在xOy 面上的投影区域D ={(x , y )|0≤θ≤arctan k , 0≤ρ≤R }..18. 计算以xOy 平面上圆域x 2+y 2=ax 围成的闭区域为底, 而以曲面z =x 2+y 2为顶的曲顶柱体的体积.解 曲顶柱体在xOy 面上的投影区域为D ={(x , y )|x 2+y 2≤ax }. 在极坐标下 , 所以.9−31. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y −1=0, z =0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1},于是 .(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为,于是.(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2−x 2所围成的闭区域; 解 曲积分区域可表示为,于是.提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2−x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0),, z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解 曲积分区域可表示为,于是 .提示: 区域Ω的上边界曲面为曲面c z=xy , 下边界曲面为平面z =0.2. 设有一物体, 占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1}, 在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )=x +y +z , 计算该物体的质量.解.3. 如果三重积分的被积函数f (x , y , z )是三个函数f1(x )、f 2(y )、f 3(z )的乘积, 即f (x , y , z )= f 1(x )⋅f 2(y )⋅f 3(z ), 积分区域Ω={(x , y , z )|a ≤x ≤b , c ≤y ≤d , l ≤z ≤m }, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积, 即.证明.4. 计算,其中Ω是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1和z=0所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤x, 0≤x≤1},于是.5. 计算 ,其中Ω为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四面体.解积分区域可表示为Ω={(x, y, z)| 0≤z≤1−x−y, 0≤y≤1−x, 0≤x≤1},于是.提示:.6. 计算, 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解 积分区域可表示为于是.7. 计算, 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1},于是.8. 计算, 其中Ω是由锥面 与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解 当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z:, 故D z的半径为, 面积为 , 于是=.9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由曲面及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1,,于是.(2)∫∫∫, 其中Ω是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域.解在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, ,于是.10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r≤1,于是.(2)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式x2+y2+(z−a)2≤a2, x2+y2≤z2所确定.解在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω为柱面x2+y2=1及平面z=1, z=0, x=0, y=0所围成的在第一卦限内的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.别解: 用直角坐标计算.(2) , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域; 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)∫∫∫, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域; 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(4)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式, z ≥0所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6−x 2−y 2及 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6−ρ2,于是.(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)及z =x 2+y 2;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是.(4)及x 2+y 2=4z .解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.解 密度函数为 . 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤R ,于是 .9−31. 化三重积分为三次积分, 其中积分区域Ω分别是:(1)由双曲抛物面xy =z 及平面x +y −1=0, z =0所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤xy , 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1},于是 .(2)由曲面z =x 2+y 2及平面z =1所围成的闭区域; 解 积分区域可表示为,于是.(3)由曲面z =x 2+2y 2及z =2−x 2所围成的闭区域; 解 曲积分区域可表示为,于是.提示: 曲面z =x 2+2y 2与z =2−x 2的交线在xOy 面上的投影曲线为x 2+y 2=1.(4)由曲面cz =xy (c >0),, z =0所围成的在第一卦限内的闭区域.解 曲积分区域可表示为,于是.提示:区域Ω的上边界曲面为曲面c z=xy , 下边界曲面为平面z=0.2. 设有一物体,占有空间闭区域Ω={(x, y, z)|0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1}, 在点(x, y, z)处的密度为ρ(x, y, z)=x+y+z, 计算该物体的质量.解.3. 如果三重积分的被积函数f(x, y, z)是三个函数f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘积,即f(x, y, z)=f1(x)⋅f2(y)⋅f3(z), 积分区域Ω={(x, y, z)|a≤x≤b, c≤y≤d, l≤z≤m}, 证明这个三重积分等于三个单积分的乘积,即.证明.4. 计算,其中Ω是由曲面z=xy, 与平面y=x, x=1和z=0所围成的闭区域.解积分区域可表示为Ω={(x, y, z)| 0≤z≤xy, 0≤y≤x, 0≤x≤1},于是.5. 计算 ,其中Ω为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四面体.解积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤1−x −y , 0≤y ≤1−x , 0≤x ≤1},于是.提示:.6. 计算, 其中Ω为球面x 2+y 2+z 2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解 积分区域可表示为于是.7. 计算, 其中Ω是由平面z =0, z =y , y =1以及抛物柱面y =x 2所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω={(x , y , z )| 0≤z ≤y , x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1},于是.8. 计算, 其中Ω是由锥面 与平面z =h (R >0, h >0)所围成的闭区域.解 当0≤z ≤h 时, 过(0, 0, z )作平行于xOy 面的平面, 截得立体Ω的截面为圆D z:, 故D z的半径为, 面积为 , 于是=.9. 利用柱面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由曲面及z =x 2+y 2所围成的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ,于是.(2)∫∫∫, 其中Ω是由曲面x 2+y 2=2z 及平面z =2所围成的闭区域. 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, ,于是.10. 利用球面坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域. 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤1,于是.(2)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式x 2+y 2+(z −a )2≤a 2, x 2+y 2≤z 2所确定. 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.11. 选用适当的坐标计算下列三重积分:(1)∫∫∫, 其中Ω为柱面x 2+y 2=1及平面z =1, z =0, x =0, y =0所围成的在第一卦限内的闭区域;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.别解: 用直角坐标计算.(2) , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=z 所围成的闭区域; 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)∫∫∫, 其中Ω是由曲面4z 2=25(x 2+y 2)及平面z =5所围成的闭区域; 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(4)∫∫∫, 其中闭区域Ω由不等式, z ≥0所确定.解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.12. 利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积: (1)z =6−x 2−y 2及 解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2 π, 0≤ρ≤2, ρ≤z ≤6−ρ2,于是.(2)x 2+y 2+z 2=2az (a >0)及x 2+y 2=z 2(含有z 轴的部分); 解 在球面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.(3)及z =x 2+y 2;解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ρ≤1, ρ2≤z ≤ρ,于是.(4)及x 2+y 2=4z .解 在柱面坐标下积分区域Ω可表示为,于是.13. 球心在原点、半径为R 的球体, 在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比, 求这球体的质量.解 密度函数为 . 在球面坐标下积分区域Ω可表示为 0≤θ≤2π, 0≤ϕ≤π, 0≤r ≤R ,于是 .习题9−41. 求球面x 2+y 2+z 2=a 2含在圆柱面x 2+y 2=ax 内部的那部分面积. 解 位于柱面内的部分球面有两块, 其面积是相同的.由曲面方程z =得 ,,于是.2. 求锥面z =被柱面z 2=2x 所割下的部分的曲面的面积.解 由z =和z 2=2x 两式消z 得x 2+y 2=2x , 于是所求曲面在xOy 面上的投影区域D为x 2+y 2≤2x .由曲面方程 得 , ,于是.3. 求底面半径相同的两个直交柱面x 2+y 2=R 2及x 2+z 2=R 2所围立体的表面积.解 设A 1为曲面相应于区域D : x 2+y 2≤R 2上的面积. 则所求表面积为A =4A 1..4. 设薄片所占的闭区域D 如下, 求均匀薄片的质心:(1)D 由, x =x 0, y =0所围成;解 令密度为μ=1. 因为区域D 可表示为 , 所以,,,所求质心为(2)D 是半椭圆形闭区域;解 令密度为μ=1. 因为闭区域D 对称于y 轴, 所以 .(椭圆的面积),,所求质心为 .(3)D 是介于两个圆r =a cos θ, r =b cos θ(0<a <b )之间的闭区域. 解 令密度为μ=1. 由对称性可知 .(两圆面积的差),,所求质心是.5. 设平面薄片所占的闭区域D 由抛物线y =x 2及直线y =x 所围成, 它在点(x , y )处的面密度μ(x , y )=x 2y , 求该薄片的质心.解,,质心坐标为 .6. 设有一等腰直角三角形薄片, 腰长为a , 各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方, 求这薄片的质心.解 建立坐标系, 使薄片在第一象限, 且直角边在坐标轴上. 薄片上点(x , y )处的函数为μ=x 2+y 2. 由对称性可知 .,,薄片的质心坐标为 .7. 利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度ρ=1):(1)z 2=x 2+y 2, z =1;解 由对称性可知, 重心在z 轴上, 故 .(圆锥的体积),,所求立体的质心为 .(2)(A >a >0), z =0; 解 由对称性可知, 重心在z 轴上, 故 .(两个半球体体积的差),,所求立体的质心为.(3)z =x 2+y 2, x +y =a , x =0, y =0, z =0.解,,,,所以立体的重心为 .8. 设球体占有闭区域Ω={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤2Rz }, 它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方, 试求这球体的质心.解 球体密度为ρ=x 2+y 2+z 2. 由对称性可知质心在z 轴上, 即 .在球面坐标下Ω可表示为: , 于是,,故球体的质心为.9. 设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D 如下, 求指定的转动惯量:(1), 求I y;解 积分区域D 可表示为,于是 .提示: .(2)D 由抛物线 与直线x =2所围成, 求I x和I y;解 积分区域可表示为,于是,. (3)D 为矩形闭区域{(x , y )|0≤x ≤a , 0≤y ≤b }, 求I x和I y.解 ,.10. 已知均匀矩形板(面密度为常量μ)的长和宽分别为b 和h , 计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解 取形心为原点, 取两旋转轴为坐标轴, 建立坐标系.,.11. 一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω由曲面z =x 2+y 2和平面z =0, |x |=a , |y |=a 所围成,(1)求物体的体积; 解 由对称可知.(2)求物体的质心; 解 由对称性知 .. (3)求物体关于z 轴的转动惯量.解.12. 求半径为a 、高为h 的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度ρ=1).解 建立坐标系, 使圆柱体的底面在xOy 面上, z 轴通过圆柱体的轴心. 用柱面坐标计算..13. 设面密度为常量μ的匀质半圆环形薄片占有闭区域, 求它对位于z 轴上点M 0(0, 0, a )(a >0)处单位质量的质点的引力F .解 引力F =(F x, F y, F z), 由对称性, F y=0, 而,.14. 设均匀柱体密度为ρ, 占有闭区域Ω={(x , y , z )|x 2+y 2≤R 2, 0≤z ≤h }, 求它对于位于点M 0(0, 0, a )(a >h )处单位质量的质点的引力.解 由柱体的对称性可知, 沿x 轴与y 轴方向的分力互相抵消, 故F x=F y=0, 而.总习题九1. 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论: (1)设有空间闭区域Ω1={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤R 2, z ≥0},Ω2={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤R 2, x ≥0, y ≥0, z ≥0}, 则有________.(A ); (B );(C ); (D ). 解 (C ).提示: f (x , y , z )=x 是关于x 的奇函数, 它在关于yOz 平面对称的区域Ω1上的三重积分为零, 而在Ω2上的三重积分不为零, 所以(A )是错的. 类似地, (B )和(D )也是错的.f (x , y , z )=z 是关于x 和y 的偶函数, 它关于yOz 平面和zOx 面都对称的区域Ω1上的三重积分可以化为Ω1在第一卦部分Ω2上的三重积分的四倍.(2)设有平面闭区域D ={(x , y )|−a ≤x ≤a , x ≤y ≤a }, D 1={(x , y )|0≤x ≤a , x ≤y ≤a }, 则=________.(A ); (B ); (C ); (D )0.解 (A ).2. 计算下列二重积分:(1), 其中D 是顶点分别为(0, 0), (1, 0), (1, 2)和(0, 1)的梯形闭区域;解 积分区域可表示为D ={(x , y )|0≤x ≤1, 0≤y ≤x +1}, 于是.(2), 其中D ={(x , y )|0≤y ≤sin x , 0≤x ≤π};解.(3) , 其中D 是圆周x 2+y 2=Rx 所围成的闭区域; 解 在极坐标下积分区域D 可表示为,于是.(4), 其中D ={(x , y )|x 2+y 2≤R 2}. 解 因为积分区域D 关于x 轴、y 轴对称, 所以..因为,所以.3. 交换下列二次积分的次序: (1);解 积分区域为,并且D 又可表示为D ={(x , y )|−2≤x ≤0, 2x +4≤y ≤−x 2+4},所以.(2); 解 积分区域为D ={(x , y )|0≤y ≤1, 0≤x ≤2y }∪{(x , y )|1≤y ≤3, 0≤x ≤3−y }, 并且D 又可表示为,所以.(3).解 积分区域为,并且D 又可表示为,所以.4. 证明:.证明 积分区域为D ={(x , y )|0≤y ≤a , 0≤x ≤y }, 并且D 又可表示为D ={(x , y )|0≤x ≤a , x ≤y ≤a },所以 .5. 把积分表为极坐标形式的二次积分, 其中积分区域D ={(x , y )|x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1}.解 在极坐标下积分区域可表示为D =D 1+D 2+D 3,其中 ,,,所以.6. 把积分化为三次积分, 其中积分区域Ω是由曲面z =x 2+y 2, y =x 2及平面y =1,z =0所围成的闭区域.解 积分区域可表示为Ω: 0≤z ≤x 2+y 2, x 2≤y ≤1, −1≤x ≤1,所以 .7. 计算下列三重积分: (1), 其中Ω是两个球x2+y 2+z 2≤R 2和x 2+y 2+z 2≤2Rz (R >0)的公共部分;解 两球面的公共部分在xOy 面上的投影 ,在柱面坐标下积分区域可表示为,所以.(2) , 其中Ω是由球面x 2+y 2+z 2=1所围成的闭区域; 解 因为积分区域Ω关于xOy 面对称, 而被积函数为关于z 的奇函数,所以 .(3), 其中Ω是由xOy 面上曲线y 2=2x 绕x 轴旋转而成的曲面与平面x =5所围成的闭区域.解 曲线y 2=2x 绕x 轴旋转而成的曲面的方程为y 2+z 2=2x . 由曲面y 2+z 2=2x 和平面x =5所围成的闭区域Ω在yOz 面上的投影区域为, 在柱面坐标下此区域又可表示为,所以.8. 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积.解 平面的方程可写为 , 所割部分在xOy 面上的投影区域为,于是.9. 在均匀的半径为R 的半圆形薄片的直径上, 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 为了使整个均匀薄片的质心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？解 设所求矩形另一边的长度为H , 建立坐标系, 使半圆的直径在x 轴上, 圆心在原点. 不妨设密度为ρ=1g/cm 3.由对称性及已知条件可知 , 即,从而 ,即,。
高等数学(同济第五版)课后答案 第三章
a − b < ln a < a − b . a b b
证明 设f(x)=ln x, 则f(x)在区间[b, a]上连续, 在区间(b, a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b, a ), 使 f(a)−f(b)=f ′(ξ)(a−b), 即 ln a − ln b = 1 (a − b) . ξ 因为b<ξ<a, 所以
ϕ(b)−ϕ(a)=ϕ′(ξ)(b−a),
即 因此 f (a) f (b) f (a) f (a) [ f (a)]′ f (ξ ) f (a) f ′(ξ ) ⎤ . − = (b − a)⎡ + ⎢ g (a) g (b) g (a) g (a) [ ⎣ g (a)]′ g (ξ ) g (a) g ′(ξ ) ⎥ ⎦ f (a) f (b) f (a) f ′(ξ ) = (b − a) . g (a) g (b) g (a) g ′(ξ ) f ( x) , 则在(−∞, +∞)内有 ex
5. 不用求出函数 f(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)的导数，说明方程 f ′(x)=0 有几个实根, 并指 出它们所在的区间. 解 由于 f(x) 在 [1, 2] 上连续 , 在 (1, 2) 内可导 , 且 f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知 , 存在 ξ1∈(1, 2), 使f ′(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f ′(ξ2)=0; 存在ξ 3∈(3, 4), 使f ′(ξ 3)=0. 显然ξ1、ξ2、 ξ 3都是方程f ′(x)=0 的根. 注意到方程f ′(x)=0 是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它 的三个实根, 故它们也就是方程f ′(x)=0 的全部根. 6. 证明恒等式: arcsin x + arccos x = π (−1≤x≤1). 2 证明 设 f(x)= arcsin x+arccos x. 因为 f ′(x) = 1 − 1 ≡0 , 1− x 2 1− x 2
高数第五版答案（同济）12-9
高数第五版答案（同济）12-9习题12-91. 求下列各微分方程的通解:(1)2y ''+y '-y =2e x ;解微分方程的特征方程为2r 2+r -1=0, 其根为211=r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211. 因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae x ,代入原方程得2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,解得A =1, 从而y *=e x .因此, 原方程的通解为x x x e e C e C y ++=-2211.(2)y ''+a 2y =e x ;解微分方程的特征方程为r 2+a 2=0,其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos ax +C 2sin ax .因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae x ,代入原方程得Ae x +a 2Ae x =e x , 解得211a A +=, 从而21*a e y x +=. 因此, 原方程的通解为2211sin cos a e ax C ax C y x +++=.(3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1;解微分方程的特征方程为2r 2+5r =0,其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为x e C C Y 2521-+=.因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=x (Ax 2+Bx +C ),代入原方程并整理得15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 2575331*23+-=. 因此, 原方程的通解为 x x x e C C y x 257533123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ;解微分方程的特征方程为r 2+3r +2=0,其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -2x .因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=x (Ax +B )e -x ,代入原方程并整理得2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)323(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为 )323(2221x x e e C e C y x x x -++=---.(5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ;解微分方程的特征方程为r 2-2r +5=0,其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ).因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=xe x (A cos2x +B sin2x ),代入原方程得e x [4B cos2x -4A sin2x ]=e x sin2x , 比较系数得41-=A , B =0, 从而x xe y x 2cos 41*-=.因此, 原方程的通解为x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.(6)y ''-6y '+9y =(x +1)e 3x ;解微分方程的特征方程为r 2-6r +9=0,其根为r 1=r 2=3, 故对应的齐次方程的通解为Y =e 3x (C 1+C 2x ).因为f (x )=(x +1)e 3x , λ=3是特征方程的重根,故原方程的特解设为y *=x 2e 3x (Ax +B ),代入原方程得e 3x (6Ax +2B )=e 3x (x +1), 比较系数得61=A , 21=B , 从而)2161(*233x x e y x +=. 因此, 原方程的通解为 )2161()(233213x x e x C C e y x x +++=.(7)y ''+5y '+4y =3-2x ;解微分方程的特征方程为r 2+5r +4=0,其根为r 1=-1, r 2=-4, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -4x .因为f (x )=3-2x =(3-2x )e 0x , λ=0不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ax +B ,代入原方程得4Ax +(5A +4B )=-2x +3, 比较系数得21-=A , 811=B , 从而81121*+-=x y . 因此, 原方程的通解为 81121421+-+=--x e C e C y x x . (8)y ''+4y =x cos x ;解微分方程的特征方程为r 2+4=0,其根为r =±2i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos2x +C 2sin2x .因为f (x )= x cos x =e 0x (x ?cos x +0?sin x ), λ+i ω=i 不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=(Ax +B )cos x +(Cx +D )sin x ,代入原方程得(3Ax +3B +2C )cos x +(3Cx -2A +3D )sin x =x cos x , 比较系数得31=A , B =0, C =0,92=D , 从而x x x y sin 92cos 31*+=. 因此, 原方程的通解为 x x x x C x C y sin 92cos 31sin 2cos 21+++=.(9)y ''+y =e x +cos x ;解微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos x +C 2sin x .因为f (x )=f 1(x )+f 2(x ), 其中f 1(x )=e x , f 2(x )=cos x , 而方程y ''+y =e x 具有Ae x 形式的特解;方程y ''+y =cos x 具有x (B cos x +C sin x )形式的特解,故原方程的特解设为y *=Ae x +x (B cos x +C sin x ),代入原方程得2Ae x +2C cos x -2B sin x =e x +cos x , 比较系数得21=A , B =0,21=C , 从而x x e y x sin 221*+=. 因此, 原方程的通解为 x x e x C x C y x sin 221sin cos 21+++=.(10)y ''-y =sin 2x .解微分方程的特征方程为r 2-1=0,其根为r 1=-1, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e x .因为x x x f 2cos 2121sin )(2-==, 而方程21=-''y y 的特解为常数A ;方程x y y 2cos 21-=-''具有B cos2x +C sin2x 形式的特解,故原方程的特解设为y *=A +B cos2x +C sin2x ,代入原方程得x x C x B A 2cos 21212sin 52cos 5-=---, 比较系数得21-=A ,101=B , C =0, 从而x y 2cos 10121*+-=. 因此, 原方程的通解为 212cos 10121-++=-x e C e C y x x . 2. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:(1)y ''+y +sin x =0, y |x =π=1, y '|x =π=1;解微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos x +C 2sin x .因为f (x )=-sin2x =e 0x (0?cos2x -sin2x ), λ+i ω=i 是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=A cos2x +B sin2x ,代入原方程得-3A cos 2x -3B sin2x =-sin2x ,解得A =0, 31=B , 从而x y 2sin 31*=. 因此, 原方程的通解为 x x C x C y 2sin 31sin cos 21++=.由y |x =π=1, y '|x =π=1得C 1=-1, 312-=C ,故满足初始条件的特解为x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-=.(2)y ''-3y '+2y =5, y |x =0=1, y '|x =0=2;解微分方程的特征方程为r 2-3r +2=0,其根为r 1=1, r 2=2, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e x +C 2e 2x .容易看出25*=y 为非齐次方程的一个特解, 故原方程的通解为 25221++=x x e C e C y .由y |x =0=1, y '|x =0=2得=+=++221252121C C C C , 解之得C 1=-5, 272=C . 因此满足初始条件的特解为 2527521++-=x x e e y . (3)y ''-10y '+9y =e 2x , 76|0==x y , 7 33|0='=x y ; 解微分方程的特征方程为r 2-10r +9=0,其根为r 1=1, r 2=9, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e x +C 2e 9x .因为f (x )=e 2x , λ=2不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae 2x ,代入原方程得(4A -20A +9A )e 2x =e 2x , 解得71-=A , 从而x e y 271*-=.因此, 原方程的通解为 x x x e e C e C y 292171-+=.由76|0==x y , 733|0='=x y 得2121==C C . 因此满足初始条件的特解为x x x e e e y 29712121-+=.(4)y ''-y =4xe x , y |x =0=0, y '|x =0=1;解微分方程的特征方程为r 2-1=0,其根为r 1=-1, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e x .因为f (x )=4xe x , λ=1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=xe x (Ax +B ),代入原方程得(4Ax +2A +2B )e x =4xe x ,比较系数得A =1, B =-1, 从而y *=xe x (x -1).因此, 原方程的通解为y *=C 1e -x +C 2e x +xe x (x -1).由y |x =0=0, y '|x =0=1得=--=+1102121C C C C , 解之得C 1=1, C 2=-1. 因此满足初始条件的特解为y =e -x -e x +xe x (x -1).(5)y ''-4y '=5, y |x =0=1, y '|x =0=0.解微分方程的特征方程为r 2-4r =0,其根为r 1=0, r 2=4, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1+C 2e 4x .因为f (x )=5=5e 0?x , λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=Ax ,代入原方程得-4A =5, 45-=A , 从而x y 45*-=.因此, 原方程的通解为x e C C y x 45421-+=.由y |x =0=1, y '|x =0=0得16111=C , 1652=C . 因此满足初始条件的特解为x e y x 4516516114-+=. 3. 大炮以仰角α、初速度v 0发射炮弹, 若不计空气阻力, 求弹道曲线.解取炮口为原点, 炮弹前进的水平方向为x 轴, 铅直向上为y 轴, 弹道运动的微分方程为=-=02dtdx g dt y d , 且满足初始条件='=='=====ααcos | ,0|sin | ,0|000000v x x v y y t t t t . 易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为-?=?=20021sin cos gt t v y tv x αα. 4. 在R 、L 、C 含源串联电路中, 电动势为E 的电源对电容器C 充电. 已知E =20V , C =0.2μF(微法), L =0.1H(亨), R =1000Ω, 试求合上开关K 后电流i (t )及电压u c (t ). 解 (1)列方程. 由回路定律可知E u u C R u C L c c c=+'??+''??, 即 LCE u LC u L R u c c c =+'+''1, 且当t =0时, u c =0, u c '=0.已知R =1000Ω, L =0.1H , C =0.2μF , 故4101.01000==L R , 76105102.01.011?=??=-LC , 9771020105105=??=?=E LC E . 因此微分方程为9741010510=?+'+''c c cu u u . (2)解方程. 微分方程的特征方程为r 2+104r +5?107=0, 其根为r 1, 2=-5?103±5?103i . 因此对应的齐次方程的通解为])105sin()105cos([32311053t C t C e u t c ?+?=?-.由观察法易知y *=20为非齐次方程的一个特解.因此非齐次方程的通解为20])105sin()105cos([32311053+?+?=?-t C t C e u t c .由t =0时, u c =0, u c '=0, 得C 1=-20, C 2=-20. 因此])105sin()105[cos(2020331053t t e u t c ?+?-=?-(V),)]105sin(104102.0)(3105263t e u u C t i t c c='?='=?---(A).5. 一链条悬挂在一钉子上, 起动时一端离开钉子8m 另一端离开钉子12m , 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间:(1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力;解设在时刻t 时, 链条上较长的一段垂下x m , 且设链条的密度为ρ, 则向下拉链条下滑的作用力F =x ρg -(20-x )ρg =2ρg (x -10).由牛顿第二定律, 有20ρx ''=2ρg (x -10), 即g x g x -=-''10. 微分方程的特征方程为 0102=-g r , 其根为101g r -=,102g r =, 故对应的齐次方程的通解为 t g t g e C e C x 102101+=-.由观察法易知x *=10为非齐次方程的一个特解, 故通解为10102101++=-t g t g e C e C x .由x (0)=12及x '(0)=0得C 1=C 2=1. 因此特解为101010++=-t g t g e e x .当x =20, 即链条完全滑下来时有101010=+-t g t g e e, 解之得所需时间)625ln(10+=gt s. (2)若摩擦力为1m 长的链条的重量.解此时向下拉链条的作用力变为F =x ρg -(20-x )ρg -1ρg =2ρgx -21ρg由牛顿第二定律, 有20ρx ''=2ρgx -21ρg , 即g x g x 05.110-=-''. 微分方程的通解为5.10102101++=-t g t g e C e C x . 由x (0)=12及x '(0)=0得4321==C C . 因此特解为 5.10)(431010++=-t g t g e e x .当x =20, 即链条完全滑下来时有5.9)(431010=+-t g t g e e ,解之得所需时间)3224319ln(10+=g t s. 6. 设函数?(x )连续, 且满足 ??-+=x x xdt t x dt t t e x 00)()()(, 求?(x ).解等式两边对x 求导得-='xx dt t e x 0)()(??, 再求导得微分方程''(x )=e x -?(x ), 即?''(x )+?(x )=e x . 微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r 1, 2=±i , 故对应的齐次方程的通解为?=C 1cos x +C 2sin x .易知x e 21*=?是非齐次方程的一个特解, 故非齐次方程的通解为x e x C x C 21sin cos 21++=?. 由所给等式知?(0)=1, ?'(0)=1, 由此得2121= =C C . 因此)sin (cos 21x e x x ++=?.。