量子力学课件(7)( 一维线性谐振子)

mω
2
(x
2
+ y
2
+ z2)
其 中

ˆ H ˆ H ˆ H
x
y
h2 d 2 = − + 2 2m dx h2 d 2 = − + 2 2m dy h2 d 2 = − + 2 2m dz
1 2
mω mω mω
2
x y z
2
1 2
2
2
z
1 2
2
2
§8 一维线性谐振子
对给定 N= n1 0 1 2 ..., ... , N n1 + n2 + n3 0, 0, 0, ..., ... , 0, 的组合方式数列表分析如下： 的组合方式数列表分析如下： n2 → ..., 1, ... , N → ..., 1, ... , N-1 → ..., 1, ... , N-2 → ..., ..., ... , ... , ... → → 组合方式数 N+1 N N-1 ... 1 (1/2)(N+1)(N+2)
2
其中
k ω= m
其解为x δ)。 其解为x =Asin(ω t + δ)。这种运动称 为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子 为简谐振动， = 1 µω2 x2 V 2 。
§8 一维线性谐振子
因为
dV F =− dx
第二章 薛定谔方程
因：k = mω 2
所以
1 1 2 2 2 V = kxdx = kx + V0 = mω x + V0 2 2
n
−
1 2
• 其中 Hn(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连续的 必须满足波函数的单值、有限、 标准条件。 标准条件。即： l ① 当ξ有限时，Hn(ξ)有限； 有限时， (ξ)有限 有限； l ② 当ξ→∞时，Hn(ξ)的行为要保证φn(ξ)→ 0。 ξ→∞时 (ξ)的行为要保证 的行为要保证φ 0。 C
ˆ ˆ H = H ˆ + H ˆ + H
（2）本征方程及其能量本征值
y z
第二章 薛定谔方程
如果系统 Hamilton 量可以写成
x
则必有： 则必有：
E = E x + E y + Ez Ψ = ψ ( x )ψ ( y )ψ ( z )
因此，设能量本征方程的解为： 因此，设能量本征方程的解为：
E
§8 一维线性谐振子
1 ∂V V( x) = V(a) + 1 ∂x !
V(a) = V0
第二章 薛定谔方程
1 ∂2V ( x − a) + 2! ∂x2 x=a
( x − a)2 +L
x=a
V (a ) = V0
∂V ∂x
∂V= 0 =0 x=a ∂x x = a
1 ∂2V ≈V0 + 2! ∂x2
( x − a)2
x=a
∂2V 其中： k 其中： = 2 ∂x
1 = V0 + k( x − a)2 2
V(x) a 0
V0
x=a
x
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
取新坐标原点为(a, 取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式： 标准谐振子势的形式：
V(x) a x
1 2 V( x) = kx 2
0
V0
可见， 可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。 可以用线性谐振动来近似描述。
§8 一维线性谐振子 经典力学中， 经典力学中，一维谐振子的哈密顿
第二章 薛定谔方程
p p 1 2 2 H= +V = + mω x 2m 2m 2
上式用相应算符代入， 上式用相应算符代入，得
第二章 薛定谔方程 §8 一维线性谐振子 (ξ)是 项厄密多项式， Hn(ξ)是n项厄密多项式，前4个项厄密多项式分别是
H 0 (ξ ) = 1, H 1 (ξ ) = 2ξ , H 2 (ξ ) = 4ξ − 2,
2
H 3 (ξ ) = 8ξ − 12ξ .
3
ϕ n (ξ ) = (
α π 2 n!
2
2
ˆ = − h d + 1 mω 2 x2 H 2 2m dx 2
是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。 是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。
2
2
9.2 求解定态薛定谔方程 Hamilton量 线性谐振子的 Hamilton量：
ˆ p2 1 ˆ H = + mω 2 x 2 2m 2 h2 d 2 1 = − + mω 2 x 2 2m dx2 2
E2 E1 E0 -3 -2 -1 0 1 2
n=2 n=1 n=0 ξ 3
概率分布
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
分析波函数可知量子力学的谐振子波函数 个节点， ψn有 n 个节点，在节点处找到粒子的几 率为零。 率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系： 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
应 用 实 例
=2ξ， 例：已知 H0 = 1, H1=2ξ， 则根据上述递推关系得出： 则根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2
从上式出发， 从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系： 厄密多项式的递推关系： dH n = 2nH n −1 (ξ ) dξ H n +1 − 2ξ H n + 2nH n −1 = 0
∫
若取V 0， 若取V0 = 0，即平衡 位置处于势 V = 0 点，则
1 2 2 V = mω x 2
量子力学中的线性谐振子 就是指在该式所描述的势 场中运动的粒子。 场中运动的粒子。
§8 一维线性谐振子 （2）为什么研究线性谐振子 ）
第二章 薛定谔方程
自然界广泛碰到简谐振动， 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平 衡位置附近的小振动，例如分子振动、 衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振 动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往 都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。 都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。 简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所 简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似， 以简谐振动的研究， 以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用 上都是很重要的。 例如双原子分子， 上都是很重要的。 例如双原子分子，两原子间 的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。 的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在 有一极小值V x = a 处，V 有一极小值V0 。在 x = a 附近 势可以展开成泰勒级数： 势可以展开成泰勒级数：
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
则Schrodinger方程可写为 Schrodinger方程可写为
h2 d 2 1 (− + m ω 2 x 2 )ψ ( x ) = E ψ ( x ) 2m dx2 2 1 d2 (− + x 2 )ψ ( x ) = E ψ ( x ) 2 2 dx
取自然单位, Schrodinger方程可写为 取自然单位,则Schrodinger方程可写为
n1n
2
n
3
= E
n1
n
1
+ E
n
2
n
1
+ E
n
3
n1
Ψ = ψ
( x )ψ
( y )ψ
(z)
解得能量本征值为： 解得能量本征值为：
E ni = ( ni + 1 )hω 2 = ( N + 3 )hω 2 其中 N = n1 + n2 + n3 i = 1,2,3 E N = ( n1 + n2 + n3 + 3 )hω 2
9.1 坐标空间线性谐振子的哈密顿
（1）何谓谐振子
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
在经典力学中， 的粒子， 在经典力学中，当质量为 m 的粒子， 受弹性力F kx作用 作用， 受弹性力F = - kx作用，由牛顿第二定律可 以写出运动方程为： 以写出运动方程为：
d2x m 2 =−kx dt → x′′ +ω x = 0
d2 dx2
( x) − (2n + 1)ψ n ( x) + (n + 1)(n + 2)ψ n+ 2 ( x)
]
第二章 薛定谔方程 §8 一维线性谐振子 求三维谐振子能级， 例1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况
：（1 解：（1）三维谐振子 Hamilton 量
2 d 2 d 2 d 2 ˆ = − h H + + + 2m dx2 dy2 dz2 ˆ ˆ ˆ = H x + H y + H z 1 2
ωn(ξ)
n=2 n=1
|ψ10|2 ψ
ω0(ξ)
-1
0
Байду номын сангаас
1
-1 1
n=0
ξ -4 -2 2 4 ξ
9.4 本征值和本征函数的数学性质
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
1、能量本征值； 2、谐振子的能量的本征函数组成正交、归一的完全系； 3、一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本征函 数，即能级是不简并的； 4、坐标算符或动量算符作用于本征函数上，结果是： 5、本征函数加上相应的时间因子是谐振子的可能状态， 这些可能状态称定态。定态的叠加不再是定态，但是仍 然是薛定谔方程的解，仍然是谐振子的可能状态。
n
) e
1 2
1 − α 2 x2 2
H n (α x ),
1 En = (n + )hω . 2
波函数
ψ n ( x) =
第二章 §8 一维线性谐振子 ，在经典情形下，粒子将被限制在|α薛定谔方程 以基态为例， 以基态为例 在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| 1)处 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能 2 x2 = {1/2} ħω= E ，即势能等于总能量，动能 V(x)=(1/ 2)mω ω= 0 即势能等于总能量， 为零，粒子被限制在阱内。 为零，粒子被限制在阱内。
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x 为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令：
§8 一维线性谐振子
ξ =αx
第二章 薛定谔方程
其中
α =
mω ， h
方程可改：
d2 + [2ε − ξ 2 ]ϕ (ξ ) = 0 dξ 2
其中
E ε= hω
此式是一变系数 二阶常微分方程
取能量单位、 取能量单位、长度单位 设定边界条件、束缚态条件、 设定边界条件、束缚态条件、意思是谐振 子出现在无穷处的概率为零。 子出现在无穷处的概率为零。
则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程： 分别满足如下三个方程：
ˆ H xψ n ( x ) = E n ψ n ( x ) 1 1 1 ˆ H yψ n 2 ( y ) = E n 2 ψ n 2 ( y ) ˆ H zψ n 3 ( z ) = E n 3ψ n 3 ( z )
α
2 n! π
n
e
−α 2 x 2 / 2
H n (α x)
然而， 然而，量子情况与此不同 对于基态，其几率密度是： 对于基态，其几率密度是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2 = exp[= N02 exp[-ξ2] 分析上式可知： 分析上式可知：一方面表明在 0处找到粒子的几率最大 处找到粒子的几率最大； ξ= 0处找到粒子的几率最大； 另一方面， |ξ|≧1处 另一方面，在|ξ|≧1处，即在 阱外找到粒子的几率不为零， 阱外找到粒子的几率不为零， 与经典情况完全不同。 与经典情况完全不同。
（3）简并度
§8 一维线性谐振子 E
N
= ( N + 3 )hω 2 N = n1 + n2 + n3
第二章 薛定谔方程
其中
r Ψ 1n2n3 (r ) =ψ n1 ( x) n2 ( y) n3 (z) ψ ψ n
确定后，能量本征值确定，但是对应同一N 当N确定后，能量本征值确定，但是对应同一N值的 有多种不同组合，相应于若干不同量子状态， n1 n2 n3有多种不同组合，相应于若干不同量子状态， 这就是简并。其简并度可决定如下： 这就是简并。其简并度可决定如下：
n 2
ψ n−1 ( x) +
n+ 1 2 n− 2
ψ n +1 ( x )
] ]
( x) + (2n + 1)ψ n ( x) + (n + 1)(n + 2)ψ n+ 2 ( x)
]
ψ n ( x) = α ψ n ( x) =
ψ n−1 ( x) −
n +1 2 n− 2
ψ n+1 ( x )
9.3 谐振子的本征值和本征函数
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
ϕ n (ξ ) = c n H n (ξ ) e
−ξ 2 / 2
1 εn = n + 2
上式中,n=0,1,2,3,……。其中， 上式中,n=0,1,2,3,……。其中，归一化常数 ,n=0,1,2,3,……
c n = ( π 2 n !)
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
基于厄密多项式的递推关系可以导出 谐振子波函数Ψ(x)的递推关系： Ψ(x)的递推关系 谐振子波函数Ψ(x)的递推关系：
1 xψ n ( x) = α
[ [
α2
2
1 x 2ψ n ( x) = 2α 2 d dx
[ n(n − 1)ψ [ n(n − 1)ψ
n 2