基于EOF分解的区域电离层VTEC预报模型研究

进行预测。 （３）将 预 测 得 到 的 时 间 分 量 和 空 间 分 量 进 行
ＥＯＦ 重构得 到 最 终 预 测 结 果。 该 模 型 我 们 简 称 为 ＥＯＦ－ＡＲＩＭＡ 模型。 ２．２ 区域电离层 ＶＴＥＣ 数据的 ＥＯＦ 分解
本文采用２０１４年ＩＧＳ 电 离 层 分 析 中 心 提 供 的 全球电 离 层 格 网 数 据，选 取 空 间 范 围 为 １７．５°Ｎ～ ５２．５°Ｎ、７５°Ｅ～１３５°Ｅ 的 格 网 数 据 共 １９５ 个 格 网 点，时间分辨率为２ｈ，该 区 域 覆 盖 了 中 国 大 陆 全 部 地区。
烆
ｉ＝１
（３）
因此，ＥＯＦ 分解被称为经验正交函数分解。
ＥＯＦ 分解的具体过程如下所示，首先，对式（２）
两端右乘 Ｘ′，得到：
ＸＸ′＝ＶＹＹ′Ｖ′
（４）
式（４）中 ＸＸ′即 为 ｍ ×ｍ 阶 的 对 角 阵，而 阵 中
元素则是观测变量 的 交 叉 积，由 实 对 称 矩 阵 的 分 解
定理可得：
ＸＸ′＝Ｖ·∧·Ｖ′
计算得到：
Ｙ＝Ｖ′·Ｘ
（８）
这就是 ＥＯＦ 分 解 的 全 过 程。 经 过 ＥＯＦ 分 解
之后，我们可以得 到 多 个 主 分 量。 接 下 来 介 绍 单 个
主分量的贡献率和 累 积 贡 献 率，以 便 于 按 照 累 计 贡
献率进行 ＥＯＦ 重构。
矩阵∧为 ＸＸ′的特 征 值 组 成 的 对 角 矩 阵，那 么
噪的目的。
２ 基于 ＥＯＦ分解 的 区 域 电 离 层 ＶＴＥＣ 预 报 模型
２．１ ＥＯＦ－ＡＲＩＭＡ 预测模型 基于 ＥＯＦ 分解的电离层 ＶＴＥＣ 预测模型主要
分为以下３个步骤。 （１）将区域 ＶＴＥＣ 数据进行 ＥＯＦ 分解，得 到空
间分量和时间分量。 （２）利用 时 间 序 列 模 型 （ＡＲＩＭＡ）对 时 间 分 量
第 ３９ 卷 第 ５ 期 ２０１６ 年 ９ 月
现 代 测 绘 Ｍｏｄｅｒｎ Ｓｕｒｖｅｙｉｎｇ ａｎｄ Ｍａｐｐｉｎｇ
Ｖｏｌ．３９， Ｓｅｐｔ．，２０１６
基于 ＥＯＦ分解的区域电离层 ＶＴＥＣ 预报模型研究＊
王 松 寒１，２，胡 伍 生１
（１．东南大学交通学院，江苏 南京 ２１００９６；２．苏州工业园区测绘与地理信息有限公司，江苏 苏州 ２１５０２７）
经典正交 函 数 分 解 （ＥＯＦ 分 解）是 针 对 一 个 确 定的要素场 进 行 的，它 包 括 分 解 与 重 构 ２ 个 部 分。 ＥＯＦ 分解的基本原理是随时间变化对含有 ｍ 个空
＊ 项目来源：国家自然科学基金项目资助（４１２７４０２８，４１５７４０２２）
第５期
王松寒等：基于 ＥＯＦ 分解的区域电离层 ＶＴＥＣ 预报模型研究
间场特性 构 建 模 型，未 考 虑 其 空 间 场 特 性。 因 此， 本文首先介绍了 ＥＯＦ 分 解（经 典 正 交 函 数 分 解）的 基本内容 和 原 理，分 析 了 ＥＯＦ 分 解 与 重 构 的 步 骤 和要点；然 后 利 用 ＥＯＦ 分 解 将 ＶＴＥＣ 时 间 序 列 分 解为随时 间 变 化 的 时 间 分 量 和 不 随 时 间 变 化 的 空 间分 量，建 立 基 于 ＥＯＦ 分 解 的 区 域 电 离 层 ＶＴＥＣ 预报模型。
利用 ＡＲＩＭＡ模型进行分析预测的基本流程如下。 （１）样本 预 处 理：对 ＶＴＥＣ 时 间 序 列 是 否 平 稳 进行判 断，对 非 平 稳 的 时 间 序 列 进 行 差 分 平 稳 化
ｍ
∑ ｘｉｊ ＝ ｖｉｋｙｋｊ ＝ｖｉ１ｙ１ｊ ＋ｖｉ２ｙ２ｊ ＋．．．＋ｖｉｍｙｍｊ ｋ＝１
（１）
可 以 采 用 矩 阵 形 式 表 示 上 述 的 分 解 ，即 ：
Ｘ＝ＶＹ
（２）
式（２）中，Ｘ 为 ｍ ×ｎ 的 原 数 观 测 数 据 矩 阵，阵
中元 素 ｘｉｊ （ｘ＝１，２，．．．，ｍ ；ｙ＝１，２，．．．．，ｎ）就 是 第 ｊ 时 刻 对 第ｉ 个 空 间 点 的 观 测 值。Ｖ 表 示 空 间 函 数
电离层是 随 时 间、空 间 而 变 化 的 多 变 介 质，具 有非常明 显 的 时 间 场 特 性 和 空 间 场 特 性。 电 离 层 ＴＥＣ 与时间和空间均具有明显的相关性，即 使 单 站 天顶垂直 ＴＥＣ 也会随 基 站 位 置 不 同 而 具 有 不 同 变 化趋势，而目前的预 测 方 法 只 是 单 纯 根 据 电 离 层 时
根据式（１０），我 们 可 以 得 到 每 一 个 主 分 量 的 方 差贡献 率，方 差 贡 献 率 最 大 的 主 分 量 为 第 一 主 分 量，依此类推。选择 累 计 方 差 贡 献 率 超 过 ９５％ 的 ２ 个时间分 量 进 行 展 示 （图 １）。 在 此 注 明 一 下，因 为 数 据 量 过 大 ，下 面 只 选 择 前 ３００ 个 数 据 进 行 展 示 。
计方差贡献率超过９５％的主分量构成矩阵ＰＣ 就可
以由式（１１）重构出原始观测矩阵 Ｘ：
Ｘ＝Ｖ·ＰＣ
（１１）
累计方差贡 献 率 超 过 ９５％ 这 样 的 取 值 标 准 既
可反映数据内在的 物 理 变 化 特 征，又 可 避 免 主 分 量
取得过多所引入的 误 差 信 息 加 大，从 而 达 到 数 据 去
在对时间 分 量 进 行 预 测 时 我 们 采 用 时 间 序 列 模型。时间序列模 型，即 求 和 自 回 归 移 动 平 均 模 型 （Ａｕｔｏ Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｍｏｖｉｎｇ Ａｖｅｒａｇｅ， ＡＲＩＭＡ）以其 广 泛 的 适 用 性 和 较 好 的 效 果 成 为 一 种常用的时间序列分析比较方法。
首先对始观测 矩 阵 Ｘｍ×ｎ 进 行 ＥＯＦ 分 解，可 以 得 到 空 间 分 量 矩 阵 Ｖ１９５×１９５ 和 时 间 分 量 矩 阵 Ｙ ，以 １９５×４３８０ 及 ＸＸ′ 的 特 征 值 组 成 的 对 角 矩 阵 ∧１９５×１９５，简 称 为 特 征 矩 阵 。 特 征 矩 阵 ∧１９５×１９５ 的 对 角元素就是 ＸＸ′矩阵 的 特 征 值，根 据 特 征 值 按 照 从 大到小的顺序进行排列即可以得到时间分量Ｙ 的 主分量。
０ 引 言
电离层是指 地 面 ６０ｋｍ 以 上 到 地 球 磁 层 顶 之 间的整个空间，“在 那 里 存 在 着 大 量 的 自 由 电 子，足 以影响无线电波传播”［１－２］。在 ＧＮＳＳ定位中，电 离 层延迟 在 天 顶 方 向 能 达 到 ２～１０ ｍ，在 接 近 地 平 方 向的时候，电离层折 射 延 迟 导 致 的 测 距 误 差 甚 至 可 以达到１５０ｍ，成为 ＧＮＳＳ定位的最大误差源，严重 降低了单频 ＰＰＰ 的定位精度并制约了常规 ＲＴＫ 的 作业距离。若能实现对电离层的准确预报那么上 述这些问题都可以得到改善。
矩阵，Ｙ 表示时 间 函 数 矩 阵。 这 ２ 个 矩 阵 是 由 原 始
观测数据矩阵 Ｘ 分解而成的，但是这个待分解的函
Fra Baidu bibliotek
数并没 有 一 种 固 定 形 式，所 以 我 们 称 这 种 分 解 是
“经验”的。ＥＯＦ 分解具有正交性，即：
烄
ｍ
∑ ｖｋｖｌ ＝ ｖｉｋｖｉｌ ＝０（ｋ ≠ｌ）
ｉ＝１
烅
ｎ
∑ ｙｋｙｌ ＝ ｙｉｋｙｉｌ ＝０（ｋ ≠ｌ）
６
现 代 测 绘
第 ３９ 卷
图１ ＥＯＦ 分解后的时间分量
在 图 １ 中，第 一 主 分 量 的 方 差 贡 献 率 为 ８４．９７％，第二主分量的方差贡献率为 １０．９５％，２ 个 主分量的累计方差贡献率超过 了 ９５％，符 合 我 们 的 重构要求，因此仅选 择 时 间 分 量 的 该 ２ 个 主 分 量 进 行预测。 ２．３ 时 间 分 量 的 预 测
近年来，国内外 学 者 不 断 致 力 于 电 离 层 预 报 模 型研究，提出了各 种 不 同 的 电 离 层 预 报 模 型。 电 离 层预报可分为长期预报和短期预报２种。长期预报 是指以周、月、年度 为 时 间 长 度 的 预 报，而 短 期 预 报 则是指数小时到数天范围内的预报。电离层长期 预 报 模 型 的 经 验 公 式 有：Ｂｅｎｔ 模 型、ＩＲＩ （Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅ Ｉｏｎｏｓｐｈｅｒｅ）模 型、Ｋｌｏｂｕ－ ｃｈａｒ模型 等 。 ［３］ 近 十 年 来 的 趋 势 是 从 长 期 预 报 向 短期预报和实时 预 报 发 展。 基 于 电 离 层 随 周 日、季 节、周年、太阳活动 周 期 等 的 周 期 性，可 以 对 其 进 行 短期预报。 目 前，时 间 序 列 模 型 、神 ［４－１１］ 经 网 络 模 型 等 ［１２－１６］ 方法是较为常用的电离层短期预报方法 。
（５）
式（５）中，∧ 为 的 特 征 值 组 成 的 对 角 矩 阵，即
可得：
ＹＹ′＝ ∧ 根 据 主 分 量 的 性 质 ，可 以 得 到 ：
（６）
ＶＶ′＝Ｖ′Ｖ＝Ｉ
（７）
因此，ＥＯＦ 分 解 的 空 间 分 量 矩 阵 Ｖ 可 以 通 过
ＸＸ′的 特 征 向 量 得 到 ，时 间 矩 阵 向 量 可 以 通 过 式 （８）
摘 要 区域电离层的监测和预报是一项具有重 要 意 义 的 工 作，也 是 目 前 一 个 比 较 热 门 的 研 究 方 向 。 据 此，着 重 研究了区域电离层的预报模型，以期 能 够 为 区 域 内 的 用 户 提 供 短 期 的 电 离 层 ＶＴＥＣ 预 报 信 息。 提 出 了 一 种 基 于 ＥＯＦ分解的区域电离层 ＶＴＥＣ 预报模型，该模型同时考虑了 ＶＴＥＣ 时间序列的时间分布特性和空间分布 特 性：首 先通过 ＥＯＦ 分解提取随时间变化的时间分量和不随时间变化的空间分量，并对时间分量进行预测，最后通过 ＥＯＦ 重 构获取 ＶＴＥＣ 预报值。采用ＩＧＳ提供的１９５个格网点的 ＶＴＥＣ 数据对模型进行验证，结果显示，基于 ＥＯＦ 分解 区域电离层 ＶＴＥＣ 预报模型的预报平均相对误差为４．０５％，相比于普通的时间序列模型其精度可以提高４０．３％。 关键词 电离层 ＶＴＥＣ ＥＯＦ 分解 预报 中 图 分 类 号 ：Ｐ２２８．４ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１６７２－４０９７（２０１６）０５－０００４－０５
５
间点的某个要素场进 行 分 解，每 个 空 间 点 有 ｎ 个 观
测数据。根据 这 一 原 理，要 素 场 中 任 一 个 空 间 点ｉ
和 任 一 个 时 间 点 ｊ 的 观 测 值 ｘｉｊ （ｘ＝１，２，．．．，ｍ；ｙ＝１，２，．．．．，ｎ）就 可 以 表 示 为 ｍ
个空间函数ｖｉｋ 和时间函数ｙｋｊ （ｋ＝１，２，．．．，ｍ ）的线 性 组 合 ，即 ：
１ ＥＯＦ 分 解
１．１ ＥＯＦ 分解简介 ＥＯＦ 分解是正交函数分解方法的一种，它 的 优
点是能够将变量分解成空间函数与时间函数２个部 分，即能够把随时间 变 化 的 变 量 场 分 解 为 不 随 时 间 变化的空 间 函 数 部 分 和 只 依 赖 时 间 变 化 的 时 间 函 数部分。空间函数 部 分 是 不 随 时 间 变 化 的，它 能 够 概括变量场的地域 分 布 特 点，分 解 出 的 时 间 函 数 部 分则是由场的空间 点 变 量 线 性 组 合 所 构 成，称 为 主 要分量 。 ［１７］ 时间函数部分与 空 间 无 关，且 随 时 间 变 化。前几个 时 间 分 量 占 原 场 内 空 间 点 所 有 变 量 总 方差的很大部分，这 就 相 当 于 把 原 来 场 的 主 要 信 息 浓缩在几个主要分 量 上，因 而 研 究 主 要 分 量 随 时 间 变化的规律就可以 代 替 原 变 量 场 时 间 变 化 研 究，且 可以通过 这 一 分 析 得 出 的 结 果 解 释 原 变 量 场 的 物 理变化特征 。 ［１７］ １．２ ＥＯＦ 分解与重构的原理
∧阵的对角元 素 就 是 ＸＸ′矩 阵 的 特 征 值，记 为λ＝
（λ１，λ２，．．．，λｎ ）。 将 这 些 特 征 值 按 大 小 排 列 为 ：
λ１ ≤λ２ ≤ ．．．≤λｎ
（９）
因此每个主分量的方差贡献率为：
ｎ
∑ Ｒｋ ＝λｋ／ λｉ ｉ＝１
（１０）
因此，在 ＥＯＦ 重构时，我 们 只 需 选 择 前 ｐ 个 累