立体几何解题方法技巧

专题六 立体几何解题方法技巧
一、内容提要：
立体几何需要我们去解决的问题概括起来就是三个方面，证明位置关系、求距离和求角；具体内容见下表：
二、主要解题方法： （一）位置关系
1、两条异面直线相互垂直
证明方法：○1证明两条异面直线所成角为90º；○2证明两条异面直线的方向量相互垂直 2、直线和平面相互平行
证明方法：○1证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；○2证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；○3证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

3、直线和平面垂直
证明方法：○1证明直线和平面内两条相交直线都垂直，○2证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；○3证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

4、平面和平面相互垂直
证明方法：○1证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；○2证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；○3证明两个平面的法向量相互垂直。

立 体 几 何
提 要
主 要 内 容
重 点 内 容
位
置关 系
两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面斜交、直线与平面垂直、两个平面斜交、两个平面相互垂直 两条异面直线相互垂直、直线与平面平行、直线与平面垂
直、两个平面相互垂直 距 离
两条异面直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平面的距离
两条异面直线的距离、点到平面的距离
角 度 两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角 两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角
（二）求距离
求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

1、两条异面直线的距离
求法：○1如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度，线段长度的
求法也可以用向量来帮助解决，求线段AB 的长度，可以利用
2
2
)(NB MN AM AB ++=来帮助解决，但是前提条件是我们要知道
NB MN AM ,,的模和每两个向量所成的角。

○2利用公式|
||·|n n AB d =
（其中A 、B
分别为两条异面直线上的一点，n 为这两条异面直线的法向量） 2、点到平面的距离
求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

○2等体积法。

○3向量法，利用公
式|
||·|n n AB d
=
（其中A 为已知点，B 为这个平面内的任意一点，n 这个平面的法向量）
（三）求角
1、两条异面直线所成的角
求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后
通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2
,0(π
，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要
注意转化成相应的锐角。

2、直线和平面所成的角
求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

○2向量法，先求直线的方向量于
平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为απ
-2
或2
π
α-
3、平面与平面所成的角
求法：○1“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。

○2通过射影面积来求
原
射影S cos S =
α（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的
射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cosα，注意到我们要求的角为α或π－α）；○3向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π－α。

我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！
三、注意的问题：
1、我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。

2、我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“∠α是我们所要求的角”、“线段AB 的长度就是我们所要求的距离”等等。

让人看起来一目了然。

3、用向量来求两条异面直线所成角时，若求出cosα＝x ，则这两条异面直线所成的角为α＝a rccos|x|
4、在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要απ
-2
或2
π
α-
，若求出的角为锐角，
就用
απ
-2
，若求出的钝角，就用2
π
α-。

5、求平面与平面所成角的时，若用第○2、○3种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。

【专题训练】
1、已知三棱锥P —ABC 中PB⊥底面ABC ，︒=∠90BCA ，
PB=BC=CA=a ，E 是PC 的中点，点F 在PA 上，且3PF=FA. （1）求证：平面PAC⊥PBC；
（2）求平面BEF 与底面ABC 所成角（用一个反三角函数值表示）.
2、如图，四棱锥P —ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面ABCD ，PA=AD=2，点M 、N 分别在棱PD 、
PC 上，且PC⊥平面AMN. （1）求证：AM⊥PD；
（2）求二面角P —AM —N 的大小；
（3）求直线CD 与平面AMN 所成角的大小.
3、如图，平面ABCD⊥平面ABEF ，ABCD 是正方形，ABEF 是矩形，且,2
1
a AD AF ==G 是EF 的中点，
（1）求证平面AGC⊥平面BGC ；
（2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值. （3）求二面角B —AC —G 的大小.
4、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱11D A 的中点，H 为平面EDB
内一点，)0(},2,2{1<--=→
--m m m m HC 。

（1）证明⊥1HC 平面EDB ；
（2）求1BC 与平面EDB 所成的角；
（3）若正方体的棱长为a ，求三棱锥EDB A -的体积。

在a HO BCM Rt 105,=
∆中，在a EH EHO Rt 2
1,....=∆中 5tan ==
∠∴HO
EH
EOH 即平面BEF 与底面ABC 所成二面角的大小为5arctan
若利用面积射影法，指出△HDB 是△EFB 在底面ABC 上的射影，并计算出其面积
2
16
1a S =
射影…………7分 计算出2166a S EFB =∆
6
1cos =
=
∆EFB
S S 射影θ
即平面BEF 与底面ABC 所成二面角的大小为6
6arccos 2、（1）证明：∵ABCD 是正方形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥底面ABCD ，∴PA⊥CD. ∴CD⊥平面PAD
∵AM ⊂平面PAD ，∴CD⊥AM. ∵PC⊥平面AMN ，∴PC⊥AM. ∴AM⊥平面PCD. ∴AM⊥PD.
（2）解：∵AM⊥平面PCD （已证）.
∴AM⊥PM，AM⊥NM.
∴∠PMN 为二面角P-AM-N 的平面角. ∵PN⊥平面AMN ，∴PN⊥NM.
在直角△PCD 中，CD=2，PD=22，∴PC=23. ∵PA=AD，AM⊥PD，∴M 为PD 的中点，PM=
2
1
PD=2 由Rt△PMN∽Rt△PCD，得 ∴PC
PM CD MN ⋅=.
.3
3
arccos .33322)cos(=∠∴====
∠∴PMN PC CD PM MN PMN 即二面角P —AM —N 的大小为3
3arccos .
3、（1）证明：正方形ABCD AB CB ⊥⇒ ∵面ABCD⊥面ABEF 且交于AB ，
∴CB⊥面ABEF ∵AG，GB ⊂面ABEF ， ∴CB⊥AG，CB⊥BG
又AD=2a ，AF= a ，ABEF 是矩形，G 是EF 的中点，
∴AG=BG=a 2，AB=2a ， AB 2
=AG 2
+BG 2
，∴AG⊥BG ∵CG∩BG=B ∴AG⊥平面CBG 而AG ⊂面
AGC ， 故平面AGC⊥平面BGC
（2）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC ，且交于GC ，在平面BGC 内作BH⊥GC，垂足
为H ，则BH⊥平面AGC ， ∴∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角
∴在Rt△CBG 中a BG BC BG BC CG
BG
BC BH 3
3
22
2=
+⋅=⋅=
又BG=a 2， ∴3
6
sin ==
∠BG BH BGH （3）由（Ⅱ）知，BH⊥面AGC 作BO⊥AC，垂足为O ，连结HO ，则HO⊥AC，
∴BOH ∠为二面角B —AC —G 的平面角 在a BO ABC Rt 2,=∆中
在Rt△BOH 中， 3
6arcsin
36
sin =∠==∠BOH BO BH BOH 即二面角B —AC —G 的大小为3
6arcsin。